学易金卷：高二数学下学期第一次月考 （上海专用，范围：沪教版选择性必修第一册第1～2章坐标平面上的直线+圆锥曲线）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■■■ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 识 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 1 内作答，超出区域书写的答案无 23 123 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 5 5 破。 5.正确填涂 6789 6789 6789 123456789 123456789 0123456789 123456789 123456789 0123456789 缺考标记 6789 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 2. 艾南 6 个 8 9 10. 11 12. 警 二、 选择题（本大题共有4题，满分18分，第1314题每题4分，第 15~16题每题5分) 13[A]B][C][D] 14[A][B][CD] 妇 15[AB][C][D] 16[A][B][CD] 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 17.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本题满分14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) A B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围： 沪教版选择性必修第一册第1~2章坐标平面上的直线+圆锥曲线。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．直线的倾斜角是____________． 2．椭圆的离心率为______. 3．若圆的方程为，则实数的取值范围为_____. 4．已知点、，则线段的垂直平分线的一般式方程为______. 5．已知圆与圆，则两圆的位置关系是______. 6．已知点是抛物线上的动点，点是圆上的动点，则两点间的最短距离为_____． 7．已知双曲线的焦距为，则它的两条渐近线的夹角的余弦值为______． 8．过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为______． 9．已知椭圆的左、右焦点分别是、，若离心率，则称椭圆C为“黄金椭圆”．则在黄金椭圆C中，以，，，为顶点的菱形ADBE的内切圆面积为______． 10．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为________． 11．已知是双曲线的左右焦点，l是的一条渐近线，以为圆心的圆与l相切于P．若双曲线的离心率为，则_________． 12．定义平面直角坐标系中的笛卡儿卵形线为满足方程：，则下列结论正确的是________．①该曲线关于轴对称；②曲线与x轴交点为和；③若点P在曲线上，则；④存在直线与该曲线恰有1个交点． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 14．点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 15．设直线的方程为，圆的方程为，且直线与圆相交，令集合，设全集，集合为集合的补集，给出以下两个说法，下列选项中正确的是（    ） ①存在点使得表示一条直线 ②对于任意点，都存在圆，使得点在圆的内部，且对于圆上任意一点都有 A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 16．已知曲线，则下列结论正确的个数是（   ） （1）若为曲线上两点，则的最大值为 （2）曲线围成的图形的面积是 （3）若为曲线上一点，则的最小值为4 （4）曲线围成区域内(含曲线)格点(横坐标与纵坐标都为整数的点)的个数为20 A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. (1)求BC边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 18．（14分）已知直线与圆. (1)若圆上有且仅有两个点到的距离为，求的取值范围； (2)若，设点为直线与轴的公共点，直线过点且与圆相交，求直线的倾斜角的范围. 19．（14分）已知抛物线，直线交抛物线于点，交抛物线于点，其中点位于第一象限． (1)若点到抛物线焦点的距离为2，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且线段的中点在轴上，求原点到直线的距离. 20．（18分）已知双曲线的渐近线上一点到左焦点的最短距离为． (1)求双曲线的方程； (2)O为坐标原点，直线与双曲线的左支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方． ①求实数t的取值范围． ②设、分别为的面积和的面积，求的取值范围． 21．（18分）已知直线l：与椭圆Γ：相交于A，B两点，其中点A在第一象限，M是椭圆上的动点， (1)当时，求的大小； (2)若点M，A关于y轴对称，当的面积最大时，求直线MB的方程； (3)设直线MA，MB与x轴分别交于P，Q两点时，求证：为定值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围： 沪教版选择性必修第一册第1~2章坐标平面上的直线+圆锥曲线。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．直线的倾斜角是____________． 2．椭圆的离心率为______. 3．若圆的方程为，则实数的取值范围为_____. 4．已知点、，则线段的垂直平分线的一般式方程为______. 5．已知圆与圆，则两圆的位置关系是______. 6．已知点是抛物线上的动点，点是圆上的动点，则两点间的最短距离为_____． 7．已知双曲线的焦距为，则它的两条渐近线的夹角的余弦值为______． 8．过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为______． 9．已知椭圆的左、右焦点分别是、，若离心率，则称椭圆C为“黄金椭圆”．则在黄金椭圆C中，以，，，为顶点的菱形ADBE的内切圆面积为______． 10．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为________． 11．已知是双曲线的左右焦点，l是的一条渐近线，以为圆心的圆与l相切于P．若双曲线的离心率为，则_________． 12．定义平面直角坐标系中的笛卡儿卵形线为满足方程：，则下列结论正确的是________．①该曲线关于轴对称；②曲线与x轴交点为和；③若点P在曲线上，则；④存在直线与该曲线恰有1个交点． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 14．点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 15．设直线的方程为，圆的方程为，且直线与圆相交，令集合，设全集，集合为集合的补集，给出以下两个说法，下列选项中正确的是（    ） ①存在点使得表示一条直线 ②对于任意点，都存在圆，使得点在圆的内部，且对于圆上任意一点都有 A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 16．已知曲线，则下列结论正确的个数是（   ） （1）若为曲线上两点，则的最大值为 （2）曲线围成的图形的面积是 （3）若为曲线上一点，则的最小值为4 （4）曲线围成区域内(含曲线)格点(横坐标与纵坐标都为整数的点)的个数为20 A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. (1)求BC边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 18．（14分）已知直线与圆. (1)若圆上有且仅有两个点到的距离为，求的取值范围； (2)若，设点为直线与轴的公共点，直线过点且与圆相交，求直线的倾斜角的范围. 19．（14分）已知抛物线，直线交抛物线于点，交抛物线于点，其中点位于第一象限． (1)若点到抛物线焦点的距离为2，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且线段的中点在轴上，求原点到直线的距离. 20．（18分）已知双曲线的渐近线上一点到左焦点的最短距离为． (1)求双曲线的方程； (2)O为坐标原点，直线与双曲线的左支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方． ①求实数t的取值范围． ②设、分别为的面积和的面积，求的取值范围． 21．（18分）已知直线l：与椭圆Γ：相交于A，B两点，其中点A在第一象限，M是椭圆上的动点， (1)当时，求的大小； (2)若点M，A关于y轴对称，当的面积最大时，求直线MB的方程； (3)设直线MA，MB与x轴分别交于P，Q两点时，求证：为定值． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围： 沪教版选择性必修第一册第1~2章坐标平面上的直线+圆锥曲线。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．直线的倾斜角是____________． 【答案】 【详解】易知直线的斜率为0， 设倾斜角为，其中， 由，可得. 故答案为： 2．椭圆的离心率为______. 【答案】 【详解】由条件可知，，，则， 所以椭圆的离心率. 故答案为：. 3．若圆的方程为，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【详解】因为圆的方程为，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 4．已知点、，则线段的垂直平分线的一般式方程为______. 【答案】 【详解】线段的斜率为，故线段的垂直平分线的斜率为， 线段的中点为，故线段的垂直平分线经过， 由点斜式知，线段的垂直平分线方程为：，即. 故答案为：. 5．已知圆与圆，则两圆的位置关系是______. 【答案】内切 【详解】因为圆，圆， 所以圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 所以，所以两圆的位置关系为内切. 故答案为：内切. 6．已知点是抛物线上的动点，点是圆上的动点，则两点间的最短距离为_____． 【答案】 【详解】由圆，知圆心为，半径为， 设为抛物线上动点，则两点间的距离为， 所以当时，， 所以． 故答案为： 7．已知双曲线的焦距为，则它的两条渐近线的夹角的余弦值为______． 【答案】 【详解】由题意有，，所以， 所以双曲线渐近线方程为， 设一条渐近线的倾斜角为，另一条渐近线的倾斜角为，不妨， 所以，， 所以，由，解得， 即两条渐近线的夹角的余弦值为. 故答案为：. 8．过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为______． 【答案】 【详解】设圆的圆心为，半径为1， 由切线长定理可得， 又因为，，则，所以， 所以，则四边形面积为， 所以， 当的长最小时，弦长最小， 而的最小值为圆心到直线的距离， 所以，所以． 故答案为：. 9．已知椭圆的左、右焦点分别是、，若离心率，则称椭圆C为“黄金椭圆”．则在黄金椭圆C中，以，，，为顶点的菱形ADBE的内切圆面积为______． 【答案】 【详解】若，设，，则， 所以， 由等面积公式，以及椭圆的对称性可知，菱形的内切圆的半径， 则其内切圆的面积. 故答案为： 10．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为________． 【答案】 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 点为抛物线上的点，且， 设点横坐标为，则由抛物线的定义可知，解得， 将代入抛物线方程，解得， 由对称性不妨取，设， 则，， 因为，则，解得，即， 所以， 所以的面积， 故答案为：. 11．已知是双曲线的左右焦点，l是的一条渐近线，以为圆心的圆与l相切于P．若双曲线的离心率为，则_________． 【答案】 【详解】设双曲线的一条渐近线为， 则到直线的距离为， 因为以为圆心的圆与l相切于点P，，所以， 又因为双曲线的离心率为，所以，则， 在中，， 在，， 解得：， 由余弦定理可得：， 所以， 故答案为：．    12．定义平面直角坐标系中的笛卡儿卵形线为满足方程：，则下列结论正确的是________．①该曲线关于轴对称；②曲线与x轴交点为和；③若点P在曲线上，则；④存在直线与该曲线恰有1个交点． 【答案】② 【详解】对于①，在方程中将替换为，方程不变，所以该曲线关于轴对称， 在方程中将替换为，方程变为， 即，与原方程不同，所以该曲线不关于轴对称，故①错误； 对于②，在方程中令，可得， 当时，方程为，解得，合题意， 当时，方程为，解得，无解， 当时，方程为，解得，合题意， 综上，曲线与轴的交点为和，故②正确； 对于③，点P在曲线上，令，得，解得，即曲线与轴交于点， 设，，，则曲线表示， 类比椭圆的性质，曲线是类椭圆的封闭曲线，又曲线不关于轴对称，所以存在点P，使得，故③错误； 对于④，由于曲线是类椭圆的封闭曲线，且原点在曲线内部，所以直线一定和曲线有两个交点，故④错误. 故答案为：②. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【详解】由题意有， 所以“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的必要非充分条件， 故选：B. 14．点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即. 故选：C. 15．设直线的方程为，圆的方程为，且直线与圆相交，令集合，设全集，集合为集合的补集，给出以下两个说法，下列选项中正确的是（    ） ①存在点使得表示一条直线 ②对于任意点，都存在圆，使得点在圆的内部，且对于圆上任意一点都有 A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】B 【分析】根据直线与圆的位置，分别检验两个命题，直观想象，可得答案. 【详解】当圆与直线相交时，设其交点为，易知方程组的解为点的坐标， 由，此时过两点的所有圆， 由题意，得表示直线上除以外的所有点， 对于①，当为时，表示直线，故①正确； 对于②，当为或时，若包含的圆足够大时，该圆上的点不一定在上， 即圆上任意点不一定成立，故②错误. 故选：B. 16．已知曲线，则下列结论正确的个数是（   ） （1）若为曲线上两点，则的最大值为 （2）曲线围成的图形的面积是 （3）若为曲线上一点，则的最小值为4 （4）曲线围成区域内(含曲线)格点(横坐标与纵坐标都为整数的点)的个数为20 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】当，时，由曲线的方程，得， 曲线在第一象限内的部分是圆心为，半径为的圆弧. 同理，曲线在第二、三、四象限内的部分都是圆弧， 当时，；当时，. 曲线在坐标系中如图， 曲线关于坐标原点、轴、轴、直线、直线均对称. 记曲线在第一象限及轴正半轴、轴正半轴上的部分为曲线， 曲线所在的圆为圆， 曲线及圆关于轴对称的图形分别为曲线，其所在圆为圆， 关于坐标原点对称的图形分别为曲线，其所在圆为圆， 关于轴对称的图形分别为曲线，其所在圆为圆. 由题意可知，圆，，，等大，且都过坐标原点. 因为点在曲线上，所以， 当且仅当为曲线与直线或的交点时，等号成立， 所以的最大值是，故①正确； 曲线围成的图形的面积为，故②正确； 由曲线的对称性，不妨设点在曲线上. 因为， 所以当的值最小时，的值也最小. 因为点在圆上，记圆过原点的直径为，直线与直线的夹角为， 由题意可知，，则， 所以当时，取得最小值，所以的最小值为，故③正确； 由图可知，曲线围成的区域内格点的个数为，故④错误. 故选：C. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. (1)求BC边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 【详解】（1）直线的斜率，直线的方程为， 所以BC边所在直线的一般式方程为.……（6分） （2）依题意，，设点到直线的距离为， 由的面积等于2，得，解得， 于是，解得或， 所以点的坐标为或.……（14分） 18．（14分）已知直线与圆. (1)若圆上有且仅有两个点到的距离为，求的取值范围； (2)若，设点为直线与轴的公共点，直线过点且与圆相交，求直线的倾斜角的范围. 【详解】（1）圆心到直线的距离为， 若圆上有且仅有两个点到的距离为，所以， 因此，的取值范围为.……（7分） （2）若，则圆，且，如下图所示： 若直线轴，则直线与圆相离，不合乎题意， 所以直线的斜率一定存在，设为，则直线方程为， 则.……（14分） 19．（14分）已知抛物线，直线交抛物线于点，交抛物线于点，其中点位于第一象限． (1)若点到抛物线焦点的距离为2，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且线段的中点在轴上，求原点到直线的距离. 【详解】（1） 设点，的焦点为， 由焦半径公式可知，，得，则, 因为点在第一象限，所以， 所以点的坐标为；……（7分） （2）设，则线段的中点坐标为， 因为线段的中点在轴上， 所以，即， 代入抛物线方程，得，解得，即， 又，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 所以原点到直线的距离……（14分）    20．（18分）已知双曲线的渐近线上一点到左焦点的最短距离为． (1)求双曲线的方程； (2)O为坐标原点，直线与双曲线的左支交于A、B两点，与渐近线交于C、D两点，A与C在x轴的上方，B与D在x轴的下方． ①求实数t的取值范围． ②设、分别为的面积和的面积，求的取值范围． 【详解】（1）设双曲线的焦距为，且， 则到直线的距离为，解得，， 所以双曲线的方程为．……（6分） （2）（ⅰ）设，由，消去得， 则，， 由直线与双曲线左支交于两点，得，解得， 所以的取值范围为.……（12分） （ⅱ）由（ⅰ）知，， 原点到直线的距离，设， 由，消去得，则， 则， 于是， 令，则， 所以的取值范围为．……（18分） 21．（18分）已知直线l：与椭圆Γ：相交于A，B两点，其中点A在第一象限，M是椭圆上的动点， (1)当时，求的大小； (2)若点M，A关于y轴对称，当的面积最大时，求直线MB的方程； (3)设直线MA，MB与x轴分别交于P，Q两点时，求证：为定值． 【详解】（1）由椭圆与联立方程组可得：， 即交点A，B两点坐标分别为所以；……（6分） （2） 设，则，则， 又因为在椭圆上， 所以，利用基本不等式可得 则，当且仅当时，取等号，即， 则，所以；……（12分） （3） 设， 则,令， 可分别求出交点坐标：， 则，又因为， 代入得：， 故为定值.……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第16题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1.0 23 3.（-00,1 4.x+y-3=0 5.内切 6.7-1 2 7. 8.2 9. (5-1πb 10.9V2 12.② 5 2 4 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正 确选项。) 13 14 15 16 B C B 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17.(14分) 【详解】（①）直线C的斜率x,-1,直线BC的方程为y-1=-1·K2列 所以BC边所在直线的一般式方程为x+y-3=0.…(6分) (2)依题意，BC=V22+(-2}2=2V2,设点A到直线BC的距离为d, 由ABC的面积等于2，得}2W2d=2,解得d=V2, m-n=5 于是 m=5「m=3 m+n-3到-2，解得 或 n=0 √2 (n=-2’ 所以点A的坐标为(5,0)或(3，-2).…(14分) 18.(14分) 【详解】1>圆心3,0到直线1：y=r+1的距离为d=B-0+=22, 1+1 1/5 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 若圆C上有且仅有两个点到1的距离为1，所以2√2-1<r<22+1, 因此，r的取值范围为22-1,22+1…(7分) (2)若r=1,则圆C:(x-3)2+y2=1,且A0,1),如下图所示： 珠 m 0 若直线m⊥x轴，则直线m与圆C相离，不合乎题意， 所以直线m的斜率一定存在，设为k,则直线m方程为y=x+1, 则 3k+l<1之33k≤0→8∈l0Uπ-arctan3 .…(14分) Vk2+1 19.(14分) 【详解】(1) 设点A(x,y),x>0,1>0,y2=4x的焦点为1,0)， 由焦￥径公式可知，名+号=+1=2，得无=1，则=土4=2， 因为点A在第一象限，所以片=2， 所以点A的坐标为1,2)；…(7分) (2)设C(x,y),则线段AC的中点坐标为 4+xo 4+yo 22 因为线段AC的中点在x轴上， 所以4+少=0，即人=-4， 2 代入抛物线方程y2=2x,得(-4)=2x,解得x=8,即C(8,-4), 又4小4，所以直线的斜率为片-2. 所以直线1的方程为y-4=-2x-4),即2x+y-12=0, 所以原点到直线1的距离d=0+0-12_125…（14分) 5 5 2/5 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B 20.(18分) 【详解】(1)设双曲线xy =1的焦距为2c,且c=2, a2 b2 测520到直线1-0销距周为2=5，期得6=5，。=2， 所以双曲线的方程为二-上-1.…(6分) 22 [x=y-2 (2)（i)设A(x,y),B(x2,y),由 x-y=2消去得2-1y2-4w+2=0, 4t 2 则2-1≠0，△=82+8>0，片+y=-4=2-' 2 由直线B与双曲线左支交于两点，得少<0，解得1<1<1， 所以t的取值范围为(-1,1).…(12分) (i)由(i)知，|AB=V+?V+)》2-4y= V1+2V82+8 1-t2 2 原点O到直线AB的距离d= +7,设C).D(,), {消去6-2-奶+4=0、则⅓+以”=号 x=y-2 4t 则cDi+7+-4-+7i6 1-t2 于是S+8=5aw-5mcD1-A81d-4仁22+2 1 1-t2 令m=V22+2e521,则S+S,=4m=84”=4∈0,4-22 1-m2-24-m22+m 2 所以S+S2的取值范围为(1,4-2√21.…(18分) 3/5 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D 21.(18分) 【详解】1)由椭圆+号=1与x=1联立方程组可得：+二-1→y=}y=士6 42 42 2 即交点A,B两点坐标分别为 9-9 所以AB=6;…(6分) (2) M A B 设A4,yB4,-y,4>0,则M(-4,,则SwB=21, 又因为Ak,y在椭圆r:￡+ =1上， 42 所以二+兰-1，利用基本不等式可得1≥21石 42 25→所≤5 则SM4B≤2V2,当且仅当t=V2时，取等号，即1=√2， 则M(←V2,),B(N2,-1),所以1By= 之；…(12分) (3) M D O--0 ⊙ 设At,y,B(t,-,M(x,yo, 4/5 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 则4y=二x-)+,lay=+(x-)-乃，令，=0， Xo-t x。-t 可分别求出交点坐标： P -,0,g+,0。 %-片 y+ =2 2 则OPOOI= -x好 又因为 2 %-y =2 21 代入得：OPOg= 212-2x =4 26 故0P09为定值4…(18分) 5/5