7.1.2 两直线垂直 导学案 2025-2026学年人教版数学七年级下册

第七章 相交线与平行线 7.1.2 两条直线垂直 ( 两条直线垂直 导学案 学科：初中数学 年级：七年级下册 课时：1课时 编制人：XXX 审核人：XXX 【学习目标】 1. 知识与技能：理解垂直、垂线、垂足、垂线段的核心概念，掌握垂直的符号表示方法；会用三角尺、量角器过直线上或直线外一点画已知直线的垂线；熟练掌握“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的基本事实，理解“垂线段最短”的性质及点到直线的距离的含义，能准确度量点到直线的距离。 2. 过程与方法：通过观察生活实例、动手操作、合作探究，经历从相交线到垂直的特殊化过程，体会“从一般到特殊”的数学思想；培养几何直观能力、动手操作能力和逻辑推理能力，能运用所学知识解决简单的实际问题。 3. 情感态度与价值观：感受垂直在生活中的广泛应用，体会数学与生活的密切联系；激发学习几何的兴趣，培养严谨的数学思维和合作探究的意识，增强应用数学的意识。 【学习重难点】 重点：垂直概念的双重理解（定义及逆用）、垂线的画法、垂线的两个基本性质（唯一性与垂线段最短）。 难点：“点到直线的距离”概念的理解与应用；运用垂直的性质进行简单的推理与计算。 【学前准备】 1. 预习课本相关内容，标记出不懂的知识点； 2. 准备工具：三角尺（含直角三角板）、量角器、铅笔、直尺、练习本； 3. 观察生活中与垂直相关的图形（如墙角、旗杆与地面、十字路口的道路、课桌的邻边等），思考这些图形的共同特点。 【学习过程】 一、情境引入，温故知新（10分钟） 1. 温故回顾：我们已经学习过两条直线相交的情况，两条直线相交时，所成的角有邻补角和对顶角，其中邻补角互补，对顶角相等。请思考：如果两条直线相交所成的一个角是35°，那么其他三个角的度数分别是多少？（学生自主计算，举手回答） 2. 情境导入：展示生活中的垂直实例（PPT呈现墙角、旗杆与地面、灌溉水渠的横截面等），引导学生观察：这些图形中两条直线的相交有什么共同特点？（学生分组讨论，发言交流） 教师引导：这些图形中两条直线相交所成的角都是直角，这种特殊的相交关系，就是我们今天要重点学习的——两条直线垂直。本节课我们将从定义、画法、性质三个方面，全面认识两条直线垂直。 二、探究新知，自主学习（25分钟） （一）垂直的定义与表示方法 1. 自主探究：结合预习内容和生活实例，思考：什么是两条直线互相垂直？ 2. 定义总结：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（90°）时，这两条直线互相垂直。其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。（教师板书定义，强调“有一个角是直角”是垂直的核心条件） 3. 符号表示：直线AB与直线CD垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB垂直于CD”，垂足为点O，通常在垂足处标注垂直符号“┐”。若直线l与直线m垂直，也可记作l⊥m。 4. 定义逆用：思考：如果两条直线互相垂直，那么它们相交所成的四个角有什么特点？（学生自主推理，得出结论：若AB⊥CD，垂足为O，则∠AOC=∠AOD=∠BOC=∠BOD=90°） 辨析易错点：两条线段或射线垂直，是指它们所在的直线垂直，而非线段或射线本身垂直。例如，线段AB与线段CD垂直，实际上是直线AB与直线CD垂直。 （二）过一点画已知直线的垂线 1. 问题探究：请同学们动手尝试，用三角尺或量角器完成以下两个操作： （1）经过直线上一点A，画已知直线l的垂线，能画出几条？ （2）经过直线外一点B，画已知直线l的垂线，能画出几条？ 2. 画法总结：教师示范用三角尺画垂线的步骤，概括为“一落、二移、三画”： 一落：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线完全重合； 二移：沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点（直线上或直线外的点）； 三画：沿经过已知点的直角边画一条直线，这条直线就是已知直线的垂线，在垂足处标注垂直符号。 3. 基本事实：结合操作结果，师生共同总结：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。（强调“同一平面内”这一前提条件，若在三维空间中，过一点可以画无数条直线与已知直线垂直；“有且只有”的含义：“有”表示存在性，“只有”表示唯一性） （三）垂线段的性质与点到直线的距离 1. 实际问题引入：在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠才能使渠道最短？（学生分组讨论，尝试画图，提出猜想） 2. 动手探究：在练习本上画一条直线l，在直线l外取一点P，过点P画PO⊥l，垂足为O，再在直线l上取不同的点A、B、C，连接PA、PB、PC，用刻度尺测量PO、PA、PB、PC的长度，比较它们的大小。 3. 性质总结：结合测量结果，得出垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。 4. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。（强调：距离是一个数量，不是图形，是垂线段的长度，而非垂线段本身） 实例应用：运动会上，测量运动员的跳远成绩，就是测量运动员落脚点到起跳线的垂线段的长度，这就是点到直线距离的实际应用。 三、例题解析，巩固提升（15分钟） 例1：如图，AB⊥CD，垂足为O，∠AOC=90°，求∠AOD、∠BOC、∠BOD的度数。 解析：根据垂直的定义，若两条直线互相垂直，则它们相交所成的四个角都是直角。因为AB⊥CD，垂足为O，所以∠AOC=∠AOD=∠BOC=∠BOD=90°。 变式练习：如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，若∠EOD=35°，求∠AOC的度数。 例2：过点P分别画出射线AB和线段CD的垂线。 解析：画射线或线段的垂线，本质是画它们所在直线的垂线。画射线AB的垂线时，若点P在射线AB的延长线上，垂线需画在射线所在直线上；画线段CD的垂线时，垂足可在线段CD上，也可在线段CD的延长线上，遵循“一落、二移、三画”的步骤即可。 例3：如图，在三角形ABC中，∠C=90°，（1）分别指出点A到直线CB、点B到直线AC的距离是哪些线段的长度？（2）三条边AB、AC、CB中，哪条边最长？为什么？ 解析：（1）根据点到直线的距离的定义，点A到直线CB的距离是线段AC的长度，点B到直线AC的距离是线段BC的长度；（2）AB最长，因为在三角形ABC中，∠C=90°，AC⊥BC，根据垂线段最短的性质，AC＜AB，BC＜AB，所以AB最长。 四、课堂练习，夯实基础（10分钟） 1. 判断题（对的打“√”，错的打“×”）： （1）两条直线相交，若有一个角是直角，则这两条直线互相垂直。（ ） （2）过直线上一点，有两条直线与已知直线垂直。（ ） （3）垂线段的长度就是点到直线的距离。（ ） （4）两条线段垂直，就是指这两条线段本身垂直。（ ） 2. 选择题：下列作图能表示点A到直线l的距离的是（ ） A. 连接点A与直线l上一点，线段的长度 B. 过点A画直线l的垂线，垂线段的长度 C. 过点A画直线l的平行线 D. 连接点A与直线l的中点，线段的长度 3. 操作题：用三角尺过点P画直线AB和CD的垂线，并量出点P到直线AB的距离。 4. 解答题：直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，∠AOC=30°，求∠EOD的度数。 （学生独立完成，小组内核对答案，教师针对易错点进行讲解） 五、课堂小结，梳理知识（5分钟） 师生共同梳理本节课的核心知识点，形成知识框架： 1. 垂直的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，这两条直线互相垂直； 2. 表示方法：AB⊥CD，垂足为O； 3. 垂线画法：一落、二移、三画； 4. 基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 5. 垂线段性质：垂线段最短； 6. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 引导学生反思：本节课你学会了什么？还有哪些不懂的地方？小组内互相交流疑问，教师集中解答。 六、布置作业，拓展延伸（5分钟） 1. 基础作业：课本对应习题，完成练习册中基础题型； 2. 提升作业：（1）已知直线l，画一条直线m，使m⊥l，且经过直线l外一点P；（2）如图，要从水渠引水到村庄A，在水渠的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由； 3. 拓展作业：观察生活中更多垂直的实例，尝试用本节课所学知识解释其原理，下节课分享交流。 【板书设计】 两条直线垂直 1. 定义：有一个角是直角的两条直线互相垂直 垂线、垂足 符号：AB⊥CD 2. 画法：一落、二移、三画 3. 基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4. 垂线段性质：垂线段最短 5. 点到直线的距离：垂线段的长度 【教学反思】（教师填写） 1. 学生对垂直定义的逆用掌握不够熟练，需加强针对性练习； 2. 部分学生画垂线时，步骤不规范，尤其是过直线外一点画垂线，容易出现三角尺移动偏差； 3. 对“点到直线的距离”概念的理解不够透彻，需结合更多实例强化。 )【学习目标】 1. 掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，掌握垂线的性质，会过一点画一条直线的垂线. 2. 通过探索垂线的性质，能解决相关的垂线问题，并能够进行简单的说理. 3. 体会垂线在实际问题中的应用，感受数学与生活的密切联系. 【学习重点】垂线的概念、画法和垂线的两个性质. 【学习难点】垂线的画法，理解点到直线的距离. 【自主学习】 如图 ①，当直线 AB 绕点 O 逆时针旋转∠AOC = 90° 时(如图②)，你能求出其他角的度数吗? 此图形有什么特点? 此时两直线的位置有什么关系？ 【合作探究】 探究点一 垂直、垂线、垂足的概念 1.取两根木条 a、b，将它们钉在一起，固定木条 a ，转动木条 b，a、b 所成的夹角 α . 问题1：在木条 b 的转动过程中，什么量也随之发生改变? 问题 2：木条 b 与 a 成 90° 的位置有几个?此时，木条 b 与 a 所在的直线有什么位置关系? 2.知识要点： ①.两条直线 a，b 相交所成的四个角中，有一个角是直角时，叫作这两条直线______________，记作__________ . ②.两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的_________，它们的交点叫做___________. 3.垂直的判定与性质 ①判定：如图，若直线 AB 与 CD 相交于点 O， ∠AOD = 90°，则 AB⊥CD，垂足为 O. 符号语言：因为∠AOD = 90°（已知）， 所以 AB⊥CD（垂直的定义）. ②性质：若直线 AB⊥CD ，垂足为 O，则∠AOD = 90°. 符号语言：因为 AB⊥CD（已知）， 所以∠AOD = 90°（垂直的定义）. (∠AOC = ∠BOC = ∠BOD = 90°) 4.思考与反思. ① 两条直线垂直和相交是什么关系? ② 能否认为在同一平面内，两条直线的位置关系有 3 种：相交、平行、垂直? ③ 如何判定两条射线垂直 ? 两条线段呢? 5.讨论：和同学讨论，试试举出生活中有关垂直的例子. 【典型例题】 例1 (1)如图1，直线 m、n 交于点 O，∠1= 90°，则 m______n； (2) 若直线 AB、CD 相交于点 O，且 AB⊥CD，则∠BOD =______°； (3) 如图2，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA 的度数之比为 1∶5，那么∠COA＝_____°，∠BOC 的补角为_________ °. 【练一练】1.如图，直线 BC 与 MN 相交于点 O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠NOE＝20°，求∠AOM 和∠NOC 的度数. 探究点二 垂线的画法及基本事实 画一画：用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线. (1) 经过直线 l 上的一点 A 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条? (2) 过直线 l 外的一点 B 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条? 基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 画图流程：1.放 2.靠 3.移 4.画 例2 过点 P 画出射线 AB 或线段 AB 的垂线． 探究点三 垂线的性质及应用 在灌溉时，要把河中的水引到菜地 P 处，如何挖掘能使渠道最短？ 讨论：(1) 你能将这个实际问题转化成数学问题吗？ (2) 在直线上有无数个点，试着取几个点与点 P 相连，比较一下线段的长短．你有什么发现？ (3) 你能猜想一下最短的位置会在哪儿？它唯一吗？为什么？ (4) 你能用一句话总结出观察得出的结论吗？ 垂线性质：____________________________________________; 简单说成：______________________． 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 线段 PO 的长度叫作点到直线的距离. (5) 如果图中的比例尺为 1:100 000，水渠大约要挖多长?(比例尺=图上距离÷实际距离) (6) 与你的同桌讨论，试着列举生活中类似的实例. 【练一练】 2. 如图所示，已知 A，B，C，D 是某公园内的四个凉亭，图中的连线是甬道，且∠D = 90°，∠BAC = 90°，若 AC = 100 m，则下列判断中不正确的是( ) A. 甬道 AD 可能为 100 m B. 甬道 CD 可能为 60 m C. 甬道 AD 可能为 80 m D. 甬道 BC 可能为 140 m 课堂检测 1. 在数学课上，同学们在练习过点 B 作线段 AC 所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，其中正确的是( ) A B C D 2.如图，从位置 P 到直线公路 MN 共有四条小道，若用相同的速度行走，能最快到达公路 MN 的小道是( ) A. PA B. PB C. PC D. PD 3. 如图，已知 AB 上 BC，垂足为 B，AB = 3，点 P 是射线 BC 上的动点，则线段 AP 的长不可能是( ) A. 2.5 B. 3 C.4 D. 5 4.【教材 P8 习题 T3 变式】如图，已知点 O 在直线AB 上，CO⊥DO 于点 O. 若∠1 = 150°，则∠3 的度数为( ) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 5. 如图，点 A 到 BC 的距离是线段 _________ 的长，BC的长是点______ 到直线 __________的距离. 第2题图 第3题图 第4题图 6. 如图，在某村村头 P 处有一条河流，为方便出行，村民想在两岸搭起一座简易木桥，则在 ______________ 处搭建最短. 第5题图 第6题图 7. 如图，O 是直线 AB 上的一点，OC⊥OD，垂足为 O . (1)若∠BOD = 32°，求∠AOC 的度数； (2)若∠AOC :∠BOD = 2 : 1，求∠BOD 的度数. 参考答案 【合作探究】 探究点一、垂直、垂线、垂足的概念 问题1 a 与 b 所成的角也随之发生改变. 问题 2 唯一一个，a 与 b 垂直. 知识要点 ① 互相垂直 a⊥b. ② 垂线 垂足. 思考与反思 ① 垂直属于相交的特殊情况. 所有垂直的两条直线一定相交，但相交的两条直线不一定垂直. ② 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行. ③ 如果两条射线所在的直线相交，并且所成的角为90°，那么这两条射线垂直.将线段延长，使其成为直线，如果这两条直线相交且所成的角为90°，那么这两条线段垂直. 【典型例题】 例1 （1）⊥ (2) 90 (3) 72 162 【练一练】1. 解：因为∠BOE＝∠NOE， 所以∠BON＝2∠NOE＝40°. 所以∠NOC＝180°－∠BON＝180°－40°＝140°， ∠MOC＝∠BON＝40°. 因为 AO⊥BC，所以∠AOC＝90°. 所以∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°. 所以∠AOM 和∠NOC 的度数分别为 50° 和 140°. 探究点二、垂线的画法及基本事实 画一画（1）1条 （2）一条 例2 探究点三、垂线的性质及应用 讨论 （1）在直线 l 上是否存在这样一点，它与点 P 的连线在所有连接直线 l 与点 P 的线段中长度最短？ （2）运用直尺测量发现，线段PO 的长度最短. （3）这样的线段 PO 只有一条. （4）垂线性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 简单说成：垂线段最短． （5）图中 4.7 cm，实际 4700 m. （6）合理即可 【练一练】1 A 课堂检测 1.A 2.B 3.A 4.D 5. AC B AC 6. B 7.解：(1) 因为 OC⊥OD，所以∠COD = 90°. 因为∠AOB 是平角，所以 ∠AOB = 180°. 因为∠BOD = 32°， 所以∠AOC = 180° - ∠BOD - ∠COD = 58°. (2)因为∠COD = 90°，∠AOB =180°， 所以∠AOC +∠BOD = 180° - ∠COD = 90°. 又因为∠AOC : ∠BOD = 2 : 1，则∠AOC = 2∠BOD. 所以3∠BOD = 90°. 所以∠BOD = 30°. 学科网（北京）股份有限公司 $