专题09 全等三角形之一线三等角模型（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版七年级下册

专题09 全等三角形之一线三等角模型 模型说明 （1） 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 （2）锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 专项训练 1．在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证： ① ． ② ． (2)当直线绕点旋转到图的位置时，求证：． (3)当直线绕点旋转到图的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 2．如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由. (3)如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长． 3．（1）如图1，在中，，，直线经过点，过点分别向直线作垂线，垂足分别为，求证：； （2）如图2，若为等腰三角形，，点，，在直线上，满足，猜想，，有何数量关系，并说明理由； （3）如图3，以的边为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．若，求的面积． 4．像图1、图2这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索．请结合以上阅读，解决下列问题： (1)如图2，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论． (2)如图3，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，求证：． (3)小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图4，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面的B处接住她后用力一推，爸爸在距地面的C处接住她．若妈妈与爸爸水平距离为，，则秋千悬挂处O与地面的距离为_____．（不必书写解题过程）． 5．已知中，，过点作直线，点为直线上任意一点． (1)点为线段上的任意一点，点位于点的右边，连接交于点．如图1，若，，试探究与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，连接，过点作，并使，连接交射线于点，过点作于点，若，， ①如图2，点在点右边，求线段的长度；（用，表示） ②若点在点左边，在图3中画出图形并直接写出线段的长度．（用，表示） 6．根据以下素材，尝试解决问题． 综合与探究：“一线三直角”模型 素材1 “一线三直角”是解决数学几何问题常用的一种模型，通过证明三角形全等从而解决相关问题．模型探究：已知中，，，，三点都在直线l上，且有． 素材2 问题解决 任务1 （1）如图①，当时，若，，则 ； 任务2 （2）如图②，当时，探究线段、、 的数量关系并证明． 任务3 （3）如图③，的顶点落在平面直角坐标系的． 轴上，若，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 任务4 背景数据：“勾三股四弦五”是我国古代数学著作《周髀算经》中记载的经典结论，是直角三角形的特殊数据，是指在直角三角形中，两条直角边分别为、时，斜边一定是；反之，若直角三角形的斜边为，一条直角边为，那么另一条直角边一定为（为正整数）．记住这个固定边长关系，做题时遇到这类直角三角形可直接套用． （4）如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接，过点 作 的垂线 ，垂足为，分别交，于点，，把沿折叠，使点落在上的点 ，连接，若，，则点到的距离为 ． 7．在中，，，平分，在射线上取一点，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，垂足为点，作，垂足为点． (1)如图1，当___________°．时，点恰好落在上，此时___________；（填“>”“<”或“=”） (2)如图2，若点在内部，点不在上时，（1）问中、、的数量关系的成立吗？说明理由； (3)如图3，当点在外部时，请根据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）问中线段的结论是否成立？若不成立，请你用等式表示线段、、的数量关系． 8．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型． 【探究问题】 （1）如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． （2）如图3，将（1）中的直线绕点转动到与相交，其余条件不变．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值． 9．“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，请直接写出、与之间的数量关系； 【模型应用】 （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，． ①求的长； ②如图3，延长，交于点，求的长度． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 全等三角形之一线三等角模型 模型说明 （1） 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 （2）锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 专项训练 1．在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证： ① ． ② ． (2)当直线绕点旋转到图的位置时，求证：． (3)当直线绕点旋转到图的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，关键是掌握 全等判定、直角三角形的角互余关系； （1）先证 ，再利用全等对应边相等推导； （2）同理证明全等，结合线段位置关系得 ； （3）类比前两问，根据全等三角形的性质得到 ． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵于，于， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌． ②由①知，≌， ∴，， ∴． （2）解：同理可得， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∴． （3）解： 同理可得≌， ∴，， ∴． 【点睛】解决这类旋转型全等问题的核心是抓住 “” 和 “角互余” 这两个不变条件，无论直线如何旋转，都能通过 证明 ，再根据线段的位置关系推导 与 的和差关系．注意旋转后线段的位置变化，避免和差符号错误． 2．如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由. (3)如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 (3)8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，一线三等角模型证明全等，解题关键是熟悉一线三等角模型． （1）先证明，再根据全等三角形的性质得出，，从而根据，可得； （2）先判定成立，再说理由，先证明，再根据全等三角形的性质得出，，结合，可得； （3）先证明，再根据全等三角形的性质得出，，根据，，，可求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴， 又， ， ，， ， ； （2）成立， 理由：，， ， 又∵，， ， ，， 又， ； （3），，， ， 又，， ， ，， ，，， ． 3．（1）如图1，在中，，，直线经过点，过点分别向直线作垂线，垂足分别为，求证：； （2）如图2，若为等腰三角形，，点，，在直线上，满足，猜想，，有何数量关系，并说明理由； （3）如图3，以的边为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．若，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，判定三角形全等的方法包括，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形‌‌，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． （1）考虑一线三垂直模型，先推导得到，然后证明； （2）先大胆猜想，然后证明，利用推导得到，证得，进而得到，，通过等量替换进而完成证明； （3）作辅助线，过点作交的延长线于点，过点作于点，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】解：（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， 在和中， ； （2），理由如下： 是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ； （3）过点作交的延长线于点，过点作于点，如图所示： ，，， ， ， ， 在和中， ， ，同理可证明：， ， ， ， 的面积等于40． 4．像图1、图2这种“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索．请结合以上阅读，解决下列问题： (1)如图2，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论． (2)如图3，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，求证：． (3)小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图4，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面的B处接住她后用力一推，爸爸在距地面的C处接住她．若妈妈与爸爸水平距离为，，则秋千悬挂处O与地面的距离为_____．（不必书写解题过程）． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3)米 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）证明，得到，，即可得到、、之间的数量关系； （2）过D作交的延长线于点F，证明，得到，，进而得到，即可证明； （3）作交于，作交于，证明，得到，进而得到，则，根据得到，得到关于的一元一次方程，求出，进而可求出秋千悬挂处O与地面的距离． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）证明：过D作交的延长线于点F，如图： ∵， ∴，， ∴，而， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，作交于，作交于，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即，则， ∵， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴（米）． 故答案为：米． 5．已知中，，过点作直线，点为直线上任意一点． (1)点为线段上的任意一点，点位于点的右边，连接交于点．如图1，若，，试探究与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，连接，过点作，并使，连接交射线于点，过点作于点，若，， ①如图2，点在点右边，求线段的长度；（用，表示） ②若点在点左边，在图3中画出图形并直接写出线段的长度．（用，表示） 【答案】(1)，证明见解析 (2)①；②图见解析，． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解题的关键． （1）先证明，得出，再得出，即可得出结论； （2）①当点在点右边，先证明，得到，，进而得到，然后可证，得到，即可得到结论；②先画出图像，点在点左边，先证明，得到，，进而得到，然后可证，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：，证明： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）①∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②如图为所求作， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6．根据以下素材，尝试解决问题． 综合与探究：“一线三直角”模型 素材1 “一线三直角”是解决数学几何问题常用的一种模型，通过证明三角形全等从而解决相关问题．模型探究：已知中，，，，三点都在直线l上，且有． 素材2 问题解决 任务1 （1）如图①，当时，若，，则 ； 任务2 （2）如图②，当时，探究线段、、 的数量关系并证明． 任务3 （3）如图③，的顶点落在平面直角坐标系的． 轴上，若，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 任务4 背景数据：“勾三股四弦五”是我国古代数学著作《周髀算经》中记载的经典结论，是直角三角形的特殊数据，是指在直角三角形中，两条直角边分别为、时，斜边一定是；反之，若直角三角形的斜边为，一条直角边为，那么另一条直角边一定为（为正整数）．记住这个固定边长关系，做题时遇到这类直角三角形可直接套用． （4）如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接，过点 作 的垂线 ，垂足为，分别交，于点，，把沿折叠，使点落在上的点 ，连接，若，，则点到的距离为 ． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）；（4） 【分析】(1)利用可证，根据全等三角形的性质可证，，根据线段之间的关系即可求出的长度； (2)利用三角形外角的性质可证，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证； (3)由“一线三直角”可知，利用全等三角形的性质可知，，，根据线段之间的关系可知，根据平面直角坐标系中两点之间的距离可知，根据相反数的定义可知； (4)利用可证，根据全等三角形的性质可得，，由同角的余角相等可证，根据等角对等边可得，利用勾股定理求出，，利用三角形的面积公式即可求出点到的距离． 【详解】(1)解：当时， 可得：， ，， ， 在和中，， ， ，， ； 故答案为：； (2)解：， 证明：是的外角， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ； (3)解：如下图所示，过点作轴，过点作轴， 由(1)可知，， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， ； (4)解：四边形和是正方形， ，，， 在中，， ， 在和中，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设，则， ， ，， 在中， ， 整理得：， 解得：，， ， ，， ， 由折叠可知， ， ， 如下图所示，连接，过点作， ， ， ， 点到的距离为. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形外角的性质、解一元二次方程．解决本题的关键是根据“一线三直角”证明三角形全等，根据全等三角形的性质找边、角之间的关系． 7．在中，，，平分，在射线上取一点，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，垂足为点，作，垂足为点． (1)如图1，当___________°．时，点恰好落在上，此时___________；（填“>”“<”或“=”） (2)如图2，若点在内部，点不在上时，（1）问中、、的数量关系的成立吗？说明理由； (3)如图3，当点在外部时，请根据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）问中线段的结论是否成立？若不成立，请你用等式表示线段、、的数量关系． 【答案】(1) (2)成立，证明见解析 (3)不成立，，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形的判定依据是解题的关键． （1）作，通过证和全等，得到，同时利用等腰三角形三线合一得到，即可求解． （2）作，连接交于点P，通过证和全等，得到， 通过证和全等，得到，即可求解． （3）作，连接交于点P，通过证和全等，得到， 通过证和全等，得到，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 同理， 要使点恰好落在上，则， 平分， ， ， 如图，作， 又， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）关系成立， 如图作，连接交于点P， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ． 故（1）问中、、的数量关系成立． （3）不成立，关系为， 如图，作，连接交于点P， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ． 8．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型． 【探究问题】 （1）如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． （2）如图3，将（1）中的直线绕点转动到与相交，其余条件不变．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值． 【答案】（1）；（2）不成立，；（3）或或 【分析】本题围绕“一线三等角”模型，考查全等三角形的判定与性质． （1）先根据等角的余角相等推出，再由证明，得，，进而可得结论； （2）由证明，得，，进而可得结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分：①当E在上，D在上时；②当E在上，D在上时；③当E在上，D在上时；④当E到达A，D在上时，分别讨论． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， 故答案为：； （2）结论不成立，理由如下： ∵，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； （3）∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， 分情况讨论： ①当E在上，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴； ②当E在上，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴； ③当E在上，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴（不符合，舍去）； ④当E到达A，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴． 综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 9．“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，请直接写出、与之间的数量关系； 【模型应用】 （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，． ①求的长； ②如图3，延长，交于点，求的长度． 【答案】（1），（2）①，② 【分析】本题考查了“一线三垂直”的全等模型，掌握模型的构成与结论是解题关键． （1）证即可求解； （2）①证即可求解；②设，根据，即可求解； 【详解】解：（1）、与之间满足的数量关系为：； 理由如下： 由题意得：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）①在等腰直角中，，， ，             于点，于点， ， ， ，             在和中， ， ，，         ；         ②设， 在中，     在中，     在中，     ，解得         1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $