精品解析：广西河池市都安瑶族自治县瑶族中学2026年九年级数学春季开学收心自测

中考复习模拟作业·数学作业（一） （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在练习题和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本练习题、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．答题结束后，将本练习题和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分） 1. 中国是最早使用正负数表示相反意义的量的国家．若向东运动记作，则表示（ ） A. 向东运动 B. 向西运动 C. 向西运动 D. 向东运动 2. 科技飞速发展的时代，新能源汽车宛如一颗璀璨的新星，划破传统燃油车的“苍穹”，引领着出行方式迈向全新纪元．下图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. P的坐标是，则P点关于y轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 将代数式进行因式分解，结果是（ ） A. B. C. D. 6. 一个八边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 7. 2020年，我国承诺，力争2030年前实现“碳达峰”，2060年前实现“碳中和”．倡导低碳生活是每个公民的社会责任．某班环保小组为了解同学们去年各自家庭月平均“碳足迹”的情况，收集了本组7名同学的家庭月平均用电产生的耗碳量（单位：千克）数据，依次为76，79，78，77，79，81，80．则这组数据的中位数是（ ） A. 77 B. 78 C. 79 D. 80 8. 如图，将一张长方形纸条翻折，是折痕．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 将一次函数的图象向下平移2个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点，则b的值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 10. 如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为米，则窗角到窗框的距离的大小为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 11. 如图，图1是一个底部呈球形的蒸馏瓶，图2是其截面圆示意图，瓶内液体的最大深度，其截面圆的半径为，则截面圆中弦的长为（ ） A B. C. D. 12. 如图，在中，，点C是边上点，且，，平分交于D，点M，N分别是，上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上） 13. 在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，则________（填“”“”或“”）． 14. 若，则___． 15. 在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图，为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后成的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线会聚于C点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，则小蜡烛的像的长是________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，且，点A在y轴上，以为边的菱形的对角线， 交于点M，反比例函数的图象过点M．若，则k的值为________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解不等式：． 18. 如图，在中，． （1）用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线交于点E，交于点D，在射线上截取线段（点在的下方），使得，连接（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； （2）根据（1）中作图，若，证明：． 19. 生命在于运动，运动使人健康．某中学为了解学生每周末在家运动的时长t（单位：小时），从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集到的数据整理分析，共分为四组（组：；组：；组：；组：，其中每周末运动时长不少于3小时为达标），并绘制了统计图，如图．根据以上信息，解答下列问题： 学生每周在家运动时长频数分布直方图 （1）若该校有学生1800人，试估计该校学生每周末在家运动时长不足2小时的人数； （2）学校准备从每周末运动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生分享运动体会，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率； （3）根据统计图中的数据，请对该学校学生每周末在家运动时长达标情况作出评价，并提出一条合理化建议． 20. 如图，是的角平分线，点O是上一点，与相切于点M，与交于点E、F． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，，求的长． 21. 随着人工智能不断发展，智能机器人已经进入我们的生活中．某公司研发出A型和B型两款扫地机器人，已知3台A型机器人和2台B型机器人每小时刚好可以清洁180平方米，1台A型机器人和3台B型机器人每小时刚好可以清洁130平方米． （1）求一台A型机器人和一台B型机器人每小时各清洁多少平方米？ （2）某家居店计划向机器人公司购进一批A型和B型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁480平方米，若设A型机器人有a台，B型机器人有b台，请用含b的代数式表示a； （3）在（2）问的前提下已知A型机器人的售价为1万元一台，B型机器人的售价为万元一台，设购买总费用为W万元，问如何购买使得总费用W最少；并求出W的最小值． 22. 【综合与实践】 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 【定义】在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】 （1）如图1，在“双垂四边形”中，若，则 ；的值为 ； 问题解决】 （2）如图2，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一点，且，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，猜想四边形的形状是 ，连接，若，求的长． 23. 如图1，在中，，点P从点A出发以的速度沿路线运动，点Q从点A出发以的速度沿运动．P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．以，为边在的上方作平行四边形，设运动时间为，平行四边形的面积为（当点A，P，Q重合或在一条直线上时，不妨设）．探究S与t的关系． 【初步感知】 （1）当点P由点A运动到点C时， ①若， ； ②S关于t的函数解析式为 ； 【深入探究】 （2）当点P由点C运动到点B时，经探究发现S关于t的函数解析式为，其图象如图2所示． ①m的值为 ； ②求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值； 【延伸探究】 （3）在（2）条件下，当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为；当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为，当，且时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中考复习模拟作业·数学作业（一） （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在练习题和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本练习题、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．答题结束后，将本练习题和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分） 1. 中国是最早使用正负数表示相反意义的量的国家．若向东运动记作，则表示（ ） A. 向东运动 B. 向西运动 C. 向西运动 D. 向东运动 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵向东运动记作，正号表示向东． ∴负号表示与向东相反的方向，即向西． ∴表示向西运动． 2. 科技飞速发展的时代，新能源汽车宛如一颗璀璨的新星，划破传统燃油车的“苍穹”，引领着出行方式迈向全新纪元．下图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不中心对称图形，故B不符合题意； C．是中心对称图形，故C符合题意； D．不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 3. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学计数法的记数形式为：，其中，当数值绝对值大于1时，是小数点向右移动的位数；当数值绝对值小于1时，是小数点向左移动的位数的相反数． 【详解】解：， 故选A． 【点睛】本题考查科学计数法，掌握科学计数法的记数形式是解题的关键． 4. P的坐标是，则P点关于y轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】关于y轴对称的点的坐标性质：纵坐标不变，横坐标互为相反数． 【详解】解：点关于y轴的对称点的坐标是． 5. 将代数式进行因式分解，结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察原式符合完全平方公式的结构，套用公式分解即可得到结果． 【详解】解：． 6. 一个八边形的内角和等于（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接套用多边形内角和公式（为多边形边数）计算即可． 【详解】解：八边形内角和为． 7. 2020年，我国承诺，力争2030年前实现“碳达峰”，2060年前实现“碳中和”．倡导低碳生活是每个公民的社会责任．某班环保小组为了解同学们去年各自家庭月平均“碳足迹”的情况，收集了本组7名同学的家庭月平均用电产生的耗碳量（单位：千克）数据，依次为76，79，78，77，79，81，80．则这组数据的中位数是（ ） A. 77 B. 78 C. 79 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，理解题意是解决本题的关键． 中位数是将数据按大小顺序排列后位于中间的数，据此求解即可． 【详解】解：将数据从小到大排序：76，77，78，79，79，80，81； ∵数据个数，为奇数， ∴中位数为第4个数，即79， 故选C． 8. 如图，将一张长方形纸条翻折，是折痕．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由折叠可得，且，根据直线得，最后由对顶角的性质求得． 【详解】解：如图所示： ∵是折痕， ， ， ， 又 ∵， ， ， 又 ∵， ． 9. 将一次函数的图象向下平移2个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点，则b的值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平移规律得到平移后的函数解析式，再代入已知点的坐标即可求出b的值． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移2个单位长度，平移后的解析式为， ∵平移后的一次函数图象经过点． ∴， 解得：． 10. 如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为米，则窗角到窗框的距离的大小为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数关系在直角三角形中的应用．熟练掌握直角三角形中得边角关系是解题得关键，在中，由三角函数关系即可得解． 【详解】解：在中， ∵， ∴米， 故选：D． 11. 如图，图1是一个底部呈球形的蒸馏瓶，图2是其截面圆示意图，瓶内液体的最大深度，其截面圆的半径为，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由垂径定理和勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，由题意知三点共线， 由题意得：， ， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ． 12. 如图，在中，，点C是边上的点，且，，平分交于D，点M，N分别是，上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在上取点，使，连接，作于点，由垂线段最短知的最小值为的长，根据勾股定理结合等积法即可求解． 【详解】解：在上取点，使，连接，作于点， 平分， ， ， ， ， 根据垂线段最短的性质知，当点与点H重合时，的最小值为的长， ， ， ， ， ， ， 则的最小值为． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上） 13. 在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】先根据反比例函数中的条件，确定函数图象所在象限及增减性，再判断点、所在象限，最后依据横坐标的大小关系比较纵坐标的大小． 【详解】解：对于反比例函数， 其图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， 点与点的横坐标均为负数，因此两点都在第二象限内， 由于，结合该函数在第二象限内的增减性，可得出． 14. 若，则___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质与分式的运算，将目标计算式进行拆解运用整体代入方法进行计算是解题的关键． 先将运用分式的性质拆分为，再将代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴原式． 故答案为：． 15. 在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图，为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后成的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线会聚于C点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，则小蜡烛的像的长是________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意可得，四边形是矩形， ， 即， 解得：， ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，且，点A在y轴上，以为边的菱形的对角线， 交于点M，反比例函数的图象过点M．若，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，根据菱形性质以及，可得，从而得到，再由， 即，可得，从而得到，可求出的值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵点的坐标为， ， ∵四边形是菱形， ， ， ， ， ， 即， ， ， ，即， ∴点的坐标为， 把点代入得：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解不等式：． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【详解】解：（1）原式 ； （2）解：； 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：． 18. 如图，在中，． （1）用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线交于点E，交于点D，在射线上截取线段（点在的下方），使得，连接（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； （2）根据（1）中作图，若，证明：． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】（1）按要求先作线段垂直平分线，再截取线段，连接即可； （2）先证明，再证，得出，即可证明，从而得出结论． 【小问1详解】 解：如图，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，交于两点，过交点作直线，交于点，交于点，以点为圆心，为半径作弧，交射线于点，连接． 【小问2详解】 证明：∵垂直平分， ∴，， ∵，， ∴，． 在和中， ， ∴． ∴． ∵在中，， ∴， ∴，即 ∴． 【点睛】本题考查作已知线段的垂直平分线，作一条线段等于已知线段，三角形全等的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余． 19. 生命在于运动，运动使人健康．某中学为了解学生每周末在家运动的时长t（单位：小时），从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集到的数据整理分析，共分为四组（组：；组：；组：；组：，其中每周末运动时长不少于3小时为达标），并绘制了统计图，如图．根据以上信息，解答下列问题： 学生每周在家运动时长频数分布直方图 （1）若该校有学生1800人，试估计该校学生每周末在家运动时长不足2小时的人数； （2）学校准备从每周末运动时间较长的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生分享运动体会，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率； （3）根据统计图中的数据，请对该学校学生每周末在家运动时长达标情况作出评价，并提出一条合理化建议． 【答案】（1）630人 （2） （3）建议学校增加体育作业量，提高学生在家运动时间 【解析】 【分析】（1）用1800乘以学生每周末在家运动时长不足2小时的人数所占比即可； （2）根据题意画树状图法求概率即可； （3）求出达标率，建议学校增加体育作业量，提高学生在家运动时间（合理即可）． 【小问1详解】 解：（人）， 答：估计该校学生每周末在家运动时长不足2小时的有630人； 【小问2详解】 解：树状图如下， 共有12种等可能结果，其中一男一女的情形有8种， ∴选中的两人刚好是一男一女的概率为； 【小问3详解】 解：达标率：， ∴该学校学生每周末在家运动时间达标率仅为，达标率较低，建议学校增加体育作业量，提高学生在家运动时间． 20. 如图，是的角平分线，点O是上一点，与相切于点M，与交于点E、F． （1）求证：是切线； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，过点作，利用角平分线性质证，结合切线判定定理得是的切线； （2）由推导，结合直角三角形性质得，求出半径后，利用勾股定理计算的长． 【小问1详解】 证明：连接，过点O作于N， ∵点O为的圆心，为的切线，切点为M， ∴为的半径，且， ∵为平分线，点O为上的点，且，， ∴， 即为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：设， ∵为平分线， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 21. 随着人工智能不断发展，智能机器人已经进入我们的生活中．某公司研发出A型和B型两款扫地机器人，已知3台A型机器人和2台B型机器人每小时刚好可以清洁180平方米，1台A型机器人和3台B型机器人每小时刚好可以清洁130平方米． （1）求一台A型机器人和一台B型机器人每小时各清洁多少平方米？ （2）某家居店计划向机器人公司购进一批A型和B型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁480平方米，若设A型机器人有a台，B型机器人有b台，请用含b的代数式表示a； （3）在（2）问的前提下已知A型机器人的售价为1万元一台，B型机器人的售价为万元一台，设购买总费用为W万元，问如何购买使得总费用W最少；并求出W的最小值． 【答案】（1）A型机器人每小时清洁40平方米，B型机器人每小时清洁30平方米 （2） （3）购买9台A型机器人和4台B型机器人时，总费用W最少，W的最小值为14万元 【解析】 【分析】（1）设型机器人每小时清洁平方米，型机器人每小时清洁平方米，根据“3台A型机器人和2台B型机器人每小时刚好可以清洁180平方米，1台A型机器人和3台B型机器人每小时刚好可以清洁130平方米”列出方程组即可求出答案； （2）根据这批机器人每小时刚好可以清洁 480 平方米列式解答即可； （3）求得总费用，求出的取值，结合一次函数的性质分析最值即可求解． 【小问1详解】 解：设B型机器人每小时清洁y平方米，A型机器人每小时清洁x平方米， 根据题意可得 ， 解得， 答：A型机器人每小时清洁40平方米，B型机器人每小时清洁30平方米； 【小问2详解】 解：根据题意，， 整理得， ∴； 【小问3详解】 解：∵，且a，b为正整数， ∴或或， 总费用（万元）， ∵， ∴， ∵， ∴W随b增大而增大， ∴当时，， 答：购买9台A型机器人和4台B型机器人时，总费用W最少，W的最小值为14万元． 22. 【综合与实践】 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 【定义】在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】 （1）如图1，在“双垂四边形”中，若，则 ；的值为 ； 【问题解决】 （2）如图2，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一点，且，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到，猜想四边形的形状是 ，连接，若，求的长． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）正方形，或 【解析】 【分析】（1）由直角三角形两锐角互余可得，进而可得，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质可证，得到，即可求解； （3）由（2）知，，则，进而由折叠可得四边形为正方形，如图，连接，过点作于点，即得，则，分两种情况：①当点的对应点在的上方时；②当点的对应点在的下方时，分别画出图形解答即可求解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：，； （2）∵，，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）由（2）可得，， ∴， 由折叠的性质可知， 又∵， ∴四边形为正方形； 如图，过点D作于点P， ∴， ∵， ∴， 如图3，连接，当点D的对应点F在的上方时， 则，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图4，当点D的对应点F在的下方时， 同理得：， 综上所述，的长为或． 23. 如图1，在中，，点P从点A出发以的速度沿路线运动，点Q从点A出发以的速度沿运动．P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．以，为边在的上方作平行四边形，设运动时间为，平行四边形的面积为（当点A，P，Q重合或在一条直线上时，不妨设）．探究S与t的关系． 【初步感知】 （1）当点P由点A运动到点C时， ①若， ； ②S关于t的函数解析式为 ； 【深入探究】 （2）当点P由点C运动到点B时，经探究发现S关于t的函数解析式为，其图象如图2所示． ①m的值为 ； ②求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值； 【延伸探究】 （3）在（2）的条件下，当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为；当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为，当，且时，求的值． 【答案】（1）①1；②；（2）①16；②（），最大值为；（3） 【解析】 【分析】（1）①作于点，求出的长，根据平行四边形的性质，求出面积即可；②同①法计算即可； （2）①把代入（1）②中的解析式，计算即可；②待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据当时，，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：（1）①点P从点A出发以的速度沿路线运动，点Q从点A出发以的速度沿运动．设运动时间为， 当时，，， 作于点E，如图1， ∵， ∴， ∴平行四边形的面积为：； ②由题意，得：，， ∴， ∴； （2）①由图象可知，当时，此时点P恰好运动到点C， 由（1）②可知：， 故； ②由图象和①可知，抛物线过，， 将两点坐标分别代入，得：， 解得， ∴S关于t的函数解析式为（）； 当时，S取得最大值，最大值为； （3）由题图2可知，点P与点C重合时，，点P与点B重合时，， ∴，， 由题意可知，， ∴， 当时，则：， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴，， 当时，， ∴当时，的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $