第2讲：向量的数乘 向量的数量积【十大题型】讲义-2025-2026学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版必修第二册）

第2讲：向量的数乘 向量的数量积 【考点梳理】 【知识梳理】 知识一　向量数乘的定义 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa (a≠0)的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝0.，当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 知识二　向量数乘的运算律 .(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 知识三　向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 知识四　两向量的夹角与垂直 1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. 知识点五、　向量数量积的定义 非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0. 知识点六、　投影向量 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e. 知识点七、　平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则 (1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 知识点八、　平面向量数量积的运算律 1.a·b＝b·a(交换律). 2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律). 3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 【题型归纳】 题型一：向量的数乘运算 【例1】．（2026高一·全国）下列各式计算正确的有（　　） ①；②；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三】 1．（24-25高一下·浙江·期中）已知，为两个不共线的向量，，，则__________（用，表示） 2．（22-23高二上·海南·开学考试）化简： (1)； (2)； (3) 3．（23-24高一下·辽宁抚顺·月考）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 题型二：平面向量的混合运算 【例2】．（22-23高一下·广东汕头·月考）化简下列各式： (1)． (2)； 【举一反三】 1．（22-23高一下·陕西榆林·月考）如图，在平行四边形中，E、F依次是对角线上的两个三等分点，设，试用与表示和． 2．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量线性运算： (1)； (2)； (3)． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）化简 （2）； （3）设向量，，求． 题型三：向量的线性运算的几何应用 【例3】．（24-25高一下·安徽滁州·月考）如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，则（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25高一下·江苏徐州·月考）在中，点在边上，.记，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·陕西·期中）如图，在中，设，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京顺义·期中）如图所示，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 题型四：三角形的心的向量表示 【例4】．（24-25高一下·四川·期中）已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（    ） A．垂心，外心，内心 B．重心，外心，内心 C．重心，垂心，外心 D．重心，垂心，内心 【举一反三】 1．（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 2．（2023高一·全国·专题练习）已知，，，是平面上的4个定点，，，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 3．（2024·陕西西安·一模）已知点是的重心，则（    ） A． B． C． D． 题型五：数量积的运算 【例5】．（23-24高一下·云南楚雄·月考）已知，的夹角为120°，且，求： (1)； (2)； (3)与的夹角. 【举一反三】 1．（22-23高一下·江苏连云港·月考）已知向量与的夹角，且，． (1)求，； (2)求与的夹角的余弦值． 2．（24-25高一下·江苏淮安·月考）已知向量和，且，，求： (1)的值； (2)的值； (3)的夹角的余弦值. 3．（24-25高一下·北京·期中）已知向量和，且，求： (1)的值 (2)的值 (3)的夹角的余弦值. 题型六：数量积和模关系问题 【例6】．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知向量满足，且与的夹角为，则_________. 【举一反三】 1．（25-26高三上·河北沧州·期中）已知向量，满足，，且，的夹角为，则______． 2．（24-25高一下·江苏常州·月考）已知向量，满足，，，则______． 3．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知向量满足，且，则______． 题型七：向量夹角的计算 【例7】．（24-25高一下·江苏·月考）若两个单位向量满足，则与的夹角是__________. 【举一反三】 1、（24-25高一下·江苏南京·月考）已知向量 ，满足，，且，则 ，夹角的余弦值为________． 2．（24-25高一下·江苏盐城·月考）已知向量、满足，，，则与的夹角等于______ 3．（24-25高一下·江苏南京·月考）若是夹角为的两个单位向量，设，则与的夹角为__________. 题型八：垂直关系的向量表示 【例8】．（2026·河南鹤壁·一模）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数___________． 【举一反三】 1．（25-26高三上·湖北咸宁·月考）已知向量，满足，，且，则_____. 2．（23-24高一下·四川成都·期末）已知平面向量，满足，，，则向量，夹角的余弦值为______． 3．（2023·河南郑州·模拟预测）已知向量，，，满足，且，，则与的夹角为______． 题型九：投影向量 【例10】．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期末）已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24高一下·四川泸州·期中）已知：，则在方向上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·新疆·期中）已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型十：向量的数量积综合问题 【例10】．（24-25高一下·江苏·月考）如图，在菱形中，，. (1)若，求的值； (2)若，，求. 【举一反三】 1．（24-25高一下·江苏·月考）已知平面向量满足，且. (1)求在方向上的投影向量； (2)若，求实数的值. 2．（24-25高一下·江苏南通·期中）在平面四边形中，，． (1)设、分别为、的中点． （i）证明：； （ii）若，求与夹角的余弦值． (2)求的值． 3．（25-26高一·江苏·假期作业）如图，在等腰梯形中，，，是边上一点（含端点），与交于点，设．    (1)若，证明：； (2)若，，求的值； (3)求的取值范围． 【高分演练】 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏·月考）（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C．4 D．5 3．（2026·河北·一模）已知向量均为单位向量，且 ，则（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）给出以下五个结论①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2026高一下·全国·专题练习）若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·河北唐山·期末）在中，，，，点在边上（不含端点），延长到，若．且，则线段的长度是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，分别是边，的中点，点为的重心，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·广东揭阳·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·湖南长沙·期末）下列说法正确的是（    ） A．已知，则的最小值为6 B．在中，若，则为钝角三角形 C．若是的重心，则 D．若与的夹角为，则在方向上的投影向量为 10．（25-26高一下·全国·单元测试）如图所示，已知正八边形，其中，则下面选项正确的是（   ） A． B． C． D．在方向上的投影数量为 三、填空题 11．（25-26高一下·全国·课后作业）已知在边长为2的菱形中，．向量与的夹角为_____________． 12．（25-26高一上·江苏徐州·期末）若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则__________. 13．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知向量与满足，，向量与的夹角为，，则实数=____. 14．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列判断： ①若，则；②已知，，是三个非零向量，若，则；③，共线；④；⑤；⑥；⑦非零向量满足：，则与的夹角为锐角；⑧若，的夹角为，则表示向量在向量方向上的射影长．其中正确的是___________（填序号）． 四、解答题 15．（25-26高一下·全国·课后作业）设，，其中且． (1)求的值； (2)当为何值时，与互相垂直． 16．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在菱形中，其对角线，．求： (1)； (2)在上的投影的数量； (3)在上的投影的数量． 17．（25-26高一上·广东广州·期末）已知向量与的夹角，且． (1)若与垂直，求 (2)求与的夹角的余弦值． 18．（25-26高一上·浙江台州·期末）在中，点为上一点且满足，设，，，. (1)用、表示向量； (2)若，求边的长度. 19．（25-26高一下·全国）如图，半圆的直径，C是半圆上的一点，D，E分别是，上的点，且，，． (1)求证：； (2)求； (3)求向量与向量夹角的余弦值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲：向量的数乘 向量的数量积 【考点梳理】 【知识梳理】 知识一　向量数乘的定义 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|. (2)λa (a≠0)的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝0.，当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 知识二　向量数乘的运算律 .(1)λ(μa)＝(λμ)a. (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 2.向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 知识三　向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 知识四　两向量的夹角与垂直 1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b. 知识点五、　向量数量积的定义 非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0. 知识点六、　投影向量 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e. 知识点七、　平面向量数量积的性质 设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则 (1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. 知识点八、　平面向量数量积的运算律 1.a·b＝b·a(交换律). 2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律). 3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 【题型归纳】 题型一：向量的数乘运算 【例1】．（2026高一·全国）下列各式计算正确的有（　　） ①；②；③；④. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算法则逐一判断即可. 【详解】①③④正确，②错，因. 故选：C 【举一反三】 1．（24-25高一下·浙江·期中）已知，为两个不共线的向量，，，则__________（用，表示） 【答案】 【分析】根据向量线性运算法则计算即可求. 【详解】由题意，，， 所以. 故答案为： 2．（22-23高二上·海南·开学考试）化简： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 3．（23-24高一下·辽宁抚顺·月考）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】应用向量的线性运算计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）. 题型二：平面向量的混合运算 【例2】．（22-23高一下·广东汕头·月考）化简下列各式： (1)． (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用向量的加减法的法则求解即可. （2）直接利用向量的加减法、数乘运算化简即可得出答案. 【详解】（1） . （2）. 【举一反三】 1．（22-23高一下·陕西榆林·月考）如图，在平行四边形中，E、F依次是对角线上的两个三等分点，设，试用与表示和． 【答案】=，=＋. 【分析】根据平行四边形法则及向量加法求解即可. 【详解】==＋=＋(＋)=， ＋=＋(＋)=＋. 2．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量线性运算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由向量的线性运算可得结果. 【详解】（1）； （2）； （3）. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）（1）化简 （2）； （3）设向量，，求． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）由所求式， 因，，则所求式. 题型三：向量的线性运算的几何应用 【例3】．（24-25高一下·安徽滁州·月考）如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算和三角形法则可以得到. 【详解】是边的中点，， ， 是边上靠近点的三等分点,， ， 又，. 故选：C 【举一反三】 1．（24-25高一下·江苏徐州·月考）在中，点在边上，.记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由线段关系得到向量的关系，再由向量的线性运算求出结果即可. 【详解】∵，∴ . 故选：C. 2．（22-23高一下·陕西·期中）如图，在中，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形由向量的线性运算可得. 【详解】因为， 所以，， 又因为， 所以， 所以， 故选：C. 3．（23-24高一上·北京顺义·期中）如图所示，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件及图，利用向量的线性运算即可求出结果. 【详解】因为点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点， 如图，， 故选：A. 题型四：三角形的心的向量表示 【例4】．（24-25高一下·四川·期中）已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（    ） A．垂心，外心，内心 B．重心，外心，内心 C．重心，垂心，外心 D．重心，垂心，内心 【答案】D 【分析】根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心. 利用数量积的定义可判断为内心. 【详解】 由，则， 取的中点，则， 所以，所以是的重心； 由，得，即， 所以，同理，所以点为的垂心. 由，得，则， 而点在内，则，即，因此平分角， 同理分别平分，从而点是的内心， 故选：D 【举一反三】 1．（24-25高一下·江苏宿迁·开学考试）已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】首先由条件判断点是的重心和外心，再根据几何性质判断三角形的形状. 【详解】如图，点是的中点，所以， 因为，即，即， 则点三点共线，且，所以点是的重心， 又，所以点是的外心，则，即， 所以，同理，则， 所以是等边三角形. 故选：C. 2．（2023高一·全国·专题练习）已知，，，是平面上的4个定点，，，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】A 【详解】取线段的中点，则.动点满足：，， 则，即，所以，又，所以三点共线，即点的轨迹是直线，一定通过的重心.故选：A. 3．（2024·陕西西安·一模）已知点是的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】设的中点为D，连接，点是的重心，则P在上， 且 ， 由此可知A，B，C错误，D正确， 故选：D 题型五：数量积的运算 【例5】．（23-24高一下·云南楚雄·月考）已知，的夹角为120°，且，求： (1)； (2)； (3)与的夹角. 【答案】(1)12 (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，， 则； （2）； （3）， 则， 因，则， 故与的夹角为 【举一反三】 1．（22-23高一下·江苏连云港·月考）已知向量与的夹角，且，． (1)求，； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）根据数量积公式及运算律计算得出模长即可； （2）应用数量积公式及运算律计算夹角余弦值即可. 【详解】（1）由向量与的夹角，且，， 得， ； （2）， 又， ∴． 2．（24-25高一下·江苏淮安·月考）已知向量和，且，，求： (1)的值； (2)的值； (3)的夹角的余弦值. 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】（1）根据平面向量的数量积定义计算求解； （2） 应用数量积运算律计算求解模长； （3）应用夹角余弦公式结合数量积运算律计算. 【详解】（1）∵，. ∴ ； （2）∵， ∴； （3）， 3．（24-25高一下·北京·期中）已知向量和，且，求： (1)的值 (2)的值 (3)的夹角的余弦值. 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）由向量数量积的定义即可求解； （2）由即可求解； （3）由向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）. （2）， （3）， 题型六：数量积和模关系问题 【例6】．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知向量满足，且与的夹角为，则_________. 【答案】 【分析】根据平面向量的数量积公式得出，再把模长转化为数量积计算求值. 【详解】因为向量满足，则， 又与的夹角为， 所以， 则. 故答案为：. 【举一反三】 1．（25-26高三上·河北沧州·期中）已知向量，满足，，且，的夹角为，则______． 【答案】 【分析】根据向量模的公式直接求解即可. 【详解】因为，，且，的夹角为60°， 所以， 所以． 故答案为： 2．（24-25高一下·江苏常州·月考）已知向量，满足，，，则______． 【答案】 【分析】根据向量数量积的运算律可得，将已知条件代入有，即可求. 【详解】由，两边平方并展开得， 所以，又，， 所以，则（负值舍）. 故答案为： 3．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知向量满足，且，则______． 【答案】 【分析】由题设，应用向量数量积的运算律及已知可得，即可求模长. 【详解】由题设，，又， 所以，可得， 所以，可得. 故答案为： 题型七：向量夹角的计算 【例7】．（24-25高一下·江苏·月考）若两个单位向量满足，则与的夹角是__________. 【答案】 【分析】通过平方运算将模长变为数量积运算的形式，可构造出关于夹角余弦值的方程，从而求得夹角. 【详解】由题意知：，， 所以，所以， 所以，所以， 所以向量与的夹角是. 故答案为：. 【举一反三】 1、（24-25高一下·江苏南京·月考）已知向量 ，满足，，且，则 ，夹角的余弦值为________． 【答案】 【分析】首先根据得到，再利用夹角公式求解即可. 【详解】，解得， 所以. 故答案为： 2．（24-25高一下·江苏盐城·月考）已知向量、满足，，，则与的夹角等于______ 【答案】 【分析】利用平面向量数量积的运算、定义可计算出，结合平面向量夹角的取值范围可得出的值. 【详解】因为， 可得， 因为，故，即与的夹角为. 故答案为：. 3．（24-25高一下·江苏南京·月考）若是夹角为的两个单位向量，设，则与的夹角为__________. 【答案】 【分析】利用数量积的运算律、向量的夹角公式求解即得. 【详解】由单位向量的夹角为，得， ， ， ， 因此，而，则， 所以与的夹角为. 故答案为： 题型八：垂直关系的向量表示 【例8】．（2026·河南鹤壁·一模）已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数___________． 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积定义求解即得. 【详解】由是夹角为的两个单位向量，得， 由，得，即，所以. 故答案为：4 【举一反三】 1．（25-26高三上·湖北咸宁·月考）已知向量，满足，，且，则_____. 【答案】 【分析】先根据题意求，再求. 【详解】由，，得，. 由， 所以， 所以. 故答案为： 2．（23-24高一下·四川成都·期末）已知平面向量，满足，，，则向量，夹角的余弦值为______． 【答案】 【分析】利用向量的模和向量的数量积的定义，求向量夹角的余弦值. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 则向量，夹角的余弦值为 故答案为：. 3．（2023·河南郑州·模拟预测）已知向量，，，满足，且，，则与的夹角为______． 【答案】或 【分析】根据给定条件，求出向量，的夹角，借助几何图形求出垂直于向量的向量与的夹角，再结合共线向量求解作答. 【详解】依题意，，，则，而，于是， 作向量，有，是边长为1的正三角形，如图， 取的中点，连接，则，且， 而，因此，则与共线， 所以向量与的夹角为或. 故答案为：或 题型九：投影向量 【例10】．（23-24高一下·黑龙江鸡西·期末）已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量定义以及向量数量积定义计算可得结果. 【详解】易知 所以在上的投影向量为. 故选：D 【举一反三】 1．（23-24高一下·四川泸州·期中）已知：，则在方向上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义，在方向上的投影向量为，代入计算即可. 【详解】根据定义，在方向上的投影向量为. 故选：B. 2．（24-25高一下·新疆·期中）已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，故根据数量积定义、投影向量定义即可求解． 【详解】由题意可知，，得到，即， 所以， 则向量在向量上的投影向量是． 故选：B． 3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量数量积的定义求得，再根据投影向量的概念计算即可. 【详解】依题意，， 则， 于是，向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 题型十：向量的数量积综合问题 【例10】．（24-25高一下·江苏·月考）如图，在菱形中，，. (1)若，求的值； (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在菱形中，，， 所以， 又因为，、不共线，故，， 因此，. （2）由平面向量数量积的定义可得， 所以 . 【举一反三】 1．（24-25高一下·江苏·月考）已知平面向量满足，且. (1)求在方向上的投影向量； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将模平方后可得，再有投影向量公式可求投影向量； （2）利用向量垂直的向量形式可求实数的值. 【详解】（1）由，且， 两边平方得，解得， 所以在方向上的投影向量为. （2）因为所以 化简得 所以 解得. 2．（24-25高一下·江苏南通·期中）在平面四边形中，，． (1)设、分别为、的中点． （i）证明：； （ii）若，求与夹角的余弦值． (2)求的值． 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii）. (2) 【分析】（1）（i）由平面向量的加法得出，两式相加可证得结论成立； （ii）由可得出结合平面向量数量积的运算性质可求得的值，即为所求； （2）利用平面向量的线性运算得出，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】（1）（i）如下图所示：    因为、分别为、的中点，所以，， 因为，两个等式相加得； （ii）因为， 则， 即，解得， 即与夹角的余弦值为. （2）， 因此. 3．（25-26高一·江苏·假期作业）如图，在等腰梯形中，，，是边上一点（含端点），与交于点，设．    (1)若，证明：； (2)若，，求的值； (3)求的取值范围． 【详解】（1）由三点共线，可知存在实数，使， 即，化简得 结合，由平面向量基本定理得， 所以． （2）在等腰梯形中，由， 可得， 根据，可得， 又，所以， 所以， 因为三点共线，所以向量共线， 可得，结合，解得， 所以． （3）由（2）知，又， 则， 过作的垂线，垂足分别为， 因为等腰梯形中，， 所以，可得， 又，得， 所以，， 可得 ， 又是边上一点（含端点），，则， 所以．    【高分演练】 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏·月考）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性运算化简可得结果. 【详解】由平面向量的线性运算可得. 故选：C. 2．（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】先求出，再由三点共线，可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 因为三点共线，必存在一个实数，使得， 所以，而不共线， 所以，解得：. 故选：B. 3．（2026·河北·一模）已知向量均为单位向量，且 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律列式求解. 【详解】由向量均为单位向量，且 ， 得，整理得， 即，所以. 故选：D 4．（25-26高一下·全国·课后作业）给出以下五个结论①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用数量积的定义，结合数量积的性质逐项判断即得. 【详解】对于①，，①正确； 对于②，，②正确； 对于③，，③正确； 对于④，与共线，而与共线，与无任何关系，④错误； 对于⑤，是一个实数，且有，⑤错误． 故选：C 5．（2026高一下·全国·专题练习）若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件，根据数量积定义求，再利用向量夹角公式和数量积的性质求结论. 【详解】因为是夹角为的两个单位向量， 所以，， 设为的夹角， ， 故选：A. 6．（25-26高三上·河北唐山·期末）在中，，，，点在边上（不含端点），延长到，若．且，则线段的长度是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求出的值，分析可知为的中点，即可求出的长. 【详解】在中，，，，则， 因为， 则 ， 整理可得，解得或， 当时，则，此时点为的中点， 由题意可知点为线段与的交点，即点与点重合，不符合题意， 当时，，由题意可知，四边形为矩形， 因为为线段与的交点，则为的中点， 故， 故选：B. 二、多选题 7．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，分别是边，的中点，点为的重心，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算，结合三角形重心的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，点为的重心，则，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，即，D正确. 故选：BCD． 8．（24-25高一下·广东揭阳·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据向量的线性关系及加减法计算求解判断各个选项即可. 【详解】对于A，由题意知，E，F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，则，故A正确； 对于，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于，，所以，故D正确． 故选:ABD． 9．（25-26高一上·湖南长沙·期末）下列说法正确的是（    ） A．已知，则的最小值为6 B．在中，若，则为钝角三角形 C．若是的重心，则 D．若与的夹角为，则在方向上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】A选项根据数量积的定义计算，B选项，由数量积判断出的外角为钝角，进一步判断三角形形状，C选项根据重心的向量表达式求解，D选项，根据投影向量公式求解. 【详解】对A，因为， 当反向共线时等号成立，故A正确； 对B，由可知的外角为钝角，所以为锐角， 故不能判断为钝角三角形，故B错误； 对C，由是的重心，可知， 所以，故C正确； 对D，因为与的夹角为， 所以在方向上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD 10．（25-26高一下·全国·单元测试）如图所示，已知正八边形，其中，则下面选项正确的是（   ） A． B． C． D．在方向上的投影数量为 【答案】BC 【分析】求得，可判断A；利用向量的数量积的定义求得判断B；求得的模，结合图形可判断C；利用投影向量的概念计算可判断D. 【详解】对于A，由正八边形，所以， 所以，又，故A错误； 对于B，，的夹角为，所以，故B正确； 对于C，， 所以，， 利用向量的加法法则，结合题图可知，的方向与的方向相反， 所以，故C正确； 对于D，在方向上的投影数量为， 因为，所以，故D错误． 故选：BC． 三、填空题 11．（25-26高一下·全国·课后作业）已知在边长为2的菱形中，．向量与的夹角为_____________． 【答案】/ 【分析】根据菱形的性质和向量夹角的概念求解. 【详解】因为为菱形，所以，又由得， 所以向量与的夹角为． 答案： 12．（25-26高一上·江苏徐州·期末）若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则__________. 【答案】4 【分析】由求得，计算即可得出的结果. 【详解】∵向量在向量上的投影向量为， ∴， ∴，，则， ∴. 故答案为：4 13．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知向量与满足，，向量与的夹角为，，则实数=____. 【答案】 【分析】先根据向量点积公式计算出的值，再利用向量垂直的点积为这一性质，建立方程求解出实数. 【详解】由题可知， 因为，所以， 即，解得. 故答案为：. 14．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列判断： ①若，则；②已知，，是三个非零向量，若，则；③，共线；④；⑤；⑥；⑦非零向量满足：，则与的夹角为锐角；⑧若，的夹角为，则表示向量在向量方向上的射影长．其中正确的是___________（填序号）． 【答案】①②⑥ 【分析】根据数量积公式逐一判断即可. 【详解】对于①，由于，，．则．故①正确； 对于②，若，则，又，，是三个非零向量．所以， 所以，②正确； 对于③，，共线，所以③错误； 对于④，应有，所以④错误； 对于⑤，应该是， 是一个向量，而 是一个标量，二者不相等，故⑤错误； 对于⑥，，故⑥正确； 对于⑦，当与的夹角为时，也有，因此⑦错误； 对于⑧，表示向量在向量方向上的投影的数量，而非射影长，故⑧错误． 综上可知①②⑥正确． 故答案为：①②⑥ 四、解答题 15．（25-26高一下·全国·课后作业）设，，其中且． (1)求的值； (2)当为何值时，与互相垂直． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用数量积的运算律求出向量的模. （2）利用数量积的运算律，结合垂直关系的向量表示求解. 【详解】（1）由，得，则， 所以 （2）依题意，，，， 由与垂直，得， 即，所以． 16．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在菱形中，其对角线，．求： (1)； (2)在上的投影的数量； (3)在上的投影的数量． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先由菱形的性质可得，，进而在直角三角形可得，再由数量积的定义可得； （2）直接由平面向量数量积的几何意义计算可得； （3）直接由平面向量数量积的几何意义计算可得. 【详解】（1）根据菱形的性质得， 所以在直角三角形中，，，由勾股定理得. 为直角三角形，且． ，． 所以． （2）在上的投影的数量为． （3）在上的投影的数量为 ． 17．（25-26高一上·广东广州·期末）已知向量与的夹角，且． (1)若与垂直，求 (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的定义和向量垂直进行求解； （2）利用平面向量夹角公式求解. 【详解】（1）由已知，得， 由与垂直，则，则； （2）， 设与的夹角为， 则， 与的夹角的余弦值为. 18．（25-26高一上·浙江台州·期末）在中，点为上一点且满足，设，，，. (1)用、表示向量； (2)若，求边的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式； （2）利用平面向量数量积的运算性质可求得的值，再利用平面向量数量积的性质可求得的值. 【详解】（1）. （2）因为， ； 由题意得，解得， 所以 . 19．（25-26高一下·全国）如图，半圆的直径，C是半圆上的一点，D，E分别是，上的点，且，，． (1)求证：； (2)求； (3)求向量与向量夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． (3)． 【分析】（1）先通过勾股定理逆定理证明为直角三角形，再结合直径所对圆周角为直角，证明，从而得到向量与平行； （2）由证明，再利用相似三角形对应边成比例求出的长度，即； （3）将向量与夹角转化为，再在直角三角形中直接求出该角的余弦值. 【详解】（1）证明：因为，，所以，又，， 所以，所以是直角三角形，． 因为为直径，所以． 所以，故． （2）因为，所以， 所以，即， 解得，即． （3）向量与向量的夹角即向量与向量的夹角，而， 所以向量与向量夹角的余弦值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $