专题08 三角形中与边有关的两种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版七年级下册

专题08 三角形中与边有关的两种考法 类型一、与高线有关的计算问题 1．如图，在中，，D为BC边上任意一点，连接AD．已知DE，DF分别是，的高． 作图：（1）请在图①上作出中AC边上的高BG． 探究：（2）通过观察、测量，发现DE，DF，BG之间的数量关系为________________________． 填空：（3）为了说明DE，DF，BG之间的数量关系，小明是这样做的： 因为， 所以． 因为， 所以________________________． 拓展：（4）当点D在图②的位置时，试判断（2）中DE，DF，BG之间的数量关系是否仍然成立，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）  ，；（4）不成立．理由见解析 【分析】（1）过点作交于点，即可作答； （2）通过观察、测量，即可得到，，之间的数量关系； （3）将分成和，根据三角形的面积公式结合即可得到，，之间的数量关系； （4）将分成和，根据三角形的面积公式结合即可得到，，之间的数量关系． 【详解】解：（1）如图①，即为所求． （2） （3）因为， 所以． 因为， 所以． 故答案为：， ，． （4）不成立．理由如下： 如图②，过点作于点． ， ． ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积，解答本题的关键是熟练运用数形结合思想． 2．在中，，，于D． （1）如图①，已知于E，求证： （2）如图②，P是线段AC上任意一点（P不与A、C重合），过P作于E，于F，求证： （3）在图②中，若P是AC延长线上任意一点，其他条件不变，请画出图形并直接写出PE、PF、CD之间的关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）画图见解析，． 【分析】(1)分别以AB、BC边为底边，利用△ABC的面积的两种不同表示列式整理即可得证； (2)连接PB，根据△ABC的面积等于△ABP和△BCP的面积的和，然后列式整理即可得证； (3)作出图形，连接PB，然后根据△ABP的面积等于△ABC的面积和△PBC的面积的和，列式整理即可得解． 【详解】解：（1）证明： （2）如图②，连接PB， ， （3）如图③，即为图像， 连接PB，作交BC的延长线于E点， ， 【点睛】本题综合考查了三角形的知识，把同一个三角形的面积采用不同方法列式表示出来，然后再把已知数据代入进行计算求解，所以（2）（3）两小题作出辅助线把三角形分割成两个三角形是解题的关键，面积法也是解三角形问题常用的方法之一，需熟练掌握． 3．体验与实践 【解题呈现】如图，在中，，P为底边上的中点，，，点D、E为垂足，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为F，则有． 某同学的思路分析：本题涉及到三角形的高线，则利用等面积法进行思考与探索，即，所以， 而①式化为：可得． 【探究与实践】如图，已知：等腰三角形中，． (1)P为底边上的任意一点，自P向两腰所在的直线做垂线，点E、F为垂足．求证：等于定值； (2)若点P在底边的延长线上时，情况如何？ 【答案】(1)见解析 (2)若P在的延长线上，；若P在的延长线上，则有． 【分析】本题考查等腰三角形的性质，灵活运用材料中的结论是解题的关键． （1）连接，过点C做腰线的垂线，垂足为D，然后根据三角形的面积解题即可； （2）连接，过点C做腰线的垂线，垂足为D，根据解答即可． 【详解】（1）连接，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为D， 则为三角形的高， ， ①， 而， ①式化为：， 可得． 因为三角形在边上的高为定值，即为定值，所以等于定值． （2）若P在的延长线上，连接，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为D， 则为三角形的高， ， ， 而，所以， 可得． 同理，若P在的延长线上，则有． 4．在中，边上的高，点P是直线上任意一点，过P作于E，于F，且． (1)如图①，若点P在边上时，三者关系如何？请说明理由； (2)如图②，③，若点P在或的延长线上时，三者关系又如何？（直接写出结论，不需说明理由） (3)若点P是直线上的点，，求的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)在图②中，；在图③中， (3)的值为3或13 【分析】（1）连接，根据面积法可得，即可得到，即； （2）点在或的延长线上时，连接，根据面积法可得，，三者关系； （3）当，时，根据上述结论中，，三者关系即可得到的值． 本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，运用面积法得出线段之间的数量关系，解决问题的关键是作辅助线，运用分类思想解决问题． 【详解】（1）解：如图，连接， ，，， ，，， 又 ， ， ，即； （2）解：如图，点在的延长线上时，连接， ， ， ，即； 如图，点在的延长线上时，连接， ， ， ，即； （3）解：当点P在边上时，由（1）可知，， 那么， 故； 当点在的延长线上时，由（2）可知，， 那么， 故（舍去）； 当点在的延长线上时，由（2）可知，， 那么， 故． 综上所述，的值为3或13． 5．如图1，大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示为，从而验证了完全平方公式：．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法表示从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”． (1)用上述“面积法”，根据图2中图形的面积关系，写出一个等式：________． (2)如图3，中，，，，，是斜边上的高，求的长． (3)如图4，等腰中，，为底边上任意一点，，，垂足分别为，，，连接，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了整式乘法的几何背景、图形的拆分前后的面积相等、类比法等，解答的关键是根据已知条件和图形特点，利用拆分前后的面积相等分析、推理和计算． （1）大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，即，同时大正方形的面积也可以为，列出等量关系即可； （2）根据，代入数值解之即可； （3）由和三角形面积公式即可得证． 【详解】（1）解：如图2，大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，即， 同时大长方形的面积也可以为，所以． （2）解：如图，在中， ∵，， ， ． （3）证明：如图，，，，， ． ，． 类型二、与中线有关的计算问题 1．在学习完三角形的中线相关性质后，某数学兴趣小组进行了进一步的探究学习． 资料1 三角形的中线可以将三角形的面积分成相等的两部分． 资料2 如下图，在四边形中，对角线与交于点O，若，则． 探究1 如图1，过边上任意一点D作一条直线，使其平分的面积． 思路：如图2，连接，过点A作交的延长线于点E，连接交于点G， 取中点F，连接，则即为所求直线． 探究2 如下图，过四边形的顶点A作一条直线，使其平分四边形的面积． 问题1 根据探究1中给的思路证明平分的面积． 问题2 请完成探究2，并说明理由． 【答案】问题1：见解析；问题2：见解析 【分析】本题考查了三角形中线的性质，平行线的性质及三角形的面积，添加平行线，构造等积变形的图形是关键． （1）根据资料2可知，所以，再根据三角形中线的性质，即可证明结论； （2）连接，过点B作交的延长线于点E，取中点F，作直线，根据资料2可知，所以，再根据三角形中线的性质，即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， ， 即， 为的中点， ， 平分的面积． （2）如图2，连接，过点B作交的延长线于点E，取中点F，作直线，则即为所求直线． 证明：， ， ， 即， 为的中点， ， 平分四边形的面积． 2．用悬挂法可以确定三角形匀质薄板的重心． 实践探究：在质地均匀的薄板上任意画一个三角形，把剪下来，并在的每个顶点处钉一个小钉作为悬挂点，用下端系有小重物的细线缠绕在小钉A上，然后把三角形薄板悬挂起来，描出细线的“痕迹”；对于小钉B（或C）重复操作过程，描出细线的“痕迹”（或），若记与的交点为G，则发现也经过G点，如图1．G点既是三角形薄板的重心也是的重心． 数学思考：点P是的重心 （1）如图2，连，，，直接写出的值； （2）如图3，，，的延长线分别交，，于点F，E，D，求的值． 拓展运用：（3）如图4，中，，D，E分别是，延长线上的点，，的延长线交于点A，若D，E刚好分别为，的中点，，，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形重心的定义，及三角形面积的计算． （1）延长，，分别交，，于点F，E，D，根据重心的定义可得分别为的中点，设，，，根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出结论； （2）根据（1）的结论，根据，即可求解； （3）根据（1）的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，延长，，分别交，，于点F，E，D， ∵点P是的重心， ∴分别为的中点， ∴，，， 设，，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）解：由（1）可得，，且 ∴ （3）解：依题意，是的重心， 由（2）可得，， ∵，， ， ∵， ， ，， ∴． 3．综合与实践 【特例感知】如图①，点、、、均在方格图中的格点上，试用直尺过点、画出线段所在直线的垂线．通过计算可以发现______（选填“”“”“”）；并用直尺画出线段的垂直平分线． 【动态探究】（1）如图②，，智慧小组的同学用动态几何软件在直线上任意取两个点、，通过测量，发现，并得出结论：当两个三角形的底边相同，顶点的连线与底边平行时，这两个三角形的面积相等．如图③，过的顶点和边的中点作直线（擦去直线在三角形外的部分），可以得出______（选填“”“”“”），进而得出结论：过三角形的顶点与对边中点的直线把三角形分成两个面积相等的三角形．点是中点，若，则图中阴影部分的面积是______． （2）如图④，点是中点，当点是边上的任意一点时，如何过点作一条直线，使得该直线平分的面积．请画出直线．（要求画出必要的辅助线） 【答案】（特例感知）：作图见解析；；作图见解析；（动态探究）：（1）；5；（2）作图见解析 【分析】本题考查中线的性质及三角形的面积等知识点，熟练掌握中线平分面积是解题的关键． （特例感知）：过点和点两点作线段所在直线的垂线；；取的中点，过这个中点作直线，则直线为线段的垂直平分线； （动态探究）：（1）由题意可知；若，则； （2）连接，过点作直线交于点，连接，则直线即为所求直线，理由如下：连接交于点，通过证明，即可证明，从而得到直线平分的面积． 【详解】解：（特例感知）： 设方格图中每个小方格的边长是1， 由图可知，，则， 如图①，直线和直线分别为过点和点两点所作的线段所在直线的垂线； 由图可知，； 取的中点，过这个中点作直线，则直线为线段的垂直平分线； （动态探究）： （1）由题意可知； 点是中点， ， ，， ，， ， 故答案为：；5； （2）如图②，连接，过点作直线交于点，连接，则直线即为所求直线， 理由如下： 如图所示，连接交于点， 点是中点， ， ， ， ， ，， 又， ， 直线平分的面积． 4．项目式学习． 【项目背景】我们知道三角形的重心在三角形的三条中线的交点处．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态． 【探究1】关于三角形的重心还有哪些性质呢？ （1）如图2， 是的中线，它们面积的大小关系为： （填写，或）； （2）如图3，被三条中线分成六个小三角形，点O为的重心，求 ； （3）如图4，在中， 点O为的重心． 连接并延长， 分别交于点D， E． 若， 求的面积； 【探究2】小王向小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？小刘查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心，如图5，长方形的重心在对角线的交点处；②在平面内，图形A 与图形B拼成一个图形C（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A 的重心与图形B的重心所连的直线上； （4）如图6，请画出该图形重心所在的直线． 【答案】（1）（2） （3）（4）见解析 【分析】（1）根据三角形中线的性质，等底同高的三角形面积相等，据此判断与的关系． （2）利用三角形重心的性质，即重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，来求解． （3）先根据重心性质得出线段比例关系，再结合垂直条件求出相关三角形面积，进而推导出的面积． （4）将图6的图形拆分为两个基本图形（三角形和长方形），分别确定它们的重心，连接重心的直线即为该图形重心所在直线． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 又∵和同高， ∴， 故答案为：． （2）∵点为的重心， ∴， ∴，，，， ∴即， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为：2． （3）连接并延长交于点． ∵点是的重心， ∴由（2）得，， ∵，， ∴，；，． ∵， ∴． ， ， ， ∵点是重心， ∴由（2）得， ∴． ∴， 故答案为：． （4）如图所示，直线即为所求． 【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质、三角形中线与面积的关系、图形的拆分与重心确定，熟练掌握三角形重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为以及等底同高三角形面积相等是解题的关键． 5．阅读材料，并解决问题． 项目主题 确定匀质薄板的重心位置 项目背景 在学习三角形的重心时，我们知道三角形的重心在三角形的三条中线的交点处：重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？    问题探究 探究1 （1）如图2，是的中线，可以得到它们面积的大小关系为：_____（填＞、＜或＝）； （2）如图3，点O为的重心，若面积为a，求的面积；并求出的值． （3）如图4，在中，点是的重心．连接，并延长，分别交，于点，．若，，，结合（2）的结论，四边形的面积为______． 探究2 莞莞向初初提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？初初在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①如图5，四边形有重心，在其对角线的交点处；②在平面内，图形A与图形B拼成一个图形C（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心所连的直线上． （4）请在图6中画出该图形重心所在的直线．（仅用直尺作图，保留作图痕迹）    【答案】 （1）；（2）2；（3）；（4）见解析 【分析】本题主要考查了三角形重心的性质、三角形中线与面积的关系、图形的拆分与重心确定，熟练掌握三角形重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为以及等底同高三角形面积相等是解题的关键． （1）根据三角形中线的性质，等底同高的三角形面积相等，据此判断与的关系． （2）利用三角形重心的性质依次进行解答即可． （3）先根据重心性质得出线段比例关系，再结合垂直条件求出相关三角形面积，进而推导出四边形的面积． （4）将图6的图形拆分为两个长方形，分别确定它们的重心，连接重心的直线即为该图形重心所在直线． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 又∵和同高， ∴， 故答案为：． （2）∵点为的重心， ∴， ∴，，，，，， ∴，则， 同理可得， ∴， ∵， ∴，即， （3）连接并延长交于点． ∵点是的重心， ∴由（2）得，， ∵，， ∴，；，． ∵， ∴．，，， ∵点是重心， ∴由（2）得， ∴． ∴， ∴四边形的面积为 故答案为：． （4）如图所示，直线即为所求． 6．在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． 【探究】（1）如图1，通过观察、测量，请猜想，，之间的数量关系为__________；为了说明，，之间的数量关系，小明是这样做的： 证明：__________． __________． ， __________． 【运用】（2）如图，当点为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展】（3）如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 【答案】（1）；；； （2）；理由见解析 （3）；证明见解析 【分析】本题考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积． （1），根据已有的过程结合面积之间的关系列式化简，即可作答． （2）同理得，因为点D为中点，所以，结合，化简得，即可作答． （3）同理结合面积之间的关系列式化简，，即可作答． 【详解】（1）； 证明：， ， ， ； （2）过点作交于点， ， ， 点为中点， ， ， ； ， ， ． （3）过点作交于点， ， ， ， ， 则． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 三角形中与边有关的两种考法 类型一、与高线有关的计算问题 1．如图，在中，，D为BC边上任意一点，连接AD．已知DE，DF分别是，的高． 作图：（1）请在图①上作出中AC边上的高BG． 探究：（2）通过观察、测量，发现DE，DF，BG之间的数量关系为________________________． 填空：（3）为了说明DE，DF，BG之间的数量关系，小明是这样做的： 因为， 所以． 因为， 所以________________________． 拓展：（4）当点D在图②的位置时，试判断（2）中DE，DF，BG之间的数量关系是否仍然成立，并说明理由． 2．在中，，，于D． （1）如图①，已知于E，求证： （2）如图②，P是线段AC上任意一点（P不与A、C重合），过P作于E，于F，求证： （3）在图②中，若P是AC延长线上任意一点，其他条件不变，请画出图形并直接写出PE、PF、CD之间的关系． 3．体验与实践 【解题呈现】如图，在中，，P为底边上的中点，，，点D、E为垂足，过点C做腰线的垂线（高线），垂足为F，则有． 某同学的思路分析：本题涉及到三角形的高线，则利用等面积法进行思考与探索，即，所以， 而①式化为：可得． 【探究与实践】如图，已知：等腰三角形中，． (1)P为底边上的任意一点，自P向两腰所在的直线做垂线，点E、F为垂足．求证：等于定值； (2)若点P在底边的延长线上时，情况如何？ 4．在中，边上的高，点P是直线上任意一点，过P作于E，于F，且． (1)如图①，若点P在边上时，三者关系如何？请说明理由； (2)如图②，③，若点P在或的延长线上时，三者关系又如何？（直接写出结论，不需说明理由） (3)若点P是直线上的点，，求的值． 5．如图1，大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示为，从而验证了完全平方公式：．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法表示从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”． (1)用上述“面积法”，根据图2中图形的面积关系，写出一个等式：________． (2)如图3，中，，，，，是斜边上的高，求的长． (3)如图4，等腰中，，为底边上任意一点，，，垂足分别为，，，连接，求证：． 类型二、与中线有关的计算问题 1．在学习完三角形的中线相关性质后，某数学兴趣小组进行了进一步的探究学习． 资料1 三角形的中线可以将三角形的面积分成相等的两部分． 资料2 如下图，在四边形中，对角线与交于点O，若，则． 探究1 如图1，过边上任意一点D作一条直线，使其平分的面积． 思路：如图2，连接，过点A作交的延长线于点E，连接交于点G， 取中点F，连接，则即为所求直线． 探究2 如下图，过四边形的顶点A作一条直线，使其平分四边形的面积． 问题1 根据探究1中给的思路证明平分的面积． 问题2 请完成探究2，并说明理由． 2．用悬挂法可以确定三角形匀质薄板的重心． 实践探究：在质地均匀的薄板上任意画一个三角形，把剪下来，并在的每个顶点处钉一个小钉作为悬挂点，用下端系有小重物的细线缠绕在小钉A上，然后把三角形薄板悬挂起来，描出细线的“痕迹”；对于小钉B（或C）重复操作过程，描出细线的“痕迹”（或），若记与的交点为G，则发现也经过G点，如图1．G点既是三角形薄板的重心也是的重心． 数学思考：点P是的重心 （1）如图2，连，，，直接写出的值； （2）如图3，，，的延长线分别交，，于点F，E，D，求的值． 拓展运用：（3）如图4，中，，D，E分别是，延长线上的点，，的延长线交于点A，若D，E刚好分别为，的中点，，，直接写出四边形的面积． 3．综合与实践 【特例感知】如图①，点、、、均在方格图中的格点上，试用直尺过点、画出线段所在直线的垂线．通过计算可以发现______（选填“”“”“”）；并用直尺画出线段的垂直平分线． 【动态探究】（1）如图②，，智慧小组的同学用动态几何软件在直线上任意取两个点、，通过测量，发现，并得出结论：当两个三角形的底边相同，顶点的连线与底边平行时，这两个三角形的面积相等．如图③，过的顶点和边的中点作直线（擦去直线在三角形外的部分），可以得出______（选填“”“”“”），进而得出结论：过三角形的顶点与对边中点的直线把三角形分成两个面积相等的三角形．点是中点，若，则图中阴影部分的面积是______． （2）如图④，点是中点，当点是边上的任意一点时，如何过点作一条直线，使得该直线平分的面积．请画出直线．（要求画出必要的辅助线） 4．项目式学习． 【项目背景】我们知道三角形的重心在三角形的三条中线的交点处．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态． 【探究1】关于三角形的重心还有哪些性质呢？ （1）如图2， 是的中线，它们面积的大小关系为： （填写，或）； （2）如图3，被三条中线分成六个小三角形，点O为的重心，求 ； （3）如图4，在中， 点O为的重心． 连接并延长， 分别交于点D， E． 若， 求的面积； 【探究2】小王向小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？小刘查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心，如图5，长方形的重心在对角线的交点处；②在平面内，图形A 与图形B拼成一个图形C（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A 的重心与图形B的重心所连的直线上； （4）如图6，请画出该图形重心所在的直线． 5．阅读材料，并解决问题． 项目主题 确定匀质薄板的重心位置 项目背景 在学习三角形的重心时，我们知道三角形的重心在三角形的三条中线的交点处：重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？    问题探究 探究1 （1）如图2，是的中线，可以得到它们面积的大小关系为：_____（填＞、＜或＝）； （2）如图3，点O为的重心，若面积为a，求的面积；并求出的值． （3）如图4，在中，点是的重心．连接，并延长，分别交，于点，．若，，，结合（2）的结论，四边形的面积为______． 探究2 莞莞向初初提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？初初在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①如图5，四边形有重心，在其对角线的交点处；②在平面内，图形A与图形B拼成一个图形C（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心所连的直线上． （4）请在图6中画出该图形重心所在的直线．（仅用直尺作图，保留作图痕迹）    6．在中，，为直线上任意一点，连接，于点，于点，于点． 【探究】（1）如图1，通过观察、测量，请猜想，，之间的数量关系为__________；为了说明，，之间的数量关系，小明是这样做的： 证明：__________． __________． ， __________． 【运用】（2）如图，当点为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展】（3）如图2，当点在的延长线上时，请猜想，，之间的数量关系并证明． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $