7.1相交线（讲义）（核心知识点梳理+常考题型精讲+巩固测试）2025-2026学年人教版数学七年级下册

7.1相交线（讲义）人教版数学七年级下学期 ★ 预习重●难点 ◆ 预习重点 （1）对顶角与邻补角 邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线，两角和为 180°。 对顶角：两边互为反向延长线，对顶角相等。 （2）垂直的定义与性质定义：两直线相交成 90°，则互相垂直。 性质：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （3）点到直线的距离 点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 事实：垂线段最短。 ◆ 预习难点 （1）在复杂图形中准确识别对顶角、邻补角； （2）利用对顶角相等、邻补角互补进行角度计算与简单推理； （3）理解 “垂线段最短”，会判断并求出点到直线的距离。 💦 核心概念●梳理 【知识点1相交线】 1.相交线：在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点．如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O．               图 1      图2        图3   【知识点2对顶角、邻补角】 1.对顶角及性质 （1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边（相对）的两个角，互为对顶角． （2）性质：对顶角相等． 2.邻补角：如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角．如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2=180°． 【知识点3同位角、内错角、同旁内角】 1.“三线八角”模型 如图，直线AB、CD与直线EF相交（或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截），构成八个角，简称为“三线八角”，如图1． 【重点提示】⑴两条直线AB，CD与同一条直线EF相交． ⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成． 2.同位角、内错角、同旁内角的定义 在“三线八角”中，如上图1： （1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角． （2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角． （3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角。 【知识点4垂线】 1.定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（90°）时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 2.符号：AB⊥CD（读作“AB垂直于CD”）。 3.性质：1.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 【知识点5点到直线的距离】 1.定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．       如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离． ★注意：距离是长度，是一个正数，不是线段本身。 ✒ 常见考点●精讲精练 题型1对顶角的定义 例1．下列各选项中，∠1与∠2属于对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由对顶角的定义可知，选项A中的与是对顶角， 变式1．平面上3条互不重合的直线交于一点，其中对顶角有______对． 【答案】6 【分析】本题主要考查对顶角，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键；三条互不重合的直线交于一点，可视为三对两条直线的组合，每对两条直线相交形成2对对顶角，因此总对数为对，然后问题可求解． 【详解】解：三条互不重合的直线交于一点，共有三种不同的两条直线组合：直线1与直线2、直线1与直线3、直线2与直线3，每种组合形成2对对顶角，故总对数为对． 故答案为：6． 变式2．光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，那么和是对顶角吗，和是对顶角吗？为什么？ 【答案】和不是对顶角，和也不是对顶角，因为和，和这两对角均有一边互为反向延长线，一边不互为反向延长线 【分析】本题考查了对顶角的定义，根据对顶角需满足的两个条件，①有公共顶点，②两边互为反向延长线，即可得出结论． 【详解】解：和不是对顶角，和也不是对顶角， 因为和，和这两对角均有一边互为反向延长线，一边不互为反向延长线． 题型2对顶角相等 例2．如图是一把剪刀示意图，当剪刀口减少时，的值（    ） A．减少 B．不变 C．减少 D．增加 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴减小时，减小， 故选：C． 变式1．如图，已知，，相交于点，，则的度数是____________． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等的性质，平角的定义，准确识图是解题的关键． 先根据平角定义结合，可求出的度数，然后根据对顶角相等即可求出的度数． 【详解】解：，，相交于点，， ． 又与是对顶角， ． 故答案为：． 变式2．如图所示，直线，相交于点，已知，把分成两个角，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是熟练掌握对顶角相等． 根据对顶角相等得到，再由即可求解． 【详解】解：因为， 所以． 因为， 所以． 题型3邻补角的定义理解 例3．如图，直线、、相交于点O，则的邻补角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了邻补角的定义，熟记邻补角的定义是解答的关键．根据邻补角的定义解答即可． 【详解】解：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角，因此的一个邻补角是，． 故选：C． 变式1．如图，直线、、相交于点O，的对顶角是______，的邻补角是______． 【答案】 / 或 【分析】本题主要考查邻补角及对顶角的定义，熟练掌握邻补角及对顶角的定义是解题的关键；因此此题可根据邻补角及对顶角的定义进行求解即可． 【详解】解：由图可知：的对顶角是， ∵， ∴的邻补角是或； 故答案为：，或． 变式2．阅读下面命题及说理过程，在括号内填上推理的依据． 命题：如图所示，直线，相交于点，那么． 理由：因为(________)， (________)， 所以(________)， 所以(________)． 【答案】邻补角的定义；邻补角的定义；等量代换；等式的性质1 【分析】本题考查利用邻补角的定义、等量代换及等式基本性质来得到对顶角相等，先利用邻补角的定义得到两个角的和为，再通过等量代换建立等式，最后利用等式的基本性质消去公共角，从而推导出对顶角相等的结论． 【详解】解：∵(邻补角的定义)， (邻补角的定义)， ∴(等量代换)， ∴(等式的性质1)； 故答案为：邻补角的定义；邻补角的定义；等量代换；等式的性质1． 题型4找邻补角 例4．如图，图中邻补角有几对（ 　） A．4对 B．6对 C．8对 D．10对 【答案】C 【分析】根据邻补角的概念判断即可．本题考查的是邻补角的概念，只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，称为互为邻补角． 【详解】解：依题意，与，与，与，与，与，与，与，与是邻补角，共8对， 故选：C． 变式1．如图，点O是直线 上一点，自点O引射线，图中共有____对邻补角． 【答案】4 【分析】此题考查了邻补角定义：和为180度的两个有公共顶点且有公共边的角是邻补角，根据定义直接解答． 【详解】解：根据图形可知， ，，，， 故答案为4． 变式2．如图，直线，相交于点，射线平分． (1)则与互为补角的角是_____； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题主要考查了垂线定义以及角平分线的定义，补角的定义； （1）根据补角的定义，结合图形，即可求解； （2）直接利用角平分线的性质得出，进而利用垂直的定义得出的度数． 【详解】（1）解：∵射线平分． ∴ ∵， ∴与互为补角的角是，； 故答案为：，． （2）解：平分，且， ． ， ， ． 题型5利用邻补角互补求角度 例5．如图，直线、交于点E，，如果，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用邻补角互补求角度，几何图形中角度计算问题． 根据邻补角互补，即可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选：D． 变式1．如图，点，，在同一直线上，若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】本题考查了补角的定义，角的和差，由补角的定义得，由角的和差得，即可求解． 【详解】解：因为， 所以 ， 所以 ， 故答案为：． 变式2．如图，直线、相交于点O，射线平分，，若，则的度数． 【答案】 【分析】此题主要考查了补角和角平分线，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分． 首先根据角平分线的性质可算出的度数，再求出的度数，再根据补角的性质可得的度数． 【详解】解：∵射线平分，， ∴． ∵， ∴， ∴． 题型6垂线的定义理解 例6．如图，已知直线相交于点O，，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂线的定义可得，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴． 变式1．如图，直线m，直线m，B为垂足，那么点A，B，C在同一直线上的依据是________． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查的是垂线，熟知在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解答此题的关键． 根据“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”即可解决问题． 【详解】解：∵直线，直线，为垂足， ∴、、三点在同一直线上， 理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 变式2．如图，已知相交于点O，，，平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了邻补角、角平分线的定义、对顶角相等、角的和差等知识点，弄清角之间的关系是解题的关键． 由邻补角互补可得，再根据角平分线的定义和对顶角相等可得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型7画垂线 例7．利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂线的概念，熟练掌握垂线的作图是解题的关键，根据垂线的概念作图即可得到答案． 【详解】解：垂线的作图步骤：将三角尺的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿该直角边画直线，可得直线的垂线， ∴C选项的画法正确， 故选：C． 变式1．如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是__________． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查的是垂线的性质，利用在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得答案． 【详解】解：∵，，为垂足， ∴，，三点在同一直线上， 理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 变式2．如图，过点P作OA，OB的垂线（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】采用三角板的直角辅助作图：利用三角板的直角，使其一边与目标直线重合，另一边经过点P，沿该边画出过P的垂线． 【详解】解： 【点睛】本题考查过一点作已知直线的垂线的作图方法，掌握利用三角板的直角边辅助作垂线的操作方法是解题的关键． 题型8垂线段最短 例8．数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段最短．利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是垂线段最短． 故选：D． 变式1．如图，在河旁边有一个村庄，现要建一个码头，为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在________处，其中的道理是________． 【答案】 C 点到直线，垂线段最短 【分析】本题主要考查垂线段最短，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；此题可根据垂线段最短进行求解即可． 【详解】解：为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在C处，其中的道理是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 故答案为垂线段最短． 变式2．如图网格图中每个小正方形的边长为1，三角形的三个顶点都在格点上， (1)求的面积； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)用或填空： ___________，理由是___________． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)，垂线段最短 【分析】本题考查网格中计算三角形的面积、作垂线、垂线段最短，解决本题的关键是根据网格准确作图． （1）利用割补法求解可得的面积； （2）根据线的定义，结合网格作图即可得； （3）根据垂线段最短即可完成填空． 【详解】（1）解：． （2）解：如图所示． （3）解：， （垂线段最短）． 故答案为：，垂线段最短． 题型9点到直线的距离 例9．如图，A，B，C三点在直线上，点在直线外，于点，若，，则点到直线的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做该点到这条直线的距离，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴点到直线的距离是， 故选：A． 变式1．如图，在中，，，，，则点到边的距离为_______． 【答案】 【分析】本题考查了点到直线的距离，点到边的距离就是过作的垂直线，即． 【详解】 点到边的距离为的长． 点到边的距离为． 故答案为：． 变式2．如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线l是起跳线．，，中哪一条线段的长度可以算作跳远的成绩？ 【答案】的长度可以算作跳远的成绩． 【分析】本题考查垂线段的性质，理解跳远成绩的本质是“落点到起跳线的垂线段长度”是解题关键． 根据垂线段的性质，依次判断，，是否符合要求． 【详解】解：：起点不在起跳线上，不符合要求； ：不垂直于起跳线，不符合要求； ：起点在起跳线上且垂直于起跳线，符合要求． 答：的长度可以算作跳远的成绩． 题型10 同位角、内错角、同旁内角 例10．如图，直线被直线，所截，下列是内错角的是（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． 【详解】解：A、和是同位角，故此选项不符合题意； B、和不是内错角，故此选项不符合题意； C、和是内错角，故此选项符合题意； D、和是同旁内角，故此选项不符合题意； 故选：C． 变式1．如图，和是直线 ， 被直线 所截形成的 角；和是直线 ， 被直线 所截形成的 角． 【答案】，，，同旁内；，，，同位． 【分析】本题主要考查同旁内角，同位角的概念，利用同旁内角、同位角的概念进行判断填空即可． 【详解】根据题意，和是直线，被直线所截形成的同旁内角； 和是直线，被直线所截形成的同位角． 故答案为：，，，同旁内；，，，同位． 变式2．如图，请分别指出各图中的同位角、内错角和同旁内角． 【答案】见解析 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角的识别，明确平行线与截线形成的角的位置关系是解题关键． “同位角：同位置；内错角：交错在截线两侧；同旁内角：在截线同侧”，根据角的位置特征进行识别． 【详解】（1）同位角：和，和，和，和， 内错角：和，和， 同旁内角：和，和． （2）同位角：和，和， 内错角：和，和， 同旁内角：和，和，和，和． ✍ 强化巩固●过关演练 一、单选题 1．下列各图中，和是对顶角的是（   ） A． ． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查对顶角的定义与判定，掌握对顶角的判定条件是解题关键． 根据对顶角的判定条件依次判断各选项． 【详解】解：选项：和的两边不互为反向延长线，不是对顶角； 选项：和没有公共顶点，不是对顶角； 选项：和两边不互为反向延长线，不是对顶角； 选项：和有公共顶点，且两边互为反向延长线，是对顶角． 故选：． 2．如图，直线 相交于点O，， 则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角的和差，对顶角相等， 先求出，再根据对顶角相等得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 3．如图，三条直线相交于点，的邻补角是（　　） A．和 B． C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查了邻补角的概念，根据邻补角的概念解答是解决问题的关键． 根据只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，即可求解； 【详解】解：是平角， 的邻补角是； 是平角， 的邻补角是； 综上所述：的邻补角是和； 故选：A 4．如图，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂直的定义，根据，可得，根据，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 故选：D． 5．如图，在同一平面内，经过直线外一点画的垂线，能画出（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】A 【分析】本题考查了平面内垂线的基本性质，掌握在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解题的关键． 根据平面内垂线的基本性质，判断过直线外一点作已知直线垂线的数量． 【详解】解：在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直； 因此，只能画出1条垂线． 故选：A． 6．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（   ） A．垂线段最短 B．线段可以度量 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故选A． 7．如图①，桔槔（jié gāo）是一种原始的取水工具，它是在竖立的架子上加上一根细长的杠杆，左端悬挂一个重物，当右端水桶中的水打满以后，可借助重物轻松地将水拉起．图②是桔槔的简易装置示意图，与构成内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了内错角的定义，正确记忆相关知识点是解题关键． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，根据定义判断即可． 【详解】解：由两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角可得： A、与构成内错角，符合题意； B、与构成同旁内角，不符合题意； C、与构成同位角，不符合题意； D、与构成同旁内角，不符合题意． 故选：A． 二、填空题 8．如图，与是同位角的角共有________个． 【答案】3 【分析】本题考查同位角的概念，关键是掌握同位角的定义． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断． 【详解】解：如图， 与成同位角的角有，，，共个， 故答案为：． 9．直线，垂足为点，直线经过点，若锐角，则__________． 【答案】60或120 【分析】本题主要考查了对顶角、垂直的意义，角的和差计算，解题的关键是注意分类讨论的思想． 由垂直得到，由对顶角得到，再由角的和差计算求解即可． 【详解】解：由题意，需讨论以下两种情况： ①如图1 ∵， ∴， ∵与是对顶角， ∴， ∴． ②如图2 ∵， ∴； ∵与是对顶角， ∴， ∴． 综上：或． 故答案为：或． 10．如图所示，与相交所成的四个角中，的邻补角是______，的对顶角是_____．    【答案】 和 【分析】本题主要考查了邻补角和对顶角的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 根据邻补角和对顶角的定义即可直接得出答案． 【详解】解：由图形可知，的邻补角是和， 的对顶角是， 故答案为：和，． 11．如图，直线、、相交于一点O，对顶角一共有_____对． 【答案】6 【分析】本题考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．根据对顶角的定义，对顶角的两边互为反向延长线，可以判断． 【详解】解：如下图： 图中对顶角有：与、与、与、与、与、与，共6对． 故答案为：6． 12．与互为邻补角，且比的3倍还多，则的度数是_______°． 【答案】40 【分析】由题意可得，根据邻补角的定义可得关于的方程，求解即可． 【详解】解：根据题意可得：， 因为与互为邻补角， 所以， 所以， 解得：； 故答案为：40． 【点睛】本题考查了邻补角的定义和一元一次方程的应用，熟知邻补角的定义、建立方程求解是关键． 13．已知：如图所示，直线，相交于点，，平分，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的和差计算，对顶角的性质，解题的关键是熟练掌握对顶角相等． 根据对顶角的性质以及邻补角的性质得到，，再由角平分线得到，最后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，中，，D为BC边上的一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作，垂足为F．如果，则的最小值为______． 【答案】4.8 【分析】本题主要考查了垂线段最短，点到直线的距离，解题关键是熟练掌握利用线段的性质解决最短路径问题．根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短，过点作于点，交于点，利用已知条件和直角三角形的面积公式，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点， 根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短， ， ， ，，， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 三、解答题 15．如图，已知直线与直线相交于点，，． (1)则； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查对顶角、邻补角、角平分线的性质，正确的识图和推理是解决问题的关键． （1）由对顶角的概念可知； （2）由邻补角及角分线的性质可得，再根据计算即可． 【详解】（1）由题可知，（对顶角相等）； 故答案为：； （2）， ， 平分， ， ． 16．如图，直线，相交于点O，将分成两部分． (1)图中的对顶角为 ，的补角为 ； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据对顶角的意义，邻补角的意义求解； （2）先利用对顶角相等求得，再利用求解，然后利用邻补角的意义求得的度数． 【详解】（1）解：图中的对顶角为，的补角为， 故答案为：，． （2）∵， ∴， 又， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了对顶角的定义，找邻补角，利用邻补角互补求角度，对顶角相等，几何图形中角度计算问题，解题关键是掌握上述知识点． 17．如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“”“”或“”），理由：____________． 【答案】(1)图见详解 (2) (3)，垂线段最短 【分析】本题主要考查了基本作图以及垂线的画法、点到直线的距离、垂线段最短，正确借助网格得出是解题关键． （1）利用垂线的定义结合网格进而得出直线、； （2）利用点到直线的距离得出答案； （3）利用垂线段的性质进而得出答案； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由（1）得，， ∴的长度是点A到直线的距离， 故答案为：； （3）解：∵垂线段最短， ∴由图可得， 故答案为：；垂线段最短． 18．如图，，，，四个村庄旁有，两条公路，沿路已铺设了主干光缆，某通信公司准备在，，，四个村庄间设置一个信号塔，再从信号塔铺设一根光缆连接主干光缆． (1)请画出信号塔的位置，使得信号塔与，，，四个村庄的距离之和最小； (2)为了使新铺设的光缆长度最短，工作人员作了如下思考： 第一步：分别画出信号塔到两条公路与的最短距离，； 第二步：比较与的大小关系． 请你结合上述思路，选用直角三角板、直尺或圆规画图，帮助工作人员找出最短方案． (3)若该项工程交由甲，乙两个工程队施工．甲工程队独做需天完成，乙工程队独做需天完成．现在先由甲工程队单独施工天，剩下的部分由甲，乙两队合作完成．则甲，乙两工程队需合作多长时间？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析，最短 (3) 【分析】本题考查了两点之间线段最短，点到直线的距离，画垂线段，一元一次方程的应用． （1）利用两点之间距离线段最短，连接交于点，即可求解； （2）根据题意分别画出点到两条公路与的垂线段，然后测量垂线段的长度，即可求解； （3）设甲，乙两工程队需合作天，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图所示，测量得 （3）解：设甲，乙两工程队需合作天，根据题意得， 解得： 答：甲，乙两工程队需合作天 19．如图①，对于两条直线，被第三条直线所截得到的同旁内角，满足，则称是的“关联角”． (1)已知是的“关联角”，当时，的度数为_____________． (2)如图②，已知是的“关联角”，那么是的“关联角”吗？为什么？ 【答案】(1) (2)是的“关联角”．理由见解析 【分析】（1）由之间的关系直接求解即可； （2）根据同旁内角的概念进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵ ∴ 故答案为：． （2）解：是的“关联角”．理由如下： ∵是的“关联角”， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴是的“关联角”． 【点睛】本题主要考查了同旁内角的相关概念，熟练掌握是解决本题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1相交线（讲义）苏科版数学七年级下学期 ★ 预习重●难点 ◆ 预习重点 （1）对顶角与邻补角 邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线，两角和为 180°。 对顶角：两边互为反向延长线，对顶角相等。 （2）垂直的定义与性质定义：两直线相交成 90°，则互相垂直。 性质：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （3）点到直线的距离 点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 事实：垂线段最短。 ◆ 预习难点 （1）在复杂图形中准确识别对顶角、邻补角； （2）利用对顶角相等、邻补角互补进行角度计算与简单推理； （3）理解 “垂线段最短”，会判断并求出点到直线的距离。 💦 核心概念●梳理 【知识点1相交线】 1.定义：在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点．如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O．               图 1      图2        图3   【知识点2对顶角、邻补角】 1.对顶角及性质 （1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边（相对）的两个角，互为对顶角． （2）性质：对顶角相等． 2.邻补角：如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角； 如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2=180°． 【知识点3同位角、内错角、同旁内角】 1.“三线八角”模型 如图，直线AB、CD与直线EF相交（或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截），构成八个角，简称为“三线八角”，如图1． 【重点提示】⑴两条直线AB，CD与同一条直线EF相交． ⑵“三线八角”中的每个角是由截线与一条被截线相交而成． 2.同位角、内错角、同旁内角的定义 在“三线八角”中，如上图1： （1）同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角． （2）内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角． （3）同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角. 【知识点4垂线】 1.定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（90°）时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 2.符号：AB⊥CD（读作“AB垂直于CD”）。 3.性质：1.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 【知识点5点到直线的距离】 1.定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．       如图4所示，m 的垂线段PB 的长度叫做点P 到 直线m 的距离． ★注意：距离是长度，是一个正数，不是线段本身。 ✒ 常见考点●精讲精练 题型1对顶角的定义 例1．下列各选项中，∠1与∠2属于对顶角的是（　　） A． B． C． D． 变式1．平面上3条互不重合的直线交于一点，其中对顶角有______对． 变式2．光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，那么和是对顶角吗，和是对顶角吗？为什么？ 题型2对顶角相等 例2．如图是一把剪刀示意图，当剪刀口减少时，的值（    ） A．减少 B．不变 C．减少 D．增加 变式1．如图，已知，，相交于点，，则的度数是____________． 变式2．如图所示，直线，相交于点，已知，把分成两个角，且，求的度数． 题型3邻补角的定义理解 例3．如图，直线、、相交于点O，则的邻补角为（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，直线、、相交于点O，的对顶角是______，的邻补角是______． 变式2．阅读下面命题及说理过程，在括号内填上推理的依据． 命题：如图所示，直线，相交于点，那么． 理由：因为(________)， (________)， 所以(________)， 所以(________)． 题型4找邻补角 例4．如图，图中邻补角有几对（ 　） A．4对 B．6对 C．8对 D．10对 变式1．如图，点O是直线 上一点，自点O引射线，图中共有____对邻补角． 变式2．如图，直线，相交于点，射线平分． (1)则与互为补角的角是_____； (2)若，，求的度数． 题型5利用邻补角互补求角度 例5．如图，直线、交于点E，，如果，的度数为（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，点，，在同一直线上，若，则的度数为__________． 变式2．如图，直线、相交于点O，射线平分，，若，则的度数． 题型6垂线的定义理解 例6．如图，已知直线相交于点O，，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，直线m，直线m，B为垂足，那么点A，B，C在同一直线上的依据是________． 变式2．如图，已知相交于点O，，，平分，求的度数． 题型7画垂线 例7．利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是__________． 变式2．如图，过点P作OA，OB的垂线（保留作图痕迹，不写作法）． 题型8垂线段最短 例8．数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 变式1．如图，在河旁边有一个村庄，现要建一个码头，为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在________处，其中的道理是________． 变式2．如图网格图中每个小正方形的边长为1，三角形的三个顶点都在格点上， (1)求的面积； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)用或填空： ___________，理由是___________． 题型9点到直线的距离 例9．如图，A，B，C三点在直线上，点在直线外，于点，若，，则点到直线的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 变式1．如图，在中，，，，，则点到边的距离为_______． 变式2．如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线l是起跳线．，，中哪一条线段的长度可以算作跳远的成绩？ 题型10 同位角、内错角、同旁内角 例10．如图，直线被直线，所截，下列是内错角的是（    ）． A．和 B．和 C．和 D．和 变式1．如图，和是直线 ， 被直线 所截形成的 角；和是直线 ， 被直线 所截形成的 角． 变式2．如图，请分别指出各图中的同位角、内错角和同旁内角． ✍ 强化巩固●过关演练 一、单选题 1．下列各图中，和是对顶角的是（   ） A． B． C. D． 2．如图，直线 相交于点O，， 则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，三条直线相交于点，的邻补角是（　　） A．和 B． C．和 D．和 4．如图，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在同一平面内，经过直线外一点画的垂线，能画出（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 6．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（   ） A．垂线段最短 B．线段可以度量 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 7．如图①，桔槔（jié gāo）是一种原始的取水工具，它是在竖立的架子上加上一根细长的杠杆，左端悬挂一个重物，当右端水桶中的水打满以后，可借助重物轻松地将水拉起．图②是桔槔的简易装置示意图，与构成内错角的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，与是同位角的角共有________个． 9．直线，垂足为点，直线经过点，若锐角，则__________． 10．如图所示，与相交所成的四个角中，的邻补角是______，的对顶角是_____．    11．如图，直线、、相交于一点O，对顶角一共有_____对． 12．与互为邻补角，且比的3倍还多，则的度数是_______°． 13．已知：如图所示，直线，相交于点，，平分，则的度数为________． 14．如图，中，，D为BC边上的一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作，垂足为F．如果，则的最小值为______． 三、解答题 15．如图，已知直线与直线相交于点，，． (1)则； (2)若平分，求的度数． 16．如图，直线，相交于点O，将分成两部分． (1)图中的对顶角为 ，的补角为 ； (2)若，且，求的度数． 17．如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“”“”或“”），理由：____________． 18．如图，，，，四个村庄旁有，两条公路，沿路已铺设了主干光缆，某通信公司准备在，，，四个村庄间设置一个信号塔，再从信号塔铺设一根光缆连接主干光缆． (1)请画出信号塔的位置，使得信号塔与，，，四个村庄的距离之和最小； (2)为了使新铺设的光缆长度最短，工作人员作了如下思考： 第一步：分别画出信号塔到两条公路与的最短距离，； 第二步：比较与的大小关系． 请你结合上述思路，选用直角三角板、直尺或圆规画图，帮助工作人员找出最短方案． (3)若该项工程交由甲，乙两个工程队施工．甲工程队独做需天完成，乙工程队独做需天完成．现在先由甲工程队单独施工天，剩下的部分由甲，乙两队合作完成．则甲，乙两工程队需合作多长时间？ 19．如图①，对于两条直线，被第三条直线所截得到的同旁内角，满足，则称是的“关联角”． (1)已知是的“关联角”，当时，的度数为_____________． (2)如图②，已知是的“关联角”，那么是的“关联角”吗？为什么？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $