第二单元 三位数乘两位数（综合题型）奥数思维训练-2025-2026学年苏教版数学四年级下册

第二单元 三位数乘两位数（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1. 核心概念回顾（综合运用前提） 三位数乘两位数的定义：三位数乘两位数，是指一个三位数（百位、十位、个位齐全的数）与一个两位数（十位、个位齐全的数）相乘，求得积的运算。苏教版四年级下册重点掌握三位数乘两位数的笔算方法、口算技巧，理解积的变化规律，能解决相关的实际应用问题，核心是掌握“分位相乘、错位相加”的笔算核心，同时能灵活运用估算、验算方法确保计算准确。 核心关联概念：① 乘法的意义：求几个相同加数和的简便运算，三位数乘两位数表示“几个三位数相加”或“几个两位数相加”（如123×24表示24个123相加，或123个24相加）；② 笔算乘法的基础：基于两位数乘两位数的笔算方法（分位相乘、错位相加），拓展到三位数乘两位数，本质是“先算个位乘、再算十位乘、最后求和”；③ 与前期知识关联：三位数乘两位数是两位数乘两位数的延伸，需熟练掌握两位数乘两位数的笔算、多位数的读写、数位顺序，以及口算（如整十数、整百数乘一位数），为笔算、估算奠定基础；④ 核心性质：积的位数规律（三位数乘两位数，积可能是四位数，也可能是五位数）、积的变化规律（一个因数不变，另一个因数乘或除以几，积也随之乘或除以几）。 2. 三位数乘两位数的核心意义 本知识点是苏教版四年级下册数与代数的核心计算内容，核心是掌握三位数乘两位数的笔算方法、口算技巧和积的变化规律，能进行准确计算、验算，能解决生活中的实际应用问题（如行程问题、购物问题），培养“运算能力”和“应用意识”。它是后续学习多位数乘法（如三位数乘三位数）、除法及小数乘法的基础，也是生活中解决大额计算问题的重要工具，是本单元的重点和难点内容。 3. 常见场景 ① 口算：整百数乘整十数、整百数乘两位数（非整十）、几百几十数乘整十数； ② 笔算：三位数乘两位数（不进位、进位），掌握笔算步骤和进位技巧； ③ 验算：用乘法验算（交换两个因数的位置）或除法验算（积除以一个因数，看是否等于另一个因数）； ④ 积的变化规律：运用积的变化规律解决简单的求值、比较问题； ⑤ 实际应用：结合行程问题（路程=速度×时间）、购物问题（总价=单价×数量）等场景，解决三位数乘两位数的实际问题； ⑥ 易错场景：笔算时错位错误、进位遗漏，口算时末尾0的个数数错，验算方法使用不当，应用问题中数量关系混淆。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 1. 两位数乘两位数的笔算：熟练掌握“先用两位数的个位乘两位数，再用两位数的十位乘两位数，最后把两次的积相加”的方法，牢记进位规则； 2. 口算基础：能快速口算整十数、整百数乘一位数（如200×3=600）、几百几十数乘一位数（如120×4=480）； 3. 数位顺序：明确三位数、两位数的数位组成，理解“十位上的数乘另一个因数，积的末位要和十位对齐”的道理； 4. 乘法验算：掌握两位数乘两位数的验算方法，理解“交换因数位置，积不变”的规律。 （二）核心应用方法（苏教版重点，5类核心场景） 1. 方法一：三位数乘两位数的口算（基础，苏教版重点） ① 核心思路：口算三位数乘两位数，重点针对“整百数×整十数”“整百数×两位数（非整十）”“几百几十数×整十数”，核心是“先算非0部分的乘积，再在积的末尾添上相应个数的0”，简化计算过程； ② 常用规则：（1）整百数×整十数：先算百位上的数×十位上的数，再在积的末尾添3个0（如300×20，先算3×2=6，再添3个0，得6000）；（2）整百数×两位数（非整十）：先算整百数×两位数的个位，再算整百数×两位数的十位，最后相加（如200×13，先算200×3=600，再算200×10=2000，600+2000=2600）；（3）几百几十数×整十数：先算几百几十数的非0部分×十位上的数，再在积的末尾添2个0（如150×30，先算15×3=45，再添2个0，得4500）； ③ 步骤：1. 判断口算类型（整百数×整十数、几百几十数×整十数等）；2. 按对应规则，先算非0部分的乘积；3. 数出两个因数末尾一共有几个0，在积的末尾添上相应个数的0；4. 核对口算结果，确保末尾0的个数正确； ④ 示例：口算300×40、250×20、120×30。解：300×40，先算3×4=12，末尾添3个0（300有2个0，40有1个0），得12000；250×20，先算25×2=50，末尾添2个0，得5000；120×30，先算12×3=36，末尾添2个0，得3600。 2. 方法二：三位数乘两位数的笔算（基础，苏教版核心重点） ① 核心思路：笔算三位数乘两位数，遵循“分位相乘、错位相加”的原则，即先用两位数的个位去乘三位数的每一位，积的末位和两位数的个位对齐；再用两位数的十位去乘三位数的每一位，积的末位和两位数的十位对齐；最后把两次乘得的积相加，注意进位规则（满几十就向前一位进几）； ② 关键：十位上的数乘三位数时，积的末位必须和十位对齐，不能和个位对齐；计算过程中，不要遗漏进位，每次进位后，下一位计算要加上进位的数； ③ 步骤：1. 列竖式：把三位数写在上面，两位数写在下面，相同数位对齐（个位对个位，十位对十位）；2. 个位相乘：用两位数的个位去乘三位数的个位、十位、百位，积的末位和个位对齐，注意进位；3. 十位相乘：用两位数的十位去乘三位数的个位、十位、百位，积的末位和十位对齐，注意进位；4. 求和：把两次乘得的积相加，得出最终结果；5. 核对：检查数位对齐是否正确、进位是否遗漏、相加是否准确； ④ 示例：笔算123×24、356×45。解：123×24，竖式计算：先算123×4=492（末位对齐个位），再算123×20=2460（末位对齐十位），最后492+2460=2952；356×45，先算356×5=1780（末位对齐个位），再算356×40=14240（末位对齐十位），最后1780+14240=16020。 3. 方法三：三位数乘两位数的验算（基础，苏教版重点） ① 核心思路：验算的目的是确保笔算结果正确，常用两种方法：方法一（乘法验算）：利用“交换两个因数的位置，积不变”的规律，交换三位数和两位数的位置，重新笔算一次，看两次的积是否相等；方法二（除法验算）：利用“积÷一个因数=另一个因数”，用算出的积除以其中一个因数，看结果是否等于另一个因数（四年级下册重点掌握乘法验算）； ② 关键：乘法验算时，交换因数位置后，笔算步骤要规范，避免重复之前的错误；除法验算时，注意除法的笔算方法，余数要为0才说明计算正确； ③ 步骤：（1）乘法验算：1. 交换两个因数的位置（两位数写在上面，三位数写在下面）；2. 按笔算方法重新计算；3. 对比两次的积，若相等，说明计算正确；若不相等，查找错误并改正。（2）除法验算：1. 用积除以其中一个因数（如积÷两位数）；2. 进行除法笔算，看商是否等于另一个因数（三位数），余数是否为0；3. 若商等于另一个因数且余数为0，说明计算正确；否则错误； ④ 示例：验算123×24=2952。解：方法一（乘法验算）：交换位置得24×123，笔算24×123=2952，与原积相等，计算正确；方法二（除法验算）：2952÷24=123，商等于另一个因数，余数为0，计算正确。 4. 方法四：积的变化规律（进阶，苏教版常考） ① 核心思路：积的变化规律有两种核心情况：（1）一个因数不变，另一个因数乘几（0除外），积也乘几；（2）一个因数不变，另一个因数除以几（0除外），积也除以几；可利用该规律快速计算、比较积的大小或解决求值问题； ② 关键：明确“一个因数不变”的前提，区分“乘几”和“除以几”的变化，注意0不能作为除数，也不能乘0（否则积为0，无实际意义）； ③ 步骤：1. 观察题目中因数的变化（哪个因数不变，哪个因数发生变化，变化的倍数是多少）；2. 根据积的变化规律，判断积的变化情况；3. 计算变化后的积，或比较积的大小；4. 核对结果，确保规律运用正确； ④ 示例：（1）已知12×30=360，求12×60、12×15的积；（2）比较123×20和123×40的大小。解：（1）12不变，60是30的2倍，所以积也乘2，360×2=720；12不变，15是30的一半（除以2），所以积也除以2，360÷2=180；（2）123不变，40是20的2倍，所以123×40的积是123×20的2倍，即123×20＜123×40。 5. 方法五：三位数乘两位数的实际应用（进阶，苏教版重点） ① 核心思路：结合生活实际场景，找到题目中的数量关系（常见：路程=速度×时间、总价=单价×数量、工作总量=工作效率×工作时间），先明确已知条件和所求问题，再根据数量关系列出算式（三位数乘两位数），计算并验算，最后规范作答； ② 关键：准确找到数量关系，区分已知量和未知量，避免混淆“速度、时间、路程”“单价、数量、总价”等概念；计算时注意单位统一（如速度单位是千米/时，时间单位是时，路程单位是千米）； ③ 步骤：1. 审题，找出题目中的已知条件（如速度、时间）和所求问题（如路程）；2. 确定数量关系（如路程=速度×时间）；3. 列出算式（三位数乘两位数）；4. 计算算式（笔算或口算），并进行验算；5. 检查单位是否统一，结果是否合理，规范作答； ④ 示例：一辆汽车每小时行驶120千米，从甲地到乙地一共行驶了15小时，甲地到乙地的路程是多少千米？解：数量关系：路程=速度×时间，已知速度120千米/时，时间15小时，算式：120×15=1800（千米）；验算：15×120=1800，计算正确；答：甲地到乙地的路程是1800千米。 （三）常见隐含条件与易错点提醒 1. 口算错误：口算时，末尾0的个数数错（如300×20，误算成600，漏添1个0）；整百数乘非整十两位数时，漏算十位上的数与整百数的乘积； 2. 笔算错位错误：用两位数的十位乘三位数时，积的末位和个位对齐，而非十位对齐（如123×24，123×20的积末位对齐个位）； 3. 进位遗漏：笔算时，个位相乘满几十未向前一位进位，或十位相乘时忘记加上个位进位的数（如356×45，个位6×5=30，未向十位进3）； 4. 验算方法错误：乘法验算时，未交换因数位置，只是重复原计算；除法验算时，用积除以因数后，余数不为0却认为计算正确； 5. 积的变化规律运用错误：忽略“一个因数不变”的前提，或混淆“乘几”和“除以几”的变化（如一个因数乘2，另一个因数也乘2，误认为积只乘2）； 6. 实际应用错误：混淆数量关系（如把“总价=单价×数量”误写成“总价=单价+数量”）；单位不统一就直接计算（如速度是千米/时，时间是分，未转化单位）； 7. 积的位数判断错误：误认为三位数乘两位数的积一定是五位数（如100×10=1000，积是四位数）； 8. 竖式书写错误：列竖式时，相同数位未对齐（如三位数的百位和两位数的个位对齐），导致计算错误。 三、三位数乘两位数的解题步骤（苏教版重点） 1. 审题辨类型：明确题目类型（口算、笔算、验算、积的变化规律、实际应用），确定解题思路。 2. 选择方法：口算题按口算规则计算；笔算题按“分位相乘、错位相加”的方法计算；验算题选择乘法或除法验算；实际应用题先找数量关系，再列算式。 3. 解题过程：口算注意末尾0的个数；笔算注意数位对齐和进位；验算确保方法正确；实际应用题注意单位统一和数量关系。 4. 核对检查：口算检查0的个数；笔算检查数位、进位、相加是否正确；验算对比结果；实际应用题检查数量关系和单位。 5. 规范作答：笔算、验算列规范竖式；实际应用题写出数量关系（可选）、算式、结果和答语，确保格式规范。 四、常见三位数乘两位数的题型及解题示例 1. 场景一：三位数乘两位数的口算（基础题） 例：口算下列各题。（1）200×30 （2）150×40 （3）320×20 （4）200×18 （5）130×50 解：（1）200×30：先算2×3=6，末尾添3个0，得6000； （2）150×40：先算15×4=60，末尾添2个0，得6000； （3）320×20：先算32×2=64，末尾添2个0，得6400； （4）200×18：先算200×10=2000，200×8=1600，2000+1600=3600； （5）130×50：先算13×5=65，末尾添2个0，得6500； 检验：口算规则运用正确，末尾0的个数无误，计算结果准确。 答：（1）6000；（2）6000；（3）6400；（4）3600；（5）6500。 2. 场景二：三位数乘两位数的笔算（基础题） 例：笔算下列各题。（1）145×23 （2）308×45 （3）260×30 解：（1）145×23：竖式计算，先算145×3=435（末位对齐个位），再算145×20=2900（末位对齐十位），435+2900=3335； （2）308×45：先算308×5=1540（末位对齐个位），再算308×40=12320（末位对齐十位），1540+12320=13860； （3）260×30：可简化竖式，先算26×3=78，再在末尾添2个0，得7800； 检验：数位对齐正确，进位无遗漏，相加准确，符合笔算规则。 答：（1）3335；（2）13860；（3）7800。 3. 场景三：三位数乘两位数的验算（基础题） 例：笔算并验算下列各题。（1）216×32 （2）450×24 解：（1）216×32=6912；验算（乘法验算）：交换位置得32×216，笔算32×216=6912，与原积相等，计算正确； （2）450×24=10800；验算（乘法验算）：交换位置得24×450，笔算24×450=10800，与原积相等，计算正确； 检验：验算方法正确，两次计算结果一致，无错误。 答：（1）6912；（2）10800。 4. 场景四：积的变化规律（进阶题） 例：（1）已知25×40=1000，根据积的变化规律，求25×80、25×20、50×40的积；（2）比较下面各组数的积大小：① 120×30 和 120×60 ② 240×15 和 120×15 解：（1）25不变，80是40的2倍，积也乘2，1000×2=2000；25不变，20是40的一半，积也除以2，1000÷2=500；40不变，50是25的2倍，积也乘2，1000×2=2000； （2）① 120不变，60是30的2倍，所以120×30＜120×60；② 15不变，240是120的2倍，所以240×15＞120×15； 检验：积的变化规律运用正确，因数变化与积的变化一致，比较结果准确。 答：（1）2000、500、2000；（2）① ＜；② ＞。 5. 场景五：三位数乘两位数的实际应用（进阶题） 例：（1）一家超市，每箱牛奶售价125元，买36箱这样的牛奶，一共需要多少元？（2）一列火车每小时行驶160千米，从甲地开往乙地用了18小时，甲地到乙地的路程是多少千米？ 解：（1）数量关系：总价=单价×数量，已知单价125元，数量36箱，算式：125×36=4500（元）；验算：36×125=4500，计算正确； （2）数量关系：路程=速度×时间，已知速度160千米/时，时间18小时，算式：160×18=2880（千米）；验算：18×160=2880，计算正确； 检验：数量关系正确，计算准确，单位统一，结果合理。 答：（1）一共需要4500元；（2）甲地到乙地的路程是2880千米。 培优练习 一、选择题 1．根据积的变化规律进行推理，一个乘数乘4，另一个乘数乘2，积（    ）。 A．乘2 B．乘4 C．乘6 D．乘8 2．火车平均每小时行158千米，李叔叔坐火车从某城市去北京。妙妙用下面竖式计算某城市到北京的路程。比较竖式中的甲和乙，说法正确的是（    ）。 A．甲＞乙 B．甲＜乙 C．甲＝乙 D．无法比较 3．李老师买了3台同样的取暖机，付给营业员12张100元的人民币，他最可能买到的是（    ）。 A．每台198元 B．每台287元 C．每台391元 D．每台402元 4．甲地到乙地公路长240千米，货车要行3小时，这辆货车的平均速度是（    ）。 A．80小时 B．80千米 C．240千米/时 D．80千米/时 5．“学校买了4箱同样的粉笔，花了840元。每箱粉笔多少元？”解答这道题用到的数量关系是（    ）。 A．单价×数量＝总价 B．总价÷单价＝数量 C．总价÷数量＝单价 D．时间×速度＝路程 6．小刚上山用了2小时，平均每小时行1000米，下山用了1小时，每小时行2000米，小刚共走了多少米？（    ） A．500 B．1000 C．2000 D．4000 二、填空题 7．已知A×B＝360，如果A乘3，B不变，积是( )；如果A不变，B除以6，积是( )。 8．乐乐在计算乘法时误将其中一个因数260看成了26，结果得到的积是650，实际上正确的积是( )。 9．超市里，购买3千克大米需要13元，购买4千克面粉需要25元。妈妈买了12千克大米和12千克面粉，一共需要( )元。 10．大客车和面包车同时从A城开往B城，大客车4时行驶280千米，面包车3时行驶270千米，大客车的速度是( )，面包车的速度是( )。 11．一辆货车以每小时65千米的速度从甲城开往乙城。行驶3小时后，货车在过中点20千米处休息。此时，货车距离乙城还有( )千米。 12．随着现代科技的发展，大多数农民在种田除害虫时会选择无人机喷洒农药，一架无人机每小时可飞行2千米，两架无人机给长48千米的稻田喷洒农药，需要( )小时。 三、计算题 13．直接写得数。 60×40＝    50×60＝    23×30＝    76×100＝ 70×70＝    25×40＝    80×12＝    300×30＝ 125×80＝    240×30＝    400×50＝    106×50＝ 14．列竖式计算（带※标要验算）。                     四、解答题 15．一辆货车从甲地开往乙地，每小时行驶65千米，行驶了12小时后，离乙地还有130千米。甲地到乙地的距离是多少千米？ 16．李老师家离学校1千米，他从家出发，步行12分钟后距学校还有100米，李老师每分钟步行多少米？ 17．12月2日是“全国交通安全日”，为了响应“一盔一带”活动的号召，某外卖公司决定给外卖送餐员都配上安全头盔，现该公司有男送餐员320人，女送餐员170人。该公司购买头盔一共需要多少钱？ 18．小红家到少年宫720米，她步行8分钟到达，小丽步行的速度比小红慢15米/分，要12分钟到达。小丽家到少年宫有多少米？ 19．“六一”义卖活动中，三（1）班共收入1200元，同学们购买了8套《如果历史也是一群喵》送给希望小学后，还剩120元。一套《如果历史也是一群喵》多少钱？ 20．“枫亭糕”是产于莆田市仙游县枫亭镇的传统糕类美食，2009年入选莆田市第二批市级非遗名录。元旦期间，莆田特色美食节的“枫亭糕”摊位推出“买3盒送1盒”的促销活动，李阿姨买16盒共花了288元。请问一盒“枫亭糕”的原价多少钱？ 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 三位数乘两位数（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1. 核心概念回顾（综合运用前提） 三位数乘两位数的定义：三位数乘两位数，是指一个三位数（百位、十位、个位齐全的数）与一个两位数（十位、个位齐全的数）相乘，求得积的运算。苏教版四年级下册重点掌握三位数乘两位数的笔算方法、口算技巧，理解积的变化规律，能解决相关的实际应用问题，核心是掌握“分位相乘、错位相加”的笔算核心，同时能灵活运用估算、验算方法确保计算准确。 核心关联概念：① 乘法的意义：求几个相同加数和的简便运算，三位数乘两位数表示“几个三位数相加”或“几个两位数相加”（如123×24表示24个123相加，或123个24相加）；② 笔算乘法的基础：基于两位数乘两位数的笔算方法（分位相乘、错位相加），拓展到三位数乘两位数，本质是“先算个位乘、再算十位乘、最后求和”；③ 与前期知识关联：三位数乘两位数是两位数乘两位数的延伸，需熟练掌握两位数乘两位数的笔算、多位数的读写、数位顺序，以及口算（如整十数、整百数乘一位数），为笔算、估算奠定基础；④ 核心性质：积的位数规律（三位数乘两位数，积可能是四位数，也可能是五位数）、积的变化规律（一个因数不变，另一个因数乘或除以几，积也随之乘或除以几）。 2. 三位数乘两位数的核心意义 本知识点是苏教版四年级下册数与代数的核心计算内容，核心是掌握三位数乘两位数的笔算方法、口算技巧和积的变化规律，能进行准确计算、验算，能解决生活中的实际应用问题（如行程问题、购物问题），培养“运算能力”和“应用意识”。它是后续学习多位数乘法（如三位数乘三位数）、除法及小数乘法的基础，也是生活中解决大额计算问题的重要工具，是本单元的重点和难点内容。 3. 常见场景 ① 口算：整百数乘整十数、整百数乘两位数（非整十）、几百几十数乘整十数； ② 笔算：三位数乘两位数（不进位、进位），掌握笔算步骤和进位技巧； ③ 验算：用乘法验算（交换两个因数的位置）或除法验算（积除以一个因数，看是否等于另一个因数）； ④ 积的变化规律：运用积的变化规律解决简单的求值、比较问题； ⑤ 实际应用：结合行程问题（路程=速度×时间）、购物问题（总价=单价×数量）等场景，解决三位数乘两位数的实际问题； ⑥ 易错场景：笔算时错位错误、进位遗漏，口算时末尾0的个数数错，验算方法使用不当，应用问题中数量关系混淆。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 1. 两位数乘两位数的笔算：熟练掌握“先用两位数的个位乘两位数，再用两位数的十位乘两位数，最后把两次的积相加”的方法，牢记进位规则； 2. 口算基础：能快速口算整十数、整百数乘一位数（如200×3=600）、几百几十数乘一位数（如120×4=480）； 3. 数位顺序：明确三位数、两位数的数位组成，理解“十位上的数乘另一个因数，积的末位要和十位对齐”的道理； 4. 乘法验算：掌握两位数乘两位数的验算方法，理解“交换因数位置，积不变”的规律。 （二）核心应用方法（苏教版重点，5类核心场景） 1. 方法一：三位数乘两位数的口算（基础，苏教版重点） ① 核心思路：口算三位数乘两位数，重点针对“整百数×整十数”“整百数×两位数（非整十）”“几百几十数×整十数”，核心是“先算非0部分的乘积，再在积的末尾添上相应个数的0”，简化计算过程； ② 常用规则：（1）整百数×整十数：先算百位上的数×十位上的数，再在积的末尾添3个0（如300×20，先算3×2=6，再添3个0，得6000）；（2）整百数×两位数（非整十）：先算整百数×两位数的个位，再算整百数×两位数的十位，最后相加（如200×13，先算200×3=600，再算200×10=2000，600+2000=2600）；（3）几百几十数×整十数：先算几百几十数的非0部分×十位上的数，再在积的末尾添2个0（如150×30，先算15×3=45，再添2个0，得4500）； ③ 步骤：1. 判断口算类型（整百数×整十数、几百几十数×整十数等）；2. 按对应规则，先算非0部分的乘积；3. 数出两个因数末尾一共有几个0，在积的末尾添上相应个数的0；4. 核对口算结果，确保末尾0的个数正确； ④ 示例：口算300×40、250×20、120×30。解：300×40，先算3×4=12，末尾添3个0（300有2个0，40有1个0），得12000；250×20，先算25×2=50，末尾添2个0，得5000；120×30，先算12×3=36，末尾添2个0，得3600。 2. 方法二：三位数乘两位数的笔算（基础，苏教版核心重点） ① 核心思路：笔算三位数乘两位数，遵循“分位相乘、错位相加”的原则，即先用两位数的个位去乘三位数的每一位，积的末位和两位数的个位对齐；再用两位数的十位去乘三位数的每一位，积的末位和两位数的十位对齐；最后把两次乘得的积相加，注意进位规则（满几十就向前一位进几）； ② 关键：十位上的数乘三位数时，积的末位必须和十位对齐，不能和个位对齐；计算过程中，不要遗漏进位，每次进位后，下一位计算要加上进位的数； ③ 步骤：1. 列竖式：把三位数写在上面，两位数写在下面，相同数位对齐（个位对个位，十位对十位）；2. 个位相乘：用两位数的个位去乘三位数的个位、十位、百位，积的末位和个位对齐，注意进位；3. 十位相乘：用两位数的十位去乘三位数的个位、十位、百位，积的末位和十位对齐，注意进位；4. 求和：把两次乘得的积相加，得出最终结果；5. 核对：检查数位对齐是否正确、进位是否遗漏、相加是否准确； ④ 示例：笔算123×24、356×45。解：123×24，竖式计算：先算123×4=492（末位对齐个位），再算123×20=2460（末位对齐十位），最后492+2460=2952；356×45，先算356×5=1780（末位对齐个位），再算356×40=14240（末位对齐十位），最后1780+14240=16020。 3. 方法三：三位数乘两位数的验算（基础，苏教版重点） ① 核心思路：验算的目的是确保笔算结果正确，常用两种方法：方法一（乘法验算）：利用“交换两个因数的位置，积不变”的规律，交换三位数和两位数的位置，重新笔算一次，看两次的积是否相等；方法二（除法验算）：利用“积÷一个因数=另一个因数”，用算出的积除以其中一个因数，看结果是否等于另一个因数（四年级下册重点掌握乘法验算）； ② 关键：乘法验算时，交换因数位置后，笔算步骤要规范，避免重复之前的错误；除法验算时，注意除法的笔算方法，余数要为0才说明计算正确； ③ 步骤：（1）乘法验算：1. 交换两个因数的位置（两位数写在上面，三位数写在下面）；2. 按笔算方法重新计算；3. 对比两次的积，若相等，说明计算正确；若不相等，查找错误并改正。（2）除法验算：1. 用积除以其中一个因数（如积÷两位数）；2. 进行除法笔算，看商是否等于另一个因数（三位数），余数是否为0；3. 若商等于另一个因数且余数为0，说明计算正确；否则错误； ④ 示例：验算123×24=2952。解：方法一（乘法验算）：交换位置得24×123，笔算24×123=2952，与原积相等，计算正确；方法二（除法验算）：2952÷24=123，商等于另一个因数，余数为0，计算正确。 4. 方法四：积的变化规律（进阶，苏教版常考） ① 核心思路：积的变化规律有两种核心情况：（1）一个因数不变，另一个因数乘几（0除外），积也乘几；（2）一个因数不变，另一个因数除以几（0除外），积也除以几；可利用该规律快速计算、比较积的大小或解决求值问题； ② 关键：明确“一个因数不变”的前提，区分“乘几”和“除以几”的变化，注意0不能作为除数，也不能乘0（否则积为0，无实际意义）； ③ 步骤：1. 观察题目中因数的变化（哪个因数不变，哪个因数发生变化，变化的倍数是多少）；2. 根据积的变化规律，判断积的变化情况；3. 计算变化后的积，或比较积的大小；4. 核对结果，确保规律运用正确； ④ 示例：（1）已知12×30=360，求12×60、12×15的积；（2）比较123×20和123×40的大小。解：（1）12不变，60是30的2倍，所以积也乘2，360×2=720；12不变，15是30的一半（除以2），所以积也除以2，360÷2=180；（2）123不变，40是20的2倍，所以123×40的积是123×20的2倍，即123×20＜123×40。 5. 方法五：三位数乘两位数的实际应用（进阶，苏教版重点） ① 核心思路：结合生活实际场景，找到题目中的数量关系（常见：路程=速度×时间、总价=单价×数量、工作总量=工作效率×工作时间），先明确已知条件和所求问题，再根据数量关系列出算式（三位数乘两位数），计算并验算，最后规范作答； ② 关键：准确找到数量关系，区分已知量和未知量，避免混淆“速度、时间、路程”“单价、数量、总价”等概念；计算时注意单位统一（如速度单位是千米/时，时间单位是时，路程单位是千米）； ③ 步骤：1. 审题，找出题目中的已知条件（如速度、时间）和所求问题（如路程）；2. 确定数量关系（如路程=速度×时间）；3. 列出算式（三位数乘两位数）；4. 计算算式（笔算或口算），并进行验算；5. 检查单位是否统一，结果是否合理，规范作答； ④ 示例：一辆汽车每小时行驶120千米，从甲地到乙地一共行驶了15小时，甲地到乙地的路程是多少千米？解：数量关系：路程=速度×时间，已知速度120千米/时，时间15小时，算式：120×15=1800（千米）；验算：15×120=1800，计算正确；答：甲地到乙地的路程是1800千米。 （三）常见隐含条件与易错点提醒 1. 口算错误：口算时，末尾0的个数数错（如300×20，误算成600，漏添1个0）；整百数乘非整十两位数时，漏算十位上的数与整百数的乘积； 2. 笔算错位错误：用两位数的十位乘三位数时，积的末位和个位对齐，而非十位对齐（如123×24，123×20的积末位对齐个位）； 3. 进位遗漏：笔算时，个位相乘满几十未向前一位进位，或十位相乘时忘记加上个位进位的数（如356×45，个位6×5=30，未向十位进3）； 4. 验算方法错误：乘法验算时，未交换因数位置，只是重复原计算；除法验算时，用积除以因数后，余数不为0却认为计算正确； 5. 积的变化规律运用错误：忽略“一个因数不变”的前提，或混淆“乘几”和“除以几”的变化（如一个因数乘2，另一个因数也乘2，误认为积只乘2）； 6. 实际应用错误：混淆数量关系（如把“总价=单价×数量”误写成“总价=单价+数量”）；单位不统一就直接计算（如速度是千米/时，时间是分，未转化单位）； 7. 积的位数判断错误：误认为三位数乘两位数的积一定是五位数（如100×10=1000，积是四位数）； 8. 竖式书写错误：列竖式时，相同数位未对齐（如三位数的百位和两位数的个位对齐），导致计算错误。 三、三位数乘两位数的解题步骤（苏教版重点） 1. 审题辨类型：明确题目类型（口算、笔算、验算、积的变化规律、实际应用），确定解题思路。 2. 选择方法：口算题按口算规则计算；笔算题按“分位相乘、错位相加”的方法计算；验算题选择乘法或除法验算；实际应用题先找数量关系，再列算式。 3. 解题过程：口算注意末尾0的个数；笔算注意数位对齐和进位；验算确保方法正确；实际应用题注意单位统一和数量关系。 4. 核对检查：口算检查0的个数；笔算检查数位、进位、相加是否正确；验算对比结果；实际应用题检查数量关系和单位。 5. 规范作答：笔算、验算列规范竖式；实际应用题写出数量关系（可选）、算式、结果和答语，确保格式规范。 四、常见三位数乘两位数的题型及解题示例 1. 场景一：三位数乘两位数的口算（基础题） 例：口算下列各题。（1）200×30 （2）150×40 （3）320×20 （4）200×18 （5）130×50 解：（1）200×30：先算2×3=6，末尾添3个0，得6000； （2）150×40：先算15×4=60，末尾添2个0，得6000； （3）320×20：先算32×2=64，末尾添2个0，得6400； （4）200×18：先算200×10=2000，200×8=1600，2000+1600=3600； （5）130×50：先算13×5=65，末尾添2个0，得6500； 检验：口算规则运用正确，末尾0的个数无误，计算结果准确。 答：（1）6000；（2）6000；（3）6400；（4）3600；（5）6500。 2. 场景二：三位数乘两位数的笔算（基础题） 例：笔算下列各题。（1）145×23 （2）308×45 （3）260×30 解：（1）145×23：竖式计算，先算145×3=435（末位对齐个位），再算145×20=2900（末位对齐十位），435+2900=3335； （2）308×45：先算308×5=1540（末位对齐个位），再算308×40=12320（末位对齐十位），1540+12320=13860； （3）260×30：可简化竖式，先算26×3=78，再在末尾添2个0，得7800； 检验：数位对齐正确，进位无遗漏，相加准确，符合笔算规则。 答：（1）3335；（2）13860；（3）7800。 3. 场景三：三位数乘两位数的验算（基础题） 例：笔算并验算下列各题。（1）216×32 （2）450×24 解：（1）216×32=6912；验算（乘法验算）：交换位置得32×216，笔算32×216=6912，与原积相等，计算正确； （2）450×24=10800；验算（乘法验算）：交换位置得24×450，笔算24×450=10800，与原积相等，计算正确； 检验：验算方法正确，两次计算结果一致，无错误。 答：（1）6912；（2）10800。 4. 场景四：积的变化规律（进阶题） 例：（1）已知25×40=1000，根据积的变化规律，求25×80、25×20、50×40的积；（2）比较下面各组数的积大小：① 120×30 和 120×60 ② 240×15 和 120×15 解：（1）25不变，80是40的2倍，积也乘2，1000×2=2000；25不变，20是40的一半，积也除以2，1000÷2=500；40不变，50是25的2倍，积也乘2，1000×2=2000； （2）① 120不变，60是30的2倍，所以120×30＜120×60；② 15不变，240是120的2倍，所以240×15＞120×15； 检验：积的变化规律运用正确，因数变化与积的变化一致，比较结果准确。 答：（1）2000、500、2000；（2）① ＜；② ＞。 5. 场景五：三位数乘两位数的实际应用（进阶题） 例：（1）一家超市，每箱牛奶售价125元，买36箱这样的牛奶，一共需要多少元？（2）一列火车每小时行驶160千米，从甲地开往乙地用了18小时，甲地到乙地的路程是多少千米？ 解：（1）数量关系：总价=单价×数量，已知单价125元，数量36箱，算式：125×36=4500（元）；验算：36×125=4500，计算正确； （2）数量关系：路程=速度×时间，已知速度160千米/时，时间18小时，算式：160×18=2880（千米）；验算：18×160=2880，计算正确； 检验：数量关系正确，计算准确，单位统一，结果合理。 答：（1）一共需要4500元；（2）甲地到乙地的路程是2880千米。 培优练习 一、选择题 1．根据积的变化规律进行推理，一个乘数乘4，另一个乘数乘2，积（    ）。 A．乘2 B．乘4 C．乘6 D．乘8 【答案】D 【分析】在乘法运算中，一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘或除以几。 【详解】根据积的变化规律，当一个因数乘4，另一个因数不变时，积也会乘4。 在一个因数已经乘4的基础上，另一个因数再乘2，此时积会在乘4的基础上再乘2。 所以积最终的变化是乘4×2，4×2＝8。 根据积的变化规律进行推理，一个乘数乘4，另一个乘数乘2，积乘8。 故答案为：D 2．火车平均每小时行158千米，李叔叔坐火车从某城市去北京。妙妙用下面竖式计算某城市到北京的路程。比较竖式中的甲和乙，说法正确的是（    ）。 A．甲＞乙 B．甲＜乙 C．甲＝乙 D．无法比较 【答案】B 【分析】三位数乘两位数，竖式计算法则：相同数位对齐，从个位乘起；先用第二个乘数个位上的数去乘第一个乘数，得数的末位和第二个乘数的个位对齐；再用第二个乘数十位上的数去乘第一个乘数，得数的末位和第二个乘数的十位对齐；然后把两次乘得的积加起来。据此分析解题即可。 【详解】观察竖式可知， 先算158乘两位数的个位上的数得甲数；再算158乘两位数的十位上的数得乙数；158乘几个十所得的积大于158乘几个一所得的积； 所以：甲＜乙。 故答案为：B 3．李老师买了3台同样的取暖机，付给营业员12张100元的人民币，他最可能买到的是（    ）。 A．每台198元 B．每台287元 C．每台391元 D．每台402元 【答案】C 【分析】12张100元的人民币是1200元。根据总价＝单价×数量，分别求出各个选项中花费的总价钱，再看哪个总价钱低于1200元，且接近1200元。 【详解】A．198×3＝594（元）（远低于1200元，可行但不是“最可能”的高价选项）。 B．287×3＝861（元）（低于1200元，可行）。 C．391×3＝1173（元）（低于1200元，且接近上限）。 D．402×3＝1206（元）（超过1200元，不可行）。 ，他最可能买到的是每台391元。 故答案为：C 4．甲地到乙地公路长240千米，货车要行3小时，这辆货车的平均速度是（    ）。 A．80小时 B．80千米 C．240千米/时 D．80千米/时 【答案】D 【分析】速度×时间＝路程，所以速度＝路程÷时间。由题意得，甲地到乙地公路长240千米，货车要行3小时，直接用240千米除以3小时即可算出这辆货车的平均速度。 【详解】240÷3＝80（千米/时），即这辆货车的平均速度是80千米/时。 故答案为：D 5．“学校买了4箱同样的粉笔，花了840元。每箱粉笔多少元？”解答这道题用到的数量关系是（    ）。 A．单价×数量＝总价 B．总价÷单价＝数量 C．总价÷数量＝单价 D．时间×速度＝路程 【答案】C 【分析】根据题意，学校买了4箱同样的粉笔，花了840元，840元是总价，4箱是数量，求每箱粉笔多少元求的是单价，根据单价＝总价÷数量，代入数字即可求解。 【详解】840÷4＝210（元） 用到的数量关系是总价÷数量＝单价。 故答案为：C 6．小刚上山用了2小时，平均每小时行1000米，下山用了1小时，每小时行2000米，小刚共走了多少米？（    ） A．500 B．1000 C．2000 D．4000 【答案】D 【分析】这道题要求计算小刚上山和下山的总路程。上山速度为1000米/小时，时间为2小时；下山速度为2000米/小时，时间为1小时。根据路程＝速度×时间，分别计算上山路程和下山路程，再将两者相加。 【详解】1000×2＝2000（米） 2000×1＝2000（米） 2000＋2000＝4000（米） 小刚共走了4000米。 故答案为：D 二、填空题 7．已知A×B＝360，如果A乘3，B不变，积是( )；如果A不变，B除以6，积是( )。 【答案】 1080 60 【分析】积的变化规律：一个乘数不变，另一个乘数乘或除以几（0除外），得到的积就等于原来的积乘或除以几。 【详解】由题意得， 360×3＝1080 360÷6＝60 所以，已知A×B＝360，如果A乘3，B不变，积是1080；如果A不变，B除以6，积是60。 8．乐乐在计算乘法时误将其中一个因数260看成了26，结果得到的积是650，实际上正确的积是( )。 【答案】6500 【分析】一个乘数不变，另一个乘数乘几或除以几（0除外），积也乘或除以几。乘数从26扩大10倍变成260，所以正确的积＝错误的积×10。据此解答。 【详解】260÷26＝10 650×10＝6500 所以实际上正确的积是6500。 9．超市里，购买3千克大米需要13元，购买4千克面粉需要25元。妈妈买了12千克大米和12千克面粉，一共需要( )元。 【答案】 127 【分析】根据积的变化规律可知，一个因数不变，另一个因数扩大到原来的若干倍，得到的积就等于原来的积的若干倍。根据题意可知，12千克是3千克的4倍，是4千克的3倍，因此买12千克大米的价钱是13元的3倍，买12千克面粉的价钱是25元的4倍，计算一个数的几倍是多少，用乘法计算，依此解答；最后将两者相加即可。 【详解】12÷3＝4 12÷4＝3 13×4＋25×3 ＝52＋75 ＝127（元） 所以一共需要127元。 10．大客车和面包车同时从A城开往B城，大客车4时行驶280千米，面包车3时行驶270千米，大客车的速度是( )，面包车的速度是( )。 【答案】 70千米/时/70km/h 90千米/时/90km/h 【分析】根据“速度＝路程÷时间”这一公式，代入数值计算即可解答。 【详解】大客车：280÷4＝70（千米/时） 面包车：270÷3＝90（千米/时） 大客车和面包车同时从A城开往B城，大客车4时行驶280千米，面包车3时行驶270千米，大客车的速度是70千米/时，面包车的速度是90千米/时。 11．一辆货车以每小时65千米的速度从甲城开往乙城。行驶3小时后，货车在过中点20千米处休息。此时，货车距离乙城还有( )千米。 【答案】155 【分析】根据路程＝速度×时间，货车为每小时65千米，行驶时间为3小时，所以行驶的路程为65×3＝195（千米），因为货车行驶195千米时过中点20千米，所以甲城到乙城路程的一半是195－20＝175（千米），那么货车距离乙城的距离等于路程的一半减去过中点的20千米，即175－20＝155（千米），据此解答即可。 【详解】65×3＝195（千米） 195－20＝175（千米） 175－20＝155（千米） 一辆货车以每小时65千米的速度从甲城开往乙城。行驶3小时后，货车在过中点20千米处休息。此时，货车距离乙城还有155千米。 12．随着现代科技的发展，大多数农民在种田除害虫时会选择无人机喷洒农药，一架无人机每小时可飞行2千米，两架无人机给长48千米的稻田喷洒农药，需要( )小时。 【答案】12 【分析】根据题意分析，两架无人机给长48千米的稻田喷洒农药，先求出一架无人机平均需要喷洒农药多少千米，也就是把48平均分成2份，求一份是多少用除法计算，列式为：48÷2＝24（千米），一架无人机每小时可飞行2千米，求需要几个小时，也就是求24里面有几个2，用除法计算，列式为：24÷2。据此解答。 【详解】48÷2÷2 ＝24÷2 ＝12（小时） 所以需要12小时。 三、计算题 13．直接写得数。 60×40＝    50×60＝    23×30＝    76×100＝ 70×70＝    25×40＝    80×12＝    300×30＝ 125×80＝    240×30＝    400×50＝    106×50＝ 【答案】2400；3000；690；7600 4900；1000；960；9000 10000；7200；20000；5300 【详解】略 14．列竖式计算（带※标要验算）。                     【答案】59254；14850；13846； 43000；66600；24320 【分析】三位数乘两位数时，相同数位对齐，从个位乘起。用两位数分别依次乘三位数中的每一位数，每次乘得结果满几十向前一位进几，与哪一位上的数相乘，就在那一位的下面写上相应的积，然后将两次的积相加。乘法的验算方法是：一个因数＝积÷另一个因数。据此解答。 【详解】59254         14850                           13846                            43000     验算：      66600              24320              四、解答题 15．一辆货车从甲地开往乙地，每小时行驶65千米，行驶了12小时后，离乙地还有130千米。甲地到乙地的距离是多少千米？ 【答案】 910千米 【分析】根据题意，已知货车的速度是每小时65千米，行驶时间是12小时，可以先求出已行驶的路程。然后，由于离乙地还有130千米，将已行驶的路程与剩余路程相加，即可得到甲地到乙地的总距离。列式计算即可。 【详解】根据分析可知： 65×12＋130 ＝780＋130 ＝910（千米） 答：甲地到乙地的距离是910千米。 16．李老师家离学校1千米，他从家出发，步行12分钟后距学校还有100米，李老师每分钟步行多少米？ 【答案】75米 【分析】根据1千米＝1000米，先将李老师家离学校的距离换算成米为单位，步行12分钟后距学校还有100米，用家离学校的距离减100求出步行了多少米，根据速度＝路程÷时间，用步行的距离除以步行的时间，即可求出李老师每分钟步行多少米。 【详解】1千米＝1000米 （1000－100）÷12 ＝900÷12 ＝75（米） 答：李老师每分钟步行75米。 17．12月2日是“全国交通安全日”，为了响应“一盔一带”活动的号召，某外卖公司决定给外卖送餐员都配上安全头盔，现该公司有男送餐员320人，女送餐员170人。该公司购买头盔一共需要多少钱？ 【答案】31850元 【分析】要计算购买头盔的总费用，需要先求出送餐员的总人数。已知男送餐员有320人，女送餐员有170人，将两者人数相加可得到总人数。再用每个头盔的价格65元乘总人数，就能得出购买头盔一共需要的钱数。 【详解】65×（320＋170） ＝65×490 ＝31850（元） 答：该公司购买头盔一共需要31850元钱。 18．小红家到少年宫720米，她步行8分钟到达，小丽步行的速度比小红慢15米/分，要12分钟到达。小丽家到少年宫有多少米？ 【答案】900米 【分析】首先根据路程和时间求出小红的步行速度，因为速度＝路程÷时间，已知小红家到少年宫720米，步行8分钟到达，所以小红速度可求。又因为小丽步行速度比小红慢15米/分，由此可算出小丽的步行速度。最后根据小丽步行时间为12分钟以及求出的小丽步行速度，利用路程＝速度×时间，就能算出小丽家到少年宫的距离。 【详解】（720÷8−15）×12 ＝（90−15）×12 ＝75×12 ＝900（米） 答：小丽家到少年宫有900米。 19．“六一”义卖活动中，三（1）班共收入1200元，同学们购买了8套《如果历史也是一群喵》送给希望小学后，还剩120元。一套《如果历史也是一群喵》多少钱？ 【答案】135元 【分析】根据题意，已知三（1）班共收入1200元，同学们购买了8套《如果历史也是一群喵》送给希望小学后，还剩120元。先用1200减去120，求出8套《如果历史也是一群喵》的总价，再除以8，就是一套《如果历史也是一群喵》多少钱，列式计算即可。 【详解】根据分析可知： （1200－120）÷8 ＝1080÷8 ＝135（元） 答：一套《如果历史也是一群喵》135元钱。 20．“枫亭糕”是产于莆田市仙游县枫亭镇的传统糕类美食，2009年入选莆田市第二批市级非遗名录。元旦期间，莆田特色美食节的“枫亭糕”摊位推出“买3盒送1盒”的促销活动，李阿姨买16盒共花了288元。请问一盒“枫亭糕”的原价多少钱？ 【答案】24元 【分析】“买3盒送1盒”，就是用买3盒枫亭糕的钱，可以得到4盒枫亭糕，将（3＋1）盒枫亭糕看作一组，用16÷（3＋1）＝4（组），求出买的枫亭糕总数里有几组；每组送1盒，所以赠送的盒数为4×1＝4（盒），总共买了16盒，赠送4盒，因此实际购买盒数为16－4＝12（盒），根据单价＝总价÷数量，用288÷12，即可求出一盒“枫亭糕”的原价多少钱。 【详解】16÷（3＋1） ＝16÷4 ＝4（组） 4×1＝4（盒） 288÷（16－4） ＝288÷12 ＝24（元） 答：一盒“枫亭糕”的原价24元钱。 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $