浙江省强基联盟2026年3月高三联考数学试题

浙江强基联盟2026年3月高三联考 数学试题参考答案与评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A D B D B A 1.A由题知y= 1 x十乞，所以直线的斜率为分，故选A, 2.D 因为告aD 1+2i+=i.故选D. 2 3.B由题知同时参加物理数学的人数为18十15+15一45=3.故选B. 4.D因为mCa,m⊥3，由面面垂直的判定定理可得α⊥3.故选D. 1 5.C因为ana=tan(a十B)=1于an(&8)am1十1X 1 ,故选C 6.C因为一枚都没拦截成功的概率p=0.3×0.3×0.3=0.027,所以至少一枚拦截成功的概率为p=1一 0.027=0.973.故选C. 7B设正三棱柱底面△ABC的边长为a,所以△ABC内切圆的半径r二含a,因为正车B 棱柱存在内切球，所以正三棱柱的高h=2r=a.取BC中点D,连接AD,CD,易正 3 AD⊥平面BCCB,所以∠ACD为所求角.在△ADC中，AD= 2a,AC =2 3a,B 于是s如∠AC,D=,所以an∠AC,D-,故选B. C &A由题知以A.(红)为圆心且与x轴相切的圆方程为（红-x,)+(一子2）=名.因为⊙A,与 ⊙An+1外切，所以入 (xa+1-xn)2十 (一子)-子店十子，两边平方整理得(x-x)= 所以玉。工宁…周边除以x,得品一之号所以（仕}为等米数列：于是 1 1 201 =+202所以=2故选A x 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ACD BD BC 【高三数学卷参考答案第1页（共6页）】 9.ACD对于A选项，当x=子时，Q·b=0,故A选项正确：对于B选项，当ab时，=一12，故B选项不正 确：对于C选项，若x=5,b在a上的投影向量为|b·cos(a,b)a,于是b在a上的投影向量的模为 |b|·|cos(a,b)|,代入得√17，故C选项正确：对于D选项，若|a=b|,则√+x=√17，所以x= 士2√2，所以D选项正确.故选ACD. 10.BD对于A选项，cosx∈[-1,1]，sinx∈[-1,1]，于是f(x)的值域为[-sin1,sin1],g(x)的值域为 [cos1,1],故A选项不正确；对于B选项，f(一x)=sin(cos(-x))=sin(cosx)=f(x),所以f(x)为 偶函数，g(-x)=cos(sin(一x))=cos(-sinx)=cos(sinx)=g(x),所以g(x)为偶函数，故B选项 正确；对于C选项，由于g(x)的值域为[cos1,1],所以g(x)没有零点，令f(x)=0,得cosx=0,所以x -受十kπ，k∈乙.故C选项不正确：对于D选项，因为t=cosx在[0，乏]上单调递减，y=sint在[0,1门上 单调递增，由复合函数的单调性可知f(x)=sin(cosx)在[0，受]单调递减，因为t=sinx在[0，受]上单 调递增，y=cost在[0,1门上单调递减，由复合函数的单调性可知g(x)=cos(simx)在[0，受]单调递减， 故D选项正确.故选BD 1.C设f(x)=1og千(0<r<4),因为f(2-x)十f(2+x)=4,所以曲线在第一象限的图象关于点 (2,1)中心对称，根据题意先画出曲线，由图可知A错，B正确；对于C选项，由对称性可知，图中区域1与 区域2的面积相等，所以C正确； 对于D选项，如下图三块区域绕x轴旋转所得儿何体的体积分别为V1,V2,V3,由于V1>V2,所以V,十V3 <V,+W=1,故D错误故选C 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.a=-n十3（答案不唯-a,=2X(宁）等等) 13.a=1(如果写a=士1得3分) 因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)=0,于是a=士1，当a=一1，代入不合题意舍去.a=1时代 入可得f(x)=一x符合题意，所以a=1. 【高三数学卷参考答案第2页（共6页）】 14.5解法一：cosA=+c-a=sinB+simC-sinA_2-2sin'A cos2A 2bc 2sin Bsin C 2 sin Bsin C=sin Bsin C,所以cosA=0,或 sin BsinC=cosA=-cos(B+C)→cos Beos C=0,所以△ABC为直角三角形，当A=交时，cosA十cosB +2cosC=cosB+2cosC=cos(-C)+2cosC=sinC+2cosC=5sin(C+g),其中tanp=2,所以当C 十9=受，0sA十c0osB十20sC的最大值为5：当B=受时，同理可得c0sA十c0sB十2casC的最大值为 V5;当C=2时，cosA+cosB+2cosC=cosA+cosB=/2sin(A+牙)≤2.综上cosA+cosB+2cosC 的最大值为√5. 解法二：先降次再用和差化积，由题知一cs24+一c9s25+1一c9s2C=2,所以c0s2A十c0s2B+ 2 2 2 cos 2C++1=0.2cos (A++B)cos (A-B)+2 cos2C=0,2cos(A+B)[cos (A-B)+cos (A+B)] =0.所以cos Acos Bcos C=0,于是为△ABC直角三角形.下同解法一· 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.解：(1)证明：因为△ABC为等腰三角形，E为AC中点，所以BE⊥AC,……2分 又因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BE,………4分 所以BE⊥平面PAC,所以BE⊥PC.…………6分 (2)方法一：如图过E作EH⊥PC于H,连接BH, 由(1)知∠BHE就是平面PBC与平面PAC的夹角，… 10分 在直角三角形BEH中，BE=1.EH-号，BH-。 得cOs∠BHE- 3 所以，平面PBC与平面PAC夹角的余弦值为 13分 方法二：以A为原点建立如图所示的坐标系， 则A(0,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2).……………… 8分 易得平面PAC的一个法向量为n1=(1,0,0),设平面PBC的一个法向量为n2=(x,y,z), f2·PC=0, 由题意子 可得平面PBC的一个法向量为n2=(1,1,1),……10分 (n2·PB=0, 【高三数学卷参考答案第3页（共6页）】 所以cos∠BHE=cos(m,,)1=m·n:=3 nn23 所以，平面PBC与平面PAC夹角的余弦值为 ……………………………………………… 3 13分 1 16,解：(1)由题意得：x=5(40+50十60+70十80)=60，y=5(18十17+13+7+5)=12， x)2=1000,(x-x)（y-y)=-360, 2分 =1 6= -360 =-0.36,a=12-(-0.36)×60=33.6, 1000 …y关于x的经验回归方程为y=一0.36x十33.6.…………… 6分 (2)设门票净收入为Tm,则Tm=x·ym一n,由(1)x=10时，y=-0.36×10十33.6=30， 故工=10×30×(2-)-n=60-30 ” n,……… 10分 Tm≥Tn+i, 5m+1≥1200， 若要使T。最大，则 代入可得 又因为n∈N*,故n=4,…13分 Tm≥Tm-1, 54≤1200， 此时日游客人数为y.=30000X(2-)=59952人， 所以当门票定价为10元时，日广告费用为4千元时门票净收入最大.……………15分 1,解：0)设射线0P与x正半轴的夹角为9，则cos9=子，sin0=平， 4 ……………………………2分 由三角函数定义可知m=cos(0十a),n=sin(0十a),…4分 因为a=平， 于是m+n=cos(0叶于)十sin(0+平)=Esin(9+平+牙）=/Ecos0, …6分 所以m十=2 4 ………8分 (2)由题知m2-n2十n=1-n2-n2十n=-2n2十n十1， 10分 因为=n(0+。)<[子孕]，所以n的取值范围为[-1，而2 ………13分 因为y=-2r十n+1在n(一1，号)上单润递增ne(仔，8十2）上单调递减，…14分 所以m-+n的取值范围为[一2，号]， 15分 【高三数学卷参考答案第4页（共6页）】 18.解：(1)因为双曲线的右焦点为(5,0)， …………2分 由对称性不妨设M5,号)，N5,-号)，所以MN=1.… 4分 (2)设P(x,y)及M(xo,yo),N(x0,-ye),又A(-2,0),A2(2,0), 所以，直线AM的方程为y=千红+2》，直线A,N的方程为y一 心（x一2)，………6分 x-4)又因为点M(),N(,一0)在双曲线上，所以=(4-) 两式相乘有y=一 代人化简得子+少=1，所以曲线C的方程为号十y=1(x≠士2≠0).……9分 y=kx-√+1， (3)联立 得(4k+1)x2-8k√+1x+4h2=0, x2+4y2=4, 8k√R2+I 4k2 △=48k,x1十x2 4十xx24+1一x%, 11分 因为A()在曲线C上，所以=1-子xi, Ar=V-)+=√-)+1-子=√i-2+4 因为2一>0，所以A=2一气：（直接写出焦半径公式不扣分） 设CD中点为M,要证OC=|OD,只需证OM⊥CD,即证koM·kcD=-1,…13分 √+(x-x)=2- 2x1, 又由|AC=|AF|,|BD=|BF|以及(2)得 V+F(x2-x,)=2- 22, 所以√+(+x)-小+尺(x1十x)=-分（红-2， √1十F(x十x)=√十8kVE十更 6k=8k(k十1)-6k=2k, 1+4k2 1十4k 1+4k 2k 即x3十x4= 15分 √2+1 m兰-五红二五-要=-1=名， x3十x4 x3十x x3十x4 所以k0M·kD=-1,所以|OC|=|OD.… 17分 1,解：1设A()=e-言-1，x∈(-2,0)则(x)=C 1 3: 2分 所以h(x)在x∈（一2，-ln3)上单调递减，在x∈(-ln3,0)上单调递增； 因为h(0)=0,h(-2)=e2-3<0, 1 所以x∈（一2,0)时h(x)<0恒成立，即f(x)≤子x十L,5分 【高三数学卷参考答案第5页（共6页）】 (2)①由儿8u)门=e得e品=e,两边取对数得云=1+aln 令=n期∈（一2.0尝=1+ah,从而有a=会一名， 7分 设g0)-号-e(-2,0.则g)=2e士>0ue(-2,0: t 所以9)=号-在(-2.0)上单调递增：因为g(一2)=衣+分一096)→十 1 故实数a的取值范阳（长，+）】 10分 方法一：®要证。<n,只需证<-： 因为a=,6∈(-2.0)，要证日<，只需证(-2,0)时， t场 <一t, 只需证一<0，上式显然成立；… 12分 要证n1<1+年西，只需证-。<1+年晒 3a 因为a号-所以a6+o=c0,由（①）知t∈2,0)时，e0<经十1，……152 3 15分 所以a6+。<分6+1，即3a+2。一3×0，解得6>1亚，所以-，<1+亚 3a 3a 于是上<nL<+中远成立. ……………小………+0………………+…0…0……… 17分 3a 方法二：@要证<n大，只需证，，<一nx, Cx-Inx 因为x∈(e2,1),只需证n>-1,只需证lnx>一x十lnx,上式显然，… x-In x 12分 a=-hx,要证1n11+中o,只需证-3aln,<1十V+9a, In2z 3a 因为a=工，故只需证-3h<1十√叶9a,只需证-3h工-1<小+9a, In'x In x In x 两边平方，消去a,只需证9()》'十6()十1K1十9女…】 In2x 3分 注意到<0，所以只需证9（女）十6>品只需证红一9咖r十6m<9,…15分 只需证3(x-1)-lnx<0, 构造西数p(x)=3(x一1)-血，xE(e,1),则g(x)=3士易求g(x)在(e,1)的最大值小于0， 故3(x-1)-lnx<0成立。…………17分 【高三数学卷参考答案第6页（共6页）】浙江强基联盟2026年3月高三联考 数学 试题 浙江强基联盟研究院 命制 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 知 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 如 1.已知直线的方程为x一2y+1=0,则该直线的斜率为 A司 B司 C.2 D.-2 2.已知i为虚数单位(i2=一1)，下列各式的运算结果中，虚部为1的是 A.(1+i)+(1-i) B.(1+i)-(1-i) C.(1+i)(1-i) D胄 3.某班共有45位同学，在学校举行的数学、物理学科竞赛中，有18位同学参加数学竞赛，有15 位同学参加物理竞赛，两科竞赛均不参加的有15位同学，则同时参加数学和物理竞赛的同 郡 学有 A.2位 B.3位 C.4位 D.5位 4.已知m,n是不同的直线，a,3是不同的平面，mCa,nC3,下列条件是“a⊥3”的充分条件的是 A.m∥n B.m⊥n C.m∥B D.m⊥3 5.若tan(a十)=1，tanB= 号，则1am&的值为 A B.2 c D.-2 6.在某地区的一个电视节目中某“专家”说1枚防空导弹的拦截率为70%，连发3枚这种防空 导弹就有210%的拦截率.你认为发射3枚拦截率为70%导弹，至少1枚拦截成功的概率为 A.210% B.100% C.97.3% D.70% 7.已知正三棱柱ABC一A1BC1存在内切球，则直线AC1与平面BCC1B1所成角的正切值为 A号 B.37 7 c D.2 8.在平面直角坐标系中，曲线y=子2上点列A.(x)(n∈N)满是：以A.(xy.)为圆心的 圆与x轴相切，且x1>x2>…>x2026= 1013 若⊙Am与⊙A+1外切，则x1为 A.2 B.1 C.2025 2026 D. 2025 2026 【高三数学第1页（共4页）】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知向量a=(一1,4)，b=(3,x),下列结论正确的是 A.若x=子则ab B.若a∥b,则x=12 C.若x=5,则b在a上投影向量的模为17D.若a=b|,则x=士2√2 10.已知函数f(x)=sin(cosx),g(x)=cos(sinx),则下列说法正确的是 A.f(x)与g(x)的值域相同 B.f(x)与g(x)的奇偶性相同 C.f(x)与g(x)有相同的零点 D.f(x)与g(x)在[0，受]上的单调性相同 1.已知曲线Ct曲线C:实+义-1(x<0)和曲线C:y=1og=()十10≤x≤4)组 合而成，则下列结论正确的是 A.曲线C关于y轴对称 B.曲线C上两点之间的距离的最大值为8 C.曲线C所围成的图形的面积等于16 D.曲线C绕x轴旋转一周所形成几何体的体积为32红 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知数列{am}满足：a1=2,a2=1,am+1<am.则数列{an}的通项公式可以是 ▲.（写 出一个符合要求的答案即可) (a-2)x+a2-1,x≥0， 13.已知f(x)= 为奇函数，则a=▲ -x,x<0 14.已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,且sin2A+sinB+sinC=2,则cosA+cosB+ 2cosC的最大值为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 如图，在三棱锥P一ABC中，PA⊥平面ABC,PA=AC=2,AB=BC= √2，E为AC的中点. (1)证明：BE⊥PC; (2)求平面PBC与平面PAC夹角的余弦值. B 【高三数学第2页（共4页）】 16.(15分) 2025年11月，全国多地中小学推行“秋假”政策，直接带动旅游市场热度.某景点为科学定 价、吸引更多中小学生游客，选取拟定价格开展门票定价试运行，相关数据如下表所示： 门票价格x(元/人) 40 50 60 70 80 日游客人数y(千人) 18 17 13 7 5 (I)已知y与x具有线性相关关系，求出y关于x的经验回归方程； (2)为了扩大景区知名度与客流吸引力，景区将门票定价为10（元/人），并计划做广告宣传. 由前期调查可知，当日均广告费为n(∈N)千元时的日游客人数为，=y(2-)千 人，其中y是当门票为10（元/人）时，根据(1)中的经验回归方程所预测的日游客人数. 求景区的日均广告费用为多少千元时才能使日门票净收入最大.（日门票净收入=票价 ×日游客人数一日均广告费) 参考公式：经验回归方程名= 17.(15分) 沿⊙O:x2+y2=1的圆周按逆时针方向旋转角a后到点Q(m,n). (1)当a=牙时，求m十n的值： (2)若a∈[至，]求m2-+n的取值范围。 【高三数学第3页（共4页）】 18.(17分)》 已知MN是双曲线-y=1上垂直于实轴的动弦，A,A:为双曲线的左、右顶点，直线 A1M与A,N相交于点P,点P形成的曲线为C. (1)若MN过双曲线的右焦点，求|MN|; (2)求曲线C的方程； (3)已知动直线1：y=k.x一√1+k(k>0)与曲线C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，C(x, y),D(x4,y4)为直线l上的另两点(y3>y1>y2>y4),点F的坐标为(W3,0),且|AC= AF,|BD=BF,O为坐标原点，证明：OC=|OD. 19.(17分) 已知函数f(x)=e心，g()-(e为自然对数的底数，e≈2.71828) ()证明：当x∈(-2,0)时，f(x)<号x+1: (2)关于x的方程f[g(x)]=exa的一个实数根为x=xo,其中xo∈(e2,1), ①求实数a的取值范围； ②证明：1<1n1<1++9a 3a 【高三数学第4页（共4页）】