精品解析：黑龙江省鸡西实验中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题

鸡西实验中学2025-2026学年度第二学期开学考试 高二学年数学试卷 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知某数列为，按照这个规律，则该数列的第10项是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到数列的一个通项公式，代入即可求解. 【详解】由题意，数列，可化为， 所以数列的一个通项公式为，所以该数列的第10项是. 故选：D. 2. 已知，分别是椭圆E：的左、右焦点，P是椭圆E上一点，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】确定椭圆半长轴长，根据椭圆的定义即可求得答案. 【详解】由椭圆E：可知其半长轴长为， 因为P是椭圆E：上一点，所以， 而，所以． 故选：C 3. 向量，分别是直线，的方向向量，且，，若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量平行的坐标运算计算得解. 【详解】因为，所以，所以，，所以，解得，. 故选：C. 4. 在正方体中，E，F分别为棱AD，的中点，则异面直线EF与所成角的余弦值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用坐标法即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则， ∴， ∴， 即异面直线EF与所成角的余弦值为. 故选：A. 5. 已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，求出的斜率，数形结合可求得直线的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围. 【详解】如图所示，直线的斜率，直线的斜率． 由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率， 因此直线的倾斜角的取值范围是． 故选：A. 6. 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，两边取倒数，然后累加即可得到结果. 【详解】，则，，，…，，以上各式相加可得，，. 故选：B 7. 如图，记三棱锥的体积为为的中点，且平面，则该三棱锥外接球的表面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三棱锥体积的范围先确定的范围，然后确定三棱锥外接球的球心大概位置，然后根据勾股定理和基本不等式的性质求出外接球半径的范围，最后根据球的表面积公式求出结果即可. 【详解】因为，所以. 由于三棱锥的体积为，平面， 所以，所以. 因为等腰直角中，为的中点， 所以. 因为，所以三棱锥外接球的球心在直线上. 设外接球半径为，则根据勾股定理得 ，化简得， 即， 当且仅当时等号成立. 因为，当时，； 当时，； 所以， 此时该外接球的表面积为. 故选：C. 8. 椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设椭圆与轴正半轴的交点为，椭圆上存在点，使得，则需，再结合椭圆的性质，即可求解. 【详解】设椭圆的上顶点为，连接、，如图所示： 则，， 椭圆上存在点，使得，则需， 则，显然，所以， 所以，所以，又， 所以，即椭圆离心率的取值范围为. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若椭圆的一个焦点坐标为，则（ ） A. B. C的长轴长为 C. C的短轴长为 D. C的离心率为 【答案】AC 【解析】 【分析】由椭圆的焦点坐标求出，即可求出椭圆的方程，再由长轴长、短轴长、离心率的定义即可得出答案. 【详解】因为椭圆的一个焦点坐标为， 所以椭圆的焦点在轴上，所以， 所以， 所以，所以， 所以（舍去）或，故A正确； 所以椭圆，所以C的长轴长为，故B错误； C的短轴长为，故C正确；C的离心率为，故D错误. 故选：AC. 10. 在正三棱柱中，，则（　　） A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 与平面所成角的正弦值为 D. 与侧面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角余弦的坐标表示，对各选项逐一分析判断即可得解. 【详解】对于A，依题意，取的中点的中点，连接，如图， 易得，又面，所以面， 又面，所以， 又是正三角形，是的中点，故，则两两垂直， 故以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图， 设，则， 则， 故， 则， 又，所以直线与所成的角为，故正确； 对于B，又， 则， 又，则直线与所成的角不为，故B错误； 对于C，易得平面的一个法向量为， 所以与平面所成角的正弦值为，故C正确； 对于D，取的中点，连接， 因为面，面，所以， 又是正三角形，是中点，故， 因为面，所以面， 易得的坐标为， 所以侧面的一个法向量为， 所以与侧面所成角的正弦值为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于合理建立空间直角坐标系，熟练掌握向量法求线线角，线面角即可. 11. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则等差数列 B. 若是等差数列，且，，则数列的前n项和有最大值 C. 若等差数列的前10项和为170，前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9∶8，则公差为2 D. 若是等差数列，则三点、、共线 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据等差数列及等差数列前n项和的性质，逐项分析判断. 【详解】A项，时，， 时， 时，，所以，不等差数列； B项，由已知可得，，又 所以，，.所以，有最大值； C项，由已知可得，偶数项和为90，奇数项和为80，两者作差为，所以； D项，设三点分别为A，B，C，，则，，. 则，，，所以三点共线. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 正项等比数列中，，，则_______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据条件，利用等比中项运算求解. 【详解】因为，又为正项等比数列， 所以， 又，故， 则. 13. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知列出不等式组，求解不等式组，即可得出答案. 【详解】由已知可得，，解得. 故答案为：. 14. 如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm，上口直径为40cm，底部直径为26cm，最小直径为24cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】设双曲线的标准方程为，得到，设点，代入双曲线的方程，求得，求得渐近线方程，即可求解. 【详解】如图所示，设双曲线的标准方程为， 因为最小直径为，可得，即， 又因为尊高，上口直径为，底部直径为， 设点， 所以且，解得，即， 可得双曲线的渐近线为， 所以渐近线与实轴所成锐角的正切值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点. （1）求AB边所在的直线方程； （2）求中线AM的长 （3）求AB边的高所在直线方程. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由两点式写出直线方程，整理为一般式即可，也可求出斜率，再由点斜式得直线方程； （2）由中点坐标公式求得中点坐标，再由两点间距离公式计算可得； （3）先求直线AB的斜率，由垂直关系可得AB边高线的斜率，可得高线的点斜式方程，化为一般式即可. 【小问1详解】 法一：由两点式写方程得，即； 法二：直线的斜率为， 直线的方程为，即； 【小问2详解】 设的坐标为，则由中点坐标公式可得，故， 所以； 小问3详解】 直线AB的斜率为， 所以由垂直关系可得AB边高线的斜率为， 故AB边的高所在直线方程为,化为一般式可得：. 16. 已知正方体的棱长为2，，分别为棱，的中点，建立空间直角坐标系，如图所示. （1）写出正方体各顶点的坐标； （2）写出向量，，的坐标； （3）求向量在向量上的投影向量的坐标. 【答案】（1） （2），， （3）. 【解析】 【分析】（1）直接利用空间直角坐标系求出结果； （2）利用向量的坐标运算的应用求出结果； （3）根据投影向量的定义与空间向量坐标运算求解即可. 【小问1详解】 由题知 【小问2详解】 因为E，F分别为棱BB1，DC的中点，所以， 所以：，，． 【小问3详解】 易知向量, 在向量上的投影向量为， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为. 17. 已知数列中，，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用累乘法即可得解； （2）利用裂项相消法即可得解. 【小问1详解】 因为，， 所以， 当时， 满足上式， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 所以. 18. 如图，在三棱柱中，，点D为棱AC的中点，平面平面，，且． （1）求证：平面ABC； （2）若，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证明； （2）利用空间向量的坐标运算求二面角. 【小问1详解】 如图，连接．因为侧面为菱形，且， 所以为等边三角形，所以． 又因为平面平面， 平面， 平面平面， 所以平面ABC． 【小问2详解】 由（1）的过程可知，可以点D为坐标原点， 分别以DB，DC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz． 不妨设，由题可知，，，，． 由，可得． 设平面的法向量为， 而，，则有, 取，得． 设平面的法向量为， 而，， 则有， 取，得． 设平面与平面夹角为， 则， 所以， 即平面与平面夹角的正弦值为． 19. 已知椭圆的离心率为，上顶点B的坐标为． （1）求C的方程； （2）已知M为C上一点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若点S满足，当点M在C上运动时，求点S的轨迹方程； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，且，结合运算求解，即可得椭圆方程； （2）设，根据可得，代入椭圆方程即可得轨迹方程； 【小问1详解】 设的半焦距为， 由题意可知：，即，由上顶点B的坐标为可知， 因为，即，解得， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 设，由题意可知， 则， 因为，则，可得， 又因为在椭圆上，即， 可得，化简得， 所以点的轨迹方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鸡西实验中学2025-2026学年度第二学期开学考试 高二学年数学试卷 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知某数列为，按照这个规律，则该数列的第10项是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，分别是椭圆E：左、右焦点，P是椭圆E上一点，若，则（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 向量，分别是直线，的方向向量，且，，若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 在正方体中，E，F分别为棱AD，的中点，则异面直线EF与所成角的余弦值为（ ）． A B. C. D. 5. 已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6 已知数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，记三棱锥的体积为为的中点，且平面，则该三棱锥外接球的表面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若椭圆的一个焦点坐标为，则（ ） A. B. C的长轴长为 C. C的短轴长为 D. C的离心率为 10. 正三棱柱中，，则（　　） A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 与平面所成角的正弦值为 D. 与侧面所成角的正弦值为 11. 已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等差数列 B. 若是等差数列，且，，则数列的前n项和有最大值 C. 若等差数列的前10项和为170，前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9∶8，则公差为2 D. 若是等差数列，则三点、、共线 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 正项等比数列中，，，则_______． 13. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是________． 14. 如图1，北京冬奥会火种台以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国传统青铜礼器一尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种．如图2，一种尊的外形近似为某双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高63cm，上口直径为40cm，底部直径为26cm，最小直径为24cm，则该双曲线的渐近线与实轴所成锐角的正切值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点. （1）求AB边所在的直线方程； （2）求中线AM的长 （3）求AB边的高所在直线方程. 16. 已知正方体的棱长为2，，分别为棱，的中点，建立空间直角坐标系，如图所示. （1）写出正方体各顶点的坐标； （2）写出向量，，的坐标； （3）求向量在向量上的投影向量的坐标. 17. 已知数列中，，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 18. 如图，在三棱柱中，，点D为棱AC的中点，平面平面，，且． （1）求证：平面ABC； （2）若，求二面角的正弦值． 19. 已知椭圆的离心率为，上顶点B的坐标为． （1）求C的方程； （2）已知M为C上一点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若点S满足，当点M在C上运动时，求点S的轨迹方程； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $