20.1(第1课时)勾股定理（大单元教学课件）数学新教材人教版八年级下册

20.1(第1课时) 第二十章 勾股定理 勾股定理 人教版(新教材) 八年级下册 20.1-1 勾股定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 在《周髀算经》的开篇，商高(约公元前11世纪)构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”,意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积. 商高所指的面积关系可以用图形表示.红色直角三角形的三边长分别为3,4,5,分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分别为9,16,25,且9+16=25.从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方. 其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系? 20.1-1 勾股定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图每个小方格的面积均为1,图中正方形A₁,B₁,C₁的面积之间有什么关系?A₂,B₂,C₂呢? A₃,B₃,C₃呢? A₁ B₁ C₁ A₂ B₂ C₂ A₃ B₃ C₃ 以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系?由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗? 20.1-1 勾股定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如何求蓝色部分（C部分）正方形的面积？ A B C a b 每个小方格的面积均为1 c 法一：补形法(把以斜边为边长的正方形补成各边都在网格线上的正方形）： 20.1-1 勾股定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如何求蓝色部分（C部分）正方形的面积？ A B C a b 每个小方格的面积均为1 c 法二：分割法(把以斜边为边长的正方形分割成易求出面积的三角形和四边形）： 20.1-1 勾股定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 正方形A、B、C 所围成的直角三角形三条边之间有怎样的特殊关系？ A的面积 B的面积 C的面积 9 25 16 A B C 9+16=25 20.1-1 勾股定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 A B C 三个正方形面积之间的关系能用直角三角形的边来表示吗？ 通过上面的研究，你能发现直角三角形三边的长之间有怎样的关系吗？ a2+b2 = c2 20.1-1 勾股定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 准备四个全等的直角三角形（设两条直角边分别为a，b，斜边c）； 1.你能用这四个直角三角形拼成一个正方形吗？ 2.你拼的正方形中是否含有以斜边c为边 的正方形？ 3.你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？ a b c 20.1-1 勾股定理 勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.(a、b、c为正数) 公式变形 在我国又称商高定理， 在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理. a b c 20.1-1 勾股定理 A B C a b c 勾 股 弦 勾 股 几何语言： ∴a2+b2=c2 ∵在Rt△ABC中，∠C=900 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. 20.1-1 勾股定理 1. 勾股定理揭示了直角三角形 之间的关系. 2. 根据勾股定理,已知直角三角形 边，可求 边. 三边 两 第三 a2+b2=c2 a b c 20.1-1 勾股定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 证明这个猜想的方法有很多，下面介绍我国古代数学家赵爽（约3世纪）的证法.如图，这个图案是赵爽在注解《周牌算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”,赵爽根据此图指出，四个全等的首角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）. a b c 朱实 a 朱实 c b 朱实 a 朱实 a 黄实 按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实. 20.1-1 勾股定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 c a c a b c a c a S小正方形＝(b-a)2, ∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为 . ∵S大正方形＝c2， 20.1-1 勾股定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为 . c a b c a b c a b c a b ∴a2+b2+2ab=c2+2ab， ∴a2 +b2 =c2. ∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab, S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4× ab+c2 =c2+2ab， 20.1-1 勾股定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 毕达哥拉斯证法 a a a a b b b b c c c c 20.1-1 勾股定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 ∴a2 + b2 = c2. 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. a b c c 20.1-1 勾股定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中c=15，b-a=3，求每个直角三角形的面积. 解：由勾股定理，得 ∴每个直角三角形的面积为 20.1-1 勾股定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 求直角三角形斜边上的高，一般用等面积法. 20.1-1 勾股定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 长方形的对边相等，邻边垂直，结合线段中点的定义可得的长，利用勾股定理求出的长，进而可求出的长． 解： 20.1-1 勾股定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如图，某公园里有一块长方形草坪，小明同学发现有极少数人不沿小路AC,CB行走，直接践踏草坪沿AB行走．为了倡导人们爱护花草，于是建议公园管理人员在A处立一个标牌：“小草青青，脚下留情”．经过测量得知：A，C两处的距离为12m，B，C两处的距离为5m，则践踏草坪少走的距离仅仅为_____ m． 解： 20.1-1 勾股定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 如下图，2个全等的直角三角形与1个小直角梯形恰好拼成1个大直角梯形，这个图形能证明勾股定理．请你写出证明过程． 证明： 20.1-1 勾股定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有几个？ 20.1-1 勾股定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：图4，图5，图6均满足 显然图4满足，下面证明图5，图也满足. 设直角三角形的三边依次为a,b,c, 图4中： 20.1-1 勾股定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 图5中： 20.1-1 勾股定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：∵ 20.1-1 勾股定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 20.1-1 勾股定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 内容 注意 勾股定理 在Rt△ABC中， ∠C=90°, a,b为直角边，c为斜边， 则有a2+b2=c2. 在直角三角形中 看清哪个角是直角 已知两边没有指明是直角边 还是斜边时一定要分类讨论 20.1-1 勾股定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习01 · 详解 如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（    ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理 C．三角形全等判定 D．等腰三角形判定 赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”,是用来证明勾股定理的. 20.1-1 勾股定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习02 ·· 下列选项中（图中三角形都是直角三角形），哪个不能用来验证勾股定理？ 本题考查了勾股定理的验证方法，关键是利用图形的面积关系，通过等面积法推导，判断各选项是否能通过面积相等得到勾股定理的结论． 对于图三，图形的面积关系无法直接通过等面积法推导出，不能用来验证勾股定理． 详解 20.1-1 勾股定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习03 ··· 详解 勾股定理在我国有着悠久的历史．古代数学家赵爽在《周髀》中利用“勾股方圆图”直观的证明了勾股定理．后人通常把右图称为“赵爽弦图”．如右图所示，点A坐标为(-1,0)，点B坐标为(-4,0)，求点C的坐标. 20.1-1 勾股定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习04 ···· 详解 20.1-1 勾股定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习05 ····· 详解 如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周长． 解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°． 在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°， ∴∠B=∠BAD=45°， ∴BD=AD=1，∴AB=． 在Rt△ADC中，∵∠C=30°， ∴AC=2AD=2， ∴CD= ，∴BC=BD+CD=1+ ， ∴△ABC的周长=AB+AC+BC= + +3 ． 20.1-1 勾股定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习06 ······ 详解 在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长. 解：斜边不确定，需分类讨论： 当AB为斜边时，如图， 当BC为斜边时，如图， 4 3 A C B 4 3 C A B 图 图 20.1-1 勾股定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习07 ······· 详解 解： 20.1-1 勾股定理 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习07 ······· 详解 20.1-1 勾股定理 $