专题06 勾股定理的综合应用与探究（压轴题专项训练）数学新教材沪科版八年级下册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06勾股定理的综合应用与探究 目录 典例详解 类型一、勾股定理在折叠问题中的应用 类型二、勾股定理在立体图形表面路径问题中的应用 类型三、勾股定理与图形面积关系的综合探究 压轴专练 典例详解 类型一、勾股定理在折叠问题中的应用 1.折叠问题的本质 ①全等变换：折叠前后的图形全等，对应边相等，对应角相等： ②轴对称性质：折痕是对应点连线的垂直平分线： ③勾股定理的运用：在折叠后形成的直角三角形中，利用勾股定理建立方程。 2.解题步骤 ①标注已知线段长度，设出未知量； ②根据折叠性质找出相等线段； ③将未知量表示到直角三角形中： ④利用勾股定理列方程求解； ⑤检验解的合理性。 例1.(25-26八年级上·甘肃酒泉·期末)如图，在平面直角坐标系中，长方形0ABC的顶点0(0,0)、A4,0) 、B(4,3),将长方形沿对角线AC折叠，点B落在点D处，CD与x轴交于点E,则点E的坐标为() ,0 B.(3,0 C.(2,0 D 1/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式1-1.(2025广东汕头一模)如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=2,BC=V3,沿过点A 的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与 AC的交点为E,则AE的长是() B A. 3 B.9 c D.13 6 变式1-2.(21-22八年级上山东青岛期末)如图，将直角三角形ABC纸片沿AD折叠，使点B落在AC延 长线上的点E处.若AC=3,BC=4,则图中阴影部分的面积是() B D C 3 A. 4 B c D.2 变式1-3.(25-26九年级上·安徽池州期末)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，将边AC沿CE翻折，使点 A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E、F,连接BB', B B (1)∠ECF= (2)若AC=5,BC=12,则BB'= 左类型二、勾股定理在立体图形表面路径间题中的应用 1.常见立体图形类型 ①长方体/正方体表面最短路径：从一点到另一点沿表面爬行的最短距离； 2/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②圆柱体侧面路径：沿圆柱侧面从一点到另一点的最短路径： ③台阶问题：沿台阶表面从下到上的最短路径。 2.解题方法一一“展开法” ①将立体图形的表面展开成平面图形： ②在展开图中，连接起点和终点得到线段： ③该线段的长度即为表面最短路径的长度； ④利用勾股定理计算线段长度。 注：长方体展开有多种方式，需要比较不同展开方式下的路径长度，取最小值。 例2.(25-26八年级上河南郑州期末)如图，一个长方体盒子长AB=6cm,宽BC=4cm,高CG=4cm.如 果在盒子外表面从点A到点G粘贴装饰条，装饰条的最小长度为acm,这个长方体盒子内能容下木棒的最 大长度为bcm,则a,b的值为() H A.a=229,b=2V17 B.a=10,b=217 C.a=10,b=10 D.a=2V19,b=10 变式21.(25-26八年级上溯南衡阳月考)如图所示，圆柱底面半径为，5cm,高为36cm,点4,8分别 2π 是圆柱两底面圆周上的点，且A,B在同一高线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉 线的长度最短为() A.39cm B.30cm C.18cm D.24cm 变式2-2.(25-26八年级上湖南岳阳·月考)如图，长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B离点 C的距离是5cm,一只妈蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短路程是 cm. 3/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5cm B C 20cm A 10cm 15cm 类型三、勾股定理与图形面积关系的综合探究 1.常见探究形式 ①“勾股树”问题：以直角三角形三边向外作正方形，探究各正方形面积关系； ②图形变式：以直角三角形三边向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形等，探究面积关系； ③赵爽弦图模型：由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，探究面积关系。 2.解题思路 ①识别基本图形一一直角三角形： ②用直角三角形的三边表示各部分的面积 ③计算所作图形的面积（正方形、等边三角形、半圆等）； ④观察并证明面积之间的数量关系。 例3.(25-26八年级上·安微宿州期中)勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系：a2+b2=c2. S 0 图1 图2 图3 (I)【初步探究】如图1，分别以Rt△ABC的三边a,b,C为边长在三角形外侧作正方形，其面积分别用S ,S2,S表示，请写出S,S,S之间的数量关系： (2)【问题解决】如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8,分别以AC,BC为直径作半圆，其面积 分别记为S,S2,求S+S的值；（结果保留刀） (3)【迁移应用】如图3，将一块等腰直角三角板M0N放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与 坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为1,3)，求点N的坐标 变式3-1.（25-26八年级上·贵州贵阳·期末)“赵爽弦图巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵 爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长 分别为m,nm>n.若大正方形的面积为10，（m+n=16,则小正方形的面积是() 4/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 m n A.2 B.3 C.4 D.4w2 变式3-2.(21-22八年级下河南三门峡·期末)我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载， 勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股 定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定 理的研究和应用.下面四幅图中，不能证明勾股定理的是() C Q A. B a b Q D 6 a b a 变式3-3.(25-26八年级上·黑龙江大庆·月考)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”， 后人称其为赵爽弦图”，如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形ABCD,正方形EFGH, 正方形MNKT的面积分别为S,S2,S,.若正方形EFGH的边长为3，则S,+S2+S3的值为() H E B A.9 B.18 C.27 D.36 压轴专练 一、填空题 1.(17-18八年级下山东德州月考)已知，如图，长方形ABCD中，AB=3AD=9,将此长方形折叠，使 5/10 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点D与点B重合，折痕为EF,则△ABE的面积为 2.(2023河南商丘三模)小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AC=3,BC=4.小华在BC边找一点D,在AC边找一点E,以DE为轴折叠aCDE,得到△MDE,点C的 对应点为点M,小华变换D,E的位置，始终让点M落在AB上，则当△BDM为直角三角形时，CD的长为 图1 图2 3.(25-26八年级上·广东深圳·期末)如图，学校大厅圆柱的高为6m,底面周长为3m.现需要用彩带对圆 柱进行装饰，从底端绕圆柱3圈后正好到达顶端，那么至少需要彩带 米。 4.(25-26八年级上·山东枣庄·月考)中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代 木雕盘龙，即圣母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生.如图所示， 每根木柱有雕龙的部分的柱身高AC长为4米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿 立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的C点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为 5.(2024九年级下·安徽宣城竞赛)如图，若一个三角形的任意两个边都不相等，则称之为“不规则三角形”. 顶点在一个正方体顶点上的所有三角形中，“不规则三角形”有个. 6/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 6.(25-26八年级上·广东深圳月考)如图是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20dm,3dm,2dm,A 和B是这个三级台阶两个相对的顶点，则沿台阶面由A到B的最短路程是 B 7.(25-26八年级上·上海期末)有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个 小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图(1)所示.如 果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，如图(2)所示.若“生长”了2026次后，形成的图形中所有的正 方形的面积之和是 图1 图2 二、解答题 8.(25-26八年级上·安徽宿州期末)如图，在平面直角坐标系中，直线AB交坐标轴于点A(0,6,B(8,0), 点C为x轴正半轴上一点，连接AC,将ABC沿AC所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合， A B六 D (I)求直线AB对应的函数表达式； 7/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求0C的长； 9 3P为直线AB上一点，S,co=4,求点P的坐标 9.(20-21八年级下·安徽期中)如图所示，在ABC中，点D在边AC上，点E在边BC上，沿DE将 △CDE折叠，使点C与点A重合，折痕为DE,若LB=90°，AB=3,AC=5.求： A B (I)△ABE的周长； (2)折痕DE的长. 10.(25-26八年级上·河南新乡·期末)如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，将ADE沿直线DE翻 折，点A恰好落在边BC上的点F处，AE=13,BF=12. B (I)求AB的长； (2)求CDF的面积. 11.(25-26八年级上·安微宿州月考)如图，长方体的长、宽、高分别为2,4,3，A,D为长方体的两个 顶点. D 3 2 (①)求点A到点D之间的距离； (②)若一只蚂蚁从长方体表面的点A爬到点D,求爬行的最短路程. 12.(2026八年级下·全国.专题练习)一个供滑板爱好者使用的U形池如图所示，该U形池可以看作是一个 长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=18m, 8/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点E在CD上，CE=2m.一滑板爱好者从A点滑到E点，再从E点滑到B点，则他滑行的最短路程是多少？ (边缘部分的厚度忽略不计，π取3) A 13.（24-25八年级下，河北廊坊·月考)勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定 理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者 A。 D 图1 图2 (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，∠A=∠B=∠CED=90°，请推导勾股定 理. (2)如图2，在ABC中，AC=10,BC=17,AB=21,CH⊥AB,垂足为H,求CH的长. 14.(25-26八年级上·安徽宿州月考)“赵爽弦图”由三国时期数学家赵爽为注解《周髀算经》所创，以四个 全等直角三角形拼构，巧妙用面积关系证明勾股定理，是中国古代数学的重要成就.现用四个图1中的直 角三角形拼成如图2所示的“弦图”.设直角三角形的两条直角边长分别为a,b(a>b),斜边为C,请利 用这个图形解决下列问题： D 图1 图2 (1)请用图2验证勾股定理； (2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3， ①求ab的值： ②求(a+b)的值， 15.(2025八年级上·全国专题练习)阅读下列材料： 9/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 小明遇到一个问题：在ABC中，AB,BC,AC三边的长分别为√5、√O、V13,求ABC的面积.小 明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格 点ABC(即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，从而借助网格就能计算出ABC的面积.他把这种 解决问题的方法称为构图法 B 图1 图2 参考小明解决问题的方法，完成下列问题： (I)计算图1中ABC的面积为 ；(直接写出答案)》 (2)如图2，每个小正方形的边长为1，已知△PQR,以PO,PR为边向外作正方形POAF,正方形PRDE, 连接EF, ①判断△PQR与PEF面积之间的关系，并说明理由： ②直接写出六边形AORDEF的面积为 10/10 专题06 勾股定理的综合应用与探究 目录 典例详解 类型一、勾股定理在折叠问题中的应用 类型二、勾股定理在立体图形表面路径问题中的应用 类型三、勾股定理与图形面积关系的综合探究 压轴专练 类型一、勾股定理在折叠问题中的应用 1．折叠问题的本质 ① 全等变换：折叠前后的图形全等，对应边相等，对应角相等； ② 轴对称性质：折痕是对应点连线的垂直平分线； ③ 勾股定理的运用：在折叠后形成的直角三角形中，利用勾股定理建立方程。 2．解题步骤 ① 标注已知线段长度，设出未知量； ② 根据折叠性质找出相等线段； ③ 将未知量表示到直角三角形中； ④ 利用勾股定理列方程求解； ⑤ 检验解的合理性。 例1．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、、，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，与轴交于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查勾股定理和折叠问题，坐标与图形，首先得到， ，然后由折叠结合平行线的性质得到，推出，设，则，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵长方形的顶点、、， ∴， 由折叠得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴设，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为． 故选：A． 变式1-1．（2025·广东汕头·一模）如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由折叠的性质得出，，，，推出，再由勾股定理求出，设，则，然后由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：由折叠的性质得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 变式1-2．（21-22八年级上·山东青岛·期末）如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理．由勾股定理求出，设，则，根据求出x得到的长，利用三角形面积公式求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴图中阴影部分的面积是， 故选：B． 变式1-3．（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图，中，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，连接． （1）__________； （2）若，，则______． 【答案】 45 【分析】本题考查折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理，运用数形结合的思想解决问题，是解答本题的关键． （1）由翻折的性质可知，，．再根据，即可求出； （2）利用勾股定理可求出．利用三角形的面积公式可求出，从而由（1）结论可得出．再利用勾股定理可求出，最后根据，即可求出的长． 【详解】（1）∵边沿翻折，点A落在上的点处， ∴，即． 由翻折可知，， 又∵，即， ∴，即， 故答案为：45； （2）在中，， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∵， 根据折叠可知，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 类型二、勾股定理在立体图形表面路径问题中的应用 1．常见立体图形类型 ① 长方体/正方体表面最短路径：从一点到另一点沿表面爬行的最短距离； ② 圆柱体侧面路径：沿圆柱侧面从一点到另一点的最短路径； ③ 台阶问题：沿台阶表面从下到上的最短路径。 2．解题方法——“展开法” ① 将立体图形的表面展开成平面图形； ② 在展开图中，连接起点和终点得到线段； ③ 该线段的长度即为表面最短路径的长度； ④ 利用勾股定理计算线段长度。 注：长方体展开有多种方式，需要比较不同展开方式下的路径长度，取最小值。 例2．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，一个长方体盒子长，宽，高．如果在盒子外表面从点A到点G粘贴装饰条，装饰条的最小长度为，这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为，则a，b的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】按不同方法将长方体盒子展开成平面图形，再用勾股定理求得装饰条的长度，比较大小即可求得装饰条的最小长度；用勾股定理可得最大长度． 【详解】解：根据题意，分两种情况： 将长方体盒子的两个面展开成平面图形，如图： ， ， 在中，， 将长方体盒子的两个面展开成平面图形，如图：          ， 在中，， 将长方体盒子的两个面展开成平面图形，如图： ， 在中，， ∵， ∴装饰条的最小长度为； 如图：， ， 又 ∵， 在中，， ∴这个长方体盒子内能容下木棒的最大长度为． 变式2-1．（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）如图所示，圆柱底面半径为，高为，点分别是圆柱两底面圆周上的点，且在同一高线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆柱侧面展开图以及勾股定理，先将圆柱侧面展开，找出棉线绕圆柱侧面3圈的路径在展开图中的表示，然后利用勾股定理求出这条路径的长度，就是棉线的最短长度． 【详解】解：圆柱体的展开图如图所示， 最短路线是：， 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，从点沿着3个长方形的对角线运动到的路线最短， ∵底面半径为， ∴底面周长为， 又∵圆柱高为， ∴小长方形的一条边长是：， 即， ， ∴最短为． 故选：A． 变式2-2．（25-26八年级上·湖南岳阳·月考）如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离是，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是_______． 【答案】25 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理．由题意得：①当把长方体沿正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可． 【详解】解：由题意得： ①当把长方体沿正面和右侧进行展开时，如图所示： ，， ∴在中，； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ，， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B， 需要爬行的最短距离是25， 由长方体的特征可得其他路径必定比①②两种更远，故不作考虑； 故答案为：25． 类型三、勾股定理与图形面积关系的综合探究 1．常见探究形式 ① “勾股树”问题：以直角三角形三边向外作正方形，探究各正方形面积关系； ② 图形变式：以直角三角形三边向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形等，探究面积关系； ③ 赵爽弦图模型：由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，探究面积关系。 2．解题思路 ① 识别基本图形——直角三角形； ② 用直角三角形的三边表示各部分的面积； ③ 计算所作图形的面积（正方形、等边三角形、半圆等）； ④ 观察并证明面积之间的数量关系。 例3．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系：． (1)【初步探究】如图1，分别以的三边，，为边长在三角形外侧作正方形，其面积分别用，，表示，请写出，，之间的数量关系：_____； (2)【问题解决】如图2，在中，，，分别以，为直径作半圆，其面积分别记为，，求的值；（结果保留） (3)【迁移应用】如图3，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点的坐标为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握各知识点并综合应用． （1））根据勾股定理，得，根据正方形的面积公式，得、、，从而得到． （2）先由勾股定理可得：，再利用，然后整体代入求解即可． （3）作如解析所示图象，可根据余角的性质得到，先证得，得到，，再根据，，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵以的三边向外作正方形，其面积分别为、、， ∴、、， ∴， 故答案为：． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴ 即：； （3）解：过点M作轴于点，过点作于点， ， ， ， ∵， ∴， 在和中， ， ， ，， 的坐标为， ，， ， 点的坐标为． 变式3-1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为．若大正方形的面积为10，，则小正方形的面积是（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式的应用．根据题意得出，，进而可得，根据，，即可求解． 【详解】解：∵大正方形的面积为10， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴小正方形的面积是， 故选：C． 变式3-2．（21-22八年级下·河南三门峡·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，掌握利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理是解题的关键．分别利用两种不同的方法计算各选项中的大正方形或梯形的面积，即可解答． 【详解】解：A、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，故选项A能证明勾股定理； B、大正方形的面积为，也可以看作2个小长方形和2个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，故选项B不能证明勾股定理； C、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，即，故选项C能证明勾股定理； D、梯形的面积为，也可以看作3个直角三角形的面积之和， 则其面积为， ∴，即，故选项D能证明勾股定理． 故选：B． 变式3-3．（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为．若正方形的边长为3，则的值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了与弦图有关的计算，解题的关键是对三角形的面积设而不求，借用三角形的面积寻找三个正方形面积的关系． 结合图形，借助直角三角形的面积，设八个全等的直角三角形每个面积为，寻找三个正方形面积之间的关系为，即可求解． 【详解】解：设八个全等的直角三角形每个面积为， 由图形可得知，， 则 ∵正方形的边长为3 ∴ ∴ 故选C． 一、填空题 1．（17-18八年级下·山东德州·月考）已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为_________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，再由三角形面积公式求解． 【详解】解：由折叠的性质可得 设，， ∵长方形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 2．（2023·河南商丘·三模）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．小华在边找一点D，在边找一点E，以为轴折叠得到，点C的对应点为点M，小华变换D，E的位置，始终让点M落在上，则当为直角三角形时，的长为 ____________________ ． 【答案】或． 【分析】本题主要考查折叠的性质，勾股定理，分和两种情形，结合折叠的性质，勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴； ①当时，如图， 由折叠得：， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， 即：； ②当时，如图， 由折叠得，， ∵， ∴， 又， ∴， 设，则， ∴, ∵， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴； 综上，的长为或． 3．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，学校大厅圆柱的高为6m，底面周长为3m．现需要用彩带对圆柱进行装饰，从底端绕圆柱3圈后正好到达顶端，那么至少需要彩带________米． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用、圆柱的侧面展开图，将圆柱侧面展开成矩形，彩带的长度就是三个矩形对角线长度之和． 【详解】解：把圆柱的侧面展开，如下图所示， 圆柱的高为，底面周长为， ，， ， 彩带的长度为． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，即圣母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生．如图所示，每根木柱有雕龙的部分的柱身高长为4米，在底面周长为1．5米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为______． 【答案】5米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得，底面周长为米，柱身高为4米， ∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点， 米，（米）， （米）， 故雕刻在木柱上的巨龙至少为（米）， 故答案为：5米． 5．（2024九年级下·安徽宣城·竞赛）如图，若一个三角形的任意两个边都不相等，则称之为“不规则三角形”．顶点在一个正方体顶点上的所有三角形中，“不规则三角形”有________个． 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理以及立体图形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据正方体的八个顶点之间线段长度仅有三种可能，分别得出所求的不规则三角形的个数； 【详解】解：不妨设正方体的边长为，则在正方体的八个顶点之间线段长度仅有三种可能： 边长为， 在中，面对角线， 在中，体对角线， 正方体有四条体对角线，先考虑其中的一条如，第三个顶点可以是、、、、、中之一， 有6个不规则三角形．因此所求的不规则三角形的个数是． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·广东深圳·月考）如图是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为A和B是这个三级台阶两个相对的顶点，则沿台阶面由A到B的最短路程是 _________ ． 【答案】 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 则沿台阶面由A到B的最短路程是． 7．（25-26八年级上·上海·期末）有一个边长为的大正方形，经过次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过次“生长”后，形成的图形如图（1）所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，如图（2）所示．若“生长”了次后，形成的图形中所有的正方形的面积之和是_____． 【答案】 【分析】本题考查规律型：图形的变化类，勾股定理，根据勾股定理得出规律经过次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是，即可得解．正确得出规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意，边长为的大正方形经过次“生长”后，形成图形如图， “生长”次，“生长”出的两个正方形，三个正方形围成，三个正方形面积和为：； “生长”次，又“生长”出四个正方形，所有的正方形围成的直角三角形有、、，则这四个正方形面积和等于第一次“生长”出的两个正方形的面积，即，， ∴所有正方形的面积之和为： ； “生长”次，“生长”出的四个正方形面积和等于第二次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积之和为：； …… 经过次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是， ∴“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积之和为：． 故答案为：． 二、解答题 8．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求的长； (3)P为直线上一点，，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数表达式的求解，勾股定理的应用及三角形面积公式的运用． （1）利用待定系数法，将直线所过的两个点的坐标代入一次函数表达式，求解出函数表达式； （2）先根据勾股定理求出的长度，再利用折叠的性质得到相关线段的长度关系，通过设未知数，根据勾股定理列出方程求解的长； （3）设出点P的坐标，根据三角形面积公式列出方程，求解得到点P的坐标． 【详解】（1）解：设直线对应的函数表达式为：， ∵直线交坐标轴于点，， ∴， 解得：， ∴直线对应的函数表达式为：． （2）解：由题意可知：，，， ∴， ∵将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合， ，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得， 即． （3）解：∵P在直线上， ∴设， ∵， ∴， 解得或， ①当时，， ②当时，， ∴或． 9．（20-21八年级下·安徽·期中）如图所示，在中，点在边上，点在边上，沿将折叠，使点与点重合，折痕为．若，，．求： (1)的周长； (2)折痕的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）由折叠可得，根据勾股定理求出，进而得到，即可求解； （2）由折叠可得，，，设，则，在中，由勾股定理求出，即，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由折叠可得， ，，， ， ， 的周长为； （2）解：由折叠可得，，， 设，则， 在中，由勾股定理可得，即， 解得， 即， ． 10．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在长方形中，点E在边上，将沿直线翻折，点A恰好落在边上的点F处，，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1)18 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）由折叠的性质可知，，然后再直角中利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：由折叠可知：， 在长方形中，， 在中，由勾股定理得： ， ∴； （2）解：由折叠可知：， 在长方形中，，，， 设，则， 在中，由勾股定理得： ∴， 解之得：， ∴， ∴． 11．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． (1)求点到点之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，求最短路径，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）如图1，标记顶点，，连接，，根据勾股定理先算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可． （2）在平面内两点之间线段最短，分别把长方体中蚂蚁所走的路线放到前面和上面、前面和右面、左面与上面同一个平面内，根据勾股定理计算出的长进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，标记顶点，，连接，． 在中，， ∴． 在中，， ∴． 即点到点的距离为． （2）将长方体中含有，两点的平面展开成平面图． 如图2所示，， 如图3所示，， 如图4所示，， 因为， 所以一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，爬行的最短路程为． 12．（2026八年级下·全国·专题练习）一个供滑板爱好者使用的U形池如图所示，该形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点E在上，．一滑板爱好者从点滑到点，再从点滑到点，则他滑行的最短路程是多少？（边缘部分的厚度忽略不计，取） 【答案】他滑行的最短路程是 【分析】把半圆柱展开，根据两点之间线段最短，可得他滑行的最短路程，根据勾股定理，分别求解，即可． 【详解】解：如图，把半圆柱展开． 由题意可知，，． 在中，． 在中，， 所以． 答：他滑行的最短距离是． 13．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有数学爱好者． (1)如图1，这是美国第20任总统詹姆斯·加菲尔德的“总统证法”图形，，请推导勾股定理． (2)如图2，在中，，垂足为H，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)8 【分析】本题主要考查勾股定理及梯形、三角形面积公式的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理； （1）用两种方法表示出梯形的面积，再根据它们相等整理即可证明结论； （2）设，分别在和中，表示出，列出方程，求出x，再利用勾股定理即可求出的值． 【详解】（1）解：∵ ， 整理得： （2）解：设 ∵ ∴ ∴和都是直角三角形 在中， 在中， ∴ ∵，， 则 解得，即 在中，由勾股定理，得． 14．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）“赵爽弦图”由三国时期数学家赵爽为注解《周髀算经》所创，以四个全等直角三角形拼构，巧妙用面积关系证明勾股定理，是中国古代数学的重要成就．现用四个图1中的直角三角形拼成如图2所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边为，请利用这个图形解决下列问题： (1)请用图2验证勾股定理； (2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3， ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②23 【分析】（1）利用两种不同的方法计算正方形的面积，列等式化简即可验证； （2）①将大正方形的面积代入得，将小正方形的面积代入得；②利用完全平方公式计算即可； 本题主要考查了勾股定理的证明和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵大正方形的面积为，一个直角三角形面积为，小正方形的面积为， ∴， 整理得， 即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和． （2）①∵大正方形的面积为13， ∴， 又∵， ∴， ∵小正方形的面积为3， ∴， 即， 将代入得， 解得， ∴． ②由①知，， ∴． 15．（2025八年级上·全国·专题练习）阅读下列材料： 小明遇到一个问题：在中，，，三边的长分别为、、，求的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法． 参考小明解决问题的方法，完成下列问题： (1)计算图1中的面积为________；（直接写出答案） (2)如图2，每个小正方形的边长为1，已知，以，为边向外作正方形，正方形，连接． ①判断与面积之间的关系，并说明理由； ②直接写出六边形的面积为________． 【答案】(1)； (2)①与面积相等，理由见解析；② 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分割法求三角形面积． （1）三角形的面积=矩形的面积减去周围的三个三角形面积； （2）①分别用分割法计算△PQR与△PEF的面积，再比较即可； ②先用勾股定理求解线段和，再用分割法求解六边形的面积即可． 【详解】（1）解：． （2）①与面积相等． 理由：的面积， 的面积， 的面积的面积； ②由勾股定理得： ，， 六边形的面积为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $