专题13 几何最值问题之将军饮马模型（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版七年级下册

专题13 几何最值问题之将军饮马模型 模型说明 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（2）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（3）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 将军饮马模型： 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（2）：一定点+两动点 条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 专项训练 1．如图，点P位于内部，点M和N分别在射线，上．若，，则周长的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，中，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，．点为边所在直线上一动点，连接，将、分别沿、翻折至、，连接，则面积的最小值为_________． 4．如图，在中，∠，，点C在直线上，，点P为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为 _____． 5．如图，在中，，是边上一点，，，，若点和点关于对称，点和点关于对称，则点，之间的距离的最小值是______，点，之间的距离的最大值是______． 6．如图，在直角中，，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是________． 7．如图，的面积为12，，AD平分，若E，F分别是AC，AD上的动点，则的最小值是______． 8．如图，边长为b的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是______． 9．如图，，点、分别在射线上，，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，______，的面积最小值为______． 10．如图，在中，，，，点、分别是AB，BC上的动点，则的最小值为______． 11．如图，中，，，，点D，E分别是线段，上的动点，当最小时，的长是______． 12．在中，，D为延长线上一点，点E为线段，的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，当时，则 °； (2)当时， ①如图2，连接，判断的形状，并证明； ②如图3，直线与交于点F，满足．P为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示与之间的数量关系为 ，并证明． 13．（1）问题背景如图（1），在中，是角平分线．求证：； （2）在中，，，是角平分线，，． ①应用探究如图（2），若，求证：； ②迁移拓展如图（3），P为线段上一点，绕C点逆时针旋转得到，使，连接，当最小时，直接写出的值（用含m，n的式子表示）． 14．综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 15．以为斜边在它的同侧作和，其中，，、交于点．      (1)如图1，平分，求证：； (2)如图2，过点A作，分别交、于点、点，连接，过A作，交于点，连接，交于点，求证：； (3)如图3，点为边的中点，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，连接、，当，最小时，请直接写出的度数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 几何最值问题之将军饮马模型 模型说明 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（2）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（3）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 将军饮马模型： 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（2）：一定点+两动点 条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 专项训练 1．如图，点P位于内部，点M和N分别在射线，上．若，，则周长的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称中最短路线问题，等边三角形的判定和性质．将三角形的周长利用轴对称转化为线段的长，构造等边三角形是解题的关键． 设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，根据当点M、N在上时，的周长最小，再结合等边三角形的判定和性质即可解答． 【详解】解：分别作点P关于、的对称点C、D，连接，分别交，于点M、N，连接，、，、 点P关于的对称点为C， ，， 点P关于的对称点为D， ，，， ， 是等边三角形， ， 的周长的最小值为． 故选：C ． 2．如图，中，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是轴对称路径最短问题，解决本题的关键是作出点关于、的对称点，将的周长转化为的长．首先作关于直线的对称点，关于直线的对称点，根据对称的性质可知，可得、、共线，由对称的性质可知，所以可得，可知当点、、、共线时，的值最小，最小值为，再根据垂线段最短可知当时最短，利用三角形的面积公式求出当时的值即可得到的最小值． 【详解】解：如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，， ，，， ， 、、共线， 根据对称的性质可知，， ， ， 当、、、共线时，的值最小，即此时的值最小， 由对称性可知， ， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， 当时，的值最小，最小值为， ， 的最小值为． 故选：C． 3．如图，在中，，，．点为边所在直线上一动点，连接，将、分别沿、翻折至、，连接，则面积的最小值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，垂线段最短，根据题意得出是等腰直角三角形，进而得出面积的为，根据垂线段最短，结合已知可得的最小值为，即可求解． 【详解】解：如图， ∵将、分别沿、翻折至、， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴面积的为 ∴当面积的最小时,最小， ∵在中，，，． ∴当最小时，，此时 ∴面积的最小值为 故答案为：． 4．如图，在中，∠，，点C在直线上，，点P为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为 _____． 【答案】/度 【分析】本题考查等边三角形判定和性质、轴对称最短路径问题、等腰三角形的性质，如图，作B关于的对称点D，连接，的值最小，则交于P，由轴对称易证，结合证得是等边三角形，可得，结合已知根据等腰三角形性质可求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，作B关于的对称点D，连接， ∴，， ∴， ∴当A、P、D三点共线时，最小，即此时的值最小， 由轴对称的性质可得， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 5．如图，在中，，是边上一点，，，，若点和点关于对称，点和点关于对称，则点，之间的距离的最小值是______，点，之间的距离的最大值是______． 【答案】 【分析】本题考查轴对称，掌握垂线段最短是解题的关键．根据轴对称的性质，得到，，推出，，三点共线，得到，进而得到当最小时，最小，当最大时，最大，进行求解即可． 【详解】解：连接，，， 点和点关于对称， ，， 点和点关于对称， ，， ， ， ， ，，三点共线， ， 当最小时，最小． 是上一点， 时，最小， 此时， ， ， 的最小值为 是上一点， 点与点重合时，最大， 的最大值为， 故点，之间的距离最小值是，点，之间的距离最大值是， 故答案为：； 6．如图，在直角中，，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称路径最短问题，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．，推出，可得、、共线，由，，可知、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题理解转化思想是解题的关键． 【详解】解：如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴ ，，， ， 、、共线， ， ， 当、、、共线时，且时，的值最小，最小值， ， ， 即 ∴的最小值为， 故答案为：． 7．如图，的面积为12，，AD平分，若E，F分别是AC，AD上的动点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，垂线段最短．过点C作于点 G，在上截取线段，使得，由，求出可得结论． 【详解】解：如图，过点C作于点 G，在上截取线段，使得， 平分，， ，关于对称， ， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 8．如图，边长为b的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E的运动轨迹，本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．通过分析点E的运动轨迹，点E在射线上运动（），作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小． 【详解】解：连接 ∵均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E在射线上运动（）， 作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小， ∵ ∴是等边三角形且与全等， ∴，， ∵， ∴， ∴周长的最小值是 故答案为： 9．如图，，点、分别在射线上，，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，______，的面积最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．分点在线段上，点的左侧和点的右侧，三种情况进行讨论，连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：当点在线段上，如图，连接，过点作交的延长线于，    ∵，且， ∴， ∵点关于对称的点为，点关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为， 当点在点的左侧时，如图：连接，过点作交的延长线于，      同理可得：， ∵点关于对称的点为，点关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为， 当点在点的右侧时，如图：连接，过点作交的延长线于，      同理可得：， 的面积的最小值为， 综上：，的面积的最小值为； 故答案为：90，． 10．如图，在中，，，，点、分别是AB，BC上的动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查作轴对称，两点之间，线段最短，垂线段最短，三角形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 作E关于的对称点F，作关于的对称，连接根据两点之间，线段最短，得点D为的交点，继而，根据垂线段最短，当时，取得最小值，即可解答． 【详解】解：作E关于的对称点F，作关于的对称，连接如图，有 ，点F在上，，，， ∴，根据两点之间，线段最短，得点D为的交点． 当时，根据垂线段最短，此时取得最小值． ∵， ∴， 即， 解得， 则的最小值为． 故答案为：． 11．如图，中，，，，点D，E分别是线段，上的动点，当最小时，的长是______． 【答案】2 【分析】本题考查了直角三角形的性质，轴对称的性质，掌握将军饮马的数学模型是解题的关键． 过作点A的对称点，连接，故，根据图形可知当三点共线，且时，最小，可得三点共线，再根据直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，过作点A的对称点，连接， 由对称可知，，， ， 根据图形可知当三点共线，且时，最小， 又， 三点共线， ， ． 故答案为：． 12．在中，，D为延长线上一点，点E为线段，的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，当时，则 °； (2)当时， ①如图2，连接，判断的形状，并证明； ②如图3，直线与交于点F，满足．P为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示与之间的数量关系为 ，并证明． 【答案】(1) (2)①时等边三角形，理由见解析；②，理由见解析． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、多边形的内角和等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质是解题的关键． （1）求出，由四边形内角和为即可得到； （2）①证明，求出，即可证明结论；②作点D关于直线的对称点，连接．当点P在的延长线上时，的值最大，此时，证明是等边三角形，再证明，得到，进一步得到，即可得到． 【详解】（1）解：如图1中， ∵点E是线段，的垂直平分线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①结论：是等边三角形． 理由：如图2中， ∵点E是线段，的垂直平分线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ②结论：． 理由：如图3中，作点D关于直线的对称点，连接． 当点P在的延长线上时，的值最大，此时， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（1）问题背景如图（1），在中，是角平分线．求证：； （2）在中，，，是角平分线，，． ①应用探究如图（2），若，求证：； ②迁移拓展如图（3），P为线段上一点，绕C点逆时针旋转得到，使，连接，当最小时，直接写出的值（用含m，n的式子表示）． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；（3）． 【分析】（1）作点到、边的垂线，根据三角形面积公式即可得出结论； （2）①在上取点，使，再构造角平分线模型，作的角平分线，由可证明、、都是等腰三角形，，，结合（1）的结论即可解题． ②连接，易证，继而可得，由此可得点在直线运动，再根据将军饮马模型作点D关于直线BQ的对称点，连接交于点，当Q在点时， 最小，再由（1）的结论得出答案． 【详解】（1）作点D到AC、BC边的垂线，垂足分别为、N， ∵是角平分线． ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． （2）①在上取点，使，作的角平分线交于F点， ∵在中，，， ∴， ∴是角平分线，即：， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 又∵是角平分线，． ∴． ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴，即， ∴即． ②连接，作点D关于直线BQ的对称点，连接交于点， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴是定直线， ∴， 当Q在点时， 最小， 又对称性质可知：，， ∴， 当最小时， 【点睛】本题主要考查了三角形的综合；涉及了角平分线性质，等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、将军饮马模型等知识点，（1）利用角平分线性质结合三角形面积公式即可证明；（2）①通过构造等腰三角形转化线段关系并构造角平分线分线段成比例模型是解题关键；②由旋转全等得出点Q在定直线上运动，从而将转化为将军饮马问题，求正好是造角平分线分线段成比例模型． 14．综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【答案】(1)证明见解析 (2)11 (3)110 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）连接，则B是C关于m的对称点，当B、P、A三点共线时，即当P是与的交点时，的周长最小； （3）分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值，根据轴对称的性质解题即可． 本题考查“将军饮马”问题的探究、轴对称性的应用． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； （2）解：如图，连接， ∵m是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当且仅当B、P、A三点共线时，等号成立， 即当P是与的交点时，的周长最小，最小为11， 故答案为：11； （3）解：如图，分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值， 根据对称性可知，， ∴， ， ， ， ， 故答案为：110． 15．以为斜边在它的同侧作和，其中，，、交于点．      (1)如图1，平分，求证：； (2)如图2，过点A作，分别交、于点、点，连接，过A作，交于点，连接，交于点，求证：； (3)如图3，点为边的中点，点是边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，连接、，当，最小时，请直接写出的度数． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）过点P作于点T，根据等腰直角三角形和角平分线的性质可得，证明，可得，由，等量代换即可得出结论； （2）连接，先根据证明，则可得，又由，可得，且平分，则可得，再证明则可得． （3）过点A作于点O，连接，，先证，得，可得点K在所在的直线上移动，则，可得出当且仅当B，K，P三点共线时取得最小值，然后根据三角的外角定理即可求出的度数． 【详解】（1）证明：如图，过点P作于点T，   ，， ， ， ，， ， 平分，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接   ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； ， 又∵， ，且平分， ， ， ， ， ， ． （3）解：过点A作于点O，连接 ，，   ，，， ， ∵点M是的中点， ，， ， ， ∵线段绕点M逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴点K在所在的直线上移动， 垂直平分， ， ， ∴当且仅当B，K，P三点共线时取得最小值，此时K点在上， ，， ， 在中，，， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形和直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $