精品解析：北京市中国人民大学附属中学2025-2026学年度第二学期九年级数学练习1

2025-2026学年度第二学期初三年级数学练习1 考生须知 1．本试卷共8页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写姓名、班级和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 中国邮政定于年月日发行《丙午年》特种邮票套枚，计划发行套票套，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中， 为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时， 是正整数；当原数的绝对值小于时， 是负整数．据此解答即可． 【详解】解：将用科学记数法表示为． 故选：B． 2. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 3. 若一个八边形的每个外角都是 ，则x的值为（ ） A. 30 B. 45 C. 135 D. 150 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意多边形的外角和为 ，即可求解． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为 ，八边形的每个外角都是 ， ∴， 即． 4. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为（ ） A. 3 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当 时，一元二次方程没有实数根． 当一元二次方程有两个相等实数根时，其判别式，据此建立关于k的方程，求解即可得到k的值． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，且有两个相等的实数根， ∴， 即， 展开得， 合并同类项得， 解得 ． 故选：D． 5. 不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出相同颜色的小球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 红 黄 红 (红，红) (红，黄) 黄 (黄，红) (黄，黄) 共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色的小球的结果有2种， ∴两次摸出的都是红球的概率为． 故选：C． 6. 如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点 为圆心、适当长为半径画弧，交线段 于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点 在直线同侧； ④作直线 ，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出 ． 【详解】解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意； B．∵， ∴， ∴一定成立，故B不符合题意； C．∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴ 一定成立，故C不符合题意； D．不一定成立，故D符合题意． 7. 如图，在边长为4的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上．连接 ，作 于点，交于点．给出下面四个结论： ①； ②； ③当 时，； ④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有_______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，结合，可得，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；当 时， ，可得 ，，可得，故③不符合题意；如图，取的中点，连接，可得在以为圆心，为直径的圆上，当共线时，最小，再进一步可判断④. 【详解】解：∵正方形， ∴ ，，，， ∵ ， ∴， ∵， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴， ∴，故②符合题意； 当 时， ， ∴ ，， ∴，故③不符合题意； 如图，取的中点，连接， ∵ ， ∴在以为圆心，为直径的圆上， 当共线时，最小， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴点与点之间的距离的最小值为．故④符合题意； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到圆上各点距离的最小值的含义，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 8. 若有意义，则x的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的概念是关键； 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，由此列出不等式求解． 【详解】解：要使二次根式有意义，则被开方数必须满足，解得 ， 故答案为：． 9. 分解因式x3﹣xy2的结果是___． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 解：． 故答案为：x(x+y)(x-y) 10. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】先将分式方程转化为整式方程求解，再对结果进行检验即可． 【详解】解： 移项得： 方程两边同乘最简公分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为得： 检验：当时， 因此是原分式方程的解． 11. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则 的值为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴ ∵点在反比例函数的图象上 ∴，即 解得 12. 为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查．整理样本数据，得到下表： 视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数 102 98 80 93 127 根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是_________． 【答案】7200 【解析】 【分析】用总人数乘以样本中视力不低于4.8的人数占被调查人数的比例即可得． 【详解】解：估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是12000×＝7200（人）， 故答案为7200． 【点睛】本题主要考查用样本估计总体，用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 13. 如图， 是的直径，C为上一点，过点C作的切线 ，交 的延长线于点D，连接 ，若，则 ________ ． 【答案】##32度 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接 ，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：如图，连接 ， ∵ 是的切线， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，点E是的中点，连接交对角线于点F，连接 ．若，则 的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质得， ，，则，，由勾股定理求得，可证明，得，则，再证明，，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， ，， ∵点E是的中点，交对角线于点F， ∴，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明及是解题的关键． 15. 某工厂需要加工4种零部件，每个零部件需要先经过冲压工序，再经过组装工序．两道工序分别在两条生产线上完成，各零部件在两道工序上的所需时间（分钟）如下表： 零部件 甲 乙 丙 丁 冲压时间 8 3 7 5 组装时间 6 4 9 2 若按零部件顺序甲-乙-丙-丁依次进行冲压，则全部零部件完成加工至少需要_________分钟；若要使全部零部件完成加工的时间最短，则冲压工序应按_________的先后顺序加工零部件． 【答案】 ①. 29 ②. 乙-丙-甲-丁 【解析】 【分析】第一问需按给定顺序梳理冲压与组装生产线的时间线，考虑组装需同时满足零件完成冲压和组装线空闲两个条件，计算全部完成的最晚时间；第二问通过分析各零件两道工序的时间关系，优化排序以减少组装线等待时间，从而得到最短总时间的冲压顺序． 【详解】解：第一空计算： 按甲-乙-丙-丁的顺序进行冲压： 冲压生产线总耗时：（分钟） 组装生产线作业时间线分析： 甲在第8分钟完成冲压，随即开始组装，至分钟完成组装 乙在第分钟完成冲压，需等待组装线空闲（14分钟）后启动，至分钟完成组装 丙在第分钟完成冲压，此时组装线刚好空闲，至分钟完成组装 丁在第分钟完成冲压，需等待组装线空闲（27分钟）后启动，至分钟完成组装， ∴全部零部件完成加工的最晚时间为29分钟． 第二空最优排序推导： 为缩短总加工时间，需减少组装生产线的等待时间，按以下逻辑排序： 冲压时间小于组装时间的零件（乙、丙），按冲压时间从小到大排序，即乙在前、丙在后， 冲压时间大于组装时间的零件（甲、丁），按组装时间从大到小排序，即甲在前、丁在后， 将两类零件组合，冲压时间小于组装时间的零件组排在前，大于组装时间的零件组的排在后，得到最优冲压顺序为乙-丙-甲-丁． 故答案为：29，乙-丙-甲-丁． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先算三角函数、负整数指数幂、零指数幂、化简二次根式，再算加减即可． 【详解】原式 ． 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解：， ①， ， 解得， ②， ， 解得， ． 18. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先对等式进行变形，再对分式进行约分，最后代入求值即可． 【详解】解：由得，， 将代入上式得， 原式． 19. 如图，在四边形中，，点E在上，，平分 ． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接交于点．若， ，，求的长． 【答案】（1） 解：∵，点E在上， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵平分 ， ∴ ， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合，，证明四边形为平行四边形，根据平分 ，以及，得，即，进行作答即可． （2）结合菱形的性质得，，因为，所以，得，代入数值得，，运用，得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：依题意，如图所示： 由（1）得四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴在 中，， ∴， ∵， ∴在 中，． 20. 在平面直角坐标系中，函数的图象由函数 的图象平移得到，且经过点． （1）求k、b的值； （2）当 时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）依据题意，由函数 的图象由函数 的图象平移得到，从而，结合函数过，可得，进而计算可以得解； （2）由（1）得 ，由得到，分类讨论：①当时，②当 时，③当时，逐项分析求解即可． 【小问1详解】 解：∵函数 的图象由函数 的图象平移得到， ∴ 将点、代入 ，得 解得 答： 的值为1，的值为． 【小问2详解】 解：由（1）得 ， ∵当 时，的值恒大于 的值， ∴对所有 成立， 整理得， ①当时，， ∴不等式可化为， ∵要对所有的 都成立， ∴． 解得， ∴． ②当 时，不等式变为，即， 此时x可取任意实数，该式恒成立，故 符合题意， ③当时，， ∴不等式可化为，即， ∵要对所有 成立，这是不可能的， 如：当时，与矛盾， ∴此时无解， 即时，不符合题意； 综上所述，或 ， ∴m的取值范围是． 21. 小刚对诗仙李白的诗作《早发白帝城》中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的说法产生疑问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗?小刚经过查阅资料得知，白帝城是现今的重庆奉节，而江陵是现今的湖北荆州．假设李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度约为 ，从宜昌到荆州的速度约为 ．从奉节到荆州的水上距离约为 ．经过分析资料，小刚发现从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多 ．根据小刚的假设，回答下列问题： （1）奉节到宜昌的水上距离是多少？ （2）李白能在一日（ ）之内从白帝城到达江陵吗？说明理由． 【答案】（1）奉节到宜昌的水上距离为 （2）李白不能在一日之内从白帝城到达江陵， ∵ ， ∴李白不能在一日之内从白帝城到达江陵． 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程应用题，找到等量关系列方程是解题关键． （1）奉节到宜昌的水上距离为千米，根据李白从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多 列出方程，解方程即可; （2）用两段时间之和计算即可. 【小问1详解】 解：（1）设奉节到宜昌的水上距离是 ． 根据题意得： ，解得． 答：奉节到宜昌的水上距离为 ． 【小问2详解】 略 22. 一项知识问答竞赛要求以团队方式参赛，每个团队20名选手．某校准备参加此项竞赛，前期组建了两个团队，经过一段时间的培训后，对两个团队进行了一次预赛，对成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．一队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：）： b．二队成绩如下： 68 69 70 70 71 73 77 78 80 81 82 82 82 82 83 83 83 86 91 94 c．一、二两队成绩的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 一队 79.6 77 P 二队 79.25 m q 根据以上信息，回答下列问题： （1）m的值为___________，p___________q（填“ ”“ ”或“ ”）； （2）若两队都各去掉一个最高分和一个最低分，则下列判断正确的是___________； A．一队成绩的方差增大，二队成绩的方差减小 B．两队成绩的方差都增大 C．一队成绩的方差减小，二队成绩的方差增大 D．两队成绩的方差都减小 （3）为了选出冲击个人冠军的种子选手，学校对这次成绩90分以上的甲、乙、丙三位同学又单独进行了5次测试，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．这5次测试的成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 甲 90 94 90 94 91 乙 91 92 92 92 93 丙 93 90 92 93 k 若丙的排序居中，则表中k（k为整数）的值为___________． 【答案】（1）82， （2）D （3）91或92 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，平均数、众数、中位数、方差． （1）根据众数以及中位数的定义解答即可； （2）根据方差的定义意义求解即可； （3）根据方差的定义和平均数的意义求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，二队成绩中82出现的次数最多， 故众数， 一队成绩的中位数位于 ， 二队成绩的中位数为， ∴， 故答案为：82， ； 【小问2详解】 解：若两队都各去掉一个最高分和一个最低分，两队的成绩波动都变小，则两队成绩的方差都减小； 故答案为：D； 【小问3详解】 解：甲选手的平均数为：，甲选手的方差为：， 乙选手的平均数为：，乙选手的方差为：， 丙选手的平均数为：， ∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前． ∴， 解得， ∵k为整数， ∴当时，丙选手的平均数为：，丙选手的方差为：，此时甲丙平均数一致，但是丙的方差更小，符合排名； 当时，丙选手的平均数为：，丙选手的方差为：，此时乙丙平均数一致，但是乙的方差更小，符合排名； ∴k（k为整数）的值为92或91， 故答案为：92或91． 23. 如图， 是的直径，点C，D在上，过点C作的平行线交直线 于点E：． （1）求证： 是的切线： （2）连接 交于点F，若，，求线段 的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，得，可得，再由，可知，由，得，得，于是可证； （2）设的半径为r，得，由，可得，可得，由，，可得，得.设，由，可得，即． 【小问1详解】 证明：连接，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：设的半径为r， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，符合， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 解得，符合， 即． 【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合，熟练掌握三角形外角性质，圆的基本性质，圆的切线的判定和性质，圆周角定理推论，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，是解题的关键. 24. 某次物理实验中，探究弹簧所挂物体质量m（单位：）与弹簧伸长长度l（单位：）之间的关系．现取A，B两种型号的弹簧各一个进行实验，当弹簧所挂物体质量为m时，记录A型弹簧和B型弹簧的伸长长度和，数据如下： 所挂物体质量m（） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A型弹簧伸长长度 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5 25 B型弹簧伸长长度 0 1 2 3 4 5 6 8.13 12.28 18.45 26.64 通过分析数据发现，可以用函数刻画与m，与m之间的关系，回答下列问题： （1）在给出的平面直角坐标系中，已有的函数图象，请补全的函数图象； （2）与m的关系式为_________； （3）重新取A，B型弹簧各一个，再次进行实验．将质量为的重物挂在A型弹簧下，将质量为的重物挂在B型弹簧下，使得A型弹簧和B型弹簧的伸长长度相等．若，则_________（结果保留小数点后一位）． 【答案】（1）见解析 （2） （3）1.3或6.8 【解析】 【分析】解题的关键是数形结合及分类讨论思想的综合运用． （1）根据表格数据补全的函数图象即可； （2）根据图象可得与m是正比例函数，设与m的关系式为，根据待定系数法求解即可； (3）根据图象可得当，与m是正比例函数，求出；根据质量为的重物挂在A型弹簧下，将质量为的重物挂在B型弹簧下，使得A型弹簧和B型弹簧的伸长长度相等，得，结合，即可求出；当时，是m的二次函数，求得对应函数的表达式，根据质量为的重物挂在A型弹簧下，将质量为的重物挂在B型弹簧下，使得A型弹簧和B型弹簧的伸长长度相等，得，结合，即可求出． 【小问1详解】 解：补全的函数图象如图： 【小问2详解】 解：根据图象可得与m是正比例函数， 设与m的关系式为， 代入可得，解得， ∴与m的关系式为； 【小问3详解】 解：①根据图象可得当，与m是正比例函数， 设与m的关系式为， 代入，得，解得， 与m的关系式为． ②当时，是m的二次函数，设与m的关系式为， （ 将，，代入，得 ， 解得， ∴与m的关系式为． ∵质量为的重物挂在A型弹簧下，将质量为的重物挂在B型弹簧下， ∴当时，，， ∵使得A型弹簧和B型弹簧的伸长长度相等， ∴， ∵， ∴， 解得； 当时，，． ∵使得A型弹簧和B型弹簧的伸长长度相等， ∴， ∵， ∴， 整理，得， 解得或(不合题意，舍去)． 综上，的值为1.3或6.8． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线对称轴为，且经过点． （1）用含a的式子表示b，并求c的值； （2）已知抛物线，过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交抛物线于点N，点H为线段的中点（若M，N重合，取点H为M）． ①若，，求H点坐标； ②已知点P从点运动到的过程中，点H始终保持在x轴上方，求a的取值范围． 【答案】（1） ， （2）①；② 或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质； （1）由对称轴得到 ，再把代入抛物线得到 ； （2）①先得到，，即可求出，，再根据中点得到； ②设，，由中点得到，再根据和分情况讨论，求出或范围内的最小值，只要最小值大于0即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线对称轴为， ∴， ∴ ， ∵抛物线经过点， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：①∵，， ∴，，， 当时，，， ∴，， ∵点H为线段的中点， ∴，， ∴； ②由（1）得， ∵过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交抛物线于点N， ∴，， ∵点H为线段的中点， ∴，， ∴， 当时， ∵点P从点运动到的过程中，点H始终保持在x轴上方， ∴当时，恒成立， 当时，在范围内随 的增大而增大，此时当时，在范围内有最小值，最小值， ∵，， ∴要使恒成立，必须满足 ，即 ， ∴此时 ； 当，即时，在范围内顶点处取最小值，最小值， ∴要使恒成立，必须满足，即， ∴此时无解； 当，即时，在范围内随 的增大而减小，此时当时，在范围内有最小值，最小值， ∵，， ∴要使恒成立，必须满足，即， ∴此时无解； 当时， ∵点P从点运动到的过程中，点H始终保持在x轴上方， ∴当时，恒成立， ∵， ∴， ∴在范围内随 的增大而增大，此时当时，在范围内有最小值，最小值， ∵，， ∴要使恒成立，必须满足，即， ∴此时； 综上所述，点P从点运动到的过程中，点H始终保持在x轴上方，a的取值范围为 或． 26. 如图，在中，，，点D在射线 上，将射线绕点D逆时针旋转 ，所得射线交直线于点E，点F为的中点，连接 ． （1）如图1，若 ，求证：． （2）如图2，连接，将线段绕点A逆时针旋转 得到线段，连接 ． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段 与 的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到 ，，结合题意得到 是 的中位线，由此即可求证； （2）①按题意补全图形：将线段绕点逆时针旋转得到线段 ，连接．②在的延长线上取一点，使，连接， ，令 交 于点Q．证明，再证得到和，接着利用三角形内角和证明，再证得到，最后利用中位线定理得到，从而推出． 【小问1详解】 证明：根据题意，， ∴在 中，， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴点 是线段的中点， 又∵F为的中点， ∴ 是 的中位线，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①补全图形如下：在图2中，将线段绕点逆时针旋转得到线段 ，连接． ②，证明如下： 在的延长线上取一点，使，连接， ， ，令 交 于点Q， ，， 垂直平分 ， ， ， 由旋转得，， ， ， ， ，， ， ，， ，， ∴， 在中，， ， ， ∵，，， ∴， ∴， 由（1）可知，， 在和中， ， ， ， ，为的中点， 是的中位线， ， ， ． 27. 在平面直角坐标系中，的半径为2．对于点A，给出如下定义：若上存在点B使得线段的垂直平分线与相切于点C，则称点A是点C的“垂切点”，线段的长度a称为点A关于点C的垂切系数． （1）如图1，点，在，，中，点_________是点C的“垂切点”，垂切系数 _________． （2）点A在x轴上，点A是点C的“垂切点”，则点C的横坐标的取值范围为_________． （3）已知点，，若线段上存在点P，使得点P是上某点C的“垂切点”，且点P关于点C的垂切系数a满足，直接写出t的取值范围． 【答案】（1），4 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题中的定义可知，过点的切线为，通过作图可判断出只有的垂直平分线可以是，从而求得垂切系数a； （2）由定义可知，过点C的切线即为与过点A，半径为2的，的公切线，作，与外切，且与x轴相切，连接交x轴于点，利用解直角三角形求出，进而求出，利用勾股定理可求得此时点C的横坐标，由于与的外切圆始终存在切点C，当外切圆的圆心在x轴正半轴上时，存在最大值为2，从而得到点C横坐标在x轴正半轴上的取值范围，同理利用轴对称的性质可得到点C横坐标在x轴负半轴上的取值范围； （3）由于点P关于点C的垂切系数a满足，作出相关图象，对于与相切于C，对于水平线段，分别作，，连接，与y轴交点D，利用勾股定理求得，，的值，从而得出 的取值范围，由点M和点N的坐标可知点M在直线上，为一条水平长度为4的线段，要使得线段上存在点P，即与以O为圆心，与为半径的圆环区域（包括边界）有交点即可，分情况讨论与与为半径的圆环区域的交点情况，即可求得t值，并最终得到t的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意知，过点的切线为， 如图，在，，三个点中，只有的垂直平分线可以是， ∴点是点C的“垂切点”，此时， ∴垂切系数； 【小问2详解】 解：由定义可知，过点C的切线即为与过点A，半径为2的，的公切线， 要使点A在x轴上，且点A是点C的“垂切点”， 如图，作，与外切，且与x轴相切，连接交x轴于点， ∵，，， 在和中，， ∴， ∴， 过点作， 在中，，， ∴， 同理可得， ∵与的外切圆始终存在切点C， ∴当外切圆的圆心在x轴正半轴上时，存在最大值为2， ∴的取值范围是， 同理，作，与外切，且与x轴相切，连接交x轴于点， ∵，，， 在和中，， ∴， ∴， 过点作， 在中，，， ∴， ∴， 同理可得， ∵与的外切圆始终存在切点C， ∴当外切圆的圆心在x轴负半轴上时，存在最小值为， ∴的取值范围是， 综上所述，点C横坐标取值范围是或． 【小问3详解】 解：由题意知，点P关于点C的垂切系数a满足， 如图，对于与相切于C，对于水平线段，分别作，，连接，与y轴交点D， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴当在以O为圆心，4为半径的上运动时，始终保持点P关于点C的垂切系数a满足， ∴ 的取值范围是， ∵，， ∴点M在直线上，为一条水平长度为4的线段， 如图，要使得线段上存在点P，即与以O为圆心，与为半径的圆环区域（包括边界）有交点即可， 当与半径为的相切时，即，解得， 当端点在半径为的上时，则有，解得，（舍去）， 当端点在半径为的上时，则有，解得，（舍去）， 当端点在半径为的上时，则有，解得，（舍去）， 综上所述，t的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期初三年级数学练习1 考生须知 1．本试卷共8页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写姓名、班级和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 中国邮政定于年月日发行《丙午年》特种邮票套枚，计划发行套票套，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 2. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若一个八边形的每个外角都是 ，则x的值为（ ） A. 30 B. 45 C. 135 D. 150 4. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为（ ） A. 3 B. 0 C. D. 5. 不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是边的中点．按下列要求作图： ①以点 为圆心、适当长为半径画弧，交线段 于点，交于点； ②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点； ③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点 在直线同侧； ④作直线 ，交于点．下列结论不一定成立的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在边长为4的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上．连接 ，作 于点，交于点．给出下面四个结论： ①； ②； ③当 时，； ④点 与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有_______． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 8. 若有意义，则x的取值范围为_______． 9. 分解因式x3﹣xy2的结果是___． 10. 方程的解为________． 11. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则 的值为_________． 12. 为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查．整理样本数据，得到下表： 视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数 102 98 80 93 127 根据抽样调查结果，估计该区12000名初中学生视力不低于4.8的人数是_________． 13. 如图，是的直径，C为上一点，过点C作的切线，交的延长线于点D，连接 ，若，则 ________ ． 14. 如图，在正方形中，点E是的中点，连接交对角线于点F，连接 ．若，则 的长为__________． 15. 某工厂需要加工4种零部件，每个零部件需要先经过冲压工序，再经过组装工序．两道工序分别在两条生产线上完成，各零部件在两道工序上的所需时间（分钟）如下表： 零部件 甲 乙 丙 丁 冲压时间 8 3 7 5 组装时间 6 4 9 2 若按零部件顺序甲-乙-丙-丁依次进行冲压，则全部零部件完成加工至少需要_________分钟；若要使全部零部件完成加工的时间最短，则冲压工序应按_________的先后顺序加工零部件． 三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20题6分，第21题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 计算：． 17. 解不等式组： 18. 已知，求代数式的值． 19. 如图，在四边形中，，点E在上，，平分 ． （1）求证：四边形为菱形； （2）连接交于点．若， ，，求的长． 20. 在平面直角坐标系中，函数的图象由函数 的图象平移得到，且经过点． （1）求k、b的值； （2）当 时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出m的取值范围． 21. 小刚对诗仙李白的诗作《早发白帝城》中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的说法产生疑问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗?小刚经过查阅资料得知，白帝城是现今的重庆奉节，而江陵是现今的湖北荆州．假设李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度约为 ，从宜昌到荆州的速度约为 ．从奉节到荆州的水上距离约为 ．经过分析资料，小刚发现从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多 ．根据小刚的假设，回答下列问题： （1）奉节到宜昌的水上距离是多少？ （2）李白能在一日（ ）之内从白帝城到达江陵吗？说明理由． 22. 一项知识问答竞赛要求以团队方式参赛，每个团队20名选手．某校准备参加此项竞赛，前期组建了两个团队，经过一段时间的培训后，对两个团队进行了一次预赛，对成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．一队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：）： b．二队成绩如下： 68 69 70 70 71 73 77 78 80 81 82 82 82 82 83 83 83 86 91 94 c．一、二两队成绩的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 一队 79.6 77 P 二队 79.25 m q 根据以上信息，回答下列问题： （1）m的值为___________，p___________q（填“ ”“ ”或“ ”）； （2）若两队都各去掉一个最高分和一个最低分，则下列判断正确的是___________； A．一队成绩的方差增大，二队成绩的方差减小 B．两队成绩的方差都增大 C．一队成绩的方差减小，二队成绩的方差增大 D．两队成绩的方差都减小 （3）为了选出冲击个人冠军的种子选手，学校对这次成绩90分以上的甲、乙、丙三位同学又单独进行了5次测试，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．这5次测试的成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 甲 90 94 90 94 91 乙 91 92 92 92 93 丙 93 90 92 93 k 若丙的排序居中，则表中k（k为整数）的值为___________． 23. 如图，是的直径，点C，D在上，过点C作的平行线交直线于点E：． （1）求证：是的切线： （2）连接交于点F，若，，求线段 的长． 24. 某次物理实验中，探究弹簧所挂物体质量m（单位：）与弹簧伸长长度l（单位：）之间的关系．现取A，B两种型号的弹簧各一个进行实验，当弹簧所挂物体质量为m时，记录A型弹簧和B型弹簧的伸长长度和，数据如下： 所挂物体质量m（） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A型弹簧伸长长度 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5 25 B型弹簧伸长长度 0 1 2 3 4 5 6 8.13 12.28 18.45 26.64 通过分析数据发现，可以用函数刻画与m，与m之间的关系，回答下列问题： （1）在给出的平面直角坐标系中，已有的函数图象，请补全的函数图象； （2）与m的关系式为_________； （3）重新取A，B型弹簧各一个，再次进行实验．将质量为的重物挂在A型弹簧下，将质量为的重物挂在B型弹簧下，使得A型弹簧和B型弹簧的伸长长度相等．若，则_________（结果保留小数点后一位）． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线对称轴为，且经过点． （1）用含a的式子表示b，并求c的值； （2）已知抛物线，过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交抛物线于点N，点H为线段的中点（若M，N重合，取点H为M）． ①若，，求H点坐标； ②已知点P从点运动到的过程中，点H始终保持在x轴上方，求a的取值范围． 26. 如图，在中，，，点D在射线 上，将射线绕点D逆时针旋转 ，所得射线交直线于点E，点F为的中点，连接 ． （1）如图1，若 ，求证：． （2）如图2，连接，将线段绕点A逆时针旋转 得到线段，连接 ． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段 与 的数量关系，并证明． 27. 在平面直角坐标系中，的半径为2．对于点A，给出如下定义：若上存在点B使得线段的垂直平分线与相切于点C，则称点A是点C的“垂切点”，线段的长度a称为点A关于点C的垂切系数． （1）如图1，点，在，，中，点_________是点C的“垂切点”，垂切系数 _________． （2）点A在x轴上，点A是点C的“垂切点”，则点C的横坐标的取值范围为_________． （3）已知点，，若线段上存在点P，使得点P是上某点C的“垂切点”，且点P关于点C的垂切系数a满足，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $