16.1 二次根式的概念与性质 2025-2026学年沪科版八年级数学下册核心考点精讲与全攻略（安徽专用）

第16章二次根式 一、二次根式的概念 1.二次根式的定义 形如y(a≥0)的式子叫做二次根式。其中“√一” 称为二次根号，a叫做被开方数。 ·理解要点： 1.必备形式：必须带有二次根号“√”。 2.被开方数a必须是非负数（即a≥0），这是二次根式有意义的条件。 3.√a表示a的算术平方根，因此√a本身也是一个非负数（即Va≥0）。 ·示例： ·5k+i(当x+1≥0时)6x-2 都是二次根式。 ·√一2不是二次根式（负数没有平方根）。 ·不是二次根式（它是三次根式）。 2.二次根式有意义的条件 对于二次根式A(其中A是含有字母的代数式)，其有意义的条件是A≥0。 ·常见题型：求使二次根式有意义的字母的取值范围。 ·示例： ·Vx-3有意义→x-3≥0曰x≥3。 2-x≥0 ·V2-x+V区+1有意义→ x+1≥0 →-1≤x≤2。 3.二次根式的双重非负性 对于二次根式V(a≥0)，它同时满足两个非负条件： 被开方数a≥0（保证根式有意义）： 根式本身Va≥0（算术平方根的非负性）。 双重非负性是二次根式的重要隐含条件，常被用于化简和求值。 二、二次根式的性质 二次根式的核心性质主要围绕平方与开方的互逆关系展开。 性质1：(a2=a(a≥0) ·文字语言：一个非负数的算术平方根的平方，等于它本身。 ·注意：运用此性质时，必须确保a≥0。 ·示例： ·5=5 ·(V2x+°=2x+1(前提2x+1≥0) 性碳2：V厅-月{已a0 a20 ·文字语言：一个数的平方的算术平方根，等于这个数的绝对值。 ·理解：√2的结果一定是非负数，因此必须用绝对值保证非负性。 ·示例： ·32=3=3 .-=-=5 .-可---x<2 x-2,x≥2 ·易错点：学生常错误地认为ya2=a,而忽略a可能为负数的情况。一定要养成先写绝 对值再化简的习惯。 性质3：积的算术平方根 ab=a6(a≥0，b≥0 ·文字语言：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 ·作用：用于将根号内的乘积拆开，或将根号外的因式平方后移入根号内。 ·示例： ·V18=9×2=何V2=32 .4x=4反=2(x≥0 ·推广：Vabc=VaV5E(ab,c≥0)。 性质4：商的算术平方根 厚-是 (a20,b>0 ·文字语言：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 ·作用：用于化简根号内的分数。 ·示例： ·=凭- .得-号-号 ·注意：运用此性质时，要保证b>0,且a≥0。 三、最简二次根式 1.定义满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： 被开方数不含分母（即被开方数是整数或整式，且分母中不含根号）； 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 2.化简目标 在二次根式的运算中，最终结果通常要求化为最简二次根式。 3.化简方法 ·分解因式：将被开方数分解成平方因数（或因式）与其他因数（或因式）的乘积。 ·利用积的算术平方根性质：将平方因数（或因式）开方后移到根号外。 示例： ·V50=V25×2=5y2 (25是能开得尽方的因数)》 ·√V72a6=V36×2×a2×a×b=6ay2ab（注意a,b≥0) (分母有理化过程) 四、同类二次根式 1.定义 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次 根式。 2.作用 同类二次根式可以像合并同类项一样进行合并，这是二次根式加减运算的基础。 示例： ·V23y2、V8(化简后为2W2)是同类二次根式。 ·与5不是同类二次根式。 五、典型例题精析 例1：二次根式有意义的条件 求下列二次根式中字母×的取值范围： (1)V2x-4 (2哥(3-(x-月 解： (1)2x-420→x22。 (2)需同时满足：音≥0且x-1≠0。 分子分母同号或分子为零： (3)-(x-1)°20→x-1)2≤0→(x-1)2=0→x=1。 例2：利用2=日化简3-+4-)月 解： π≈3.14，所以3-π<0,4-π>0。 原式=3-π+4-=（π-3+(4-π）=1。 例3：利用性质化简二次根式 将下列二次根式化为最简二次根式： (1)V48(2)V27a6(a>0,b>0) (3儡 解： (1)V48=16x3=45。 (2)V27a36 =V9×3×a2×a×67 =3ab2V3a。 a隔= 例4：二次根式的非负性应用 已知V区-2+Vy+5=0,求x+y的值。 解：：V区-2≥0，Vy+5≥0，且它们的和为0， ∴k-2=0g+5=0, 即x-2=0,yt5=0, 解得×=2，y=-5, ∴.x+y=-3。 六、易错点与难点警示 1.忽略被开方数非负： ·在求取值范围或进行化简时，必须确保被开方数非负。 ·例如，化简8一1时，若没有给出×的范围，结果必须写x-1,不能直接写x1。 2.误用Va2=a: 最常见错误：一3 =一3（应为3）。一定要记住先取绝对值。 3.性质运用条件不清： ·积的算术平方根Vab=VV6要求a≥0，b≥0。若a,b为负数，则不成立。例 如V-2)×(-3)不能直接拆成√-2xy-3。 4.化简不彻底： ·化简结果必须满足最简二次根式的两个条件。常见错误：分母中仍含根号，或被开方 数中还含有能开方的因数。 5.忽略隐含条件： ·在化简含有字母的二次根式时，题目未说明字母范围，通常默认字母使二次根式有意 义，但需要根据具体情况考虑绝对值。 一、单选题 1.“以形助数”是指借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系.如图，两个正方形的面积分 别为27与3，则它们的边长之间的关系可以解释下列哪个等式() 面积为27 面积 为3 A.V27=3V5 B.27=3 C.33=27 D.3x9=27 2.若x=4-√2026，则代数式x2-8x+9的值是() A.2019 B.2025 C.2026 D.2033 3.若x<-5,化简：Vx+52-Vx+2=（) A.-3 B.2x+7 C.2x+3 D.3 4.计算：（--4=（) A.3 B.11 C.-3 D.-11 5.若把代数式上中的x和y都封扩大到原来的4倍，则该二次根式的值() A.扩大到原来的4倍 B.扩大到原来的2倍 C.缩小到原来的子 D.缩小到原来的 6,方程2x-4=-√x-y-m,当y>0时，m的取值范围是() A.0<m<1 B.m≥2 C.m<2 D.m≤2 7.要使y=√3-x-√x+3有意义，则x的取值范围在数轴上表示为() B 0 c. 0 0 8.要使√ab在实数范围内有意义，a,b应满足() A.a,b均为非负数 B.ab>0 C.a=0,b=0D. ab0 9下列等式：0，-：@可=+7：国0-001：@（一5-25，其中正确的 有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.函数y=x-1中自变量x的取值范围是() x-1 A.x21 B.x≥1且x≠0 C.x≤1且x≠0 D.x>1 二、填空题 11.若一个三角形的三边长分别为2,5，x,则化简代数式7--Vx-3)的结果 12.已知(Na=5,√6=3，则a+b的值为 13.当2<x<3时，化简：x-3+Vx-22= 三、解答题 14.已知√2x+y+1与x-y+5互为相反数。 (1)求x,y的值 (2)求Vx2+4y+3的值. 15.如图，一只蚂妈蚁从点A沿数轴向右爬了3个单位长度到达点B,点A表示-√，设点B 所表示的数为m. A B 43201234 (1)求m的值； 2)求m+2+Vm-12的值： (3)在数轴上还有C,D两点分别表示实数c和d,且有2c+4与√a-3互为相反数，求 c+3d的平方根. 16.已知y=F-4+4-r+1,且X,y为实数，试求4y-5的平方根 x-2 17.当x为何值时，下列各式有意义？ (1)V5-4x 1 (2 V2x-3 3)Vx+1 x-5 4),Vx-5 18.化简：()2+√x2-6x+9 19.已知二次根式√2x-4,回答下列问题： (1)当x为何值时，该二次根式有意义？ (2)当x=6时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为2时，求x的值. 20.先阅读，后解答： (1)由根式的性质计算下列式子得： Va= (a为任意实数). (2)利用(1)中的结论，直接写出下列问题的结果： ①V3.14-π2=— ②化简：Vx2-4x+4x<2= 3)应用：请根据(1)中结论化简，Vx-5列+Vx-82 (x为任意实数) x+y=k① 21.已知关于x,y的二元一次方程组 x-y=k+2②’ 有一个解为正数 (1)求k的取值范围； (2化简：3k+4-Vk+1)2. 22.数轴上从左到右依次有A,B,C三点表示的数分别为a,b,√0，其中b为整数，且 满足Va+3+b-2=b-2,求b-a的值. 第16章 二次根式 一、 二次根式的概念 1. 二次根式的定义 形如的式子叫做二次根式。其中 “” 称为二次根号，a 叫做被开方数。 · 理解要点： 1. 必备形式：必须带有二次根号“”。 2. 被开方数 a 必须是非负数（即 ），这是二次根式有意义的条件。 3. 表示 a 的算术平方根，因此本身也是一个非负数（即 ）。 · 示例： ·（当 都是二次根式。 · 不是二次根式（负数没有平方根）。 · 不是二次根式（它是三次根式）。 2. 二次根式有意义的条件 对于二次根式（其中 A 是含有字母的代数式），其有意义的条件是。 · 常见题型：求使二次根式有意义的字母的取值范围。 · 示例： · 有意义。 ·有意义 3. 二次根式的双重非负性 对于二次根式 ，它同时满足两个非负条件： 被开方数（保证根式有意义）； 根式本身 （算术平方根的非负性）。 双重非负性是二次根式的重要隐含条件，常被用于化简和求值。 二、 二次根式的性质 二次根式的核心性质主要围绕平方与开方的互逆关系展开。 性质1： · 文字语言：一个非负数的算术平方根的平方，等于它本身。 · 注意：运用此性质时，必须确保。 · 示例： · · 性质2： · 文字语言：一个数的平方的算术平方根，等于这个数的绝对值。 · 理解：的结果一定是非负数，因此必须用绝对值保证非负性。 · 示例： · · · · 易错点：学生常错误地认为，而忽略 a 可能为负数的情况。一定要养成先写绝对值再化简的习惯。 性质3：积的算术平方根 · 文字语言：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 · 作用：用于将根号内的乘积拆开，或将根号外的因式平方后移入根号内。 · 示例： · · · 推广： 性质4：商的算术平方根 · 文字语言：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 · 作用：用于化简根号内的分数。 · 示例： · · · 注意：运用此性质时，要保证 b>0，且。 三、 最简二次根式 1. 定义 满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： 被开方数不含分母（即被开方数是整数或整式，且分母中不含根号）； 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 2. 化简目标 在二次根式的运算中，最终结果通常要求化为最简二次根式。 3. 化简方法 · 分解因式：将被开方数分解成平方因数（或因式）与其他因数（或因式）的乘积。 · 利用积的算术平方根性质：将平方因数（或因式）开方后移到根号外。 示例： · （25是能开得尽方的因数） · ·（分母有理化过程） 四、 同类二次根式 1. 定义 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 2. 作用 同类二次根式可以像合并同类项一样进行合并，这是二次根式加减运算的基础。 示例： · （化简后为 ）是同类二次根式。 ·不是同类二次根式。 五、 典型例题精析 例1：二次根式有意义的条件 求下列二次根式中字母 x 的取值范围： （1） 解： （1） （2）需同时满足：。 分子分母同号或分子为零： （3） 例2：利用 化简 解： 原式 = 例3：利用性质化简二次根式 将下列二次根式化为最简二次根式： （1） 解： （1） （2） （3） 例4：二次根式的非负性应用 已知 ，求 x+y 的值。 解：∵ ，且它们的和为 0， ∴， 即 x-2 = 0，y+5 = 0， 解得 x = 2，y = -5， ∴ x+y = -3。 六、 易错点与难点警示 1. 忽略被开方数非负： · 在求取值范围或进行化简时，必须确保被开方数非负。 · 例如，化简 时，若没有给出 x 的范围，结果必须写 |x-1|，不能直接写 x-1。 2. 误用 ： · 最常见错误（应为 3）。一定要记住先取绝对值。 3. 性质运用条件不清： · 积的算术平方根 要求 。若 a, b 为负数，则不成立。例如 。 4. 化简不彻底： · 化简结果必须满足最简二次根式的两个条件。常见错误：分母中仍含根号，或被开方数中还含有能开方的因数。 5. 忽略隐含条件： · 在化简含有字母的二次根式时，题目未说明字母范围，通常默认字母使二次根式有意义，但需要根据具体情况考虑绝对值。 一、单选题 1．“以形助数”是指借助形的几何直观来阐明数之间的某种关系．如图，两个正方形的面积分别为27与3，则它们的边长之间的关系可以解释下列哪个等式（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的面积得大正方形的边长为，小正方形的边长为，且，解答即可． 本题考查了正方形的面积，算术平方根的应用，熟练掌握正方形的性质，算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得大正方形的边长为，小正方形的边长为，且， 故选：A． 2．若，则代数式的值是（    ） A．2019 B．2025 C．2026 D．2033 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质． 由得，两边平方整理可得，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．若，化简：（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简，需利用的性质，结合已知判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号进行计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 则原式 ． 故选：A． 4．计算：（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简． 先化简二次根式，再计算减法即可． 【详解】解：． 故选：A． 5．若把代数式中的和都扩大到原来的4倍，则该二次根式的值（    ） A．扩大到原来的4倍 B．扩大到原来的2倍 C．缩小到原来的 D．缩小到原来的 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 将原二次根式中的和都扩大到原来的倍，得到新表达式，通过计算新表达式与原表达式的关系，判断变化倍数. 【详解】解：∵ 原二次根式为 ， 将和都扩大到原来的倍，得新表达式为 ， ∵ ， ∴ ， ∴ 新值缩小到原来的 . 故选：D． 6．方程，当时，的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，解一元一次不等式． 根据二次根式的非负性，绝对值的非负性得到，根据解不等式即可． 【详解】解：∵， ∴， 且， ， ， ， ． 故选：C． 7．要使有意义，则的取值范围在数轴上表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，在数轴上表示不等式组的解集． 根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，进而在数轴上表示即可． 【详解】解：∵有意义， ∴且 解得：且 即， 在数轴上表示为：． 故选：C． 8．要使在实数范围内有意义，，应满足（    ） A．，均为非负数 B． C．， D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数的性质，分析a、b需满足的关系即可． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数 ∴要使在实数范围内有意义，需满足 故选：D． 9．下列等式：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的定义及性质，需逐个验证每个等式是否符合算术平方根的计算规则，统计正确等式的个数来确定答案. 【详解】∵，∴①错误； ∵（算术平方根为非负数），∴②错误； ∵，∴③正确； ∵，∴④错误； 综上，正确的等式只有1个， 故选：A. 10．函数中自变量x的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件，是解题的关键．二次根式被开方数为非负数，分式分母不能为0，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，即可进行解答． 函数包含平方根和分母，需满足被开方数非负且分母不为零． 【详解】解：， ∵被开方数， ∴． ∵分母， ∴． 综上，． 故选：D． 二、填空题 11．若一个三角形的三边长分别为 2，5，，则化简代数式的结果 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、绝对值、二次根式的性质等知识点，掌握绝对值、二次根式的性质是解题的关键． 先根据三角形三边关系确定x的取值范围，再根据绝对值的性质化简，最后合并同类项即可． 【详解】解：由三角形三边关系，得，即， ∴ ， ． 故答案为． 12．已知，，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次根式的性质． 根据二次根式的性质求出a、b的值，进而求的值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴或． 故答案为：或． 13．当时，化简： ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式性质的应用以及绝对值化简．先根据的取值范围判断的正负性，再利用二次根式的性质化为绝对值，去掉绝对值符号后合并同类项即可． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：． 三、解答题 14．已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据互为相反数的两数之和为，结合二次根式有意义的条件与绝对值的非负性，得到两个非负数相加为0的等式，从而建立二元一次方程组求解． （2）将（1）中求得的的值代入代数式，进行计算求值． 【详解】（1）解：与互为相反数， ． ，， 解得 （2）解：由（1）得，， ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件与绝对值的非负性、二元一次方程组的解法以及代数式求值，掌握几个非负数的和为，则每个非负数都为的性质是解题的关键． 15．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)求的值； (2)求的值； (3)在数轴上还有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的知识点是实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、二次根式的性质、二次根式的非负性、求一个数的平方根等，解题关键是熟练掌握相关知识点． （1）根据两点间的距离公式即可得解； （2）由可推得，即，再利用绝对值和二次根式的性质化简，即可求解； （3）根据非负数的性质求出、的值，再代入，进而求其平方根． 【详解】（1）解：依题意得，蚂蚁从点沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示， 点所表示的数为； （2）解：， ， ， 即， ，， ， ， ， ； （法二：， ， ， ， ， ， ）； （3）解：由题可知， ，， ，， ， 的平方根为． 16．已知，且，为实数，试求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，平方根，根据二次根式和分式有意义的条件得出，的值，代入求值，再由平方根定义即可求解，解题关键是熟练运用二次根式和分式有意义的条件确定字母的值，准确运用平方根的意义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平方根为． 17．当为何值时，下列各式有意义？ (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)且 (4)取任意实数 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数非负，分式有意义的条件是分母不为0． （1）根据被开方数非负得到不等式求解即可； （2）根据被开方数非负和分母不为0得到不等式求解即可； （3）根据被开方数非负和分母不为0得到不等式求解即可； （4）根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】（1）解：， 即， 所以当时，有意义； （2）解：，即， 所以当时，有意义； （3）解：，即且， 所以当且时，有意义； （4）解：因为，所以取任意实数，都有意义． 18．化简：． 【答案】当时，结果为；当时，结果为． 【分析】本题考查了二次根式的性质、绝对值的化简以及分类讨论的数学思想，掌握二次根式的化简规则和绝对值的分类讨论方法是解题的关键． 先根据二次根式的性质化简，再将根号内的二次三项式因式分解为完全平方式，转化为绝对值形式；然后结合的隐含条件，分区间讨论绝对值内表达式的正负，完成化简． 【详解】解：． 由题意知． ①当，即时，原式； ②当，即时，原式． 综上所述，当时，结果为；当时，结果为． 19．已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【答案】(1) (2)当时，值为；当值为时， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件解答即可． （2）将代入即可求解，令时，求解即可 【详解】（1）解：要使该二次根式有意义，需满足， 解得：， ∴当时，该二次根式有意义． （2）解：当时，则， 令时，则， 解得：． 20．先阅读，后解答： (1)由根式的性质计算下列式子得：．由上述计算，请写出_____．（为任意实数）． (2)利用（1）中的结论，直接写出下列问题的结果： ①_____； ②化简：_____． (3)应用：请根据（1）中结论化简（x为任意实数）． 【答案】(1)或 (2)， (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，能够对被开方数进行分类讨论是解题关键； （1）将a分为正数、0、负数三种情况得出结果； （2）①根据（1）中结论进行化简即可；②先将被开方数化为完全平方式，再根据（1）中结论得结果； （3）根据（1）得： ，然后分三种情况讨论即可求答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：①， ②， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （3）解：∵， ①当时，， ∴原式； ②当时，， ∴原式； ③当时，， ∴原式， ∴综上， 21．已知关于，的二元一次方程组，有一个解为正数． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，一元一次不等式的应用，绝对值与二次根式的化简． （1）先求出方程组的解，再根据有一个解为正数列出不等式，求解即可； （2）由得到，，再根据绝对值与二次根式的性质进行化简即可． 【详解】（1）解：解方程组得， ∵方程组有一个解为正数， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 22．数轴上从左到右依次有A，B，C三点表示的数分别为a，b，，其中b为整数，且满足，求的值． 【答案】5或6 【分析】本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性． 根据绝对值的非负性，二次根式的非负性可知，即，则，可得，求出，再根据题意求出或3，进而计算即可． 【详解】解：因为，， 所以， 即 所以，所以，即． 又因为数轴上从左到右依次有三点，表示的数分别为， 所以，且为整数，所以或3． 当时，； 当时，． 综上所述，的值为5或6． 学科网（北京）股份有限公司 $