专题03 勾股定理实际应用模型（几何模型讲义）数学新教材人教版八年级下册

专题03 勾股定理实际应用模型 勾股定理将图形与数量关系有机结合起来，在解决实际问题和几何应用中有着广泛的应用。运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）从实际问题中抽象出几何图形（建模）；（2）确定要求的线段所在的直角三角形；（3）确定三边，找准直角边和斜边：①若已知两边,则根据勾股定理直接计算第3边；②若已知一边,则根据勾股定理列方程间接求解。（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把另一边用含有未知数的式子表示出来）。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.梯子滑动模型 5 模型2.轮船航行模型 6 模型3.信号站（中转站）选择模型 8 模型4.台风（噪音）、爆破模型 10 模型5.超速模型 13 模型6.风吹莲动模型 14 模型7.折竹抵地模型 15 模型8.台阶上的地毯长度模型 17 模型.8不规则图形面积模型 19 22 勾股定理的实际应用模型源于工程（实际）测量，这些模型均基于直角三角形三边关系，通过数学抽象将实际问题转化为几何计算，体现了从具体测量到理论验证的完整应用链条。 （2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） (1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； （24-25八年级下·广东广州·期中）如图，“广州湾号”货轮和“小蛮腰号”科考船从某港口P同时出发执行任务，已知“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，2小时后两船分别位于点R，Q处，此时两船相距26海里．求：(1)两船分别航行了多少海里？(2)“小蛮腰号”的航行方向． 模型1）梯子滑动模型 模型背景：梯子滑动、绳子移动等。 解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。 梯子滑动模型解题步骤：（1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离；（2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离；（3）两者相减即可求出梯子在墙上或地面上滑动的距离。 模型2）轮船航行模型 模型背景：轮船航行等。解题关键：轮船航行模型要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长。 航行模型解题步骤：（1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；（2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长；（3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。 模型3）信号站（中转站）选择模型 相关模型背景：信号塔、中转站等。 解题关键：信号塔和中转站模型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。 信号塔、中转站模型解题步骤：（1）根据问题设出未知量（一般求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长；（2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长；（3）根据斜边长相等建立方程求解。 模型4）台风（噪音）、爆破模型 相关模型背景：有爆破、台风（噪音）等。 解题关键：通常会用到垂线段最短的原理。 台风、爆破模型解题步骤：（1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离；（2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较；（3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。 模型5）测超速、河宽模型 相关模型背景：有汽车超速、信号干扰、测河宽等。 解题关键：要将速度统一单位后再进行比较。 超速模型解题步骤：（1）根据勾股定理计算行驶的距离；（2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度； （3）比较实际行驶速度和规定速度。 模型6）风吹莲动模型 相关模型背景：莲花、芦苇、吸管、筷子、秋千等。 解题关键：“莲花”高度为不变量。 风吹莲动模型解题步骤：（1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度；（2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；（3）根据勾股定理列方程求解。 模型7）折竹抵地模型 相关模型背景：竹子、旗杆（风筝）拉绳等。 解题关键：“竹子”高度为不变量。 折竹抵地模型解题步骤：（1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度； （2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；（3）根据勾股定理列方程求解。 模型8）不规则图形面积模型 相关模型背景：有草坪面积、土地面积、网格等。 解题关键：一般所求图形面积为不规则的四边形，要注意转换为两个直角三角形的面积进行求解。 面积模型解题步骤：（1）连接两点作辅助线，将四边形分为两个直角三角形；（2）根据已知条件运用勾股定理求出所连线段长度；（3）运用勾股定理逆定理判定另一个三角形为直角三角形；（4）分别求出两个直角三角形的面积相加或相减即为所求四边形面积。 模型1.梯子滑动模型 例1（24-25八年级下·广西钦州·阶段练习）【综合实践】 【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离． (1)【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离有多高？ (2)【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，那么梯子的底端移动的距离是多少米？ (3)【问题解决】在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 例2（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面的距离为2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米，顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为多少米? 例3（24-25八年级下·广东广州·期末）实验探究： 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（、B、C可以视作三个点） ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度． 初始状态 图1物体C静止在轨道上，其到滑轮A的垂直距离为，且． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务 （1）求绳子的总长度； （2）图2若物体C升高，求滑块B向左滑动的距离． 模型2.轮船航行模型 例1（24-25·重庆·八年级专题练习）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，有甲，乙两艘轮船同时离港，各自沿着一固定方向航行，甲船沿北偏西方向航行，每小时30海里，乙船沿北偏东方向航行，每小时40海里，2小时后，两船分别到达A，B处，此时两船相距多少海里？    例2（24-25·黑龙江哈尔滨·八年级统考期中）如图，甲、乙两只捕捞船同时从港口出发捕鱼，甲船以每小时千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时千米的速度沿东北方向前进，甲船航行小时到达处，于是甲船立即加速后保持匀速沿北偏东的方向追赶乙船，结果两船在处相遇． (1)求的度数；(2)求乙船航行多少小时被甲船追上． 例3（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）某海域有一小岛 P，在以 P 为圆心，半径 r 为海里的圆形海域内有暗礁，一海监船自西向东航行，它在 A 处测得小岛 P 位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达 B 处，此时观测小岛 P 位于 B 处北偏东方向上． (1)若过点 P 作 PC⊥AB 于点 C，则 ；(2)求 C，P 两点之间的距离 ； (3)若海监船由 B 处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船 由 B 处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？请直接写出海监船由 B 处开始 沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域． 模型3.信号站（中转站）选择模型 例1（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，某地方政府决定在相距的A，B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到点E的距离相等，已知于A，于B，，，那么基地E应建在离A站多少的地方？ 例2（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）某市准备在铁路上修建火车站，以方便铁路两旁的，两城的居民出行．如图，城到铁路的距离，城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在到，两城距离相等的处修建火车站，求，的长． 例3（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，连接A，B两城市的是一条东西走向的公路，C，D为两座工厂，且工厂C位于工厂D的北边，B市和工厂C之间有一大型水库．从工厂C修建了两条公路通往A市和工厂D，已知，，．(1)试通过计算说明长是工厂C到公路的最短距离；(2)若，求工厂C到B市的距离． 模型4.台风（噪音）、爆破模型 例1（24-25·安徽池州·八年级统考期末）在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一处需要爆破，已知点与公路上的停靠站的距离为300米，与公路上另一停靠站的距离为400米，且，如图，为了安全起见，爆破点周围250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路段是否有危险？是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．    例2（24-25八年级下·河南驻马店·期中）吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线上两点A，B的距离分别为和，吊车周围以内为受噪声影响区域．(1)求的度数．(2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ 例3（24-25重庆·八年级专题练习）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，AC＝40米，AB＝30米．出发3秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 模型5.测超速、河宽模型 例1（24-25·江苏苏州·八年级统考期中）某人欲从点A横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离预到达点B240m，结果他在水中实际游了510 m．求该河的宽度． 例2（24-25八年级下·湖北恩施·期末）行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速，小明尝试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点到该路段的距离（的长）为40米，测得一辆汽车从处匀速行驶到处用时3秒，．试通过计算判断此车是否超速？（） 模型6.风吹莲动模型 例1（24-25八年级下·福建厦门·期中）《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为 尺．（1丈＝10尺） 例2（24-25八年级下·黑龙江鸡西·期末）我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，请运用所学知识求出秋千的长是 尺． 例3（24-25八年级下·北京密云·期末）已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是和，．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，，则铅笔的长是（    ） A． B． C． D． 模型7.折竹抵地模型 例1（2025·江西南昌·一模）《九章算术》“勾股”章节中记载了一个“折竹抵地”的问题：“今有竹高1丈8尺，末折抵地、去木6尺、向折者高几何？”译文：如图，今有竹垂直于地面，折断前竹高为1丈8尺.折断后竹梢触地、触地点离根部6尺，问折断处的高是 尺.（1丈尺） 例2（24-25八年级上·广东·专题练习）如图，一棵大树在离地面两处折断成了三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（   ） A． B． C． D． 例3（24-25八年级下·广西南宁·期中）实践与探究：八年级的同学学习了“勾股定理”之后，“综合与实践”小组进行测量旗杆的高度的实践活动，他们设计了如下方案： 课题：测量风筝的高度．     工具：皮尺，计算器等．      测量示意图：如图1． 说明：如图1，表示地面水平线，表示放风筝的同学牵风筝牵引线的手到地面的距离，且垂直于地面于点A，线段表示风筝牵引线（近似为线段），表示风筝到地面的垂直高度，于点E，于点D． 测量数值：点B到的距离米；风筝牵引线的长度：米；的长度：米； (1)求风筝的垂直高度；(2)如图2，如果风筝沿方向上升28米至点F（）， 求风筝牵引线的长． 模型.8台阶上的地毯长度模型 例1（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图所示，是一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 例2（24-25八年级上·河南郑州·期末）轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞多远？下列结果最接近的是（    ） A． B． C． D． 例3（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，李丽参加一期小出探宝节目，她先从点P处登陆小岛，往西走9千米，又往北走6千米，她接着向西走3千米，往南一拐，仅走1千米到达点Q处就找到了宝藏，则登陆点P与藏宝点Q之间的距离是 千米． 模型.9不规则图形面积模型 例1（24-25八年级下·广西桂林·期末）探究与理解 【思考探究】学习了勾股定理之后，小林同学对勾股定理的数学表达公式（其中a，b为直角三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边）与乘法公式进行了“联合”探究． 【理解分析】小林这样认为：如果乘法公式中的a，b表示直角三角形的两条直角边的边长，那么根据以上两个公式可以得出另外的等式：，在这个等式里，可以将，，分别看成三个量，由此，只要知道其中任意两个量就可以求出第三个量． 【解决问题】(1)在一直角三角形中：①已知两条直角边长的和为7，积为12，求斜边的长； ②已知两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，求该直角三角形的周长； (2)如图，在四边形中，已知，，，求的面积． 例2（24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．(1)求出空地的面积．(2)若每种植平方米草皮需要元，问总共需投入多少元？ 例3（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离．(2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用．(3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 1．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）电影《哪吒》中哪吒说“我命由我不由天！”他不屈不挠，勇敢抗争，逆天改命．在学习和生活中，我们都会遇到各种困难和挑战，我们要用行动去改变自己的“命运”，书写属于自己的精彩人生！哪吒脚踏风火轮在空中飞行，从地面起飞，先向正东飞行，再向正北飞行，最后直线返回起点．问哪吒最后返回时的直线距离是（   ）． A．5 B．12 C．13 D．17 2．（24-25八年级下·广西来宾·期末）《九章算术》中有一道“折竹抵地”的问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？其意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，那么折断处离地面的高度是（    ） A．3.6尺 B．3.2尺 C．3尺 D．2.4尺 3．（24-25·山西阳泉·八年级校联考期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是(   )    A． B． C． D． 4．（25-26·河南·八年级期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m，则小巷的宽为（　　　）． A．2.4m B．2.5m C．2.6m D．2.7m 5．（25-26·福建·八年级期末）如图所示，一架长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底部距墙底端，如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子的底部将向外平滑（       ） A． B． C． D． 6．（24-25·河南八年级期末）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，则旗杅的高度为（　　）米． A．5 B．12 C．13 D．17 7．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图是某临街店铺在窗户上方安装的遮阳棚，其侧面如图所示，遮阳棚收拢紧贴墙面自然下垂时，遮阳棚棚骨外端距离地面（即），将其展开至点距离墙面的位置时（即水平距离），，则此时棚骨外端离地面的垂直高度为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26·陕西·八年级期末）如图，城南大道的同一侧有A、B两个社区，于C，于D，C、D两点相距，已知．现要在CD上建一个社区服务站E，使得A、B两社区到E站的距离相等，则的长是（       ）． A．2 B．3.3 C．2.5 D．2.8 9．（25-26·广州市八年级期中）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒． 10．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，由于大风，山坡上的树甲从点A处被拦腰折断（地面），其树顶端恰好落在树乙（乙⊥地面）的根部C处．若米，米，两棵树的水平距离为12米，则树甲折断前的高度为 米． 11．（2025·江西南昌·一模）《九章算术》“勾股”章节中记载了一个“折竹抵地”的问题：“今有竹高1丈8尺，末折抵地、去木6尺、向折者高几何？”译文：如图，今有竹垂直于地面，折断前竹高为1丈8尺.折断后竹梢触地、触地点离根部6尺，问折断处的高是 尺.（1丈尺） 12．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（丈、尺是长度单位，丈尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面处．问水的深度是多少？则水深为 尺． 13．（24-25八年级上·河南鹤壁·期末）《九章算术》记载：今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地问木长几何？其大意是：墙高1丈（1丈=10尺），一根木棒靠于墙壁，木棒上与墙头齐平．当木棒下端沿地面从点向右滑动1尺到点时，木棒上端恰好沿墙壁从点下滑到点（如图所示）．问木棒长多少尺？ 14．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，梯子靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为，梯子的顶端B到地面的距离为，现将梯子的底端A向外移到C，使梯子的底端C到墙根O距离为，同时梯子顶端B下降至D，那么 m． 15．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在一棵树的高的处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处，另一只猴子爬到树顶处后直扑向池塘处（假设其下落的轨迹为直线）．如果两只猴子所经过的路程相等，那么这棵树高 m． 16.（24-25八年级下·江西赣州·期末）一只小猫爬楼梯，楼梯斜靠在墙上，楼梯底部距离墙角米（即），由于楼梯滑动，底部滑动了米（即），楼梯的高度为米（即），则楼梯下滑了 米．（即求的长）． 17．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．通过计算说明该车是否符合安全标准． 18．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，“广州湾号”货轮和“小蛮腰号”科考船从某港口P同时出发执行任务，已知“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，2小时后两船分别位于点R，Q处，此时两船相距26海里． 求：(1)两船分别航行了多少海里？(2)“小蛮腰号”的航行方向． 19．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路，已知，，，． (1)通过计算说明公路是否与垂直；(2)市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道的总费用． 20．（24-25八年级下·山东临沂·期末）年月日我国首枚由中学生自主研制的气象探空火箭“飞燕一号”成功发射，“飞燕一号”搭载气象扫描雷达，若在测试气象扫描环节的某一时刻，雷达扫描区域截面如图阴影所示，已知，，，，技术人员通过测量确定了． (1)雷达扫描点与点距离有多远？(2)此时气象雷达的扫描面积是多少？ 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 勾股定理实际应用模型 勾股定理将图形与数量关系有机结合起来，在解决实际问题和几何应用中有着广泛的应用。运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）从实际问题中抽象出几何图形（建模）；（2）确定要求的线段所在的直角三角形；（3）确定三边，找准直角边和斜边：①若已知两边,则根据勾股定理直接计算第3边；②若已知一边,则根据勾股定理列方程间接求解。（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把另一边用含有未知数的式子表示出来）。 2 模型来源 2 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.梯子滑动模型 5 模型2.轮船航行模型 6 模型3.信号站（中转站）选择模型 8 模型4.台风（噪音）、爆破模型 10 模型5.超速模型 13 模型6.风吹莲动模型 14 模型7.折竹抵地模型 15 模型8.台阶上的地毯长度模型 17 模型.8不规则图形面积模型 19 22 勾股定理的实际应用模型源于工程（实际）测量，这些模型均基于直角三角形三边关系，通过数学抽象将实际问题转化为几何计算，体现了从具体测量到理论验证的完整应用链条。 （2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） (1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； 【答案】(1)秋千绳索的长度为尺 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为点B． 设秋千绳索的长度为x尺．由题可知，，，，∴． 在中，由勾股定理得： ∴．解得．答：秋千绳索的长度为尺． （24-25八年级下·广东广州·期中）如图，“广州湾号”货轮和“小蛮腰号”科考船从某港口P同时出发执行任务，已知“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，2小时后两船分别位于点R，Q处，此时两船相距26海里．求：(1)两船分别航行了多少海里？(2)“小蛮腰号”的航行方向． 【答案】(1)“广州湾号”航行路程为海里；“小蛮腰号”航行路程为海里； (2)“小蛮腰号”的航行方向是南偏东． 【详解】（1）解：∵“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，航行时间为2小时， ∴“广州湾号”航行路程为：海里；“小蛮腰号”航行路程为海里； （2）由（1）得（海里），（海里），∵两船相距26海里，∴（海里）， ∵，，故， 是直角三角形，，∴， “小蛮腰号”的航行方向是南偏东． 模型1）梯子滑动模型 模型背景：梯子滑动、绳子移动等。 解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。 梯子滑动模型解题步骤：（1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离；（2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离；（3）两者相减即可求出梯子在墙上或地面上滑动的距离。 模型2）轮船航行模型 模型背景：轮船航行等。解题关键：轮船航行模型要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长。 航行模型解题步骤：（1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；（2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长；（3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。 模型3）信号站（中转站）选择模型 相关模型背景：信号塔、中转站等。 解题关键：信号塔和中转站模型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。 信号塔、中转站模型解题步骤：（1）根据问题设出未知量（一般求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长；（2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长；（3）根据斜边长相等建立方程求解。 模型4）台风（噪音）、爆破模型 相关模型背景：有爆破、台风（噪音）等。 解题关键：通常会用到垂线段最短的原理。 台风、爆破模型解题步骤：（1）根据勾股定理计算爆破点或台风中心到目的地的最短距离；（2）将计算出的最短距离跟爆破或台风的影响范围的半径作比较；（3）若最短距离大于影响半径则不受影响，若最短距离小于半径则受影响。 模型5）测超速、河宽模型 相关模型背景：有汽车超速、信号干扰、测河宽等。 解题关键：要将速度统一单位后再进行比较。 超速模型解题步骤：（1）根据勾股定理计算行驶的距离；（2）根据行驶距离和时间求出实际行驶速度； （3）比较实际行驶速度和规定速度。 模型6）风吹莲动模型 相关模型背景：莲花、芦苇、吸管、筷子、秋千等。 解题关键：“莲花”高度为不变量。 风吹莲动模型解题步骤：（1）根据问题设出“水深”或者“莲花”的高度；（2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；（3）根据勾股定理列方程求解。 模型7）折竹抵地模型 相关模型背景：竹子、旗杆（风筝）拉绳等。 解题关键：“竹子”高度为不变量。 折竹抵地模型解题步骤：（1）根据问题设出“竹子”折断之前或者折断之后距离地面的高度； （2）根据题目条件表示出题目中涉及的直角三角形的另外两条边长；（3）根据勾股定理列方程求解。 模型8）不规则图形面积模型 相关模型背景：有草坪面积、土地面积、网格等。 解题关键：一般所求图形面积为不规则的四边形，要注意转换为两个直角三角形的面积进行求解。 面积模型解题步骤：（1）连接两点作辅助线，将四边形分为两个直角三角形；（2）根据已知条件运用勾股定理求出所连线段长度；（3）运用勾股定理逆定理判定另一个三角形为直角三角形；（4）分别求出两个直角三角形的面积相加或相减即为所求四边形面积。 模型1.梯子滑动模型 例1（24-25八年级下·广西钦州·阶段练习）【综合实践】 【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离． (1)【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离有多高？ (2)【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，那么梯子的底端移动的距离是多少米？ (3)【问题解决】在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 【答案】(1)这架云梯顶端距地面的距离的高为(2)梯子的底端移动的距离是(3)能，见解析 【详解】（1）解：在中，根据题意得：， 答：这架云梯顶端距地面的距离的高为； （2）∵，， ∴，∴， 答：梯子的底端移动的距离是． （3）能，理由：∵云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全， ∴相对安全的距离为不小于，∵高的墙头有求救声，云梯的长为， ∴云梯的顶端刚好在墙头位置时，云梯底端离墙的距离为：， ∴云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员． 例2（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面的距离为2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离为1.5米，顶端距离墙顶的距离为1米，则墙的高度为多少米? 【答案】3米 【详解】解：在中，米，米， ∴米，由题意得，∴米， 在中，米，米，∴米， 又∵米，∴米，∴墙的高度为3米． 例3（24-25八年级下·广东广州·期末）实验探究： 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（、B、C可以视作三个点） ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度． 初始状态 图1物体C静止在轨道上，其到滑轮A的垂直距离为，且． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务 （1）求绳子的总长度； （2）图2若物体C升高，求滑块B向左滑动的距离． 【答案】（1）绳子长；（2）滑块B向左滑动的距离为 【详解】解：（1）物体C到定滑轮A垂直距离为，且， 设，则，在中，由勾股定理得：， ，解得：，，， 绳子长度（）．答：绳子总长度为18分米． （2）如图2，由题意可知，， 若物体C升高，则此时（）， 在中，由勾股定理得，（）， （）．答：滑块B向左滑动的距离为． 模型2.轮船航行模型 例1（24-25·重庆·八年级专题练习）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，有甲，乙两艘轮船同时离港，各自沿着一固定方向航行，甲船沿北偏西方向航行，每小时30海里，乙船沿北偏东方向航行，每小时40海里，2小时后，两船分别到达A，B处，此时两船相距多少海里？    【答案】两船相距100海里． 【详解】解：∵甲船沿北偏西方向航行，每小时30海里，乙船沿北偏东方向航行，每小时40海里，2小时后，两船分别到达A，B处，∴，，，， ∴，∴，∴此时两船相距100海里． 例2（24-25·黑龙江哈尔滨·八年级统考期中）如图，甲、乙两只捕捞船同时从港口出发捕鱼，甲船以每小时千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时千米的速度沿东北方向前进，甲船航行小时到达处，于是甲船立即加速后保持匀速沿北偏东的方向追赶乙船，结果两船在处相遇．    (1)求的度数；(2)求乙船航行多少小时被甲船追上． 【答案】(1)；(2)4小时． 【详解】（1）解：如图：由题意得：，，， ，， ，，的度数为； （2）过点作，垂足为，由题意得：，在中，，       千米，千米， 在中，，千米，小时，乙船航行4小时被甲船追上． 例3（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）某海域有一小岛 P，在以 P 为圆心，半径 r 为海里的圆形海域内有暗礁，一海监船自西向东航行，它在 A 处测得小岛 P 位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达 B 处，此时观测小岛 P 位于 B 处北偏东方向上． (1)若过点 P 作 PC⊥AB 于点 C，则 ；(2)求 C，P 两点之间的距离 ； (3)若海监船由 B 处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船 由 B 处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？请直接写出海监船由 B 处开始 沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域． 【答案】(1)(2)(3)没有触礁危险，理由见解析 【详解】（1）过点作，交的延长线于点， 是直角三角形，由题可知，，，， ∴，；故答案为：； （2）解：过点作，交的延长线于点，由题意得，，，海里，，，在中，， 设海里，则海里，海里，海里， ∵海里，即，海里， 答：，之间的距离海里； （3）解：，∵，， ∴没有触礁的危险． 模型3.信号站（中转站）选择模型 例1（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，某地方政府决定在相距的A，B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到点E的距离相等，已知于A，于B，，，那么基地E应建在离A站多少的地方？ 【答案】基地E应建在离A站的地方 【详解】解：由题意，得：，，， 设，则：，在中，， 在中，，∵，，， ∴，即：，解得：，∴， ∴基地E应建在离A站的地方． 例2（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）某市准备在铁路上修建火车站，以方便铁路两旁的，两城的居民出行．如图，城到铁路的距离，城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在到，两城距离相等的处修建火车站，求，的长． 【答案】，． 【详解】解：设，则．根据题意，得． ∴，解得．∴．∴，． 例3（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，连接A，B两城市的是一条东西走向的公路，C，D为两座工厂，且工厂C位于工厂D的北边，B市和工厂C之间有一大型水库．从工厂C修建了两条公路通往A市和工厂D，已知，，．(1)试通过计算说明长是工厂C到公路的最短距离；(2)若，求工厂C到B市的距离． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：∵，，．且， ∴，∴，根据垂线段最短，∴长是工厂C到公路的最短距离． （2）解：设，则， 根据勾股定理，得，解得， 答：工厂C到B市的距离为． 模型4.台风（噪音）、爆破模型 例1（24-25·安徽池州·八年级统考期末）在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一处需要爆破，已知点与公路上的停靠站的距离为300米，与公路上另一停靠站的距离为400米，且，如图，为了安全起见，爆破点周围250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路段是否有危险？是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．    【答案】有危险，需要暂时封锁；理由见解析． 【详解】解：有危险，需要暂时封锁． 理由：如图，过作于，    米，米，，∴在中，米， ∵，∴米．∵，∴有危险，段公路需要暂时封锁． 例2（24-25八年级下·河南驻马店·期中）吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线上两点A，B的距离分别为和，吊车周围以内为受噪声影响区域．(1)求的度数．(2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ 【答案】(1)(2)学校C会受噪声影响，见解析 【详解】（1）解：， ，是直角三角形，且； （2）学校C会受噪声影响．理由：如图，过点C作于D，则： ，， ∵吊车周围以内为受噪声影响区域，，∴学校C会受噪声影响． 例3（24-25重庆·八年级专题练习）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，AC＝40米，AB＝30米．出发3秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】不会 【详解】解：如图，出发3秒钟时，米，米， ∵AC=40米，AB=30米，∴AC1=28米，AB1=21米， ∴在中，米＞25米， ∴出发3秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰． 模型5.测超速、河宽模型 例1（24-25·江苏苏州·八年级统考期中）某人欲从点A横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离预到达点B240m，结果他在水中实际游了510 m．求该河的宽度． 【答案】450米. 【详解】根据图中数据，运用勾股定理求得（米），故河宽为450米. 例2（24-25八年级下·湖北恩施·期末）行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速，小明尝试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点到该路段的距离（的长）为40米，测得一辆汽车从处匀速行驶到处用时3秒，．试通过计算判断此车是否超速？（） 【答案】未超速，理由见解析 【详解】解：在中，， ∴是等腰直角三角形，， 在中，，，， ，．此车的速度为． ，，此车未超速． 模型6.风吹莲动模型 例1（24-25八年级下·福建厦门·期中）《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为 尺．（1丈＝10尺） 【答案】13 【详解】解：1丈尺 设水深为x尺，则芦苇长为尺，根据勾股定理得： ，解得：， 芦苇的长度（尺），故答案为：13． 例2（24-25八年级下·黑龙江鸡西·期末）我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，请运用所学知识求出秋千的长是 尺． 【答案】 【详解】解：由题意可知：（尺），（尺），（尺）， （尺），设绳索尺，尺， 在中，即，解得． 答：绳索的长为尺．故答案为：． 例3（24-25八年级下·北京密云·期末）已知两个型号的圆柱型笔筒的底面直径相同，高度分别是和，．将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为和，，则铅笔的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设铅笔长度为，由题意得，，解得，， 故铅笔的长为；故选：A． 模型7.折竹抵地模型 例1（2025·江西南昌·一模）《九章算术》“勾股”章节中记载了一个“折竹抵地”的问题：“今有竹高1丈8尺，末折抵地、去木6尺、向折者高几何？”译文：如图，今有竹垂直于地面，折断前竹高为1丈8尺.折断后竹梢触地、触地点离根部6尺，问折断处的高是 尺.（1丈尺） 【答案】8 【详解】解：∵一根竹子原来高尺，设折断处离地面的高度为x尺， ∴竹梢到折断处的长度为尺，依题意得：，解得：， ∴折断处离地面8尺．故答案为：8． 例2（24-25八年级上·广东·专题练习）如图，一棵大树在离地面两处折断成了三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点B作于点E，则， ，， 四边形是矩形，， ，， 在中，，， 大树折断前的高度为．故选：D． 例3（24-25八年级下·广西南宁·期中）实践与探究：八年级的同学学习了“勾股定理”之后，“综合与实践”小组进行测量旗杆的高度的实践活动，他们设计了如下方案： 课题：测量风筝的高度．      工具：皮尺，计算器等．       测量示意图：如图1． 说明：如图1，表示地面水平线，表示放风筝的同学牵风筝牵引线的手到地面的距离，且垂直于地面于点A，线段表示风筝牵引线（近似为线段），表示风筝到地面的垂直高度，于点E，于点D． 测量数值：点B到的距离米；风筝牵引线的长度：米；的长度：米； (1)求风筝的垂直高度；(2)如图2，如果风筝沿方向上升28米至点F（）， 求风筝牵引线的长． 【答案】(1)风筝的垂直高度为13.6米(2)风筝的牵引线的长是41米 【详解】（1）解：∵，∴， 在中，由勾股定理得：， ，答：风筝的垂直高度为13.6米； （2）解：在中，由勾股定理得：， 答：风筝的牵引线的长是41米． 模型.8台阶上的地毯长度模型 例1（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图所示，是一段楼梯，高是3米，斜边长是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要 米． 【答案】7 【详解】解：∵是直角三角形，米，米，∴米， ∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为米．故答案为：7． 例2（24-25八年级上·河南郑州·期末）轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞多远？下列结果最接近的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，由题意得：，， ∴，∴在中，由勾股定理得：， ∵，∴，故选C． 例3（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，李丽参加一期小出探宝节目，她先从点P处登陆小岛，往西走9千米，又往北走6千米，她接着向西走3千米，往南一拐，仅走1千米到达点Q处就找到了宝藏，则登陆点P与藏宝点Q之间的距离是 千米． 【答案】13 【详解】解：根据题意可知：（千米），（千米），， ∴根据勾股定理得：（千米）， 即登陆点P与藏宝点Q之间的距离是13千米．故答案为：13． 模型.9不规则图形面积模型 例1（24-25八年级下·广西桂林·期末）探究与理解 【思考探究】学习了勾股定理之后，小林同学对勾股定理的数学表达公式（其中a，b为直角三角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边）与乘法公式进行了“联合”探究． 【理解分析】小林这样认为：如果乘法公式中的a，b表示直角三角形的两条直角边的边长，那么根据以上两个公式可以得出另外的等式：，在这个等式里，可以将，，分别看成三个量，由此，只要知道其中任意两个量就可以求出第三个量． 【解决问题】(1)在一直角三角形中：①已知两条直角边长的和为7，积为12，求斜边的长； ②已知两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，求该直角三角形的周长； (2)如图，在四边形中，已知，，，求的面积． 【答案】(1)①5；②；(2)1． 【详解】（1）①解：∵两条直角边长的和为7，积为12，∴，， ∵，∴，解得：（负值舍去）； ②解：∵两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60， ∴，，∴，∴（负值舍去）， ∵∴，解得：（负值舍去）， ∴该直角三角形的周长； （2）解：∵，∴、是直角三角形， ∵，，∴，∵，， ∴，即， ∴，∴． 例2（24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理． (1)求出空地的面积．(2)若每种植平方米草皮需要元，问总共需投入多少元？ 【答案】(1)空地的面积为(2)总共需投入 11400 元 【详解】（1）解：∵，，， ，，∴是直角三角形，， ∴需要绿化的空地的面积． 答：空地的面积为； （2）解：（元）． 答：总共需投入 11400 元． （2）解：（元）． 答：总共需投入 11400 元． 例3（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离．(2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用．(3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)A，C (2)建造绿化地的费用为11400元 (3)方案一所花的费用700元方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元 【详解】（1）解：连接，施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵∴，∴， 即当测量A，C两点之间的距离为∴满足勾股逆定理得；∴， 故答案为：A，C； （2）解：∵，，∴，∴， ∴，∴ ∴四边形的面积，∴建造绿化地的费用（元）； （3）解：∵，∴ ∵，∴，∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵∴铺设管道所需的最少费用为700元． 1．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）电影《哪吒》中哪吒说“我命由我不由天！”他不屈不挠，勇敢抗争，逆天改命．在学习和生活中，我们都会遇到各种困难和挑战，我们要用行动去改变自己的“命运”，书写属于自己的精彩人生！哪吒脚踏风火轮在空中飞行，从地面起飞，先向正东飞行，再向正北飞行，最后直线返回起点．问哪吒最后返回时的直线距离是（   ）． A．5 B．12 C．13 D．17 【答案】C 【详解】解：根据题意，这哪吒飞行路线可以构成一个直角三角形， 此时两直角边的长分别是和，， 故哪吒最后返回时的直线距离是．故选：C． 2．（24-25八年级下·广西来宾·期末）《九章算术》中有一道“折竹抵地”的问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？其意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，那么折断处离地面的高度是（    ） A．3.6尺 B．3.2尺 C．3尺 D．2.4尺 【答案】B 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：．解得：，折断处离地面的高度为3.2尺，故选：B． 3．（24-25·山西阳泉·八年级校联考期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是(   )    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过作于，如图所示：由题意可知，，    根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为， 由勾股定理可得， 它要飞回巢中所需的时间至少是（），故选：C． 4．（25-26·河南·八年级期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m，则小巷的宽为（　　　）． A．2.4m B．2.5m C．2.6m D．2.7m 【答案】D 【详解】解：在Rt△ABC中，AB==2.5m，∴A′B=2.5m， 在Rt△A′BD中，BD==2m，∴CD=BC+BD=2+0.7=2.7m，故选：D． 5．（25-26·福建·八年级期末）如图所示，一架长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底部距墙底端，如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子的底部将向外平滑（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=2.5m，OB=0.7m，∴OA===2.4(m) ∵梯子的顶端下滑了0.4米，∴OA′=2m， ∵在Rt△A′OB′中，∠A′OB′=90°，A′B′=2.5m，OA′=2m，∴OB′===1.5(m)， ∴BB′=OB′-OB=1.5-0.7=0.8(m)．故选：C． 6．（24-25·河南八年级期末）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，则旗杅的高度为（　　）米． A．5 B．12 C．13 D．17 【答案】B 【详解】解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为（x+1）米， 在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，解得，x＝12．答：旗杆的高度为12米．故选：B． 7．（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图是某临街店铺在窗户上方安装的遮阳棚，其侧面如图所示，遮阳棚收拢紧贴墙面自然下垂时，遮阳棚棚骨外端距离地面（即），将其展开至点距离墙面的位置时（即水平距离），，则此时棚骨外端离地面的垂直高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示：，，， 在中，，，， 则由勾股定理可得， ，故选：C． 8．（25-26·陕西·八年级期末）如图，城南大道的同一侧有A、B两个社区，于C，于D，C、D两点相距，已知．现要在CD上建一个社区服务站E，使得A、B两社区到E站的距离相等，则的长是（       ）． A．2 B．3.3 C．2.5 D．2.8 【答案】B 【详解】解：由题意，设，则， ， ， 、两社区到站的距离相等，，，即， 解得，即，故选：B． 9．（25-26·广州市八年级期中）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒． 【答案】80 12 【详解】解：作于，，m，m， 即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m． 如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点， ，，在中，m，m， 重型运输卡车的速度为36千米时米秒，重型运输卡车经过的时间（秒， 故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒．故答案为：80，12． 10．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，由于大风，山坡上的树甲从点A处被拦腰折断（地面），其树顶端恰好落在树乙（乙⊥地面）的根部C处．若米，米，两棵树的水平距离为12米，则树甲折断前的高度为 米． 【答案】19 【详解】解：如图所示：过点C作交延长线于点D，则， 由题意可得：，故，∴， 则，故，故答案为：19． 11．（2025·江西南昌·一模）《九章算术》“勾股”章节中记载了一个“折竹抵地”的问题：“今有竹高1丈8尺，末折抵地、去木6尺、向折者高几何？”译文：如图，今有竹垂直于地面，折断前竹高为1丈8尺.折断后竹梢触地、触地点离根部6尺，问折断处的高是 尺.（1丈尺） 【答案】8 【详解】解：∵一根竹子原来高尺，设折断处离地面的高度为x尺， ∴竹梢到折断处的长度为尺，依题意得：，解得：， ∴折断处离地面8尺．故答案为：8． 12．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（丈、尺是长度单位，丈尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺（即尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面处．问水的深度是多少？则水深为 尺． 【答案】 【详解】解：设水深尺，则尺，尺， 水池的边长为尺，尺， 在中，，，解得： 水深为尺．故答案为： ． 13．（24-25八年级上·河南鹤壁·期末）《九章算术》记载：今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地问木长几何？其大意是：墙高1丈（1丈=10尺），一根木棒靠于墙壁，木棒上与墙头齐平．当木棒下端沿地面从点向右滑动1尺到点时，木棒上端恰好沿墙壁从点下滑到点（如图所示）．问木棒长多少尺？ 【答案】50.5尺 【详解】解：设木棒长为尺，则木棒右端离墙的距离尺， 在中，由勾股定理可知， ∴，解得，答：木棒的长为尺． 14．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，梯子靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为，梯子的顶端B到地面的距离为，现将梯子的底端A向外移到C，使梯子的底端C到墙根O距离为，同时梯子顶端B下降至D，那么 m． 【答案】 【详解】解：根据题意得，，， 由勾股定理得，，， ∴，故答案为：． 15．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在一棵树的高的处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处，另一只猴子爬到树顶处后直扑向池塘处（假设其下落的轨迹为直线）．如果两只猴子所经过的路程相等，那么这棵树高 m． 【答案】 【详解】解：设树高为，则，∵，，∴， ∵两只猴子所经过的路程相等，∴， ∵，∴，即，解得：， ∴这颗树高．故答案为：． 16.（24-25八年级下·江西赣州·期末）一只小猫爬楼梯，楼梯斜靠在墙上，楼梯底部距离墙角米（即），由于楼梯滑动，底部滑动了米（即），楼梯的高度为米（即），则楼梯下滑了 米．（即求的长）． 【答案】 【详解】解：在中，， 在中， ∴米 故答案为：． 17．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】该车不符合安全标准，见解析 【详解】解：该车不符合安全标准； 在中，，，，由勾股定理得：， 在中，，， ∵，∴， ∴，即和不垂直，∴该车不符合安全标准． 18．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，“广州湾号”货轮和“小蛮腰号”科考船从某港口P同时出发执行任务，已知“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，2小时后两船分别位于点R，Q处，此时两船相距26海里． 求：(1)两船分别航行了多少海里？(2)“小蛮腰号”的航行方向． 【答案】(1)“广州湾号”航行路程为海里；“小蛮腰号”航行路程为海里； (2)“小蛮腰号”的航行方向是南偏东． 【详解】（1）解：∵“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，航行时间为2小时， ∴“广州湾号”航行路程为：海里；“小蛮腰号”航行路程为海里； （2）由（1）得（海里），（海里），∵两船相距26海里，∴（海里）， ∵，，故，是直角三角形， ，∴，“小蛮腰号”的航行方向是南偏东． 19．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，现有公路，已知，，，． (1)通过计算说明公路是否与垂直；(2)市政府准备在景点B，C之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道的总费用． 【答案】(1)公路与垂直，计算见解析(2)818万元 【详解】（1）解：在中，，，， ∴，即， 是直角三角形，且，公路与垂直． （2）解：由（1）知，． 在中，，，， ，，即，解得， （万元）． 答：修建互通大道的总费用是818万元． 20．（24-25八年级下·山东临沂·期末）年月日我国首枚由中学生自主研制的气象探空火箭“飞燕一号”成功发射，“飞燕一号”搭载气象扫描雷达，若在测试气象扫描环节的某一时刻，雷达扫描区域截面如图阴影所示，已知，，，，技术人员通过测量确定了． (1)雷达扫描点与点距离有多远？(2)此时气象雷达的扫描面积是多少？ 【答案】(1)雷达扫描点与点距离有(2)此时气象雷达的扫描面积是 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，由勾股定理得：， 答：雷达扫描点与点距离有； （2），，为直角三角形，， 绿地的面积， 答：此时气象雷达的扫描面积是． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $