突破讲练二 2、3、5的倍数特征（第三单元 因数与倍数）知识梳理+四大题型讲练+优选题拔尖练 共41题）-2025-2026学年苏教版数学五年级下册专项培优讲练

该小学数学讲义通过知识梳理与技巧点拨系统构建2、3、5倍数特征的知识体系，以框架图呈现各特征及联系，明确奇数偶数、质数合数等重难点分布，帮助学生形成清晰知识脉络。 讲义亮点在于情境化题型设计，如结合儿童节活动数据辨析数的特征，变式训练分层提升，培养抽象能力与推理意识。配套培优检测助力不同学生巩固，为教师精准教学提供系统支持。

突破讲练二 2、3、5的倍数特征 （第三单元 因数与倍数） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 重点难点 题型讲练 1 题型一：2、5的倍数特征 1 题型二：奇数与偶数的认识 2 题型三：3的倍数特征 3 题型四：2、3、5的倍数特征综合 4 培优检测 能力提升 4 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 2、5、3倍数特征之间的联系。 题型一：2、5的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级下·河南信阳·期末）2025年6月1日是第75个儿童节，阳光小学五年级5个班176名学生和7名老师在学校礼堂里举行了庆六一联欢活动，51名小演员给大家带来了魔术、小品、诗朗诵、舞蹈、独唱、课本剧等16个节目，中间还穿插了“你画我猜”“我演你猜”等6个师生互动节目和抽奖环节，在这2小时15分钟里，孩子们的笑声一直在礼堂中回荡。 文中画横线的数中，偶数有( )，合数有( )，奇数有( )，质数有( )，( )既是3的倍数又含有因数5。 【变式训练1】（24-25五年级下·江苏苏州·期末）已知两位数“8□”是2和3的公倍数，□里的数是( )，把这个两位数分解质因数为( )。 【变式训练2】（24-25五年级下·江苏南通·期中）一个四位数1□3□，它既是3的倍数又有因数2，这样的四位数共有( )个。 【变式训练3】（2025五年级下·全国·专题练习）判断以下6个数的整除性： 8875，198954，6512，93625，864，407。 （1）哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？ （2）哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？ 题型二：奇数与偶数的认识 【典例精讲】（25-26五年级上·天津河西·期末）哥德巴赫猜想（偶数情形）：任何不小于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式。请在下面写出两个不同的算式，符合这一猜想。 ( )＝( )＋( )( )＝( )＋( ) 【变式训练1】（24-25五年级上·福建厦门·期末）一个整数除以2，除得的商正好是整数，而没有余数，这个整数就是偶数；反之，这个整数就是奇数。像0、2、4、36、58、146…都是偶数，像1、3、25、37、249…都是奇数。 （1）有人说：“奇数与奇数的和一定等于偶数”，你同意吗？请说明理由。 （2）关于奇数和偶数，你还能提出什么猜想？请验证你的猜想是否正确。 【变式训练2】（24-25五年级下·江苏连云港·期末）下面关于奇数、偶数、质数、合数的说法，正确的是（    ）。 A．所有的质数都是奇数 B．所有的偶数都是合数 C．在1，2，3，4，5…这些数中，不是质数就是合数 D．几个乘数中，只要有一个偶数，积一定是偶数。 【变式训练3】（24-25五年级下·江苏盐城·期末）哥哥去旅游，他设置了一个四位数的行李箱密码。第一个数字是最小的合数，第二个数字既是质数也是偶数，第三个数字是3和9的最大公因数，最后一个数字既不是质数也不是合数，密码是( )。 题型三：3的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级下·新疆巴州·期末）在7，24，365，1060中，奇数有( )个，偶数有( )个，( )既是2的倍数也是5的倍数，( )是3的倍数。 【变式训练1】（24-25五年级下·江苏连云港·期末）一个数是2和3的倍数，还是60的因数，这个数最大是( )。如果把这个数分解质因数是( )。 【变式训练2】（24-25五年级下·江苏镇江·期末）古人表示年龄，通常不用数字，而是用文字，充满了浓厚的文化底蕴。如：不惑：四十岁；古稀：七十岁；耄耋（màodié）：八九十岁。淘淘的爷爷今年已过古稀之年，未及耄耋之年，且年龄既是2的倍数，又有因数3爷爷今年可能是( )岁或( )岁。 【变式训练3】请阅读以下材料，再解决问题。 （1）我们知道“一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”，例如123各位上数的和是6，是3的倍数，所以123是3的倍数。为什么可以这样判断？其实背后是有道理的： 根据数的意义，123是1个百、2个十、3个一组成的，它可以表示成：123＝1×100＋2×10＋3。100不是3的倍数，但是99是3的倍数，9也是3的倍数。根据乘法分配律： 123＝1×100＋2×10＋3 ＝1×（99＋1）＋2×（9＋1）＋3 ＝1×99＋1＋2×9＋2＋3 其中1×99和2×9一定是3的倍数，剩下只需要看“1＋2＋3”，也就是“各数位上的数的和”是否为3的倍数便可以进行判断了。 （2）先判断下面各数是否为9的倍数（是的在后面打√），再在括号里写出9的倍数的特征。 903（    ） 693（    ）239（    ）  990（    ） （                ），这个数就是9的倍数。 （3）请根据阅读材料，解释判断一个数是不是9的倍数的方法的道理。 题型四：2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（25-26五年级下·全国·课后作业）在方框里填上合适的数字。 (1)29□和55□既是5的倍数，又是2的倍数，□里可以填( )。 (2)14□同时是2和3的倍数，□里可以填( )。 (3)581□和29□既是2的倍数，又有因数3，□里可以填( )。 (4)42□同时是2，3和5的倍数，□里可以填( )。 【变式训练1】（24-25五年级上·湖北宜昌·期末）用2，0，4三个数字组成的三位数中，同时是2，3，5的倍数的最大三位数是( )。 【变式训练2】（25-26五年级上·甘肃天水·期末）三张数字卡片，上面分别写有2，7，0，用它们摆成三位数，其中既是2和3的倍数，又有因数5的数有（    ）个。 A．1 B．2 C．4 【变式训练3】（24-25五年级下·广西河池·期末）小新和爸爸、妈妈在网上购买电影票，他们此次电影票号码的后四位数字恰好是2、3、5的倍数，下面（    ）可能是他们此次票码的后四位数字。 A．3356 B．1503 C．1350 D．3365 1．（25-26五年级上·辽宁丹东·期末）1—30中，既是2的倍数，又是5的倍数的数有（    ）个。 A．3 B．6 C．10 D．15 2．（24-25五年级·全国·随堂练习）83至少加上（    ）就是2的倍数，83至少减去（    ）就是5的倍数。 ①1    ②2    ③3    ④4 A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 3．（24-25五年级下·河北唐山·期中）小明用2、5、8这三张数字卡，任意摆出一个三位数，一定是（    ）的倍数。 A．2 B．3 C．5 4．（24-25五年级下·全国·课后作业）一个三位数，既是5的倍数，又是奇数，这个数最小是（    ）。 A．100 B．105 C．115 D．150 5．（24-25五年级下·河南平顶山·期末）下列诗句中划线的数不是3的倍数的是（    ）。 A．烹羊宰牛且为乐，会须一饮三百杯 B．八百里分麾下炙，五十弦翻塞外声 C．南朝四百八十寺，多少楼台烟雨中 D．军书十二卷，卷卷有爷名 6．（25-26五年级上·广东深圳·期末）倍数。一个三位数，同时是2、3、5的倍数，关于这个数，下列说法正确的是（    ）。 ①一定是30的倍数。         ②个位上只能是0。 ③十位上的数不可以是7。       ④百位、十位、个位上的数字之和是3的倍数。 A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 7．（24-25五年级上·辽宁大连·期末）187至少减去( )就是2的倍数，至少减去( )就是5的倍数，至少加上( )就是3的倍数，至少加上( )就是2和5的共同倍数。 8．（25-26五年级上·天津河西·期中）一个数既是3的倍数，又是5的倍数，这个数最小是( )；一个数同时是2、3、5的倍数，这个数最小是( )。 9．（24-25五年级下·全国·课后作业）要使8☐既是2的倍数又是3的倍数，☐里可以填( )；要使43☐既是3的倍数又是5的倍数，☐里可以填( )。 10．（24-25五年级下·全国·课后作业）用“奇”或“偶”填空。 (1)海海卡片上的数都是( )数，任意两个数相加的和是( )数，相乘的积是( )数。 (2)园园卡片上的数都是( )数，任意两个数相加的和是( )数，相乘的积是( )数。 (3)海海和园园各拿出一张卡片，卡片上两数的和是( )数，积是( )数。 11．（24-25五年级上·河北邯郸·期末）如果A是奇数，那么123＋141＋A＋37的结果一定还是奇数。( )（判断对错） 12．（24-25五年级下·全国·课后作业）两个质数的积是奇数，那么这两个质数一定都是奇数。( ) 13．如果一个数是6的倍数，那么一定也是3的倍数。( )（判断对错） 14．（24-25五年级下·江西九江·期中）同时是2、3、5的倍数的最小的三位数是105。( )（判断对错） 15．（24-25五年级下·全国·课后作业）先算一算，再按要求分类。（填序号） ①10＋2＝     ②2＋3＝    ③15＋17＝     ④24＋19＝     ⑤43＋15＝     ⑥21＋18＝     我发现：奇数＋奇数＝（    ） 奇数＋偶数＝（    ） 偶数＋偶数＝（    ） 16．（23-24五年级下·陕西西安·期中）乐乐在文体店买了一些兵马俑工艺品和地标金属书签，兵马俑工艺品25元1个，地标金属书签10元1个，乐乐付给售货员100元，找回23元，售货员找回的钱对吗？请说明理由。 17．（24-25五年级下·河北邢台·期中）采摘的鲜香菇装在规格相同的周转筐中，一共装了64筐。可以选择用小推车一次运3筐，或者4筐，或者5筐，若每次运的筐数相同，那么采用哪种方法可以正好运完？ 18．（2025五年级下·全国·专题练习）“孪生质数猜想”是著名的数学猜想之一，1849年，数学家阿尔方·德·波利尼亚克提出了一般的猜想，即对所有自然数K，存在无穷多个质数对（P，P＋2K）K＝1的情况就是孪生质数猜想。孪生质数猜想”中所说的“孪生质数”是指相差为2的两个质数。如3和5都是质数，5－3＝2，所以，3和5就是一对孪生质数，5和7也是一对孪生质数。 （1）写出20以内除了3和5和7以外的所有孪生质数。 （2）如果用a和b表示任意一对孪生质数（a均大于2）那么2a＋b的和一定是 （填“奇数”或“偶数”）。 19．（24-25五年级下·全国·课后作业）下面的数，哪些是偶数？哪些是奇数？ 58    74    89    120    231    155    600 20．（2024六年级下·江苏·专题练习）小明家无线网的密码是一个八位数。从左边数，第一位数既不是质数也不是合数，第二位数是最小的合数，第三位数既是奇数又是合数，第四位数既是偶数又是质数，第五位数是8的最小因数，其余各位上的数都是最小的自然数。小明家无线网的密码是多少？ 21．（24-25五年级下·全国·课后作业）王老师给手机设置了一个锁屏密码“27□□”，他记得自己设置的这个四位数密码既是5的倍数，又是3的倍数。他最多需要输入几次密码才能解锁手机？为什么？ 22．（24-25五年级下·山东菏泽·期中）任选两张卡片，在括号里写出所有满足条件的两位数。 (1)奇数( )。 (2)既是2的倍数，又是3的倍数( )。 (3)既是2的倍数，又是5的倍数( )。 (4)同时是2、3、5的倍数( )。 23．（24-25五年级下·河南南阳·期中）秦始皇陵兵马俑二号坑的内部精心构筑了战车方阵，骑兵阵，弩兵阵和车、步、骑混合方阵。弩兵阵位于整个军阵的东部前沿，这个方阵内四面环廊，站立着172件立射俑，中心部位是160件跪射俑。这些兵马俑3个3个地数能正好数完吗？5个5个地数呢？（写出思考过程） 24．（2025五年级下·全国·专题练习）用1、3、5、7、9这五个数字回答下列问题。（一个数中每个数字只能用一次） （1）选出四个数字，组成是3的倍数的最大四位数是多少？ （2）选出四个数字，组成是5的倍数的最小四位数是多少？ （3）选出四个数字，组成同时是3和5的倍数，其中最小的四位数是多少？最大的四位数是多少？ 25．（24-25五年级下·全国·课后作业）在体育课上，有32名同学参加实心球训练，要平均分成五组，至少要再来几名同学？或者离开几名同学？两种情况下，每组各有几名同学？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 突破讲练二 2、3、5的倍数特征 （第三单元 因数与倍数） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 重点难点 题型讲练 1 题型一：2、5的倍数特征 1 题型二：奇数与偶数的认识 3 题型三：3的倍数特征 6 题型四：2、3、5的倍数特征综合 8 培优检测 能力提升 10 2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 2、5、3倍数特征之间的联系。 题型一：2、5的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级下·河南信阳·期末）2025年6月1日是第75个儿童节，阳光小学五年级5个班176名学生和7名老师在学校礼堂里举行了庆六一联欢活动，51名小演员给大家带来了魔术、小品、诗朗诵、舞蹈、独唱、课本剧等16个节目，中间还穿插了“你画我猜”“我演你猜”等6个师生互动节目和抽奖环节，在这2小时15分钟里，孩子们的笑声一直在礼堂中回荡。 文中画横线的数中，偶数有( )，合数有( )，奇数有( )，质数有( )，( )既是3的倍数又含有因数5。 【答案】 176、16、6、2 75、176、51、16、6、15 75、5、7、51、15 5、7、2 75、15 【思路引导】不能被2整除的数叫做奇数；能被2整除的数叫做偶数；一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身外，还有其它因数，这样的数叫做合数；既是3的倍数又含有因数5的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【规范解答】75，5，176，7，51，16，6，2，15中， 偶数有：176、16、6、2； 合数有：75、176、51、16、6、15； 奇数有：75、5、7、51、15； 质数有：5、7、2； 75是5的倍数；7＋5＝12，12能被3整除，所以75也是3的倍数； 5是5的倍数；5不能被3整除，所以5不是3的倍数； 15是5的倍数；1＋5＝6，6能被3整除。所以15也是3的倍数。 75、15既是3的倍数又含有因数5。 偶数有176，16，6，2，合数有75，176，51，16，6，15，奇数有75、5、7、51、15，质数有5、7、2，75、15既是3的倍数又含有因数5。 【变式训练1】（24-25五年级下·江苏苏州·期末）已知两位数“8□”是2和3的公倍数，□里的数是( )，把这个两位数分解质因数为( )。 【答案】 4 84＝2×2×3×7 【思路引导】2的倍数特征：个位数是0、2、4、6或8；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数。据此可知， □里面填0、2、6都不合适，只能填4。然后再分解质因数即可。分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。 【规范解答】根据2和3的倍数特征，已知两位数“8□”是2和3的公倍数，□里的数只能填4，把这个两位数分解质因数为84＝2×2×3×7。 【变式训练2】（24-25五年级下·江苏南通·期中）一个四位数1□3□，它既是3的倍数又有因数2，这样的四位数共有( )个。 【答案】17 【思路引导】一个数有因数2，说明这个数是2的倍数，所以一个数个位上的数字是0、2、4、6或8；这个数是3的倍数，那么这个数各数位上的数字之和是3的倍数。本题中先确定个位数，再确定百位数，最后统计总数。 【规范解答】当个位是0时，这个数可以是1230，1530，1830； 当个位是2时，这个数可以是1032，1332，1632，1932； 当个位是4时，这个数可以是1134，1434，1734； 当个位是6时，这个数可以是1236，1536，1836； 当个位是8时，这个数可以是1038，1338，1638，1938； 所以这样的四位数共有17个。 【变式训练3】（2025五年级下·全国·专题练习）判断以下6个数的整除性： 8875，198954，6512，93625，864，407。 （1）哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？ （2）哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？ 【答案】（1）6512、864；6512、864 （2）8875、93625；8875、93625 【思路引导】（1）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除；一个数的末三位是8的倍数，这个数就是8的倍数； （2）25的倍数特征：尾数是0或5，后两位数不是25、50、75就或是00；后三位数字如果是125的倍数，那么这个数就是125的倍数。 【规范解答】（1）12能被4整除，即6512能被4整除；64能被4整除，即864能被4整除。 512÷8＝64，即6512能被8整除；864÷8＝108，即864能被8整除。 答：能被4整除的数有：6512，864。能被8整除的数有：6512，864。 （2）8875、93625的后两位数是75、25，即8875、93625能被25整除。 875÷125＝7，即8875能被125整除；625÷125＝5，即93625能被125整除。 答：能被25整除的数有：8875、93625；能被125整除的有8875、93625。 【考点剖析】解答本题的关键是熟练掌握2、5的倍数的特征，在此基本上延伸出4、8、25及125的倍数的特征。 题型二：奇数与偶数的认识 【典例精讲】（25-26五年级上·天津河西·期末）哥德巴赫猜想（偶数情形）：任何不小于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式。请在下面写出两个不同的算式，符合这一猜想。 ( )＝( )＋( )( )＝( )＋( ) 【答案】 8 3 5 10 3 7 【思路引导】根据题意，首先明确哥德巴赫猜想（偶数情形）的定义：任何不小于4的偶数，都可以表示为两个质数相加的形式。 确定偶数：选择两个不小于4的不同偶数，比如8和10。 寻找质数组合： 偶数8，先列出小于8的质数：2、3、5、7。再从中找出两个质数相加等于8的组合，例如3＋5＝8。 偶数10，列出小于10的质数：2、3、5、7。再从中找出两个质数相加等于10的组合，例如3＋7＝10。据此解答。 【规范解答】选择偶数8：质数3与5相加：3＋5＝8 选择偶数10：质数3与7相加：3＋7＝10 综上所述可得，8＝3＋5；10＝3＋7（答案不唯一） 【变式训练1】（24-25五年级上·福建厦门·期末）一个整数除以2，除得的商正好是整数，而没有余数，这个整数就是偶数；反之，这个整数就是奇数。像0、2、4、36、58、146…都是偶数，像1、3、25、37、249…都是奇数。 （1）有人说：“奇数与奇数的和一定等于偶数”，你同意吗？请说明理由。 （2）关于奇数和偶数，你还能提出什么猜想？请验证你的猜想是否正确。 【答案】（1）同意； （2）猜想：奇数与偶数的和一定是奇数；正确 【思路引导】（1）偶数：能被2整除的数；奇数：不能被2整除的数，据此可以举例判断奇数＋奇数是否等于偶数； （2）可以提出猜想：奇数与偶数的和一定是奇数，根据奇数和偶数的概念举例判断猜想是否正确；注意：此题答案不唯一。 【规范解答】（1）3和5都是奇数，3＋5＝8，8是偶数； 7和9都是奇数，7＋9＝16，16是偶数。 答：通过举例判断说明奇数和奇数的和一定等于偶数，所以我同意这个说法。 （2）提出猜想：奇数与偶数的和一定是奇数。 1是奇数，2是偶数，1＋2＝3，3是奇数； 15是奇数，20是偶数，15＋20＝35，35是奇数。 答：通过举例判断可以说明我提出的猜想：奇数与偶数的和一定是奇数是正确的。 【变式训练2】（24-25五年级下·江苏连云港·期末）下面关于奇数、偶数、质数、合数的说法，正确的是（    ）。 A．所有的质数都是奇数 B．所有的偶数都是合数 C．在1，2，3，4，5…这些数中，不是质数就是合数 D．几个乘数中，只要有一个偶数，积一定是偶数。 【答案】D 【思路引导】质数是只有1和它本身两个因数的数；合数是除了1和它本身还有其他因数的数，1既不是质数也不是合数。奇数是不能被2整除的整数。偶数是能被2整除的整数。据此分析各选项，进而确定正确答案。 【规范解答】A．2是质数，同时2能被2整除，是偶数不是奇数。因此“所有的质数都是奇数”错误。 B．2是偶数，但2的因数只有1和2，是质数不是合数。因此“所有的偶数都是合数”错误。 C．1既不是质数也不是合数。因此“在1，2，3，4，5…这些数中，不是质数就是合数”错误。 D．根据偶数的性质：偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数。因此，几个乘数中只要有一个偶数，积一定能被2整除，即积一定是偶数。该说法正确。 所以正确的是选项D中的说法。 故答案为：D 【变式训练3】（24-25五年级下·江苏盐城·期末）哥哥去旅游，他设置了一个四位数的行李箱密码。第一个数字是最小的合数，第二个数字既是质数也是偶数，第三个数字是3和9的最大公因数，最后一个数字既不是质数也不是合数，密码是( )。 【答案】4231 【思路引导】合数的定义：除了1和它本身，还有其他因数的正整数。最小的合数是4，1既不是质数也不是合数，因此第一位数字是4。 质数的定义：只有1和它本身两个因数的正整数；偶数是能被2整除的数。唯一既是质数又是偶数的数是2，因此第二位数字是2。 最大公因数的定义：两个数共有的因数中最大的那个。3的因数：1、3；9的因数：1、3、9。两者共有的因数是1、3，最大公因数是3，因此第三位数字是3。 根据数的分类，只有1既不符合质数定义，也不符合合数定义，因此第四位数字是1。 【规范解答】第一位数字：最小的合数是4； 第二位数字：唯一既是质数又是偶数的数是2； 第三位数字：3的因数：1、3；9的因数：1、3、9。两者共有的因数是1、3，最大公因数是3； 第四位数字：1既不是质数也不是合数。 所以密码是4231。 题型三：3的倍数特征 【典例精讲】（24-25五年级下·新疆巴州·期末）在7，24，365，1060中，奇数有( )个，偶数有( )个，( )既是2的倍数也是5的倍数，( )是3的倍数。 【答案】 2 2 1060 24 【思路引导】奇数是不能被2整除的整数（个位为1、3、5、7、9）；偶数是能被2整除的整数（个位为0、2、4、6、8）；2和5的公倍数特征：个位上是0；3的倍数特征：一个数的各位数字之和能被3整除，这个数就是3的倍数。据此分析给出的各数解答。 【规范解答】7：不能被2整除，是奇数；不能被3整除，不是3的倍数；不是2和5的公倍数。 24：个位是4，是偶数；各位数字和为2＋4＝6，6能被3整除，是3的倍数；个位不是0，不是2和5的公倍数。 365：个位是5，是奇数；各位数字和为3＋6＋5＝14，不是3的倍数；个位不是0，不是2和5的公倍数。 1060：能被2整除，是偶数；各位数字和为1＋0＋6＋0＝7，7不能被3整除，不是3的倍数；个位是0，是2和5的公倍数。 奇数有：7、365，共2个；偶数有：24、1060，共2个；既是2的倍数也是5的倍数：1060；是3的倍数：24。 在7，24，365，1060中，奇数有2个，偶数有2个，1060既是2的倍数也是5的倍数，24是3的倍数。 【变式训练1】（24-25五年级下·江苏连云港·期末）一个数是2和3的倍数，还是60的因数，这个数最大是( )。如果把这个数分解质因数是( )。 【答案】 60 60＝2×2×3×5 【思路引导】根据倍数性质，同时是2和3的倍数的数，一定是2×3＝6的倍数（即能被6整除）。是60的因数：需先列出60的所有因数，再从中筛选出是6的倍数的数。60的因数有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。能被6整除的数为：6、12、30、60。对比可得，最大的数是60。 分解质因数是将一个数拆成若干个质数相乘的形式。对60分解质因数：60＝2×2×3×5。 【规范解答】2×3＝6 是2和3的倍数的数，一定是6的倍数。 60的因数有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。能被6整除的数为：6、12、30、60，最大的数是60。 60＝2×2×3×5 这个数最大是60。如果把这个数分解质因数是60＝2×2×3×5。 【变式训练2】（24-25五年级下·江苏镇江·期末）古人表示年龄，通常不用数字，而是用文字，充满了浓厚的文化底蕴。如：不惑：四十岁；古稀：七十岁；耄耋（màodié）：八九十岁。淘淘的爷爷今年已过古稀之年，未及耄耋之年，且年龄既是2的倍数，又有因数3爷爷今年可能是( )岁或( )岁。 【答案】 72 78 【思路引导】已知爷爷已过古稀之年，未及耄耋之年（即年龄大于70岁，小于80岁），且年龄既是2的倍数，又有因数3。是2的倍数：说明年龄是偶数，能被2整除。 有因数3：根据能被3整除的数的特征，即这个数的各位数字之和能被3整除，因此爷爷的年龄既有因数2，也有因数3，即爷爷的年龄是6的倍数，又在70岁至80岁之间，即可推出爷爷的年龄。 【规范解答】根据分析可知：爷爷的年龄在70~80之间，且既是2的倍数，又有因数3，即是6的倍数。 72÷6＝12 74÷6＝12……2 76÷6＝12……4 78÷6＝13 综上：只有72和78符合题意。 爷爷今年可能是72岁或78岁。 【变式训练3】请阅读以下材料，再解决问题。 （1）我们知道“一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”，例如123各位上数的和是6，是3的倍数，所以123是3的倍数。为什么可以这样判断？其实背后是有道理的： 根据数的意义，123是1个百、2个十、3个一组成的，它可以表示成：123＝1×100＋2×10＋3。100不是3的倍数，但是99是3的倍数，9也是3的倍数。根据乘法分配律： 123＝1×100＋2×10＋3 ＝1×（99＋1）＋2×（9＋1）＋3 ＝1×99＋1＋2×9＋2＋3 其中1×99和2×9一定是3的倍数，剩下只需要看“1＋2＋3”，也就是“各数位上的数的和”是否为3的倍数便可以进行判断了。 （2）先判断下面各数是否为9的倍数（是的在后面打√），再在括号里写出9的倍数的特征。 903（    ） 693（    ）239（    ）  990（    ） （                ），这个数就是9的倍数。 （3）请根据阅读材料，解释判断一个数是不是9的倍数的方法的道理。 【答案】见详解 【思路引导】按照阅读材料（1）的方法以及运用乘法分配律，推出9的倍数特征：各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除。 【规范解答】（2）903（    ）   693（ √  ）   239（    ）   990（ √  ） 各个数位上的数字和能被9整除，这个数就是9的倍数。 （3）例如：693是6个百、9个十、3个一组成的，它可以表示成：693＝6×100＋9×10＋3。100不是9的倍数，但是99是9的倍数，9也是9的倍数。根据乘法分配律： 693＝6×100＋9×10＋3 ＝6×（99＋1）＋9×（9＋1）＋3 ＝6×99＋6＋9×9＋9＋3 其中6×99和9×9一定是9的倍数，剩下只需要看“6＋9＋3”，也就是“各个数位上的数字和”是否为9的倍数便可以进行判断了。 6＋9＋3 ＝15＋3 ＝18 18是9的倍数，所以693一定是9的倍数。 【考点剖析】根据3的倍数特征的推导过程，推出9的倍数特征，学会判断一个数是不是9的倍数的方法。 题型四：2、3、5的倍数特征综合 【典例精讲】（25-26五年级下·全国·课后作业）在方框里填上合适的数字。 (1)29□和55□既是5的倍数，又是2的倍数，□里可以填( )。 (2)14□同时是2和3的倍数，□里可以填( )。 (3)581□和29□既是2的倍数，又有因数3，□里可以填( )。 (4)42□同时是2，3和5的倍数，□里可以填( )。 【答案】(1)0(2)4(3)4(4)0 【思路引导】个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数；个位上是0、5的数是5的倍数；一个数各数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。据此解答。 【规范解答】（1）是5的倍数，又是2的倍数，所以个位是0。 29□和55□既是5的倍数，又是2的倍数，□里可以填0。 （2）2的倍数，个位可以是0、2、4、6、8，各数位上的数的和分别是：、、、、，其中9是3的倍数，所以个位上是4。 14□同时是2和3的倍数，□里可以填4。 （3）2的倍数，个位可以是0、2、4、6、8，各数位上的数的和分别是： 、 、 、 、 ，其中18、15是3的倍数，所以个位上是4。 581□和29□既是2的倍数，又有因数3，□里可以填4。 （4）是5的倍数，又是2的倍数，所以个位是0，，6是3的倍数，所以个位上是0。 42□同时是2，3和5的倍数，□里可以填0。 【变式训练1】（24-25五年级上·湖北宜昌·期末）用2，0，4三个数字组成的三位数中，同时是2，3，5的倍数的最大三位数是( )。 【答案】 420 【思路引导】同时是2，3，5的倍数的特征：个位数字是0且各个数位上的数字之和能被3整除。要使得由2，0，4三个数字组成的三位数同时是2，3，5的倍数的最大三位数，这个三位数的个位数字是0，因为4＞2，那么百位上的数字是最大的数字4，十位上的数字是2，所以这个最大三位数是420。 【规范解答】根据分析： 用2，0，4三个数字组成的三位数中，同时是2，3，5的倍数的最大三位数是420。 【变式训练2】（25-26五年级上·甘肃天水·期末）三张数字卡片，上面分别写有2，7，0，用它们摆成三位数，其中既是2和3的倍数，又有因数5的数有（    ）个。 A．1 B．2 C．4 【答案】B 【思路引导】根据2、3、5的倍数的特征，个位是0的数同时是2和5的倍数；一个数各位上的数字之和是3的倍数时，这个数是3的倍数。用数字2、7、0组成的三位数中，数字和为2＋7＋0＝9，9是3的倍数，所以组成的三位数都是3的倍数，因此只需考虑个位是0的数。据此解答。 【规范解答】由分析可得： 用数字2、7、0可以组成的三位数有：207、270、702、720。 207：个位是7，不是0，因此不是2或5的倍数。 270：个位是0，是2和5的倍数；数字和2＋7＋0＝9，是3的倍数。 702：个位是2，不是0，因此不是2或5的倍数。 720：个位是0，是2和5的倍数；数字和7＋2＋0＝9，是3的倍数。 因此，同时满足既是2和3的倍数又有因数5的数有270和720，共2个。 故答案为：B 【变式训练3】（24-25五年级下·广西河池·期末）小新和爸爸、妈妈在网上购买电影票，他们此次电影票号码的后四位数字恰好是2、3、5的倍数，下面（    ）可能是他们此次票码的后四位数字。 A．3356 B．1503 C．1350 D．3365 【答案】C 【思路引导】2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。据此判断各选项中号码的后四位是2，3，5的倍数即可。 【规范解答】A．3＋3＋5＋6＝17，3356是2的倍数，不是3和5的倍数，排除； B．1＋5＋0＋3＝9，1503是3的倍数，不是2和5的倍数，排除； C．1＋3＋5＋0＝9，1350是2、3、5的倍数，符合； D．3＋3＋6＋5＝17，不是3的倍数，排除。 综上可知：1350可能是他们此次票码的后四位数字。 故答案为：C 1．（25-26五年级上·辽宁丹东·期末）1—30中，既是2的倍数，又是5的倍数的数有（    ）个。 A．3 B．6 C．10 D．15 【答案】A 【思路引导】个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数，由此即可选择。 【规范解答】1—30中10，20，30既是2的倍数，又是5的倍数，共有3个。 故答案为：A 2．（24-25五年级·全国·随堂练习）83至少加上（    ）就是2的倍数，83至少减去（    ）就是5的倍数。 ①1    ②2    ③3    ④4 A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【思路引导】2的倍数的特征：个数上是0、2、4、6、8的数是2的倍数；5的倍数的特征：个位是0或5的数是5的倍数；据此解答。 【规范解答】83的个位是3，需要加上一个数使个位变为最近的偶数（4）。3加1得4，，84是2的倍数； 83的个位是3，需要减去一个数使个位变为最近的0或5。个位3减3得0，或减8得5，但取最小。，80是5的倍数。 故答案为：B 3．（24-25五年级下·河北唐山·期中）小明用2、5、8这三张数字卡，任意摆出一个三位数，一定是（    ）的倍数。 A．2 B．3 C．5 【答案】B 【思路引导】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 3的倍数特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数。 据此分析作答。 【规范解答】A．2的倍数：因为组成的三位数个位可能是2、5、8，当个位是5时，不是2的倍数，所以不一定是2的倍数。 B．3的倍数：2＋5＋8＝15，由于15÷3＝5，15是3的倍数，根据3的倍数特征，这个三位数各位数字和是3的倍数，所以这个三位数一定是3的倍数。 C．5的倍数：因为组成的三位数个位可能是2、5、8，当个位是2或8时，不是5的倍数，所以不一定是5的倍数。 所以用2、5、8这三张数字卡任意摆出一个三位数，一定是3的倍数。 故答案为：B 4．（24-25五年级下·全国·课后作业）一个三位数，既是5的倍数，又是奇数，这个数最小是（    ）。 A．100 B．105 C．115 D．150 【答案】B 【思路引导】5的倍数的特征是个位上的数字为0或5；奇数是指不能被2整除的数，其个位上的数字为 1、3、5、7、9。要同时满足既是5的倍数又是奇数，个位上的数字只能是5；三位数的范围是从100到999，要找到最小的三位数，百位上的数字应取最小的非零数字 1，十位上的数字取最小的数字0，个位数字已确定为5，所以这个数是105。据此解答。 【规范解答】根据分析得： 一个三位数，既是5的倍数，又是奇数，这个数最小是105。 故答案为：B 5．（24-25五年级下·河南平顶山·期末）下列诗句中划线的数不是3的倍数的是（    ）。 A．烹羊宰牛且为乐，会须一饮三百杯 B．八百里分麾下炙，五十弦翻塞外声 C．南朝四百八十寺，多少楼台烟雨中 D．军书十二卷，卷卷有爷名 【答案】B 【思路引导】根据能被3整除的数的特征（一个数各位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除）来判断每个选项中的数是否为3的倍数。 【规范解答】A．“三百杯”中的数是300，各位数字之和为3＋0＋0＝3，3÷3＝1，能被3整除，所以300是3的倍数。 B．“五十弦”中的数是50，各位数字之和为5＋0＝5，5÷3＝1……2，不能被3整除，所以50不是3的倍数。 C．“四百八十寺”中的数是480，各位数字之和为4＋8＋0＝12，12÷3＝4，能被3整除，所以480是3的倍数。 D．“十二卷”中的数是12，各位数字之和为1＋2＝3，3÷3＝1，能被3整除，所以12是3的倍数。 只有选项B所表示的数不能被3整除，即不是3的倍数。 故答案为：B 6．（25-26五年级上·广东深圳·期末）倍数。一个三位数，同时是2、3、5的倍数，关于这个数，下列说法正确的是（    ）。 ①一定是30的倍数。         ②个位上只能是0。 ③十位上的数不可以是7。       ④百位、十位、个位上的数字之和是3的倍数。 A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③ 【答案】B 【思路引导】一个数同时是2、3、5的倍数，需要同时满足两个条件： 第一个条件：个位是0，即满足2和5的倍数特征； 第二个条件：各位数字之和是3的倍数，即满足3的倍数特征； 【规范解答】①2、3、5的最小公倍数为2×3×5＝30，因此同时是这三个数倍数的数一定是30的倍数，说法正确； ②同时是2和5的倍数，个位只能是0，说法正确； ③例如270是2、3、5的倍数，且十位是7，说法错误； ④是3的倍数的数，各位数字之和必须是3的倍数，说法正确。 因此，正确的说法为①②④ 故答案为：B 【考点剖析】综合运用2、3、5的倍数特征，以及最小公倍数的概念来判断说法的正确性。 7．（24-25五年级上·辽宁大连·期末）187至少减去( )就是2的倍数，至少减去( )就是5的倍数，至少加上( )就是3的倍数，至少加上( )就是2和5的共同倍数。 【答案】 1 2 2 3 【思路引导】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 5的倍数特征：个位是0或5的数是5的倍数。 3的倍数特征：各位数字之和是3的倍数的数是3的倍数。 2和5的共同倍数特征：个位是0的数是2和5的共同倍数。 【规范解答】187的个位是7，要变成2的倍数，需要减去1，使个位变为6，即187－1＝186，186是2的倍数。 187的个位是7，要变成5的倍数，需要减去2，使个位变为5，即187－2＝185，185是5的倍数。 187各位数字之和为1＋8＋7＝16，比16大且最接近的3的倍数是18，所以需要加上18－16＝2，即187＋2＝189，189是3的倍数。 187的个位是7，要变成个位为0的数，需要加上3，即187＋3＝190，190是2和5的共同倍数。 所以187至少减去1就是2的倍数，至少减去2就是5的倍数，至少加上2就是3的倍数，至少加上3就是2和5的共同倍数。 8．（25-26五年级上·天津河西·期中）一个数既是3的倍数，又是5的倍数，这个数最小是( )；一个数同时是2、3、5的倍数，这个数最小是( )。 【答案】 15 30 【思路引导】2的倍数：个位是2，4，6，8，0的数；5的倍数：个位是0或5的数；3的倍数：所有数位上的数字之和能被3整除的数；据此解答。 【规范解答】一个数既是3的倍数，又是5的倍数，这个数的个位是0或5，十位最小是1，1＋5＝6，6÷3＝2，所以这个数最小是15； 一个数同时是2、3、5的倍数，这个数的个位只能是0，则十位最小是3，所以这个数最小是30。 一个数既是3的倍数，又是5的倍数，这个数最小是15；一个数同时是2、3、5的倍数，这个数最小是30。 9．（24-25五年级下·全国·课后作业）要使8☐既是2的倍数又是3的倍数，☐里可以填( )；要使43☐既是3的倍数又是5的倍数，☐里可以填( )。 【答案】 4 5 【思路引导】要使8☐既是2的倍数又是3的倍数，需同时满足：2的倍数特征：个位数字是0、2、4、6、8；3的倍数特征：各位数字之和是3的倍数（即是3的倍数）。要使43☐既是3的倍数又是5的倍数，需同时满足：5的倍数特征：个位数字是0或5；3的倍数特征：各位数字之和是3的倍数（即是3的倍数）。 【规范解答】第一空依次验证符合2的倍数的个位数字： 若☐＝0：，不是3的倍数； 若☐＝2：，不是3的倍数； 若☐＝4：，是3的倍数（符合条件）； 若☐＝6：，不是3的倍数； 若☐＝8：，不是3的倍数。 第二空依次验证符合5的倍数的个位数字： 若☐＝0：，不是3的倍数； 若☐＝5：，是3的倍数（符合条件） 要使8☐既是2的倍数又是3的倍数，☐里可以填4；要使43☐既是3的倍数又是5的倍数，☐里可以填5。 10．（24-25五年级下·全国·课后作业）用“奇”或“偶”填空。 (1)海海卡片上的数都是( )数，任意两个数相加的和是( )数，相乘的积是( )数。 (2)园园卡片上的数都是( )数，任意两个数相加的和是( )数，相乘的积是( )数。 (3)海海和园园各拿出一张卡片，卡片上两数的和是( )数，积是( )数。 【答案】(1) 偶 偶 偶 (2) 奇 偶 奇 (3) 奇 偶 【思路引导】（1）根据奇数与偶数的定义，是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数，判断海海卡片上的数的奇偶性。根据“偶数＋偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数”进行解答。 （2）根据奇数与偶数的定义，是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数，判断园园卡片上的数的奇偶性。根据“奇数＋奇数＝偶数，奇数×奇数＝奇数”进行解答。 （3）根据奇数与偶数的运算性质，奇数＋偶数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，进行判断即可。 【规范解答】（1），，，， 海海卡片上的数都是偶数，根据偶数的运算性质，任意两个数相加的和是偶数，相乘的积是偶数。 （2），，， 园园卡片上的数都是奇数，根据奇数的运算性质，任意两个数相加的和是偶数，相乘的积是奇数。 （3）海海和园园各拿出一张卡片，海海卡片上的数都是偶数，园园卡片上的数都是奇数，那么卡片上两数的和是奇数，积是偶数。 11．（24-25五年级上·河北邯郸·期末）如果A是奇数，那么123＋141＋A＋37的结果一定还是奇数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】奇数是不能被2整除的整数，偶数是能被2整除的数。根据奇数和偶数的运算性质，偶数个的奇数相加，得到的结果是偶数。据此可得出答案。 【规范解答】123＋141＋A＋37式子中，123、141、37都是奇数，如果A是奇数，则是4个奇数相加，是偶数个，则得到的结果是偶数。原题说法错误。 故答案为：× 12．（24-25五年级下·全国·课后作业）两个质数的积是奇数，那么这两个质数一定都是奇数。( ) 【答案】√ 【思路引导】根据奇数和偶数的乘法性质：奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数。质数中，2是唯一的偶质数，其余都是奇质数。若两个质数的积是奇数，则这两个质数必须都是奇数（因为若有一个是偶数，即2，则积为偶数，与条件矛盾）。 【规范解答】由分析可知，两个质数的积是奇数时，这两个质数一定都是奇数。例如，3和5都是奇质数，它们的积15是奇数；若有一个质数是2（如2和3），积6是偶数，不满足条件。 故答案为：√ 13．如果一个数是6的倍数，那么一定也是3的倍数。( )（判断对错） 【答案】√ 【规范解答】根据因数和倍数的定义，若一个数是6的倍数，则它必定能被6整除。由于6＝2×3，因此这个数必须同时能被2和3整除，据此分析。 【思路引导】6＝2×3，所以如果一个数是6的倍数，那么这个数一定是2的倍数，也一定是3的倍数。 所以如果一个数是6的倍数，那么一定也是3的倍数，说法正确； 故答案为：√ 14．（24-25五年级下·江西九江·期中）同时是2、3、5的倍数的最小的三位数是105。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】同时是2、3、5的倍数需满足个位是0且各位数字之和是3的倍数。最小的三位数百位为1，个位为0，十位最小为2时，1＋2＋0＝3，能被3整除，所以最小三位数为120。 【规范解答】根据分析可知，同时是2、3、5的倍数的最小的三位数是120。 原题干说法错误。 故答案为：× 15．（24-25五年级下·全国·课后作业）先算一算，再按要求分类。（填序号） ①10＋2＝     ②2＋3＝    ③15＋17＝     ④24＋19＝     ⑤43＋15＝     ⑥21＋18＝     我发现：奇数＋奇数＝（    ） 奇数＋偶数＝（    ） 偶数＋偶数＝（    ） 【答案】12；5；32   43；58；39   ②④⑥；①③⑤；偶数；奇数；偶数 【思路引导】先把每个算式算出结果，再根据结果是奇数还是偶数进行分类，再由算式的特征得出发现，据此解答。 【规范解答】①，10和2都是偶数，所得的结果也是偶数，由此可知偶数＋偶数＝偶数 ②，2是偶数，3是奇数，所得的结果是奇数，由此可知偶数＋奇数＝奇数 ③，15和17都是奇数，所得的结果是偶数，由此可知，奇数＋奇数＝偶数 ④，24是偶数，19是奇数，所得的结果是奇数，由此可知偶数＋奇数＝奇数 ⑤，43和15都是奇数，所得的结果是偶数，由此可知，奇数＋奇数＝偶数 ⑥，21是奇数，18是偶数，所得的结果是奇数，由此可知即奇数＋偶数＝奇数 因此，得数是奇数的算式有（填序号）：②④⑥；得数是偶数的算式有（填序号）：①③⑤； 如下图： 我发现：奇数＋奇数＝偶数 奇数＋偶数＝奇数 偶数＋偶数＝偶数 16．（23-24五年级下·陕西西安·期中）乐乐在文体店买了一些兵马俑工艺品和地标金属书签，兵马俑工艺品25元1个，地标金属书签10元1个，乐乐付给售货员100元，找回23元，售货员找回的钱对吗？请说明理由。 【答案】不对；理由见详解 【思路引导】已知兵马俑工艺品25元1个，地标金属书签10元1个，由5的倍数特征“个位上是0或5的数”可知，25和10都是5的倍数，根据单价×数量＝总价”可得出需付的总钱数也是5的倍数，付100元，找回的钱数也应是5的倍数。 【规范解答】23不是5的倍数，找回的钱不对。 答：售货员找回的钱不对。因为工艺品、书签的单价都是5的倍数，无论买多少个工艺品和书签，总价也是5的倍数，付100元，找回的钱数应是5的倍数才对。 17．（24-25五年级下·河北邢台·期中）采摘的鲜香菇装在规格相同的周转筐中，一共装了64筐。可以选择用小推车一次运3筐，或者4筐，或者5筐，若每次运的筐数相同，那么采用哪种方法可以正好运完？ 【答案】每次运4筐 【思路引导】要求每次运的筐数相同且能正好运完，那么64必须能被运输的筐数整除；判断64能否被3、4、5整除，若能整除，则该运输方法可以正好运完。 【规范解答】64÷3＝21（次）……1（筐），不能整除，不能正好运完； 64÷4＝16（次），能整除，可以正好运完； 64÷5＝12（次）……4（筐），不能整除，不能正好运完。 答：采用每次运4筐的方法可以正好运完。 18．（2025五年级下·全国·专题练习）“孪生质数猜想”是著名的数学猜想之一，1849年，数学家阿尔方·德·波利尼亚克提出了一般的猜想，即对所有自然数K，存在无穷多个质数对（P，P＋2K）K＝1的情况就是孪生质数猜想。孪生质数猜想”中所说的“孪生质数”是指相差为2的两个质数。如3和5都是质数，5－3＝2，所以，3和5就是一对孪生质数，5和7也是一对孪生质数。 （1）写出20以内除了3和5和7以外的所有孪生质数。 （2）如果用a和b表示任意一对孪生质数（a均大于2）那么2a＋b的和一定是 （填“奇数”或“偶数”）。 【答案】（1）11和13；17和19 （2）奇数 【思路引导】（1）首先根据质数的定义，只含有1和本身2个因数的数，称为质数，则依据100以内的质数表即可解答； （2）a、b都是奇数，2a是偶数，偶数×奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，那么2a＋b的和一定是奇数。 【规范解答】（1） 13－11＝2 19－17＝2 20以内除了3和5，5和7以外孪生质数有11和13；17和19。 （2）a、b都是奇数，2a是偶数，偶数＋奇数＝奇数，2a＋b的和一定是奇数。 所以2a＋b的和一定是奇数。 19．（24-25五年级下·全国·课后作业）下面的数，哪些是偶数？哪些是奇数？ 58    74    89    120    231    155    600 【答案】58、74、120、600是偶数；89、231、155是奇数 【思路引导】在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数，据此解答。 【规范解答】58÷2＝29 74÷2＝37 120÷2＝60 600÷2＝300 89、231、155不是2的倍数； 所以58、74、120、600是偶数；89、231、155是奇数。 20．（2024六年级下·江苏·专题练习）小明家无线网的密码是一个八位数。从左边数，第一位数既不是质数也不是合数，第二位数是最小的合数，第三位数既是奇数又是合数，第四位数既是偶数又是质数，第五位数是8的最小因数，其余各位上的数都是最小的自然数。小明家无线网的密码是多少？ 【答案】14921000 【思路引导】八位数的每个数位的数字在0到9之间，第一位数既不是质数也不是合数的数是1；最小的合数是4；既是奇数又是合数是9；既是偶数又是质数是2，8的最小因数是1；最小的自然数是0。 【规范解答】第一位数既不是质数也不是合数的数：1； 第二位最小的合数：4； 第三位既是奇数又是合数：9； 第四位既是偶数又是质数：2； 第五位8的最小因数：1； 其他三位最小的自然数：0； 则小明家无线网的密码是多少14921000。 21．（24-25五年级下·全国·课后作业）王老师给手机设置了一个锁屏密码“27□□”，他记得自己设置的这个四位数密码既是5的倍数，又是3的倍数。他最多需要输入几次密码才能解锁手机？为什么？ 【答案】他最多需要输入7次密码才能解锁手机；因为密码可能是2700，2730，2760，2790，2715，2745，2775。 【思路引导】因为密码是5的倍数，所以这个数的最后一位是0或5，即可能是27☐0或27☐5；如果是27☐0，那么要使这个数是3的倍数，那么四个数字相加的和是3的倍数，所以十位上的数可能是0，3，6，9，即组成的密码是2700，2730，2760，2790，有4个； 如果是27☐5，那么要使这个数是3的倍数，那么四个数字相加的和是3的倍数，所以十位上的数可能是1，4，7，即组成的密码是2715，2745，2775，有3个。 【规范解答】由分析可知：（次） 答：他最多需要输入7次密码才能解锁手机；因为密码可能是2700，2730，2760，2790，2715，2745，2775。 22．（24-25五年级下·山东菏泽·期中）任选两张卡片，在括号里写出所有满足条件的两位数。 (1)奇数( )。 (2)既是2的倍数，又是3的倍数( )。 (3)既是2的倍数，又是5的倍数( )。 (4)同时是2、3、5的倍数( )。 【答案】(1)73、63、37、67 (2)30、60、36 (3)30、60、70 (4)30、60 【思路引导】奇数的特征：奇数必须以奇数字结尾，个位上是1、3、5、7、9的数；2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数；3的倍数特征：各位数字之和是3的倍数；5的倍数特征：个位上是0或5的数； 既是2的倍数，又是3的倍数：所以个位只能是0或6，且各位数字之和能被3整除；既是2的倍数，又是5的倍数：个位上是0的数；同时是2、3、5的倍数：个位是0，且各位数字之和能被3整除。 【规范解答】（1）个位为3时，十位可选7或6；个位为7时，十位可选3或6；奇数：73、63、37、67。 （2）个位为0时，十位可选3或6；个位为6时，十位可选3；既是2的倍数，又是3的倍数：30、60、36。 （3）个位是0，十位可选3、7、6，既是2的倍数，又是5的倍数：30、70、60。 （4）个位是0，十位可选3或6，同时是2、3、5的倍数：30、60。 23．（24-25五年级下·河南南阳·期中）秦始皇陵兵马俑二号坑的内部精心构筑了战车方阵，骑兵阵，弩兵阵和车、步、骑混合方阵。弩兵阵位于整个军阵的东部前沿，这个方阵内四面环廊，站立着172件立射俑，中心部位是160件跪射俑。这些兵马俑3个3个地数能正好数完吗？5个5个地数呢？（写出思考过程） 【答案】 3个3个地数不能正好数完；5个5个地数也不能正好数完；思考过程见详解 【思路引导】3的倍数特征：一个数的各个数位上的数相加之和是3的倍数，则这个数是3的倍数；5的倍数特征：个位上的数是0或5的数是5的倍数。先计算出兵马俑总数量，再运用3的倍数、5的倍数特征，进而得出答案。 【规范解答】兵马俑总数为：172＋160＝332（个）； 332的各个数位上的数之和：3＋3＋2＝8，8不能被3整除，则332不能被3整除，不能3个3个地数完；332的个位上的数是2，则不是5的倍数，也不能5个5个地数出来。 答：3个3个数不能正好数完；5个5个数也不能正好数完。因为兵马俑的总数量都不是3或5的倍数。 24．（2025五年级下·全国·专题练习）用1、3、5、7、9这五个数字回答下列问题。（一个数中每个数字只能用一次） （1）选出四个数字，组成是3的倍数的最大四位数是多少？ （2）选出四个数字，组成是5的倍数的最小四位数是多少？ （3）选出四个数字，组成同时是3和5的倍数，其中最小的四位数是多少？最大的四位数是多少？ 【答案】（1）9753 （2）1375 （3）最小：1395；最大：9735 【思路引导】根据2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数；根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；根据3的倍数的特征，各个数位的数字之和是3的倍数。据此逐题分析。 （1）要最大的四位数，高位上要放大的数，所以前三位数可以是975，然后计算这三个数的和，再着还差多少是3的倍数，从而确定个位上的数。 （2）要最小的四位数，高位上要放小的数，根据5的倍数的特征，要把5放在个位上，前三位放小的数，最高位放最小的数，依次排下来即可。 （3）可先把1、3、5、7、9这五个数字从小到大排列是13579，计算可知，是3的倍数，同时又要成为5的倍数，就得把5放在个位上，最小的数放最高位，其它数位依次把数字从小排到大。最大的四位数，就先把1、3、5、7、9这五个数字从大到小排列是97531，去掉最小的数1，是3的倍数，同时又要成为5的倍数，就得把5放在个位上，最大的数放最高位，其它数位依次把数字从大排到小。据此解答。 【规范解答】（1） 9＋7＋5＝21，要组成3的倍数个位上可以是3 答：组成是3的倍数的最大四位数是9753。 （2） 答：组成是5的倍数的最小四位数是1375。 （3） 答：其中最小的四位数是1395，最大的四位数是9735。 25．（24-25五年级下·全国·课后作业）在体育课上，有32名同学参加实心球训练，要平均分成五组，至少要再来几名同学？或者离开几名同学？两种情况下，每组各有几名同学？ 【答案】 至少要再来3名同学，每组有7名同学；或者离开2名同学，每组有6名同学。 【思路引导】先计算32名同学平均分成五组时的余数，根据余数确定至少再来或离开的同学数量，进而求出每组的人数。 【规范解答】（名）（名） 因为平均分组时剩余2名同学，所以让这2名同学离开，此时总人数为：（名） 每组人数为：（名） 因为5 组每组6名剩余2名同学，要使每组人数增加1人（即每组7人），需要的总人数为：（名） 至少再来的同学数为：（名） 每组人数为：（名） 答：至少要再来3名同学，每组有7名同学；或者离开2名同学，每组有6名同学。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $