专题01 二次根式重难点题型汇编（十四大题型）-2025-2026学年八年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版）

专题01 二次根式重难点题型汇编 【题型01：二次根式的识别】.................................................................................................1 【题型02求二次根式的值】...................................................................................................2 【题型03求二次根式中的参数】.............................................................................................2 【题型04：二次根式有意义的条件】.....................................................................................2 【题型05：判断二次根式的性质化简】....................................................................................2 【题型06：同类二次根式的概念】.........................................................................................3 【题型07：最简二次根式】.................................................................................................. .3 【题型09：二次根式的大小比较】.................................................................................... ...4 【题型09：二次根式的混合运算】........................................................................................4 【题型10：二次根式的化简求值】.........................................................................................6 【题型11：二次根式的应用】................................................................................................7 【题型12：二次根式中新定义问题】.....................................................................................9 【题型13：利用分母有理化化简求值】...............................................................................10 【题型14：以二次根式为背景的材料阅读体二次根式中新定义问题】.................................12 【题型01：二次根式的识别】 1．下列式子是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列式子中，不属于二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．下列各式中，二次根式的个数有 （        ） ；；；；；． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型02：求二次根式的值】 1．当时，二次根式的值为_____ ． 2．当时，二次根式的值为________． 3．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．当时，二次根式的值是______． 【题型03：求二次根式中的参数】 1．已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．若化简后的结果是正整数，则正整数的最小值是________． 3．若，则的立方根是________． 【题型04：二次根式有意义的条件】 1．＝2，则a＝________． 2．若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 4．若，都是实数且，则的平方根是（    ） A．4 B． C．6 D． 【题型05：判断二次根式的性质化简】 1．如图，实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．若，则（） A． B． C． D． 3．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 4．实数a、b在数轴上的位置如图：则化简的结果是（   ） A． B． C．0 D． 5．如果，则的值为（   ） A． B． C．4 D． 【题型06：同类二次根式的概念】 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 3．最简二次根式与是同类二次根式，则的值是（    ） A．2 B．7 C． D． 4．若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【题型07：最简二次根式】 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有_______个． 5．若，其中为最简二次根式，为有理数，___________． 【题型08：二次根式的大小比较】 1．比较大小：______（填“”、“”、“”）． 2．比较大小：________．（填“、”或“”） 3．比较大小：_____．（填“＞”“＜”或“=”） 4．比较大小关系：______，________． 5．比较大小：______；______ （填“”或“”或“”） 【题型09：二次根式的混合运算】 1．计算 (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1)； (2)； (3) ； (4)； (5)． 4．计算： (1)； (2)． 5．计算： (1)； (2)； (3)． 【题型10：二次根式的化简求值】 1．已知，，求下列各式的值． (1)． (2)． 2．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 3．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 4．已知，，求下列各式的值： (1) (2) 5．已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【题型11：二次根式的应用】 1．在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成了一个面积为的正方形纸片，则原长方形纸片的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在长方形中不重叠无缝隙地放入面积分别为12和18的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（   ）    A．6 B． C． D． 3．【阅读材料】学习了《二次根式》后，小颖同学发现： 当，时：∵，∴． ∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： 小明同学要做一个面积为，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线的竹条至少要多长？ A． B． C． D． 4．初中数学书中给我们介绍了“海伦公式”，它是利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么，这个三角形的面积．如图，在中，，，，求的面积． 5．某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在该区域中间放置一个边长为米的正方形宣传栏（阴影部分）． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置宣传栏的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元/平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 6．如果忽略空气阻力，一个物体从高度为（米）的地方自由落体，到达地面所需要的时间（秒）由公式给出，其中是重力加速度，近似取． (1)一个物体从高为20米的楼上落下，需要多少时间？ (2)一个物体从某高处掉落，用时秒，求该物体原来所在高度． 7．如图，长方形的长和宽的长度比为，面积为． (1)求长方形的长和宽； (2)求此长方形内沿着边并排最多能裁出多少个面积为的圆形纸片？ 【题型12：二次根式中新定义问题】 1．对于非零的两个实数x，y，定义运算“”的运算法则为：则（    ） A．6 B．8 C．7 D．5 2．对于任意的正数，定义运算：，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．现定义一个新运算“※”，规定对于任意实数，都有，则的值为_____． 4．对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算“※”如下：※，则2※______． 5．【定义新知】我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形． (1)【概念理解】若三边长分别是，和4，则此三角形________常态三角形；（填“是”或“不是”） (2)【初步应用】若是常态三角形，其三边长分别为、、，且，则的值为________； (3)【拓展思考】如图，在中，，，，在上，且，若是常态三角形，求线段的长． 6．定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于8的共轭二次根式，则 ． (2)若与是关于4的共轭二次根式，求m的值． 【题型13：利用分母有理化化简求值】 1．阅读材料，解决问题． 材料1：我们规定：如果两个含有二次根式的因式的积中不含根号，那么就称这两个因式互为有理化因式．如，我们称与互为有理化因式． 材料2∶利用分式的基本性质和二次根式的运算性质，可以对进行如下的化简：，从而把分母中的根号化去，我们把这样的化简称为“分母有理化”． 问题： (1)与是否互为有理化因式？请说明理由； (2)分母有理化：； (3)化简：． 2．阅读下列材料，然后解答下列问题： 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)______． (2)______．（为正整数） (3)化简： 3．综合与探究我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题： (1)化简：_____________，_____________； (2)若求的值； (3)根据以上规律计算下列式子的值： ． 4．根据所给的方法，完成下列问题： 分母有理化：． 解：． (1)计算：； (2)已知，，求的值． 【题型14：以二次根式为背景的材料阅读体二次根式中新定义问题】 1．先阅读下面两段材料，然后解答问题： 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，，，一样的式子，分母中含有根号，其实我们还可以将其进一步化简：；； ．以上这种化简的过程叫分母有理化． 解答问题： （1）化简： ； ； ； （2）利用上面所提供的解法，请化简：． 材料二：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使，使得，，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于，即： ， 所以． 解答问题： （3）填空： ， ； 2．阅读材料：（一）如果我们能找到两个正整数x，y使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如： （二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，那么我们称这个过程为分式的分母有理化． 根据阅读材料解决下列问题： (1)化简“和谐二次根式”①_________；②_______． (2)已知，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式重难点题型汇编 【题型01：二次根式的识别】.................................................................................................1 【题型02求二次根式的值】...................................................................................................4 【题型03求二次根式中的参数】.............................................................................................5 【题型04：二次根式有意义的条件】.....................................................................................6 【题型05：判断二次根式的性质化简】....................................................................................7 【题型06：同类二次根式的概念】.........................................................................................10 【题型07：最简二次根式】..................................................................................................11 【题型09：二次根式的大小比较】.......................................................................................14 【题型09：二次根式的混合运算】.........................................................................................15 【题型10：二次根式的化简求值】........................................................................................19 【题型11：二次根式的应用】...............................................................................................22 【题型12：二次根式中新定义问题】....................................................................................28 【题型13：利用分母有理化化简求值】...............................................................................31 【题型14：以二次根式为背景的材料阅读体二次根式中新定义问题】.................................36 【题型01：二次根式的识别】 1．下列式子是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的识别，根据二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，即可解答． 【详解】解：A、当时，是二次根式，当时，没有意义，故该选项不符合题意； B、当时，是二次根式，当时，没有意义，故该选项不符合题意； C、不是二次根式，故该选项不符合题意； D、由于，故是二次根式，故该选项正确， 故选：D． 2．下列式子中，不属于二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的定义，根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数；逐一分析各选项中被开方数的符号即可判断. 【详解】解：选项A：，被开方数为2，显然大于0，属于二次根式； 选项B：，无论取何值，，因此，属于二次根式； 选项C：，被开方数为正数，属于二次根式； 选项D：，由于，故，被开方数为负数，不符合二次根式的条件， 综上，不属于二次根式的是选项D， 故选：D 3．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式，关键是掌握二次根式定义．根据二次根式的定义，被开方数必须位非负数，且式子有意义．需逐一分析各选项是否满足条件． 【详解】解：选项A：，当时是二次根式，但可能为负数，此时无意义，故不一定是二次根式． 选项B：是立方根，不符合题意 选项C：，被开方数为负数，在实数范围内无意义，故不是二次根式． 选项D：，绝对值恒成立，无论取何值，被开方数均非负，故一定是二次根式． 故选D． 4．下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题的关键． 直接利用二次根式的定义：形如()的代数式，逐一分析即可得出答案． 【详解】解：A、，被开方数为是负数，不是二次根式，故本选项不符合题意； B、，有可能小于0，不一定是二次根式，故本选项不符合题意； C、，一定大于0，一定是二次根式，故本选项符合题意； D、，有可能小于0，不一定是二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 5．下列各式中，二次根式的个数有 （        ） ；；；；；． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义．根据二次根式的定义：式子叫做二次根式，逐一判断即可． 【详解】解：被开方数1.2是正数，满足条件，属于二次根式； 被开方数为，当时，无论y取何值，；当时，无论x取何值，被开方数为0，但若且，被开方数为负数，无意义，因此，该式子不属于二次根式； 无论m、n取何值，，恒成立，属于二次根式； 被开方数为，需才有意义，但题目未限定x的范围，无法保证非负，不属于二次根式； 配方得，被开方数恒为正，属于二次根式； 被开方数为，需才有意义，但题目未限定x的范围，无法保证非负，不属于二次根式； 故二次根式的个数有3个， 故选：B． 【题型02：求二次根式的值】 1．当时，二次根式的值为_____ ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的求值等知识点，掌握二次根式的计算成为解题的关键． 将代入二次根式，然后求解即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：2． 2．当时，二次根式的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的代入求值，解题的关键是注意二次根式的符号，此类题比较简单．把代入二次根式求值即可得结果． 【详解】解：当时，原式． 故答案是：． 3．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题关键．将代入二次根式计算求值即可． 【详解】解：当时，， 故选：C． 4．当时，二次根式的值是______． 【答案】1 【分析】把代入二次根式求值即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． 【题型03：求二次根式中的参数】 1．已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 根据是整数可得，进而可求出实数n最大值为． 【详解】解：∵是整数， ∴是平方数， ∴， ∴， ∴实数n最大值为， 故选：A． 2．若化简后的结果是正整数，则正整数的最小值是________． 【答案】2 【分析】此题考查了二次根式的性质，由是正整数，可知是完全平方数，设（为正整数），则，为使为正整数，需为偶数，令（为正整数），代入得，当时，取最小值2． 【详解】解：因为是正整数， 所以是完全平方数． 设（为正整数），则． 由于是正整数， 因此必须被2整除，即为偶数． 令（为正整数），则． 当时，， 此时，为正整数，满足条件． 故正整数的最小值为2． 故答案为：2． 3．若，则的立方根是________． 【答案】2 【分析】根据平方、二次根式的非负性可得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 即，， ∴， ∴的立方根是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查平方、二次根式的非负性以及求立方根，得到，是解题的关键 【题型04：二次根式有意义的条件】 1．＝2，则a＝________． 【答案】 【分析】首先根据二次根式有意义的条件得到，再根据算术平方根的定义求解即可得出结果． 【详解】解： ， ，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查解方程，涉及到二次根有意义的条件和算术平方根的定义，熟练掌握二次根式的定义及性质是解决问题的关键． 2．若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数是非负数， ∴二次根式中，被开方数满足， 解不等式得． 3．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式和二次根式有意义的条件．根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件计算判断即可． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义． ∴需满足． 解不等式，得． 解不等式，得． ∴x的取值范围是且． 故选：B． 4．若，都是实数且，则的平方根是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据被开方数必须非负，从而确定 x的值，再求y的值，计算后求其平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是； 故选D． 【题型05：判断二次根式的性质化简】 1．如图，实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用数轴比较数的大小，化简绝对值，二次根式的化简，掌握“”是解本题的关键．由数轴可得，，再判断，，最后化简二次根式与绝对值，再合并即可． 【详解】解：由数轴可得，，， ，， ， 故选：A． 2．若，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据二次根式的性质直接化简，根据条件，，简化根式，需利用平方根的性质和绝对值的意义进行化简． 【详解】解：∵，， ∴（负数的立方为负）， 故，从而，根式有意义． ∵， ∴， 又∵，且，∴， ∴原式， 即，与选项A一致． 故选：A． 3．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先观察数轴得，则，再化简，即可作答． 【详解】解：观察数轴得， 则， ∴ ， 故选：A． 4．实数a、b在数轴上的位置如图：则化简的结果是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简二次根式和计算立方根，根据数轴可得到，则，据此计算立方根和化简二次根式并合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故答案为：A． 5．如果，则的值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质、整式的加减混合运算．根据的取值范围可判断得出，，根据二次根式的性质即可化简原式，据此计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：C． 【题型06：同类二次根式的概念】 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式的判断． 先将各选项的二次根式化为最简二次根式，再依据“化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式”进行判断． 【详解】解：A选项：已是最简二次根式，被开方数为2，与的被开方数不同，不是同类二次根式； B选项：，被开方数为3，与的被开方数相同，是同类二次根式； C选项：，被开方数为2，与的被开方数不同，不是同类二次根式； D选项：已是最简二次根式，被开方数为6，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 故选：B． 2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，同类二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，同类二次根式是解题的关键．利用二次根式的性质对各数进行化简，然后根据同类二次根式的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， A．，不是的同类二次根式，故不符合要求； B．，不是的同类二次根式，故不符合要求； C．，是的同类二次根式，故符合要求； D．，不是的同类二次根式，故不符合要求； 故选：C． 3．最简二次根式与是同类二次根式，则的值是（    ） A．2 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同类二次根式，掌握相关知识是解决问题的关键．同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，据此求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴ ．   ∴． 故选：A． 4．若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类二次根式的概念、最简二次根式、二次根式的性质等知识点，掌握同类二次根式的被开方数相同是解题的关键． 两个二次根式能合并的条件是它们化为最简二次根式后，被开方数相同，据此列关于的方程求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴的最简形式为，被开方数为2． 又∵是最简二次根式，且能与合并， ∴ ， 解得：． 故选：C． 【题型07：最简二次根式】 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需要满足两个条件，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，符合两个条件即为最简二次根式． 【详解】解：∵选项A，的被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意； ∵选项B，，被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意； ∵选项C，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式定义，∴是最简二次根式，本选项符合题意； ∵选项D，，被开方数含能开得尽方的因数4，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意． 故选：C． 2．下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B、，被开方数含分母，不是最简二次根式； C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； D、的被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式． 故选：D． 3．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母且不含完全平方因数），逐一判断各选项即可． 【详解】解：A.被开方数是小数，不是最简二次根式，故不符合题意； B.被开方数含分母，不是最简二次根式，故不符合题意； C. ，被开方数含完全平方因数，不是最简二次根式，故不符合题意； D.被开方数不含分母且不含完全平方因数，是最简二次根式，故符合题意． 故选：D． 4．若式子是最简二次根式，则满足条件的正整数x的值有_______个． 【答案】5 【分析】要确定满足是最简二次根式的正整数的值，需根据最简二次根式的定义，分析的取值，使得被开方数不含能开得尽方的因数，且为正整数． 【详解】∵是最简二次根式， ∴被开方数为不含完全平方因数的正整数， 由且为正整数，可知的可能取值为。 分别分析： 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式； 当时，，，不是最简二次根式． ∴满足条件的正整数x的值为，共个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需满足被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 5．若，其中为最简二次根式，为有理数，___________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式性质化简，涉及最简二次根式定义、利用二次根式性质化简等知识，先得到，再由最简二次根式定义及题意即可得到答案．熟记最简二次根式定义、利用二次根式性质化简是解决问题的关键． 【详解】解：， 若，其中为最简二次根式，为有理数，则， 故答案为：． 【题型08：二次根式的大小比较】 1．比较大小：______（填“”、“”、“”）． 【答案】 【分析】本题考查了比较二次根式的大小，能选择适当的方法比较两个实数的大小是解此题的关键．先把根号外的因式移入根号内，再根据实数的大小比较方法比较大小即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 即 故答案为：． 2．比较大小：________．（填“、”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较． 将化为，进而比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 3．比较大小：_____．（填“＞”“＜”或“=”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，熟练掌握“作差法”比较大小是解题的关键．利用作差法得到，再比较出即可得到答案． 【详解】 ，， ， ， 故答案为：． 4．比较大小关系：______，________． 【答案】 【分析】本题考查的是根据二次根式运算及分母有理化比较无理数的大小，根据二次根式的乘方及分母有理化计算比较大小即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：，． 5．比较大小：______；______ （填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据可得第一空答案；根据，则，据此可得第二空答案． 【详解】解：∵， ∴；， ∵， ∴， ∴ 故答案为：；． 【题型09：二次根式的混合运算】 1．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了零指数幂，二次根式的平方差公式、完全平方公式运算；熟练掌握二次根式的平方差公式、完全平方公式法则是解题的关键． （1）根据平方差公式、完全平方公式进行计算即可； （2）根据零指数幂、二次根式的混合运算进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的运算，包括乘方，开方，绝对值以及根式的运算，解题的关键在于掌握乘方，开方，绝对值的运算法则，以及根式的化简方法． （1）根据乘方的运算法则、二次根式的性质以及立方根的定义分别计算各项的值即可解答； （2）先去绝对值，再根据二次根式的性质进行计算即可解答． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3)2 (4) (5)5 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）先根据平方差公式去括号，再计算二次根式除法，最后计算加减法即可得到答案； （2）先计算二次根式乘除法，再计算加减法即可得到答案； （3）先计算二次根式乘法和化简二次根式，再计算二次根式除法，最后计算加减法即可得到答案； （4）先根据二次根式的乘法运算法则和平方差公式去括号，然后计算加减法即可得到答案； （5）先化简二次根式，再计算括号内的加减法，最后计算除法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘除法，再计算加法即可； （2）先化简二次根式，计算除法和乘法，再计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 5．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）利用二次根式乘除法法则计算即可； （3）先利用乘法公式去括号，然后计算二次根式加减法即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ， ， ； （3）解： ， ， ． 【题型10：二次根式的化简求值】 1．已知，，求下列各式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据，将的值代入计算即可得； （2）根据，将的值代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 2．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，注意计算的准确性即可； （1）利用平方差公式即可求解； （2）将原式变形为，即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解： ∴原式． 3．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)/ 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．将，代入各式进行化简求值即可求出答案． 【详解】（1）解（1） ． （2）解：（2） ． 4．已知，，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减法，二次根式的乘法，平方差公式，分式的加法运算，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意计算出的值，再根据计算求解即可； （2）根据题意计算出的值，再根据计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴． 5．已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式化简求值，二次根式混合运算，平方差公式，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据平方差公式和二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）先根据分式加减运算法则进行化简，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ， ． 【题型11：二次根式的应用】 1．在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成了一个面积为的正方形纸片，则原长方形纸片的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握算术平方根的定义及二次根式的运算法则是解题关键． 先设设原长方形纸片的长为，结合老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成了一个面积为的正方形纸片，列式计算，算出原长方形纸片的长，进而求出原长方形纸片的宽，再列式计算即可得出答案． 【详解】解：依题意，设原长方形纸片的长为， ∵老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成了一个面积为的正方形纸片， ∴ ∴（负值已舍去） ∴ ∴原长方形纸片的宽为： ∴原长方形纸片的面积为： 故选：C． 2．如图，在长方形中不重叠无缝隙地放入面积分别为12和18的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（   ）    A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的面积与边长的关系、二次根式的运算及长方形面积的计算，解题的关键是根据正方形面积求出边长，结合摆放方式确定长方形的长和宽，进而通过面积差求出空白部分面积． 先由正方形面积求出边长（分别为和）；根据“尽量撑满长方形”可知长方形的长为两正方形边长之和，宽为较大正方形的边长；计算长方形面积与两正方形面积和的差，得到空白部分面积． 【详解】解：两张正方形纸片的面积分别为12和18， ∴它们的边长分别为和． ∵要将两张正方形不重叠无缝隙地放入长方形且尽量撑满， ∴长方形的长为两个正方形边长之和，即，宽为较大正方形的边长． ∴长方形的面积为 ． ∵两张正方形纸片的面积和为， ∴空白部分的面积为． 故选：D． 3．【阅读材料】学习了《二次根式》后，小颖同学发现： 当，时：∵，∴． ∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： 小明同学要做一个面积为，对角线互相垂直的四边形风筝（如图所示），则用来做对角线的竹条至少要多长？ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，分式的乘法，理解题意是解题的关键．根据风筝的面积为，得到，再根据题中公式即可解答． 【详解】解：四边形的面积 ； ∴， 根据题意可得：， ∴用来做对角线的竹条至少要长． 故选：C． 4．初中数学书中给我们介绍了“海伦公式”，它是利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么，这个三角形的面积．如图，在中，，，，求的面积． 【答案】的面积为 【分析】本题考查了“海伦公式”的应用；将，，代入公式计算得出，然后再代入计算即可得出答案． 【详解】解：，，， ∴ = ， ∴ ； ∴的面积为． 5．某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在该区域中间放置一个边长为米的正方形宣传栏（阴影部分）． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置宣传栏的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元/平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用： （1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积求出装饰画面积，乘以单价即为所求． 【详解】（1）解：， 即的周长为； （2）解： （元） 即购买装饰画需要花费元． 6．如果忽略空气阻力，一个物体从高度为（米）的地方自由落体，到达地面所需要的时间（秒）由公式给出，其中是重力加速度，近似取． (1)一个物体从高为20米的楼上落下，需要多少时间？ (2)一个物体从某高处掉落，用时秒，求该物体原来所在高度． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，正确地理解题意，弄清各数量关系是解题的关键． （1）依据题意，直接把代入公式即可得到结论； （2）依据题意，直接把代入公式即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意，把代入式， ， ， 答：一个物体从高为 20 米的楼上落下，需要 2 秒． （2）解：由题意，， ， ， ， 答：该物体原来所在高度米． 7．如图，长方形的长和宽的长度比为，面积为． (1)求长方形的长和宽； (2)求此长方形内沿着边并排最多能裁出多少个面积为的圆形纸片？ 【答案】(1)长方形的长为，宽为 (2)最多能裁出3个 【分析】本题考查了二次根式的计算、无理数的估算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据长方形的面积列方程即可； （2）先求出圆形纸片的直径，再根据无理数的估算即可求解． 【详解】（1）解：设长方形的长为，则宽为， ∴有， ， ， 解得：（负值舍去）， ∴长方形的长为，宽为； （2）解：设圆形纸片的半径为， 则有， ， 解得：（负值舍去）， ∴圆形纸片的直径为， ∵，， ∴， ∴最多能裁出3个． 【题型12：二次根式中新定义问题】 1．对于非零的两个实数x，y，定义运算“”的运算法则为：则（    ） A．6 B．8 C．7 D．5 【答案】A 【分析】根据新定义的运算法则求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：A. 【点睛】本题以新定义为载体，主要考查了二次根式的运算，正确理解新定义的法则是关键. 2．对于任意的正数，定义运算：，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 3．现定义一个新运算“※”，规定对于任意实数，都有，则的值为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，掌握相关运算法则是解题关键．根据新定义运算计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．对于任意不相等的两个实数，，新定义一种运算“※”如下：※，则2※______． 【答案】2 【分析】根据规定的运算方法转化为二次根式的混合运算，再进一步化简即可． 【详解】解：2※ ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，理解新定义运算，正确列出算式，并掌握二次根式乘除法计算法则；解题的关键是掌握化简过． 5．【定义新知】我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形． (1)【概念理解】若三边长分别是，和4，则此三角形________常态三角形；（填“是”或“不是”） (2)【初步应用】若是常态三角形，其三边长分别为、、，且，则的值为________； (3)【拓展思考】如图，在中，，，，在上，且，若是常态三角形，求线段的长． 【答案】(1)是 (2) (3)或 【分析】此题主要考查了勾股定理以及新定义． （1）直接利用常态三角形的定义判断即可； （2）利用勾股定理以及结合常态三角形的定义得出两直角边的关系，进而得出答案； （3）分两种情况利用直角三角形的性质结合常态三角形的定义得出的长，再根据勾股定理求得的长． 【详解】（1）解：∵， ∴此三角形是常态三角形， 故答案为：是； （2）解：∵Rt△ABC是常态三角形， ∴设两直角边长为a，b，斜边长为c， ∴， ， ∴， 设，则， ∴此三角形的三边长之比为， 故答案为：； （3）解：∵是常态三角形， ∴， ， ∴， ∴ (负值已舍)， ∴， ， 在中，由勾股定理得，． 当时， ∵， ，， 在中，根据勾股定理得：， ∴的长为或． 6．定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于8的共轭二次根式，则 ． (2)若与是关于4的共轭二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，二次根式的运算． （1）根据共轭二次根式的定义建立方程，即可得到答案； （2）根据共轭二次根式的定义建立方程，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵a与是关于8的共轭二次根式， ∴． ∴． （2）解：∵与是关于4的共轭二次根式， ∴． ∴． ∴． 【题型13：利用分母有理化化简求值】 1．阅读材料，解决问题． 材料1：我们规定：如果两个含有二次根式的因式的积中不含根号，那么就称这两个因式互为有理化因式．如，我们称与互为有理化因式． 材料2∶利用分式的基本性质和二次根式的运算性质，可以对进行如下的化简：，从而把分母中的根号化去，我们把这样的化简称为“分母有理化”． 问题： (1)与是否互为有理化因式？请说明理由； (2)分母有理化：； (3)化简：． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化的方法． （1）求出两个式子的积即可得到答案； （2）根据阅读材料分母有理化即可； （3）分母有理化，再合并即可． 【详解】（1）解：与互为有理化因式，理由如下： 因为乘积的结果中不含根号，所以它们互为有理化因式． （2）解：； （3）解： 2．阅读下列材料，然后解答下列问题： 以上这种化简的方法叫分母有理化． (1)______． (2)______．（为正整数） (3)化简： 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】本题主要考查了分母有理化，正确理解题意掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）仿照题意进行求解即可； （2）仿照题意进行求解即可； （3）先仿照（1）求出，据此逐项分母有理化进行化简即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2）解： ； 故答案为：； （3）解： ， ∴ ． 3．综合与探究我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有． 请仿照上面的方法，解决下列各题： (1)化简：_____________，_____________； (2)若求的值； (3)根据以上规律计算下列式子的值： ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题围绕二次根式的分母有理化展开，综合考查平方差公式的应用、代数式求值、裂项相消求和等核心知识点，重点考查对“有理化因式”的理解及“裂项相消”这种简化求和的技巧． （1）对于，观察分母是“”，其有理化因式为“”，分子分母同乘该因式，利用平方差公式计算分母，即可得出结果，同理； （2）先对、分别分母有理化，得到，．再计算和，最后代入代数式即可； （3）将原式每一项按此规律展开，得到：，观察到中间项(如与、与等)相互抵消，最终只剩下首项的和末项的，从而得到结果． 【详解】（1）解：对于，分子分母同乘，得 ； 对于，分子分母同乘，得 ． 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ， ∴； （3）解： ． 4．根据所给的方法，完成下列问题： 分母有理化：． 解：． (1)计算：； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)9 (2)1 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）仿照例题对二次根式进行分母有理化，合并即可； （2）对、进行分母有理化，分别求出和，利用完全平方公式的变形，代入求值即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：，， ，， ． 【题型14：以二次根式为背景的材料阅读体二次根式中新定义问题】 1．先阅读下面两段材料，然后解答问题： 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，，，一样的式子，分母中含有根号，其实我们还可以将其进一步化简：；； ．以上这种化简的过程叫分母有理化． 解答问题： （1）化简： ； ； ； （2）利用上面所提供的解法，请化简：． 材料二：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使，使得，，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于，即： ， 所以． 解答问题： （3）填空： ， ； 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，分母有理化，完全平方公式，掌握二次根式的性质是关键． （1）根据分母有理化，即可求解； （2）每个二次根式分母有理化，进而即可求解； （3）先把根号内化为完全平方形式，进而即可求解． 【详解】解：（1）； ； ； 故答案为：；；； （2）原式 ； （3）， ， 故答案为：；． 2．阅读材料：（一）如果我们能找到两个正整数x，y使且，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”．例如： （二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，那么我们称这个过程为分式的分母有理化． 根据阅读材料解决下列问题： (1)化简“和谐二次根式”①_________；②_______． (2)已知，求的值． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】（1）根据阅读材料（一）化简“和谐二次根式”即可； （2）先根据阅读材料（一）化简与的分母，再根据阅读材料（二）进行分母有理化即可； 【详解】（1）解：①， ②， （2）， ， ∴， ； 【点睛】本题考查了分母有理化，二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质，完全平方公式是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $