专题07 勾股定理的逆定理与几何判定（压轴题专项训练）数学新教材沪科版八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07勾股定理的逆定理与几何判定 目录 典例详解 类型一、利用勾股定理的逆定理判定直角三角形 类型二、勾股数规律探究与应用 类型三、勾股定理及其逆定理的实际应用 压轴专练 典例详解 类型一、利用勾股定理的逆定理判定直角三角形 1.勾股定理的逆定理内容 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角是直 角。 2.判定步骤 ①确定三角形三边的长度（可能是直接给出，也可能是通过计算得到）； ②找出最长边，记为c最长边所对角为最大角，也是直角可能所在位置)： ③计算两条较短边的平方和a2+b2: ④比较与最长边的平方2是否相等： ⑤若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。 【重要性质】 ①逆定理的使用前提是已知三边长度，无需知道任何角度： ②必须先确定最长边，因为它对应的是直角（如果存在）： ③计算平方和时要细心，避免计算错误： ④逆定理常用于判断三角形形状、验证垂直关系、解决实际问题（如测量中判断直角)： ⑤注意与勾股定理的区别：勾股定理用于已知直角求边长，逆定理用于已知边长判直角。 例1，(25-26八年级上广东梅州期末)如图，在正方形网格中，ABC的每一个顶点都在格点上，AB=5, 点D是AB边上的动点（点D不与点A,B重合），将线段AD沿直线AC翻折后得到对应线段AD,将线段 BD沿直线BC翻折后得到对应线段BD2,连接D,D2,则四边形DABD,的面积的最小值是· 1/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 变式1-1.(25-26八年级上江西南昌期末)a,b,c为直角三角形的三边，且c为斜边，h为斜边上的高，有 下列说法正确结论的个数是() ①2，b2,2能组成三角形； ②√a,√b,√C能组成三角形： ③c+h,a+b,h能组成直角三角形： ④，，及能组成直角三角形。 a2’b2h2 A.1 B.2 C.3 D.4 变式1-2.(25-26八年级下全国课后作业)若ABC的三边长a,b,c满足(b-c)2+(c2+b2-a2)=0, 则ABC是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 变式1-3.(2026八年级上山东青岛·专题练习)如图是由16个边长为1的小正方形拼成的网格，每个小正 方形的顶点叫格点，请在下列三个网格中，以格点为顶点分别按下列要求，将图形画在对应网格中，并注 明各边的长度. 图1 图2 (1)使三边的长度都是有理数的直角三角形 (②)使三边的长度都是无理数的直角三角形. 会类型二、勾股数规律探究与应用 1.常见勾股数 ①基本勾股数：(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(8,15,17)、(9,40,41)等： 2/10 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②派生勾股数：基本勾股数的整数倍，如(6,8,10)、(9,12,15)等。 2.勾股数的生成规律 ①当m>n为正整数时，a=m2-n2,b=2m1,c=m2+n2构成一组勾股数： ②当n为大于1的整数时，n2-1,2n,构成一组勾股数n2+1。 例2.(25-26八年级上江苏泰州期中)已知：a=n2+1,b=2n,c=n2-1. (1)当n=299时，a+b的值等于·（结果用科学记数法表示） (2)当n=4时，以a,b,c的值为三边长的三角形面积是·（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数.小明发现：当取大于1的 整数时，α，b,c为勾股数.你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由， 变式21.(25-26八年级上·湖南衡阳·期末)勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”， 观察下列勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25：.·这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1， 柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6,8,10：8,15,17；…若此类勾股数的勾为2n(n为 正整数)，则股是 (结果用含n的式子表示) 变式2-2.(24-25八年级下·安徽六安·月考)学习勾股定理后知道：直角三角形的三边长是正整数时称之为 “勾股数”.小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25，，他 发现这些勾股数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成. (1)小明根据他的发现写出了这样一组数：9,40,41，这是一组勾股数吗？并说明理由； (2)为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明猜想这样的勾股数可以为2n+1,22+2n,2n2+2n+1(n 为正整数)，请帮小明证明他的猜想的正确性， 左类型三、勾股定理及其逆定理的实际应用 1.常见应用场景 ①方位与距离问题：确定船只航行方向、判断是否进入特定区域等； ②测量与检验问题：检验墙角是否为直角、判断零件是否符合要求： ③工程与建筑问题：确定垂直方向、测量不可直接到达的两点间距离。 2.解题步骤 ①理解题意，画出草图，标注己知数据； ②将实际问题抽象为几何图形（通常构造直角三角形； ③确定已知条件与所求量； ④根据情况选择勾股定理（求边长）或逆定理（判直角）： ⑤列式求解，检验解的合理性； ⑥将数学结果还原为实际问题答案。 例3.（25-26八年级上四川内江期末)在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定 滑轮A,一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上.滑块B与物体C均放置在水平地面的 3/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降.实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始 状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离AC=8dm,BC=6dm(定滑轮、滑块和物体的大小忽略 不计) 丝 ⊙A ⑥A B C B 。。=e=。。= whnb 图1 9dm 图2 ()求绳子的总长度： (2)如图2，若滑块B向左滑动了9dm,求此时物体C升高了多少？ 变式3-1.(25-26九年级上·海南海口·月考)学校校内有一块如图所示的三角形空地ABC,其中AB=17米， BC=28米，AC=25米. (1)试求出这块三角形空地ABC的面积； (②)计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为100元，学校修建这个花园需 要投资元. 变式3-2.(25-26八年级上·海南儋州期末)海南台风影响时间跨度大，核心台风季节集中在5~11月，9 月更是台风登陆数量最多、强度最强的月份.如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340k的 B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度移动，己知城市A到BC的距离AD为160km. D 北 东 B ()台风中心经过多长时间从B点移到D点？ (2)如果在距台风中心200k的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小 4/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 时？ 变式3-3.(2024八年级上江苏·专题练习)某市准备在铁路AB上修建火车站E,以方便铁路AB两旁的C ,D两城的居民出行.如图，C城到铁路AB的距离AC=20km,D城到铁路AB的距离DB=60km, AB=I00km,经市政府与铁路部门协商最后确定在到C,D两城距离相等的E处修建火车站，求AE,BE 的长 压轴专练 一、解答题 1.(25-26八年级上陕西渭南期末)如图，在ABC中，AB=AC,D为AB上一点，连接CD,若 BC=26,CD=24,BD=10. (I)判断△BCD的形状，并说明理由； (2)求AD的长 2.(22-23八年级下·安徽滁州期中)如图，在ABC中，AB=AC,AD为底边BC上的高线，E是AC上 一点，连接BE交AD于点F,且∠CBE=45°. D 图1 图2 5/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：AB2-AD2=BD.CD: (2)如图1，若AB=6.5,BC=5,求AF的长： (3)如图2，若AF=BC,以BF,EF和AE为边，能围成直角三角形吗？请判断，并说明理由. 3.(25-26八年级上湖南常德·期末)如图，在四边形ABCD中， AB=20,BC=15,CD=7,AD=24,∠B=90°. (I)请你判断AD与CD的位置关系，并说明理由； (2)求四边形ABCD的面积. 4.(24-25八年级上福建泉州期末)已知a=2n,b=n2-1,c=n2+1. (I)当n=5时，则以a,b,c的值为三边长的三角形面积为； (2)小安猜想：当n取大于1的整数时，a,b,c为勾股数，你认为小安的猜想正确吗？请说明理由 5.(2025广东中考真题)《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对 研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长a,b,c都是正整数，则a,b,c为一组“勾股数”， 下表中的每一组数都是勾股数 3,4,5 7,24,25 11,60,61 15,112,113 19,180,181 4,3,5 8,15,17 12,35,37 16,63,65 20,21,29 5,12,13 9,12,15 13,84,85 17,144,145 21,28,35 6,8,10 10,，26 14,48,50 18,80,82 22,120,122 (1)请补全上表中的勾股数， (②)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示a,b,C,使该组代数式能表示上表 中所有的勾股数，并证明. (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成.种花 要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1m,如果 每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 6/10 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6.(24-25八年级下·山东潍坊期中)满足a2+b2=c2的三个正整数组成的数组(a,b,c)叫做勾股数组.《周髀 算经》中记载的“勾三股四弦五（古人将直角三角形中较短边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦）”就 是一组最简单的勾股数组(3,4,5)，在《九章算术》中给出了更多的勾股数组：(5,12,13)，(7,24,25)等.上述 勾股数组的规律，可以用下面表格呈现： 勾股数组(a,b,c 3,4,5 5,12,13 （7,24,25 股与弦的和：b+c 0 25 49 9-1 股b 25-1 49-1 2 2 2 9+1 25+1 49+1 弦c 2 2 通过观察分析，回答下列问题： (1)根据上述勾股数组的特点，写出勾股数组(11， ，145) (2)猜想：若m表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为(m, (3)请证明(2)中的猜想， 7.(24-25八年级下·安徽淮北月考)【新情境】3月16日，安微太湖花亭湖半程马拉松激情开跑，此次比 赛将赛道设置在风光秀美的花亭湖环湖彩虹道上，巧妙地把湖光山色和皖韵风情有机融合，生动展现了“体 育+文旅”的办赛理念.学生小明操控无人机记录下了赵老师在梅河谷附近的PQ段参赛过程.小明在点B处 发现在点A处的赵老师以每分钟250米的速度向Q处匀速前进，1分钟后他发现赵老师已经跑到了离他200 米的位置点C处。 B c o (I)若∠ABC=90°，请求出AB的长度； (2)在(1)的条件下，小刚以250m/min的速度从点A出发，此时小红在小刚前方90米以200m/min的速度 7/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 匀速前进， ①在小刚追上小红前，经过多少分钟，他俩与小明的距离相等？ ②当小刚追上小红时，求此时小刚与小明之间的距离： 8.(24-25八年级上·四川成都·期末)每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某 校师生举行了消防演练，如图，云梯AC长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙0C上（墙与地面垂直）， 云梯底端A与墙角O的距离为7米. (1)求云梯顶端C与墙角O的距离C0的长； (2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端在水平方向上 滑动的距离AB为多少米. 9.(24-25八年级上河南平顶山期中)消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消 防车高5米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至 最长，此时消防车的位置A与楼房的距离OA为15米。 B 楼 0 A 消防车 地面 F 图1 图2 ()求B处与地面的距离， (②)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩， 消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？ 10.(24-25八年级下·安徽合肥·期末)小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度CE的 长，他俩合作进行了如下操作： 8/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①用皮尺测得AE的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线（线段BC)的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离（线段AB的长）为1.5米. B A 77777777777777771777 (I)求风筝的垂直高度（线段CE的长）： (②2)如果小望想使风筝沿CE下降12米到F处，求他应该往回收线多少米？ 11.(24-25八年级下·安徽滁州期末)户外钓鱼是一项独特的休闲活动，如图，小明在钓鱼时鱼竿长13m, 露在水面上的鱼线BC长5.他想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AB转动到AB的位置，此时露在水面上的鱼 线B'C'长度为12m.求转动前后的水平距离CC'的长度. B A C 12.(2025广东东莞二模)物理课上，老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕 过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的 左右滑动来调节物体C的升降.实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到定滑轮A的 垂直距离是8dm,AB+BC=16dm,(实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽 略不计) B C T中中 图1 图2 (1)求绳子的总长度； 9/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，若物体C升高7dm,求滑块B向左滑动的距离， 13.(20-21八年级上·四川资阳·期末)如图，有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，己知点C为一所 学校，且点C与直线AB上两点A,B的距离分别为150m和200m,又AB=250m,环卫车周围130m以内 为受噪声影响区域 B (1)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (2)若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 14.(24-25八年级下·河南信阳·月考)如图，0M、ON是两条公路，∠0=30°，沿公路0M方向离点O为 160米的点A处有一所学校，当重型运输卡车沿道路ON方向行驶时，在以重型运输卡车所在的点P为圆心， 100m长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且点P与点A的距离越近噪声影响越大.假设重型 运输卡车沿着道路ON方向行驶的速度为5米/秒， M (1)求对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离； (②)求卡车沿道路ON方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间. 10/10 专题07 勾股定理的逆定理与几何判定 目录 典例详解 类型一、利用勾股定理的逆定理判定直角三角形 类型二、勾股数规律探究与应用 类型三、勾股定理及其逆定理的实际应用 压轴专练 类型一、利用勾股定理的逆定理判定直角三角形 1．勾股定理的逆定理内容 如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，且边所对的角是直角。 2．判定步骤 ① 确定三角形三边的长度（可能是直接给出，也可能是通过计算得到）； ② 找出最长边，记为最长边所对角为最大角，也是直角可能所在位置）； ③ 计算两条较短边的平方和； ④ 比较与最长边的平方是否相等； ⑤ 若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。 【重要性质】 ① 逆定理的使用前提是已知三边长度，无需知道任何角度； ② 必须先确定最长边，因为它对应的是直角（如果存在）； ③ 计算平方和时要细心，避免计算错误； ④ 逆定理常用于判断三角形形状、验证垂直关系、解决实际问题（如测量中判断直角）； ⑤ 注意与勾股定理的区别：勾股定理用于已知直角求边长，逆定理用于已知边长判直角。 例1．（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，在正方形网格中，的每一个顶点都在格点上，，点是边上的动点（点不与点，重合），将线段沿直线翻折后得到对应线段，将线段沿直线翻折后得到对应线段，连接，则四边形的面积的最小值是____． 【答案】 【分析】此题考查了折叠问题，三角形的内角和定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理．先利用勾股定理的逆定理判断出，进而判断出最小时，四边形的面积最小． 【详解】解：如图，延长使， 点A，C是格点， 点E必是格点， ，，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 由折叠知，，， ， ， 由折叠知，， 是等腰直角三角形， 由折叠知，， ， ， ， ， 要四边形的面积最小，则的面积最小， 即：最小，此时，，此时， ， 即：四边形的面积最小为， 故答案为：5．5． 变式1-1．（25-26八年级上·江西南昌·期末）为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，有下列说法正确结论的个数是（    ） ①，，能组成三角形； ②能组成三角形； ③能组成直角三角形； ④能组成直角三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系与勾股定理逆定理的应用，需结合直角三角形的勾股定理、面积公式，对每个结论逐一分析判断． 【详解】解：是的三边，为斜边，为斜边上的高 ，， ， ①，不满足三角形两边之和大于第三边的条件， ①错误； ②，， 又能组成三角形， ， ， 即， 均为正数， ， ∴能组成三角形，②正确； ③， 又， 根据勾股定理逆定理，能组成直角三角形， ③正确； ④， 又， ， ， 即， 不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形， ④错误； 综上，正确的结论有2个． 故选：B． 变式1-2．（25-26八年级下·全国·课后作业）若的三边长，，满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据平方和为零的性质，每一项必须为零，从而得出边的关系和角的关系． 本题考查等腰三角形的判定以及勾股定理的逆定理，正确根据题目已知条件找到、、之间的关系即可判断三角形的形状，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理和等腰三角形的性质． 【详解】解：∵ ， ∴ 且 ， ∴ 即 ， 且 即 ， ∴ △ABC 是等腰三角形（）且直角三角形（）， 故为等腰直角三角形． 故选：D． 变式1-3．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）如图是由16个边长为1的小正方形拼成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，请在下列三个网格中，以格点为顶点分别按下列要求，将图形画在对应网格中，并注明各边的长度． (1)使三边的长度都是有理数的直角三角形． (2)使三边的长度都是无理数的直角三角形． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用， 对于（1），以3,4,5为边作出直角三角形即可； 对于（2），以为边长画出直角三角形即可． 【详解】（1）解：如图所示，，则即为所求作； （2）解：如图所示，，，，可知， 所以是直角三角形． 类型二、勾股数规律探究与应用 1．常见勾股数 ① 基本勾股数：(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(8,15,17)、(9,40,41)等； ② 派生勾股数：基本勾股数的整数倍，如(6,8,10)、(9,12,15)等。 2．勾股数的生成规律 ① 当为正整数时，，，构成一组勾股数； ② 当为大于1的整数时，，，构成一组勾股数。 例2．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)60 (3)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，科学记数法，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据题意可得，把代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即可； （2）先由勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，且是斜边，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，再由勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】（1）解：， 当时， ； 故答案为：； （2）解：，，， 当时，，，， ， 这个三角形是直角三角形，且是斜边， 这个三角形的面积是， 故答案为：； （3）解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 变式2-1．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；．．．这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：若此类勾股数的勾为（为正整数），则股是___________．（结果用含的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数是解题的关键；设股为，则弦为，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：依题意，勾为，设股为，则弦为．由勾股定理，得， 即，整理得，即，解得． 故股为； 故答案为． 变式2-2．（24-25八年级下·安徽六安·月考）学习勾股定理后知道：直角三角形的三边长是正整数时称之为“勾股数”．小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25，…，他发现这些勾股数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成． (1)小明根据他的发现写出了这样一组数：9，40，41，这是一组勾股数吗？并说明理由； (2)为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明猜想这样的勾股数可以为，，（n为正整数），请帮小明证明他的猜想的正确性． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)正确，见解析 【分析】此题考查了勾股数和整式的混合运算，熟练掌握勾股数的定义是关键． （1）根据勾股数定义进行解答即可； （2）根据勾股数定义进行证明即可． 【详解】（1）解：9，40，41是一组勾股数，理由如下： ∵，， ∴， ∴9，40，41是一组勾股数； （2）证明：∵， 又， ∴， ∵是正整数，∴是奇数，且，，都是正整数， ∴，，（为正整数）是勾股数， ∴小明的猜想正确． 类型三、勾股定理及其逆定理的实际应用 1．常见应用场景 ① 方位与距离问题：确定船只航行方向、判断是否进入特定区域等； ② 测量与检验问题：检验墙角是否为直角、判断零件是否符合要求； ③ 工程与建筑问题：确定垂直方向、测量不可直接到达的两点间距离。 2．解题步骤 ① 理解题意，画出草图，标注已知数据； ② 将实际问题抽象为几何图形（通常构造直角三角形）； ③ 确定已知条件与所求量； ④ 根据情况选择勾股定理（求边长）或逆定理（判直角）； ⑤ 列式求解，检验解的合理性； ⑥ 将数学结果还原为实际问题答案。 例3．（25-26八年级上·四川内江·期末）在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离，（定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【答案】(1)绳子的总长度为 (2)滑块B向左滑动了，此时物体C升高了 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解“绳子总长度固定”的条件是解题关键． （1）利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）先求出的长，再利用勾股定理求出的长即可进一步求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，，，， 则 故绳子的总长度是． 答：绳子的总长度为； （2）解：滑块B向左滑动了 ， 据（1）知绳子总长为 物体C上升高度为． 答：滑块B向左滑动了，此时物体C升高了 变式3-1．（25-26九年级上·海南海口·月考）学校校内有一块如图所示的三角形空地，其中米，米，米． (1)试求出这块三角形空地的面积； (2)计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为元，学校修建这个花园需要投资_____元． 【答案】(1)平方米 (2) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）过点作于点，设米，则米，再根据勾股定理求出的值，进而可得出的长，由三角形的面积公式即可得出结论； （2）用花园的面积乘以单价即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 设米，则米， 在与中，由勾股定理得，， ， 即， 解得，米， （米）， 这块三角形空地的面积为（平方米）； （2）学校修建这个花园需要投资（元）， 故答案为：． 变式3-2．（25-26八年级上·海南儋州·期末）海南台风影响时间跨度大，核心台风季节集中在月，9月更是台风登陆数量最多、强度最强的月份．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340的B处有一台风中心，沿方向以20的速度移动，已知城市A到的距离为160． (1)台风中心经过多长时间从B点移到D点? (2)如果在距台风中心200的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时? 【答案】(1)15小时 (2)12小时 【分析】本题考查勾股定理的应用和数形结合，掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，利用勾股定理，求出，计算即可求解； （2）根据题意找到受台风影响的临界点，，在利用勾股定理求出、和的长，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题可得，，， 在中，（）， （h）， 则台风中心经过小时从B点移到D点； （2）如图，设台风中心在E、F两点时，A市受影响， 由题意得，， 在中，（）， 在中，（）， （）， （h） 则A市受到台风影响的时间持续12小时． 变式3-3．（2024八年级上·江苏·专题练习）某市准备在铁路上修建火车站，以方便铁路两旁的，两城的居民出行．如图，城到铁路的距离，城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在到，两城距离相等的处修建火车站，求，的长． 【答案】， 【分析】通过设未知数，利用勾股定理分别表示出和，再根据建立方程求解．本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，根据距离相等建立方程是解题的关键． 【详解】解：设，则． 根据题意，得． ∴， 解得． ∴． ∴，． 一、解答题 1．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，，为上一点，连接，若，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)是直角三角形； (2) 【分析】本题考查用勾股定理判定三角形是直角三角形，根据勾股定理列方程求线段长度； （1）求得即可解答； （2）设，则，证，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ，， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：设，则， ∵是直角三角形， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 2．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）如图，在中，，为底边上的高线，E是上一点，连接交于点F，且．    (1)求证：； (2)如图1，若，，求的长； (3)如图2，若，以，和为边，能围成直角三角形吗？请判断，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为3．5 (3)以，和为边，能围成直角三角形，理由见解析 【分析】（1）在中，由，，可得，由勾股定理得，进而可证； （2）由（1）可知，由勾股定理得，，在中，，可得是等腰直角三角形，则，根据，计算求解即可； （3）如图，在上取一点H，使，连接，，由，，可得，，证明，则，，由，可得，，由，，可得，，则，即，由，可得，由勾股定理，得，则，进而可得以，和为边，能围成直角三角形． 【详解】（1）证明：在中，，， ∴， 由勾股定理得， ∴； （2）解：由（1）可知， 在中，由勾股定理得，， ∵在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的长为3．5； （3）解：能围成直角三角形，理由如下： 如图，在上取一点H，使，连接，，    ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，即， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴以，和为边，能围成直角三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 3．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，在四边形中，． (1)请你判断与的位置关系，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)234 【分析】(1)利用勾股定理，勾股定理的逆定理，计算求解即可． (2)判定是直角三角形，根据面积公式计算即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：连接， ∵，，， ∴， ∵，，， 且， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴四边形面积为： =． 4．（24-25八年级上·福建泉州·期末）已知． (1)当时，则以的值为三边长的三角形面积为_______； (2)小安猜想：当n取大于1的整数时，为勾股数，你认为小安的猜想正确吗？请说明理由． 【答案】(1)120 (2)小安的猜想正确，理由见解析 【分析】本题考查的是勾股数，满足 的三个正整数，称为勾股数． （1）把n的值代入a、b、c，求出值，根据勾股定理的逆定理得到以的值为三边长的三角形是直角三角形，根据直角三角形面积公式计算； （2）根据勾股数的概念证明． 【详解】（1）解：当时，，，，、 ， ∴， 以的值为三边长的三角形是直角三角形， 以的值为三边长的三角形面积为， 故答案为：120； （2）解：小安的猜想正确， 理由：， ， ， ∵是大于1的整数，所以都是正整数， 当n取大于1的整数时，为勾股数， 小安的猜想正确． 5．（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 (1)请补全上表中的勾股数． (2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． (3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 【答案】(1) (2)，，，其中、、都是正整数，，证明见解析 (3)280 【分析】（1）先由表中勾股数规律，令，，，由勾股数定义列方程求解即可得到答案； （2）由表中数据，分别用代数式表示出，，，再由整式混合运算求证即可得证明； （3）由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，根据题意可知，最短边为20，另一个直角边为21，然后根据勾股定理求得斜边，即可得到答案． 【详解】（1）解：由表中勾股数的规律可知，令，，， 则由勾股数定义可知， 即， ， 解得或（舍去）； 故答案为：24． （2）解：由题意，，，，其中、、都是正整数，，证明过程如下： ，，， ， ， ， ， ； （3）解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示： 设，即直角三角形中最短边为， 仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为，三角形最短边种株花， ， 由题意可知，最小为， 那么 ， 那么这块绿地最少需要种植株花． 【点睛】本题考查由勾股数涉及的数字规律问题，难度中等偏上，涉及勾股数定义、整式加减乘法混合运算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股数，分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键． 6．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）满足的三个正整数组成的数组叫做勾股数组．《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五（古人将直角三角形中较短边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦）”就是一组最简单的勾股数组，在《九章算术》中给出了更多的勾股数组：，等．上述勾股数组的规律，可以用下面表格呈现： 勾股数组 … 股与弦的和： 9 25 49 … 股 … 弦 … 通过观察分析，回答下列问题： (1)根据上述勾股数组的特点，写出勾股数组（11，______，______）；（______，______，145） (2)猜想：若表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为（，______，______）； (3)请证明（2）中的猜想． 【答案】(1)60；61；17；144 (2)， (3)见解析 【分析】本题考查了勾股数的概念，正确理解题意是解题关键． （1）观察表格可知，，据此求解即可； （2）根据题意可得股和弦的和，再求出股和弦即可； （3）求出的结果，看是否与相等即可． 【详解】（1）解：由表格可知，， ∴当时，， ∴； 当时，则， ∴， ∴或（舍去），； （2）解：∵m为最小的数， ∴另外两个数的和为， ∴股为，弦为； （3）证明： ， ∴是勾股数组． 7．（24-25八年级下·安徽淮北·月考）【新情境】3月16日，安徽太湖花亭湖半程马拉松激情开跑，此次比赛将赛道设置在风光秀美的花亭湖环湖彩虹道上，巧妙地把湖光山色和皖韵风情有机融合，生动展现了“体育+文旅”的办赛理念．学生小明操控无人机记录下了赵老师在梅河谷附近的段参赛过程．小明在点B处发现在点A处的赵老师以每分钟250米的速度向Q处匀速前进，1分钟后他发现赵老师已经跑到了离他200米的位置点C处． (1)若，请求出的长度； (2)在（1）的条件下，小刚以的速度从点A出发，此时小红在小刚前方90米以的速度匀速前进． ①在小刚追上小红前，经过多少分钟，他俩与小明的距离相等？ ②当小刚追上小红时，求此时小刚与小明之间的距离． 【答案】(1)的长度为150米 (2)①经过0．2分钟，小刚与小红所在的位置与小明的距离相等；②此时小刚与小明的距离为米 【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论； （2）①设小刚的位置为点M，小红的位置为点N，过点B作，根据勾股定理得到（米），当时，点M和点N在H点异侧，且，设时间为t分钟，则米，根据题意得（米），于是得到结论； ②设经过t分钟，小刚追上小红，则，求得（米），由①可知，米，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意知（米），米， ， ， （米） 答：的长度为150米； （2）解：①设小刚的位置为点M，小红的位置为点N，过点B作， ， ，解得 当时，点M和点N在H点异侧，且， 设时间为t分钟，则米， 根据题意得（米）， ，解得， 经过0．2分钟，小刚与小红所在的位置与小明的距离相等． ②设经过t分钟，小刚追上小红，则，解得， 此时，（米）， 由①可知，米， （米）， ， ， （米）． 此时小刚与小明的距离为米． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 8．（24-25八年级上·四川成都·期末）每年的11月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，某校师生举行了消防演练，如图，云梯长为25米，云梯顶端C靠在教学楼外墙上（墙与地面垂直），云梯底端A与墙角O的距离为7米． (1)求云梯顶端C与墙角O的距离的长； (2)现云梯顶端C下方4米D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端在水平方向上滑动的距离为多少米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理即可得出结论； （2）根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴由勾股定理得， 即， 解得：， 即云梯顶端C与墙角O的距离的长为． （2）解：∵，， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， 即， 解得：， ∵， ∴． 即云梯底端在水平方向上滑动的距离为． 9．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用是解题的关键． （）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【详解】（1）解：在中，∵米，米， ∴（米）， ∴（米， 答：处与地面的距离是米； （2）解：在中， ∵米，（米）， ∴米， ∴（米）， 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 10．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线(线段)的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离(线段的长)为1．5米． (1)求风筝的垂直高度(线段的长)； (2)如果小望想使风筝沿下降12米到处，求他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为21．5米 (2)他应该往回收线8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． (1)利用勾股定理求出的长，即可解决问题； (2)根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， ∴（米）， 答：风筝的垂直高度为米； （2）解：如图，设下降到， 由题意可知，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线8米． 11．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）户外钓鱼是一项独特的休闲活动，如图，小明在钓鱼时鱼竿长13m，露在水面上的鱼线长．他想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长度为．求转动前后的水平距离的长度． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．在中，利用勾股定理计算，在中，利用勾股定理求得，由此即可求得答案． 【详解】解：在中，，， ， 在中，，， ， ， 答：转动前后的水平距离 的长度为． 12．（2025·广东东莞·二模）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到定滑轮的垂直距离是，．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理运算求解即可； （2）利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）解：设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴绳子长度； （2）解：如图进行标注： 若物体升高，则此时， ∴在中，， ∴， 答：滑块向左滑动的距离为． 13．（20-21八年级上·四川资阳·期末）如图，有一台环卫车沿公路由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线上两点A，B的距离分别为和，又，环卫车周围以内为受噪声影响区域． (1)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (2)若环卫车的行驶速度为每分钟50米，环卫车噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 【答案】(1)学校C会受噪声影响．理由见解析 (2)环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟． 【分析】本题主要考查的是勾股定理在实际生活中的运用，正确作出辅助线、构造出直角三角形是解题的关键． （1）如图，过点C作于D，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出的长，进而得出学校C是否会受噪声影响； （2）利用勾股定理得出，进而得到的长，进而得出环卫车噪声影响该学校持续的时间． 【详解】（1）解：学校C会受噪声影响．理由如下： 如图，过点C作于D， ∵， ∴． ∴是直角三角形． ∴， ∴，解得：米． ∵环卫车周围以内为受噪声影响区域， ∴学校C会受噪声影响． （2）解：如图：当时，在上行驶时，正好影响学校C， ∵，同理， ∴， ∵环卫车的行驶速度为每分钟50米， ∴（分钟）， ∴环卫车噪声影响该学校持续的时间有2分钟． 14．（24-25八年级下·河南信阳·月考）如图，、是两条公路，，沿公路方向离点O为160米的点A处有一所学校，当重型运输卡车沿道路方向行驶时，在以重型运输卡车所在的点P为圆心，长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且点P与点A的距离越近噪声影响越大．假设重型运输卡车沿着道路方向行驶的速度为5米/秒． (1)求对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离； (2)求卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间． 【答案】(1)卡车对学校的噪声影响最大时，卡车与学校的距离为； (2)卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为． 【分析】本题主要考查了勾股定理得实际应用，三线合一定理，含30度角的直角三角形的性质： （1）过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度；的长度为对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离； （2）如详解图形所示，当时，则卡车在段对学校有影响，根据勾股定理可求得的长度． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度． ∴的长度为对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离． ∵，， ∴． 答：卡车对学校的噪声影响最大时，卡车与学校的距离为． （2）解：如图所示，在上取两点C、D，连接， 当时，则卡车在段对学校有影响． ∵，， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． ∴影响时间为：， 答：卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $