1. 曲线运动（同步讲义）物理人教版必修第二册

1. 曲线运动 【知识梳理】 1 一、曲线运动的速度方向 1 二、物体做曲线运动的条件 2 【重难探究】 2 探究1 曲线运动的性质 2 探究2 对曲线运动条件的理解 5 【课堂自测·基础练】 8 【素养进阶·提升练】 16 【知识梳理】 一、曲线运动的速度方向 1、曲线运动定义：轨迹是曲线的运动叫曲线运动。 2、曲线运动特点 （1）速度方向：质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向。对于曲线运动而言，每一时刻的速度都是沿着轨迹的切线方向。 极限思维法求速度的方向：如图所示，若质点在一段时间内从B点运动到A点，则质点的平均速度的方向由B点指向A点。当B点越来越靠近A点时，质点的平均速度方向将越来越接近A点的切线方向。当B点与A点的距离接近0时，质点在A点的速度方向沿过A点的切线方向。 （2）运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动，即必然具有加速度。 ★特别提醒 变速运动不一定是曲线运动，如匀变速直线运动，曲线运动一定是变速运动，因为速度方向一定变化，曲线运动不一定是非匀变速运动，如平拋运动是曲线运动，也是匀变速运动。 【探究归纳】曲线运动是物体轨迹为曲线的运动，核心特点是速度方向沿轨迹切线，速度时刻变化（必有加速度），合外力与速度不共线。 二、 1、从动力学角度看：物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上。 2、从运动学角度看：物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。 3、运动轨迹的判断 (1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动；若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动。 (2)物体做曲线运动时，合力指向轨迹的凹侧；运动轨迹在速度方向与合力方向所夹的区间。可速记为“无力不弯，力速两边”。 4、对于给定的轨迹、速度（运动）方向或受力（加速度）情况，三者中的两个即可大致判断第三个物理量的情况。 5、对于曲线运动的轨迹类问题，从以下三个角度分析： （1）速度沿切线方向。 （2）受力（加速度）指向曲线的侧。 （3）轨迹在速度和力之间。 【探究归纳】物体做曲线运动的条件是：合外力（或加速度）与物体的瞬时速度方向不共线（存在夹角），且合外力始终指向轨迹的凹侧。 【重难探究】 探究1 曲线运动的性质 【探究导入】 1．如图所示，游乐场中的摩天轮在竖直面内转动．当乘客到达最高点时，乘客的速度沿什么方向？当摩天轮匀速转动时，乘客的速度是否发生变化？ 提示：沿水平方向；乘客做曲线运动，速度方向不断变化． 2．如图所示，砂轮上打磨下来的炽热微粒沿什么方向飞出？如何确定物体在某一点的速度方向？ 提示：从砂轮上打磨下来的炽热微粒沿脱落点的切线方向飞出，所以物体在某一点的速度方向沿曲线在这一点的切线方向． 3．为什么曲线运动一定是变速运动？ 提示：由于曲线运动的速度方向时刻在变化，不论其速度大小是否变化，其速度一定变化，因此曲线运动一定是变速运动． 【探究归纳】 1．曲线运动的速度方向：曲线运动中某时刻的速度方向就是该相应位置点的切线方向． 2．曲线运动是变速运动：由于做曲线运动的物体的速度方向时刻在变化，不管速度大小是否变化，因为速度是矢量，物体的速度时刻在变化，所以曲线运动一定是变速运动，一定有加速度，但加速度不一定变化． 3．运动的五种类型 轨迹特点 加速度特点 运动性质 直线 加速度为零 匀速直线运动 加速度不变 匀变速直线运动 加速度变化 变加速直线运动 曲线 加速度不变 匀变速曲线运动 加速度变化 变加速曲线运动 【典例赏析】 [例1]　下列说法正确的是(　　) A．做曲线运动的物体速度方向一定发生变化 B．速度方向发生变化的运动一定是曲线运动 C．速度变化的运动一定是曲线运动 D．加速度变化的运动一定是曲线运动 【答案】A 【解析】做曲线运动的物体的速度方向时刻发生变化，故A正确；速度方向发生变化不是判断物体做曲线运动的条件，而是曲线运动的特点，如物体在弹簧作用下的往返运动，物体速度方向改变，但做直线运动，故B错误；速度是矢量，速度的变化包括大小和方向的变化，如匀变速直线运动，物体速度大小发生变化，但不是做曲线运动，故C错误；做直线运动的物体加速度也可以变化，如变加速直线运动，故D错误． 【规律方法】 ★曲线运动性质的两种判断方法 (1)看物体的合外力．若物体的合外力为恒力，则它做匀变速曲线运动；若物体的合外力为变力，则它做非匀变速曲线运动． (2)看物体的加速度．若物体的加速度不变，则它做匀变速曲线运动；若物体的加速度变化，则它做非匀变速曲线运动． 【针对训练】 1．2020年7月10日，F1官方发布更新后，F1(世界一级方程式赛车锦标赛)将于2020年9月27日在索契赛道举办俄罗斯大奖赛．假如在弯道上高速行驶的赛车，突然后轮脱离赛车，关于脱离赛车后的车轮的运动情况，以下说法正确的是(　　) A．仍然沿着汽车行驶的弯道运动 B．沿着与弯道垂直的方向飞出 C．沿着脱离时轮子前进的方向做直线运动，离开弯道 D．上述情况都有可能 【答案】C 【解析】赛车沿弯道行驶，任一时刻赛车上任何一点的速度方向都是赛车运动的曲线轨迹上对应点的切线方向．被甩出的后轮的速度方向就是甩出点所在轨迹的切线方向．所以C选项正确． 2．(多选)关于曲线运动的速度，下列说法正确的是(　　) A．速度的大小与方向都在时刻变化 B．速度的大小不断发生变化，速度的方向不一定发生变化 C．速度的方向不断发生变化，速度的大小不一定发生变化 D．质点在某一点的速度方向就是轨迹上该点的切线方向 【答案】CD 【解析】做曲线运动的物体，速度的大小可以不发生变化，但速度的方向一定会发生变化，故A、B错误，C正确；质点在某一点的速度方向就是轨迹上该点的切线方向，D正确． 探究2 对曲线运动条件的理解 【探究导入】 如图所示，将圆弧形滑轨放在铺了一层白纸的平滑桌面上，使其底端与桌面相切，让钢球从圆弧形滑轨滚下获得一定的初速度．为便于观察，在离开滑轨处沿钢球运动方向用直尺在白纸上画一直线．图甲中将条形磁铁沿直线放置；图乙中将条形磁铁放在钢球运动路线的旁边． 甲　　　　　　　乙 (1)图甲中钢球从滑轨上滚下时，观察钢球做什么运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向有什么关系？ (2)图乙中钢球从滑轨上滚下时，观察钢球做什么运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向有什么关系？ 提示：(1)钢球做加速直线运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向相同． (2)钢球做曲线运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向不在同一条直线上． 【探究归纳】 1．物体做曲线运动的条件 (1)动力学条件：合力方向与速度方向不共线，这包含三个层次的内容：①初速度不为零；②合力不为零；③合力方向与速度方向不共线． (2)运动学条件：加速度方向与速度方向不共线． 2．曲线运动的轨迹与速度、合力的关系 做曲线运动的物体的轨迹与速度方向相切，并向合力方向弯曲，(如图所示)夹在速度方向与合力方向之间． 3．合外力与速率变化的关系 若合力方向与速度方向的夹角为α，则： 甲　　　　　乙　　　　　丙 【例2】　质点沿如图所示的轨迹从A点运动到B点，已知其速度逐渐减小，图中能正确表示质点在C点处受力的是(　　) A　　　　　B　　　　　　C　　　　　D 【答案】C 【解析】根据曲线运动中合力F应指向轨迹的“凹侧”，可排除A、D项；在B项中，F的方向与v的方向成锐角，质点从A到B加速，故B错；在C项中，F的方向与v的方向成钝角，质点从A到B减速，故C正确． 【规律方法】 ★力和运动轨迹关系的两点提醒 (1)物体的运动轨迹由初速度、合外力两个因素决定，轨迹在合外力与速度之间且与速度相切． (2)物体在恒力作用下做曲线运动时，速度的方向将越来越接近力的方向，但不会与力的方向相同． 【针对训练】 3．(多选)物体受到几个力作用而做匀速直线运动，若突然撤去其中的一个力，它可能做(　　) A．匀速直线运动　　　　　 B．匀加速直线运动 C．匀减速直线运动 D．匀变速曲线运动 【答案】BCD 【解析】剩余几个力的合力恒定不为零，所以物体不可能做匀速直线运动，选项A错误．剩余的几个力的合力与撤去的力等值、反向、共线，所以这个合力恒定不变，物体一定做匀变速运动．若物体的速度方向与此合力方向相同，则物体做匀加速直线运动；若剩余的几个力的合力与物体的速度方向相反，则物体做匀减速直线运动；若剩余几个力的合力与速度不共线，物体做匀变速曲线运动，选项B、C、D正确． 4．(多选)在光滑水平面上有一质量为2 kg的物体，受几个共点力作用做匀速直线运动．现突然将与速度反方向的2 N的力水平旋转90°，则关于物体运动情况的叙述正确的是(　　) A．物体做速度大小不变的曲线运动 B．物体做加速度为 m/s2的匀变速曲线运动 C．物体做速度越来越大的曲线运动 D．物体做非匀变速曲线运动，其速度越来越大 【答案】BC 【解析】物体原来所受合力为零，当将与速度反方向的2 N的力水平旋转90°后，其受力如图所示，其中Fx＝Fy＝2 N，F是Fx、Fy的合力，即F＝2 N，且大小、方向都不变，是恒力，那么物体的加速度为a＝＝ m/s2＝ m/s2恒定．又因为F与v夹角θ<90°，所以物体做速度越来越大，加速度恒为 m/s2的匀变速曲线运动，故正确答案是B、C两项． 【课堂自测·基础练】 1．如图所示，在地面上的M点竖直上抛一个皮球，由于受到水平向右的恒定风力作用（不考虑空气阻力），皮球在竖直面内做曲线运动的轨迹如图中实线所示。皮球运动到N点时，其速度方向恰好改变了90°，则在皮球从M点运动到N点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．皮球的运动轨迹是一段圆弧 B．皮球做匀变速曲线运动 C．皮球的速率不断增大 D．皮球的速率先增大后减小 【答案】B 【详解】AB．因为皮球受重力和水平风力作用，合力恒定，所以皮球做匀变速曲线运动，故A错误，B正确； CD．合力方向斜向右下方，则皮球在运动过程中，速度方向与合力的夹角先大于90°后小于90°，速率先减小后增大，故CD错误。 故选B。 2．一质点从点到点做曲线运动，当它通过点时，下列关于质点速度和加速度的关系图可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】质点做曲线运动，速度方向处于轨迹的切线方向，加速度方向位于轨迹的凹侧。 故选A。 3．一物体在水平面上做曲线运动，依次经过P、Q、R三点，已知物体在P点速度方向水平向右。下列判断正确的是（　　） A．物体在Q点的速度方向一定与PQ段轨迹的延长线方向一致 B．物体在R点的速度方向，一定沿QR段轨迹在R点的切线方向 C．若物体从P到Q速度大小不变，则其在Q点速度方向不变 D．若物体在Q点速度方向竖直向上，则其轨迹在Q点的切线方向水平向左 【答案】B 【详解】A．物体在曲线运动中某点的速度方向沿该点轨迹的切线方向。Q点的速度方向应为QR段轨迹在Q点的切线方向，而非PQ段的延长线方向，故A错误。 B．曲线运动中，某点的速度方向沿该点轨迹的切线方向。R点的速度方向必沿QR段轨迹在R点的切线方向，故B正确。 C．速度大小不变时，方向仍可能变化（如匀速圆周运动）。因此物体在Q点的速度方向可能改变，故C错误。 D．若Q点速度方向竖直向上，则轨迹在Q点的切线方向应与速度方向一致，即竖直向上，而非水平向左，故D错误。 故选B。 4．2024年9月25日，解放军向太平洋方向发射一枚洲际弹道导弹，该导弹的射程约12000公里，采用了钱学森弹道设计理念。如图所示为导弹从起飞到击中目标的轨迹示意图，导弹在点加速冲向目标，图中所示四个点中速度方向和所受合力方向的示意图，可能正确的是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】根据曲线运动的特点，可知速度v方向沿运动轨迹的切线方向，合力F方向指向运动轨迹的凹侧，轨迹在两者之间；其中在点加速冲向目标，则此时合力F方向与速度v方向的夹角小于；故图中所示四个点中速度方向和所受合力方向的示意图，可能正确的是点。 故选B。 5．关于平抛运动的性质，下列说法正确的是（　　） A．平抛运动是匀变速曲线运动 B．平抛运动是变加速曲线运动 C．平抛运动的速度方向始终与加速度方向垂直 D．平抛运动的加速度随时间逐渐增大 【答案】A 【详解】A．平抛运动的加速度为重力加速度g，大小和方向均恒定，因此是匀变速曲线运动，故A正确； B．平抛运动的加速度恒定，不属于变加速运动，故B错误； C．平抛运动的加速度方向竖直向下，速度方向沿轨迹的切线方向。仅在时速度方向与加速度方向垂直，时速度方向与加速度方向不垂直，故C错误； D．平抛运动的加速度始终为g，不随时间变化，故D错误。 故选A。 6．如图所示，足球被踢出后在空中依次经过a、b、c三点的运动轨迹示意图，b为最高点，a、c两点等高。则足球 （  ） A．在b点的速度为零 B．在b点的加速度方向竖直向下 C．在a、c两点的速度大小相等 D．在ab间的运动时间小于bc间的运动时间 【答案】D 【详解】A．在b点，足球竖直方向速度为零而水平方向速度向右，A错误； B．在b点，足球运动方向向右，空气阻力水平向左，还受竖直向下的重力，则合外力斜向下，故此刻足球的加速度斜向下，B错误； CD．足球被踢出后，受到重力和空气阻力，当从a运动到b过程中竖直方向上重力和空气阻力都向下，从b运动到c过程中空气阻力向上，故由a运动到b过程中的竖直方向上的加速度大于由b运动到c过程中的加速度，a、c两点等高，故从a运动到b的时间小于从b运动到c的，在a的速度大于c点的速度，故C错误，D正确。 故选D。 7．“2025济南国际泉水节——‘泉染星穹’无人飞机秀”在大明湖上空拉开帷幕。5000架无人机绘制出一幅璀璨画卷，点亮泉城夜空。在无人机运动的过程中，以下说法中正确的是（    ） A．无人机的速度变化得越多，加速度一定越大 B．无人机的速度变化越快，加速度一定越大 C．无人机的加速度不断减小，则速度一定越来越小 D．无人机的加速度方向保持不变，则速度方向也一定保持不变 【答案】B 【详解】A．加速度，速度变化量大，若时间长，加速度不一定大，故A错误； B．加速度反映速度变化的快慢，速度变化越快加速度越大，故B正确； C．如果加速度与速度方向相同，无论加速度增大、减小还是保持不变，速度都会增大，故C错误； D．加速度方向不变时，如果与初速度方向不在同一直线上，则会做曲线运动，故D错误。 故选B。 8．一列车沿直线向右匀加速运动的过程中，列车车厢顶部落下一个小物块，不计空气阻力，则物块相对车厢的轨迹a和相对地面的轨迹b均可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】物块从车厢顶部落下后，在水平方向上，由于不计空气阻力，它不受任何水平力作用。根据牛顿第一定律（惯性定律），物块将保持脱离车厢瞬间的水平速度做匀速直线运动。在竖直方向上，物块只受重力作用，做自由落体运动。因此，物块相对地面的运动是平抛运动，其轨迹是一条抛物线。 以车厢为参考系，在物块下落的过程中，车厢在水平方向上向右做匀加速直线运动，而物块在水平方向上做匀速直线运动。因此，物块在水平方向上相对于车厢向左做初速度为零的匀加速直线运动（加速度大小等于车厢的加速度，方向向左）。在竖直方向上，物块相对于车厢做自由落体运动。 物块相对于车厢的运动，可以看作是水平方向向左的匀加速直线运动和竖直方向向下的匀加速直线运动（自由落体）的合运动。由于这两个分运动都是从静止开始的，根据运动的合成，其合运动的轨迹是一条过起点的直线，方向指向左下方。 故选B。 9．（多选）2024年巴黎奥运会上，全红婵获得女子单人跳水10 m跳台金牌，成为中国奥运史上最年轻的三金得主。如图所示，虚线描绘的是某跳水运动员的头部运动轨迹，最后该运动员沿竖直方向以速度v入水。在图中标注的1、2、3、4四个位置中，头部速度方向与v方向相反的是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BD 【详解】物体做曲线运动的速度方向为轨迹在该点的切线方向，所以1位置的速度方向水平向左，2位置的速度方向竖直向上，3位置的速度方向竖直向下，4位置的速度方向竖直向上，所以头部速度方向与v方向相反的是2位置和4位置。 故选BD。 10．（多选）如图，足够大光滑水平桌面上有一小球，以某一初速度在桌面内匀速运动。某时刻小球经过位置时，受到一个方向位于桌面内的恒力作用，关于小球此后在桌面上的运动，下列说法正确的是（　　） A．小球不会再次回到位置 B．小球的速度大小可能先变小后变大 C．在相同时间内小球的速度变化量相同 D．经过一段时间，小球的速度方向不可能与初速度的方向垂直 【答案】BC 【详解】AB．若恒力方向与方向相反，则小球先沿方向做匀减速直线运动，再反向做匀加速直线运动，小球会再次回到位置；小球的速度大小先变小后变大，故A错误，B正确； C．由于小球受到恒力作用，根据牛顿第二定律可知，小球的加速度保持不变，根据可知，在相同时间内小球的速度变化量相同，故C正确； D．若小球受到的恒力与方向的夹角大于，且不在同一直线上，则小球沿方向做匀减速直线运动，同时垂直方向做匀加速直线运动，当方向速度减为0时，此时小球的速度方向与初速度的方向垂直，故D错误。 故选BC。 11．（多选）关于曲线运动，下列说法中正确的是（　　） A．做曲线运动的物体所受合力可以为零 B．合力不为零的运动一定是曲线运动 C．曲线运动的速度方向一定是改变的 D．曲线运动的加速度一定不为零 【答案】CD 【详解】AD．做曲线运动的物体所受合力一定不为零，加速度一定不为零，故A错误，D正确； B．合力不为零的运动，如果合力与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动，故B错误； C．曲线运动的速度方向沿轨迹的切线方向，所以速度方向一定是改变的，故C正确。 故选CD。 12．（多选）如图所示，甲、乙两运动物体在t1、t2、t3时刻的速度矢量分别为、、和、、，下列说法中正确的是（　　） A．甲做的一定不是直线运动 B．乙做的可能是直线运动 C．甲受到的合力不可能是恒力 D．乙受到的合力不可能是恒力 【答案】AD 【详解】AB．甲、乙的速度方向在变化，所以甲、乙不可能做直线运动，故A正确，B错误； C．由图可知甲的速度变化量的方向不变，则加速度的方向不变，可知甲的加速度可能不变，根据牛顿第二定律，可知甲的合力可能是恒力。故C错误； D．由图知乙的速度变化量方向在改变，则加速度的方向改变，所以乙的合力不可能是恒力。故D正确。 故选AD。 13．（多选）目前国内人形机器人产业迎来显著进展，不少企业积极布局并发布产品，人形机器人的时刻即将到来。如图为某新型机器人，在一次执行任务过程中，给它设定了如下动作程序：机器人在平面坐标系内，由点出发，沿直线运动到点，然后又由点沿直线运动到点，第一个过程机器人用时1s，第二个过程中机器人所用时间是。则（　　） A．机器人做的是曲线运动 B．第一个过程的平均速度大小为 C．整个过程中机器人的位移大小为 D．整个过程中机器人的平均速率 【答案】BC 【详解】A．机器人所做的运动为两段直线构成的折线，做曲线运动的物体速度方向时刻发生变化，所以机械人做的不是曲线运动，故A错误； B．第一个过程的位移为 第一个过程的平均速度为 故B正确； C．整个过程从点到点，所以整个过程的位移为 故C正确； D．第一个过程的路程为 第二个过程的位移为 路程为 整个过程的总路程为 整个过程中机器人的平均速率为 故D错误。 故选BC。 14．如图，一物体沿曲线由M向N运动，速率逐渐减小，则物体在P点的速度沿 （填“1”、“2”、“3”或“4”）方向；物体在P点的受力沿 （填“1”、“2”、“3”或“4”）方向。 【答案】 1 4 【详解】[1]物体做曲线运动时，速度方向沿轨迹的切线方向。在P点，轨迹的切线方向是1方向，因此物体在P点的速度沿1方向。 [2]物体做曲线运动时，合力方向指向轨迹的凹侧；同时速率逐渐减小，可知合力方向与速度方向成钝角，故受力方向沿4方向。 15．如图为砂轮打磨下来随砂轮边缘运动的炽热微粒飞离砂轮时的情形，微粒离开砂轮的时刻不同，飞离时的速度方向也不一样。 (1)微粒离开砂轮瞬间速度方向如何？ (2)微粒在离开砂轮前速度是否变化？ 【详解】（1）微粒未离开砂轮前，随着砂轮一起做匀速圆周运动，轨迹为圆，离开砂轮瞬间速度为圆周上该点的切线方向，也即沿离开砂轮时该点的切线方向。 （2）微粒在离开砂轮前做圆周运动，速度是不断变化的。 【素养进阶·提升练】 1． 某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】篮球做曲线运动，所受合力指向运动轨迹的凹侧。 故选A。 2．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）书法课上，某同学临摹“力”字时，笔尖的轨迹如图中带箭头的实线所示。笔尖由a点经b点回到a点，则（   ） A．该过程位移为0 B．该过程路程为0 C．两次过a点时速度方向相同 D．两次过a点时摩擦力方向相同 【答案】A 【详解】A．笔尖由a点经b点回到a点过程，初位置和末位置相同，位移为零，故A正确； B．笔尖由a点经b点回到a点过程，轨迹长度不为零，则路程不为零，故B错误； C．两次过a点时轨迹的切线方向不同，则速度方向不同，故C错误； D．摩擦力方向与笔尖的速度方向相反，则两次过a点时摩擦力方向不同，故D错误。 故选A 。 3．图为“玉兔二号”巡视器在月球上从O处行走到B处的照片，轨迹OA段是直线，AB段是曲线，巡视器质量为135kg，则巡视器（　　）    A．受到月球的引力为1350N B．在AB段运动时一定有加速度 C．OA段与AB段的平均速度方向相同 D．从O到B的位移大小等于OAB轨迹长度 【答案】B 【详解】A．在月球上的g与地球不同，故质量为135kg的巡视器受到月球的引力不是1350N，故A错误； B．由于在AB段运动时做曲线运动，速度方向一定改变，一定有加速度，故B正确； C．平均速度的方向与位移方向相同，由图可知OA段与AB段位移方向不同，故平均速度方向不相同，故C错误； D．根据位移的定义可知从O到B的位移大小等于OB的连线长度，故D错误。 故选B。 4．如图为小猫蹬地跃起腾空追蝶的情景，则（　　） A．飞行的蝴蝶只受重力的作用 B．蝴蝶转弯时所受合力沿运动方向 C．小猫在空中受重力和弹力的作用 D．小猫蹬地时弹力大于所受重力 【答案】D 【详解】A．飞行的蝴蝶除了受到重力的作用还受到空气的作用力，故A错误； B．蝴蝶转弯时做曲线运动，所受合力与速度方向不在一条直线上，故B错误； C．小猫在空中与其他物体间没有接触，不受弹力的作用，故C错误； D．小猫蹬地时有向上的加速过程，故弹力大于所受重力，故D正确。 故选D。 5．（2025·河北·模拟预测）（多选）雨滴受空气的作用，在地面附近会以恒定的速率下落，该速度被称为雨滴的终端速度。如图所示，下雨时，某人竖直撑着雨伞向左行走，假定水滴从伞的珠尾处下落瞬间相对雨伞的速度沿竖直方向，当人向左走时，他看到的从身侧珠尾滴落的水滴的轨迹可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】A．根据题图，雨滴在落到雨伞上之前,斜向左下做直线运动，雨滴一定受到重力,则空气对雨滴的作用力一定有向左的分量，即存在向左的风。若水滴因风产生的向左的加速度与人的加速度相等,轨迹可能如A所示，故A正确； B．结合上述分析可知，若人做减速或匀速运动,轨迹可能如B所示，故B正确; C．同理可知，若人向左的加速度较大，轨迹可能如C所示，故C正确； D．水滴从珠尾滴落时相对伞的速度沿竖直方向,即轨迹最上端的切线一定沿竖直方向,故D错误。 故选ABC。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1. 曲线运动 【题型导航】 【知识梳理】 1 一、曲线运动的速度方向 1 二、物体做曲线运动的条件 2 【重难探究】 2 探究1 曲线运动的性质 2 探究2 对曲线运动条件的理解 5 【课堂自测·基础练】 8 【素养进阶·提升练】 16 【知识梳理】 一、曲线运动的速度方向 1、曲线运动定义：轨迹是曲线的运动叫曲线运动。 2、曲线运动特点 （1）速度方向：质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向。对于曲线运动而言，每一时刻的速度都是沿着轨迹的切线方向。 极限思维法求速度的方向：如图所示，若质点在一段时间内从B点运动到A点，则质点的平均速度的方向由B点指向A点。当B点越来越靠近A点时，质点的平均速度方向将越来越接近A点的切线方向。当B点与A点的距离接近0时，质点在A点的速度方向沿过A点的切线方向。 （2）运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动，即必然具有加速度。 ★特别提醒 变速运动不一定是曲线运动，如匀变速直线运动，曲线运动一定是变速运动，因为速度方向一定变化，曲线运动不一定是非匀变速运动，如平拋运动是曲线运动，也是匀变速运动。 【探究归纳】曲线运动是物体轨迹为曲线的运动，核心特点是速度方向沿轨迹切线，速度时刻变化（必有加速度），合外力与速度不共线。 二、 1、从动力学角度看：物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上。 2、从运动学角度看：物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。 3、运动轨迹的判断 (1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动；若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动。 (2)物体做曲线运动时，合力指向轨迹的凹侧；运动轨迹在速度方向与合力方向所夹的区间。可速记为“无力不弯，力速两边”。 4、对于给定的轨迹、速度（运动）方向或受力（加速度）情况，三者中的两个即可大致判断第三个物理量的情况。 5、对于曲线运动的轨迹类问题，从以下三个角度分析： （1）速度沿切线方向。 （2）受力（加速度）指向曲线的侧。 （3）轨迹在速度和力之间。 【探究归纳】物体做曲线运动的条件是：合外力（或加速度）与物体的瞬时速度方向不共线（存在夹角），且合外力始终指向轨迹的凹侧。 【重难探究】 探究1 曲线运动的性质 【探究导入】 1．如图所示，游乐场中的摩天轮在竖直面内转动．当乘客到达最高点时，乘客的速度沿什么方向？当摩天轮匀速转动时，乘客的速度是否发生变化？ 提示：沿水平方向；乘客做曲线运动，速度方向不断变化． 2．如图所示，砂轮上打磨下来的炽热微粒沿什么方向飞出？如何确定物体在某一点的速度方向？ 提示：从砂轮上打磨下来的炽热微粒沿脱落点的切线方向飞出，所以物体在某一点的速度方向沿曲线在这一点的切线方向． 3．为什么曲线运动一定是变速运动？ 提示：由于曲线运动的速度方向时刻在变化，不论其速度大小是否变化，其速度一定变化，因此曲线运动一定是变速运动． 【探究归纳】 1．曲线运动的速度方向：曲线运动中某时刻的速度方向就是该相应位置点的切线方向． 2．曲线运动是变速运动：由于做曲线运动的物体的速度方向时刻在变化，不管速度大小是否变化，因为速度是矢量，物体的速度时刻在变化，所以曲线运动一定是变速运动，一定有加速度，但加速度不一定变化． 3．运动的五种类型 轨迹特点 加速度特点 运动性质 直线 加速度为零 匀速直线运动 加速度不变 匀变速直线运动 加速度变化 变加速直线运动 曲线 加速度不变 匀变速曲线运动 加速度变化 变加速曲线运动 【典例赏析】 [例1]　下列说法正确的是(　　) A．做曲线运动的物体速度方向一定发生变化 B．速度方向发生变化的运动一定是曲线运动 C．速度变化的运动一定是曲线运动 D．加速度变化的运动一定是曲线运动 【规律方法】 ★曲线运动性质的两种判断方法 (1)看物体的合外力．若物体的合外力为恒力，则它做匀变速曲线运动；若物体的合外力为变力，则它做非匀变速曲线运动． (2)看物体的加速度．若物体的加速度不变，则它做匀变速曲线运动；若物体的加速度变化，则它做非匀变速曲线运动． 【针对训练】 1．2020年7月10日，F1官方发布更新后，F1(世界一级方程式赛车锦标赛)将于2020年9月27日在索契赛道举办俄罗斯大奖赛．假如在弯道上高速行驶的赛车，突然后轮脱离赛车，关于脱离赛车后的车轮的运动情况，以下说法正确的是(　　) A．仍然沿着汽车行驶的弯道运动 B．沿着与弯道垂直的方向飞出 C．沿着脱离时轮子前进的方向做直线运动，离开弯道 D．上述情况都有可能 2．(多选)关于曲线运动的速度，下列说法正确的是(　　) A．速度的大小与方向都在时刻变化 B．速度的大小不断发生变化，速度的方向不一定发生变化 C．速度的方向不断发生变化，速度的大小不一定发生变化 D．质点在某一点的速度方向就是轨迹上该点的切线方向 探究2 对曲线运动条件的理解 【探究导入】 如图所示，将圆弧形滑轨放在铺了一层白纸的平滑桌面上，使其底端与桌面相切，让钢球从圆弧形滑轨滚下获得一定的初速度．为便于观察，在离开滑轨处沿钢球运动方向用直尺在白纸上画一直线．图甲中将条形磁铁沿直线放置；图乙中将条形磁铁放在钢球运动路线的旁边． 甲　　　　　　　乙 (1)图甲中钢球从滑轨上滚下时，观察钢球做什么运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向有什么关系？ (2)图乙中钢球从滑轨上滚下时，观察钢球做什么运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向有什么关系？ 提示：(1)钢球做加速直线运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向相同． (2)钢球做曲线运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向不在同一条直线上． 【探究归纳】 1．物体做曲线运动的条件 (1)动力学条件：合力方向与速度方向不共线，这包含三个层次的内容：①初速度不为零；②合力不为零；③合力方向与速度方向不共线． (2)运动学条件：加速度方向与速度方向不共线． 2．曲线运动的轨迹与速度、合力的关系 做曲线运动的物体的轨迹与速度方向相切，并向合力方向弯曲，(如图所示)夹在速度方向与合力方向之间． 3．合外力与速率变化的关系 若合力方向与速度方向的夹角为α，则： 甲　　　　　乙　　　　　丙 【例2】　质点沿如图所示的轨迹从A点运动到B点，已知其速度逐渐减小，图中能正确表示质点在C点处受力的是(　　) A　　　　　B　　　　　　C　　　　　D 【规律方法】 ★力和运动轨迹关系的两点提醒 (1)物体的运动轨迹由初速度、合外力两个因素决定，轨迹在合外力与速度之间且与速度相切． (2)物体在恒力作用下做曲线运动时，速度的方向将越来越接近力的方向，但不会与力的方向相同． 【针对训练】 3．(多选)物体受到几个力作用而做匀速直线运动，若突然撤去其中的一个力，它可能做(　　) A．匀速直线运动　　　　　 B．匀加速直线运动 C．匀减速直线运动 D．匀变速曲线运动 4．(多选)在光滑水平面上有一质量为2 kg的物体，受几个共点力作用做匀速直线运动．现突然将与速度反方向的2 N的力水平旋转90°，则关于物体运动情况的叙述正确的是(　　) A．物体做速度大小不变的曲线运动 B．物体做加速度为 m/s2的匀变速曲线运动 C．物体做速度越来越大的曲线运动 D．物体做非匀变速曲线运动，其速度越来越大 【课堂自测·基础练】 1．如图所示，在地面上的M点竖直上抛一个皮球，由于受到水平向右的恒定风力作用（不考虑空气阻力），皮球在竖直面内做曲线运动的轨迹如图中实线所示。皮球运动到N点时，其速度方向恰好改变了90°，则在皮球从M点运动到N点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．皮球的运动轨迹是一段圆弧 B．皮球做匀变速曲线运动 C．皮球的速率不断增大 D．皮球的速率先增大后减小 2．一质点从点到点做曲线运动，当它通过点时，下列关于质点速度和加速度的关系图可能正确的是（　　） A． B． C． D． 3．一物体在水平面上做曲线运动，依次经过P、Q、R三点，已知物体在P点速度方向水平向右。下列判断正确的是（　　） A．物体在Q点的速度方向一定与PQ段轨迹的延长线方向一致 B．物体在R点的速度方向，一定沿QR段轨迹在R点的切线方向 C．若物体从P到Q速度大小不变，则其在Q点速度方向不变 D．若物体在Q点速度方向竖直向上，则其轨迹在Q点的切线方向水平向左 4．2024年9月25日，解放军向太平洋方向发射一枚洲际弹道导弹，该导弹的射程约12000公里，采用了钱学森弹道设计理念。如图所示为导弹从起飞到击中目标的轨迹示意图，导弹在点加速冲向目标，图中所示四个点中速度方向和所受合力方向的示意图，可能正确的是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 5．关于平抛运动的性质，下列说法正确的是（　　） A．平抛运动是匀变速曲线运动 B．平抛运动是变加速曲线运动 C．平抛运动的速度方向始终与加速度方向垂直 D．平抛运动的加速度随时间逐渐增大 6．如图所示，足球被踢出后在空中依次经过a、b、c三点的运动轨迹示意图，b为最高点，a、c两点等高。则足球 （  ） A．在b点的速度为零 B．在b点的加速度方向竖直向下 C．在a、c两点的速度大小相等 D．在ab间的运动时间小于bc间的运动时间 7．“2025济南国际泉水节——‘泉染星穹’无人飞机秀”在大明湖上空拉开帷幕。5000架无人机绘制出一幅璀璨画卷，点亮泉城夜空。在无人机运动的过程中，以下说法中正确的是（    ） A．无人机的速度变化得越多，加速度一定越大 B．无人机的速度变化越快，加速度一定越大 C．无人机的加速度不断减小，则速度一定越来越小 D．无人机的加速度方向保持不变，则速度方向也一定保持不变 8．一列车沿直线向右匀加速运动的过程中，列车车厢顶部落下一个小物块，不计空气阻力，则物块相对车厢的轨迹a和相对地面的轨迹b均可能正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（多选）2024年巴黎奥运会上，全红婵获得女子单人跳水10 m跳台金牌，成为中国奥运史上最年轻的三金得主。如图所示，虚线描绘的是某跳水运动员的头部运动轨迹，最后该运动员沿竖直方向以速度v入水。在图中标注的1、2、3、4四个位置中，头部速度方向与v方向相反的是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（多选）如图，足够大光滑水平桌面上有一小球，以某一初速度在桌面内匀速运动。某时刻小球经过位置时，受到一个方向位于桌面内的恒力作用，关于小球此后在桌面上的运动，下列说法正确的是（　　） A．小球不会再次回到位置 B．小球的速度大小可能先变小后变大 C．在相同时间内小球的速度变化量相同 D．经过一段时间，小球的速度方向不可能与初速度的方向垂直 11．（多选）关于曲线运动，下列说法中正确的是（　　） A．做曲线运动的物体所受合力可以为零 B．合力不为零的运动一定是曲线运动 C．曲线运动的速度方向一定是改变的 D．曲线运动的加速度一定不为零 12．（多选）如图所示，甲、乙两运动物体在t1、t2、t3时刻的速度矢量分别为、、和、、，下列说法中正确的是（　　） A．甲做的一定不是直线运动 B．乙做的可能是直线运动 C．甲受到的合力不可能是恒力 D．乙受到的合力不可能是恒力 13．（多选）目前国内人形机器人产业迎来显著进展，不少企业积极布局并发布产品，人形机器人的时刻即将到来。如图为某新型机器人，在一次执行任务过程中，给它设定了如下动作程序：机器人在平面坐标系内，由点出发，沿直线运动到点，然后又由点沿直线运动到点，第一个过程机器人用时1s，第二个过程中机器人所用时间是。则（　　） A．机器人做的是曲线运动 B．第一个过程的平均速度大小为 C．整个过程中机器人的位移大小为 D．整个过程中机器人的平均速率 14．如图，一物体沿曲线由M向N运动，速率逐渐减小，则物体在P点的速度沿 （填“1”、“2”、“3”或“4”）方向；物体在P点的受力沿 （填“1”、“2”、“3”或“4”）方向。 15．如图为砂轮打磨下来随砂轮边缘运动的炽热微粒飞离砂轮时的情形，微粒离开砂轮的时刻不同，飞离时的速度方向也不一样。 (1)微粒离开砂轮瞬间速度方向如何？ (2)微粒在离开砂轮前速度是否变化？ 【素养进阶·提升练】 1．某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是（　　）    A．   B．   C．   D．   2．（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）书法课上，某同学临摹“力”字时，笔尖的轨迹如图中带箭头的实线所示。笔尖由a点经b点回到a点，则（   ） A．该过程位移为0 B．该过程路程为0 C．两次过a点时速度方向相同 D．两次过a点时摩擦力方向相同 3．图为“玉兔二号”巡视器在月球上从O处行走到B处的照片，轨迹OA段是直线，AB段是曲线，巡视器质量为135kg，则巡视器（　　）    A．受到月球的引力为1350N B．在AB段运动时一定有加速度 C．OA段与AB段的平均速度方向相同 D．从O到B的位移大小等于OAB轨迹长度 4．如图为小猫蹬地跃起腾空追蝶的情景，则（　　） A．飞行的蝴蝶只受重力的作用 B．蝴蝶转弯时所受合力沿运动方向 C．小猫在空中受重力和弹力的作用 D．小猫蹬地时弹力大于所受重力 5．（2025·河北·模拟预测）（多选）雨滴受空气的作用，在地面附近会以恒定的速率下落，该速度被称为雨滴的终端速度。如图所示，下雨时，某人竖直撑着雨伞向左行走，假定水滴从伞的珠尾处下落瞬间相对雨伞的速度沿竖直方向，当人向左走时，他看到的从身侧珠尾滴落的水滴的轨迹可能是（　　） A． B． C． D． 1 / 2 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