17.3 一元二次方程的根的判别式 核心考点精讲 2025--2026学年沪科版八年级数学下册

17.4一元二次方程根的判别式 知识点详解 一、判别式的定义 1.推导过程回顾 对于一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，用配方法推导求根公式的过程中， 我们得到：（公+号）己-2 4a2 由于4a2>0,所以方程是否有实数根，完全取决于右边的分子b2一4ac的符号。 2.判别式的定义 我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊 字母△（读作“德尔塔"”）表示：△=b2一4aC 二、判别式与根的关系（核心内容） 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)： 判别式的值根的情况等价命题 △>0方程有两个不相等的实数根方程有两个不等的实根台△>0 △=0方程有两个相等的实数根（即一个实数根）方程有两个相等的实根台△=0 △<0方程没有实数根方程无实根台△<0 △≥0方程有实数根（两个不等或两个相等）方程有实根台△≥0 特别注意： ·使用判别式时，必须先将方程化为一般形式，准确确定a,b,c的值。 ·这些关系是等价命题，可以双向使用。 记忆口诀： 大0两不等，等0两相等，小0无实数。 三、判别式的应用 1.不解方程，判断根的情况 这是判别式最直接的应用。 示例：不解方程，判断下列方程根的情况： ·3x2+4x-3=0:△=42-4×3×(-3=16+36=52>0，有两个不等实根。 ·4x2-12x+9=0:△=(-12)2-4×4×9=144-144=0，有两个相等实根。 ·x2-x+2=0:A=（-1)2-4×1×2=1-8=-7<0,无实根 2.根据根的情况，求字母系数的取值范围 这是中考的热点题型。解题时需注意：若方程说是一元二次方程，必须保证二次项系数a≠0 示例：已知关于×的方程x2一3x十k=0,k取何值时，这个方程： (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？ 解：△=(-3)2-4×1×k=9-4k ·当9-4k>0,即k<号时，方程有两个不等实根。 ·当9-4k=0,即k=号时，方程有两个相等实根。 ·当94k<0,即k>时，方程无实根。 3.证明方程根的情况 常与代数式恒等变形结合，证明判别式恒大于0、恒等于0或恒小于0。 示例：求证关于×的方程x2+(2k+1)x+k一1=0有两个不相等的实数根。 证明：△=(2k+1)-4×1×(k-1)=4k2+4k+1-4k+4=4k2+5 :4k2≥0，·4k2+5≥5>0恒成立。 .方程有两个不相等的实数根。 四、典型例题精析 例1：基础应用一一判断根的情况 不解方程，判别下列方程根的情况： (1)5x2-4x-2=0 (2)4x2=12x-9 (3)7y=5y2+1 解： (1)△=（-4)-4×5×(-2)=16+40=56>0，方程有两个不相等的实数根。 (2)化为一般形式：4x2-12x+9=0,△=(-12)2-4×4×9=144-144=0， 方程有两个相等的实数根。 (3)整理为5y2-7y+5=0,A=(-7)2-4×5×5=49-100=-51<0,方程 没有实数根。 例2：含参数方程一一求参数范围 已知关于×的方程2x2-(4k+1x+2k2-1=0,问当k取什么值时： (1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程没有实数根。 解：△=[-(4k+1-4×2×(2k2-1)=16k2+8k+1-16k2+8=8k+9 (1)当8k+9>0,即k>-号时，方程有两个不相等的实数根。 (2)当8k+9=0,即k=一昌时，方程有两个相等的实数根。 (3)当k+9<0,即k<-昌时，方程没有实数根。 例3：综合应用一一有实根条件 已知关于x的一元二次方程x2一2x+(k+1)=0有实数根。 (1)求k的取值范围； （2)当k取最大整数时，求该方程的两个根。 解：(1)方程有实数根，.△≥0。 △=(-2)2-4×1×(k+1)=4-4k-4=-4k≥0，解得k≤0。 (2)由(1)知，k的最大整数值为0。 代入原方程得x2-2x+1=0,即(x-1)=0,解得x1=X2=1。 五、易错点警示 1.忽略二次项系数不为0： ·在使用判别式前，必须确认方程是一元二次方程，即a≠0。若含参数且未明确是一 元二次方程，需分类讨论。 2.未化为一般形式： ·直接代入系数时，方程必须是ax2+bx+c=0的形式，否则a,b,c可能出错。 3.判别式符号判断错误： ·计算△时，注意b,c的符号，特别是c为负数时，4ac的符号处理。 4.误以为△≥0一定有两个不等实根： ·△≥0包括相等和不等两种情况，要具体说明。 5.应用问题时忽略实际意义： ·结合几何图形或实际问题时，求出参数范围后还需考虑实际意义（如边长>0等）。 一、单选题 1.已知关于x的一元二次方程x2+(m+n)x+mn=0,其中m,n在数轴上的对应点如图所 示，则这个方程的根的情况是() n0 m A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.没有实数根 D.无法确定 2.下列关于x的方程中一定有实数解的是(). A.x2-x+1=0 B.√2x2-2x+1=0 C.x2-mx-1=0 D.x2-x-m=0 3.若关于x的一元二次方程2-(2k+1)x+k+2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围 是(). Ak>-月 B.>号且0 c.k<号 D且：0 4.对于实数m,n定义运算"*”为m*n=n2+2m,例如：1*3=32+2×1=11，则关于x的方程 2*x=x+5的根的情况是() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根C.没有实数根 D.无法确定 5.下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是() A.x2+3x=0 B.x2+4x-4=0 c.x+1(x-3)=0 D.x2+2x+1=0 6.己知关于x的一元二次方程x2-4x+☐=0，根据b2-4ac=(-4)2-4×1×3=4>0,可得 “”内的数是() A.-1 B.1 C.-3 D.3 7.若关于x的一元二次方程ax2+4x+1=0有实数根，则实数a的取值范围是() A.a24 B.a≤4且a≠0 C.a≥-4且a≠0D.a≤-4 8.若关于x的方程2(x-4)2=m+3有实数根，则m的取值范围是() A.m≥0 B.m>-3 C.m≥3 D.m≥-3 9.一个等腰三角形两腰长分别是关于x的一元二次方程x2-6x+n+2=0的两个根，则n的 值为() A.8 B.7 C.6 D.5 10.关于x的一元二次方程k-1)x2+4x+1=0无实数根，则k的取值范围() A.k<5 B.k<5且k≠1 C.k>-5且k≠1 D.k>5 二、填空题 11,如果对于任何实数x,分式，1一总有意义，那么c的取值范围是 -x2+2x+c 12.若关于x的一元二次方程-2x2+4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是 13.若关于x的一元二次方程(x+2)2-k=3有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 14.已知正数m是方程xx-1=0的一个根，若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0没有 实数根，则k的取值范围是 15.已知在正比例函数y=mx(m≠0)中，y的值随着x的增大而增大，且关于x的一元二次 方程x2+4x+m=0有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数m的值之和为 16.若正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过第一、三象限，则关于x的方程kx2-x-1=0根 的情况为 三、解答题 17.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0. (1)若k=0,解此方程； (2)若方程没有实数根，求k的最小整数值. 18.已知：关于x的一元二次方程x2+3x-2k=0 (1)直接写出当方程有两个相等的实数根时k的值； (2)若k=2,请解方程。 19.用根的判别式判断下列方程根的情况（不用求方程的根）： (1)-x2-3x+1=0 (3)4x2+5=4V5x. (4)-3x2+V5x=2. 20.已知关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+3m=0 (1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根， (2)若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求m的值. 21.已知关于x的方程x2+(2k-1)x+k2=0有两个实数根，求k的取值范围. 22.已知：关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0. (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根. (2)若等腰三角形ABC的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求ABC的周 长 23.已知关于x的一元二次方程x2-3x+k-1=0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围； (2)设m是方程的一个实数根，且满足(m2-3m+3(k+1)=2,求k的值. 17.4 一元二次方程根的判别式 知识点详解 一、 判别式的定义 1. 推导过程回顾 对于一元二次方程的一般形式，用配方法推导求根公式的过程中，我们得到： 由于，所以方程是否有实数根，完全取决于右边的分子 的符号。 2. 判别式的定义 我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用希腊字母（读作“德尔塔”）表示： 二、 判别式与根的关系（核心内容） 对于一元二次方程： 判别式的值 根的情况 等价命题 方程有两个不相等的实数根 方程有两个不等的实根 方程没有实数根 方程无实根 方程有实数根（两个不等或两个相等） 方程有实根 特别注意： · 使用判别式时，必须先将方程化为一般形式，准确确定 a, b, c 的值。 · 这些关系是等价命题，可以双向使用。 记忆口诀： 大0两不等，等0两相等，小0无实数。 三、 判别式的应用 1. 不解方程，判断根的情况 这是判别式最直接的应用。 示例：不解方程，判断下列方程根的情况： · ，有两个不等实根。 · ，有两个相等实根。 ·，无实根。 2. 根据根的情况，求字母系数的取值范围 这是中考的热点题型。解题时需注意：若方程说是一元二次方程，必须保证二次项系数 。 示例：已知关于 x 的方程，k 取何值时，这个方程： （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？ 解： · 当 9 - 4k > 0，即时，方程有两个不等实根。 · 当 9 - 4k = 0，即时，方程有两个相等实根。 · 当 9 - 4k < 0，即时，方程无实根。 3. 证明方程根的情况 常与代数式恒等变形结合，证明判别式恒大于0、恒等于0或恒小于0。 示例：求证关于 x 的方程 有两个不相等的实数根。 证明： 恒成立。 ∴ 方程有两个不相等的实数根。 四、 典型例题精析 例1：基础应用——判断根的情况 不解方程，判别下列方程根的情况： （1） （2） （3） 解： （1，方程有两个不相等的实数根。 （2）化为一般形式：，方程有两个相等的实数根。 （3）整理为，方程没有实数根。 例2：含参数方程——求参数范围 已知关于 x 的方程，问当 k 取什么值时： （1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根； （3）方程没有实数根。 解： （1）当 8k + 9 > 0，即时，方程有两个不相等的实数根。 （2）当 8k + 9 = 0，即时，方程有两个相等的实数根。 （3）当 8k + 9 < 0，即时，方程没有实数根。 例3：综合应用——有实根条件 已知关于 x 的一元二次方程 有实数根。 （1）求 k 的取值范围； （2）当 k 取最大整数时，求该方程的两个根。 解：（1）∵ 方程有实数根，∴ 。 ，解得。 （2）由（1）知，k 的最大整数值为 0。 代入原方程得 ，即，解得。 五、 易错点警示 1. 忽略二次项系数不为0： · 在使用判别式前，必须确认方程是一元二次方程，即。若含参数且未明确是一元二次方程，需分类讨论。 2. 未化为一般形式： · 直接代入系数时，方程必须是 的形式，否则 a, b, c 可能出错。 3. 判别式符号判断错误： · 计算时，注意 b, c 的符号，特别是 c 为负数时，-4ac 的符号处理。 4. 误以为 一定有两个不等实根： · 包括相等和不等两种情况，要具体说明。 5. 应用问题时忽略实际意义： · 结合几何图形或实际问题时，求出参数范围后还需考虑实际意义（如边长>0等）。 一、单选题 1．已知关于x的一元二次方程，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解决此类问题的关键．根据数轴上表示的点的值和根的判别式，判定根的情况有两个不相等的实数根即可． 【详解】解：由数轴看出，， ∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 2．下列关于的方程中一定有实数解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟记根的判别式是关键． 通过计算一元二次方程的判别式判断是否有实数解，若则有实数解． 【详解】解：，，该方程无实数解，故A选项不符合题意； ，，，，该方程无实数解，故B选项不符合题意； ，，，，该方程有实数解，故C选项符合题意； ，，的值随变化，可能小于0，该方程不一定有实数解，故D选项不符合题意； 故选C． 3．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ）． A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，牢记一元二次方程的定义和判别式与根的关系是解题关键． 先根据一元二次方程的定义和根的判别式确定且，计算求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∵，，， ， ∵， ∴，解得：， 综上且． 故选：D． 4．对于实数定义运算“*”为，例如：，则关于x的方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据新运算的定义，将方程转化为一元二次方程，再计算判别式判断根的情况． 【详解】， ， 方程化为， 整理得， 判别式， 方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 5．下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式逐项分析即可得解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键． 【详解】解：选项A：，，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； 选项B：，，，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； 选项C：将整理为，，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； 选项D：，，，， ∵， ∴方程有两个相等的实数根，故本选项符合题意； 故选：D． 6．已知关于的一元二次方程，根据，可得“”内的数是（） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知是解题的关键． 根据题目中给出的判别式计算过程，可得“”内的数是3． 【详解】解：∵一元二次方程为，其中,, 判别式为， ∴，即“”内的数是3， 故选：D． 7．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，根据一元二次方程有实数根的条件：二次项系数不为零且判别式非负，列不等式求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 其中， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 8．若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法-直接开平方法，熟记偶次方的非负性是解题的关键．根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：关于x的方程有实数根， ， 解得：， 故选： 9．一个等腰三角形两腰长分别是关于x的一元二次方程的两个根，则n的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据题意可得该一元二次方程有两个相等的实数根，再由求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的两腰长相等， ∴该一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ 解得， 故选：B． 10．关于x的一元二次方程无实数根，则的取值范围（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用；根据一元二次方程根的判别式， 计算求值即可； 【详解】解：关于的一元二次方程无实数根， 且，， 解得：． 故选： D． 二、填空题 11．如果对于任何实数x，分式 总有意义，那么c的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据一元二次方程根的情况求参数，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 分式有意义的条件是分母不为零．分母为二次表达式，需确保其对于所有实数均不等于零，即对应的二次方程无实数根，通过判别式小于零求解． 【详解】解：∵分式总有意义， ∴分母对于所有实数成立， ∴二次方程无实数根时，分母恒不为零， ∴判别式， 解得：， 所以当时，分式对所有实数均有意义， 故答案为：． 12．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个相等的实数根 【详解】解：方程中，，，， ． 有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握根的个数与判别式的关系. 13．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：由得：， ∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 14．已知正数m是方程的一个根，若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和根的判别式，先根据一元二次方程解的意义求出m的值，由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】解：∵正数m是方程的一个根， ∴， 把代入得， 又∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴，且， 解得：， 故答案为：． 15．已知在正比例函数中，的值随着的增大而增大，且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则所有满足条件的整数的值之和为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数图象及性质，一元二次方程根的情况，解题的关键是根据题意列出不等式，算出不等式解集，求出整数解，即可解决问题． 【详解】解：∵正比例函数中，y的值随着x的增大而增大， ∴， ∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即； ∴， ∵为整数， ∴可取1，2，3； ∴满足条件的整数的值之和为：， 故答案为：6． 16．若正比例函数的图象经过第一、三象限，则关于的方程根的情况为___________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查正比例函数，一元二次方程根的判别式．由正比例函数的象经过一、三象限，可得，再根据的值判断一元二次方程的根的情况． 【详解】解：正比例函数的图象经过第一、三象限， ， 为一元二次方程， ， 有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 三、解答题 17．已知关于的一元二次方程． (1)若，解此方程； (2)若方程没有实数根，求的最小整数值． 【答案】(1)， (2)2 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程． （1）若，则方程为：，利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）由方程没有实数根得，得到关于k的一元一次不等式，解之，然后取最小整数值即可． 【详解】（1）解：若，则方程为：， ， ∴或， 解得：，； （2）解：∵方程没有实数根， ∴， 即， 解得：， ∴的最小整数值为2． 18．已知：关于的一元二次方程 (1)直接写出当方程有两个相等的实数根时的值； (2)若，请解方程． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，关键是熟练运用判别式判断根的情况，掌握解一元二次方程的方法． （1）利用一元二次方程根的判别式，代入方程系数求解的值； （2）将代入原方程，得到具体的一元二次方程，再用因式分解法解方程． 【详解】（1）解：对于一元二次方程， 方程有两个相等的实数根， ， 即， 解得； （2）解：当时，原方程为， 因式分解得， 则或， 解得，． 19．用根的判别式判断下列方程根的情况（不用求方程的根）： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)有两个不相等的实数根 (2)有两个不相等的实数根 (3)有两个相等的实数根 (4)没有实数根 【分析】（1）（2）先求出的值，再根据根的判别式得出答案即可； （3）（4）整理后求出的值，再根据根的判别式得出答案即可． 【详解】（1）解：，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2），，， ， ∴方程有两个不相等的实数根． （3）解：方程可变形为， ，，， ， ∴方程有两个相等的实数根． （4）解：方程可变形为， ，，， ， ∴方程没有实数根． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 20．已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论取任何实数，方程总有实数根． (2)若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或4． 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根，也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质． （1）先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）通过解方程求得该三角形的另两边的长度，然后由三角形的三边关系和三角形的周长公式进行解答． 【详解】（1）证明：， ∵，即， ∴无论m取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：由，得： ， 解得，， ∵等腰三角形的一边长为4，另两边长为3和， ∴分两种情况讨论： （1）当4为腰长时，另一腰长也为4，则．此时三角形三边长为4，4，3．∵，∴能构成三角形． （2）当4为底边长时，两腰长相等，则．此时三角形三边长为4，3，3．∵，∴能构成三角形． 综上所述，的值为3或4． 21．已知关于x的方程有两个实数根，求 k的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由题意可得，求解即可，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 解得：． 22．已知：关于x的方程． (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根． (2)若等腰三角形的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)详见解析 (2)5 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根． （1）先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）依题意有，则，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长． 【详解】（1）证明： ， ∵， ∴， ∴无论k取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：依题意有，则， 方程化为， 解得：， ∵等腰三角形的底边长为1，另两边的长恰好是这个方程的两个根， ∴的周长． 23．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)设是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的根及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）由方程根的情况可得到关于的不等式，可求得的取值范围； （2）根据一元二次方程解的定义得到，代入等式，整理后再解方程即可求得． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得：； （2）解：是方程的一个实数根， ，即， 代入中，得： ， 整理得，， 解得或， ∵； ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $