7.1.2 两直线垂直 导学案 2025-2026学年人教版数学七年级下册

第七章 相交线与平行线

7.1.2 两条直线垂直

【学习目标】

1. 掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，掌握垂线的性质，会过一点画一条直线的垂线.

2. 通过探索垂线的性质，能解决相关的垂线问题，并能够进行简单的说理.

3. 体会垂线在实际问题中的应用，感受数学与生活的密切联系.

【学习重点】垂线的概念、画法和垂线的两个性质.

【学习难点】垂线的画法，理解点到直线的距离.

【自主学习】

如图 ①，当直线 AB 绕点 O 逆时针旋转∠AOC = 90° 时(如图②)，你能求出其他角的度数吗? 此图形有什么特点? 此时两直线的位置有什么关系？

 

 

 

 

 

 

 

 

【合作探究】

探究点一 垂直、垂线、垂足的概念

1.取两根木条 a、b，将它们钉在一起，固定木条 a ，转动木条 b，a、b 所成的夹角 α .

 

 

 

 

问题1：在木条 b 的转动过程中，什么量也随之发生改变?

 

 

问题 2：木条 b 与 a 成 90° 的位置有几个?此时，木条 b 与 a 所在的直线有什么位置关系?

 

2.知识要点：

①.两条直线 a，b 相交所成的四个角中，有一个角是直角时，叫作这两条直线______________，记作__________ .

②.两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的_________，它们的交点叫做___________.

3.垂直的判定与性质

①判定：如图，若直线 AB 与 CD 相交于点 O，

∠AOD = 90°，则 AB⊥CD，垂足为 O.

符号语言：因为∠AOD = 90°（已知），

所以 AB⊥CD（垂直的定义）.

②性质：若直线 AB⊥CD ，垂足为 O，则∠AOD = 90°.

符号语言：因为 AB⊥CD（已知），

所以∠AOD = 90°（垂直的定义）.

(∠AOC = ∠BOC = ∠BOD = 90°)

4.思考与反思.

① 两条直线垂直和相交是什么关系?

 

② 能否认为在同一平面内，两条直线的位置关系有 3 种：相交、平行、垂直?

 

③ 如何判定两条射线垂直 ? 两条线段呢?

 

5.讨论：和同学讨论，试试举出生活中有关垂直的例子.

 

【典型例题】

例1 (1)如图1，直线 m、n 交于点 O，∠1= 90°，则 m______n；

(2) 若直线 AB、CD 相交于点 O，且 AB⊥CD，则∠BOD =______°；

(3) 如图2，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA 的度数之比为 1∶5，那么∠COA＝_____°，∠BOC 的补角为_________ °.

 

 

 

 

 

 

 

【练一练】1.如图，直线 BC 与 MN 相交于点 O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，

若∠NOE＝20°，求∠AOM 和∠NOC 的度数.

 

 

 

 

 

 

探究点二 垂线的画法及基本事实

画一画：用三角尺或量角器画已知直线 l 的垂线.

(1) 经过直线 l 上的一点 A 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条?

(2) 过直线 l 外的一点 B 画 l 的垂线，这样的垂线能画几条?

 

 

 

 

 

基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

画图流程：1.放 2.靠 3.移 4.画

 

例2 过点 P 画出射线 AB 或线段 AB 的垂线．

 

 

 

 

 

 

 

探究点三 垂线的性质及应用

在灌溉时，要把河中的水引到菜地 P 处，如何挖掘能使渠道最短？

 

 

 

 

 

 

讨论：(1) 你能将这个实际问题转化成数学问题吗？