专题02 中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形（几何模型讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

该初中数学讲义通过梳理中点模型的历史渊源与核心定理，构建了直角三角形斜边中线、中位线、中点四边形三大模型的知识体系，以框架图形式呈现各模型的条件、结论及证明过程，清晰展现单双中线、三角形与梯形中位线、不同对角线中点四边形的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“真题-模型-应用”的递进练习设计，如2025四川德阳中考题结合中点四边形面积与对角线关系，培养推理意识与模型观念。例题涵盖基础证明与综合应用，帮助不同层次学生掌握构造中位线、斜边中线转化问题的方法，为教师精准教学和学生自主复习提供系统支持。

专题02 中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 模型1.直角三角形斜边中线模型 6 模型2.中位线模型 9 模型3.中点四边形模型 13 18 直角三角形斜边中线模型的核心定理最早可能隐含于毕达哥拉斯学派对直角三角形的研究中，但未明确提出“斜边中点模型”的完整概念‌。《周髀算经》记载了勾股定理特例，虽未直接描述斜边中线性质，但为模型构建奠定基础‌。直到20世纪教材体系化过程中，该定理被明确表述为：“直角三角形斜边中线等于斜边一半”。模型历经古希腊的演绎证明与中国实用几何传统结合，形成今日标准化教学模型。‌因直角三角形斜边中线模型常与中位线、三线合一结合使用，戏称其为“三兄弟模型”。 20世纪初，德国数学家克莱因在《初等几何学》中首次将“连接三角形两边中点的线段”定义为“中位线”（Median Line），并严格证明其性质：‌平行于第三边且长度为第三边的一半。中位线模型从古典几何的隐性规律发展为现代数学教育的高效工具，体现了数学抽象性与应用性的深度统一。 20世纪60年代，教育工作者将三角形中位线性质迁移至四边形场景，发现‌任意四边形的中点连线必形成平行四边形。这一规律被命名为“中点四边形稳定性定理”。 （2025广东·模拟预测）如图，四边形中，，，，以，为邻边作，连接，则线段长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【详解】解：连接交于点，取的中点，连接，，， ∵，，∴， ∵，∴，，∴是的中位线，∴， ∵，，∴， ∴，∴，故选：A． （2025·四川德阳·中考真题）如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【详解】如图：连接，交于点O，因为、、、分别是四边形边的中点， ∴，；，；，；， ． ∵，∴，∴四边形是菱形． ∴，，∴， ∵四边形面积为，，∴，解得 ．∴ 在中 ．故选：B． 1）直角三角形斜边中线模型（单中线模型） 条件：如图，若AD为斜边上的中线； 结论：（1）；（2），为等腰三角形；（3），． 证明：取AC的中点E，连接DE，∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=， ∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB，∴∠DEC=∠BAC=90°，∴DE垂直平分AC， ∴AD=CD，∴；∴，为等腰三角形； ∵AD=CD，∴，∵，∴，同理：． 2）直角三角形斜边中线模型（双中线模型） 条件：如图，在由两个直角三角形组成的图中，M为BC边的中点，（直角在BC的同侧和异侧两类） 结论：（1）；（2）． 证明：∵，M为BC边的中点，∴，，∴ ∴，∵，∴，同理： ∴，∴．（同侧和异侧证明一致） 3）三角形的中位线模型： 条件：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E， 结论：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。 证明：如图1，过点C作交延长于点F，∴， ∵是的中位线，∴，∴，∴， ∴，又∵，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，； ∵，∴，，∴△ADE∽△ABC。 图1 图2 4）梯形的中位线模型： 条件：如图2，在梯形中，，、分别是两腰、的中点， 结论：（1），； （2）梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高。 证明：连接并延长，交延长线于点，，． 是的中点，．，． ，．点是的中点，又点是的中点， 是的中位线，，．． ，，．，． ∵梯形的面积=，∴梯形的面积==中位线的长×高。（为梯形的高） 5）顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形． 条件：如图1，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，结论：四边形MNPQ为平行四边形。 证明：∵点M、N是AC、AB的中点，∴，， 同理：，，∴MN=PQ，，∴四边形是平行四边形， 图1 图2 6）顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形） 条件：如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，结论：四边形MNPQ为矩形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC⊥DB，∴MN⊥MQ，∴四边形MNPQ为矩形。 7）顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形） 条件：如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，结论：四边形MNPQ为菱形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC=DB，∴MN=MQ，∴四边形MNPQ为菱形。 图3 图4 8）顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形． 条件：如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB， 结论：四边形MNPQ为正方形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴，，， ∵AC=DB，AC⊥DB，∴MN=MQ，MN⊥MQ，，∴四边形MNPQ为正方形。 模型1.直角三角形斜边中线模型 例1（24-25八年级下·福建宁德·期中）如图，在中，，为上一点，连接．已知，为的中线且，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，， 为的中线且，，， ，，，， 是的外角，， 又，，，．故选：B． 例2（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点E为的中点，在中，，连接，，；若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，点E为的中点， ，， ，，， ，同理可得，， ，故选：D． 例3（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在中，是中位线，点在上，，若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：在中，为的中点，，， 为的中位线，，，，故答案为：． 例4（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，且分别是上的高，分别是的中点，若，则的长为（　　）    A．10 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【详解】解：如图：连接，    是的中点，，， 是的中点，，， 在中，，故选：B． 例5（2025·江苏镇江·校考一模）如图，已知， M、N分别是中点，若，则    【答案】 【详解】解：连接、，    ，是的中点，， ， 是等腰直角三角形，，是的中点，， 故答案为：． 例6（25-26上·山东·九年级专题练习）如图，，矩形在的内部，顶点，分别在射线，上，，，则点到点的最大距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，取的中点，连接、、． ∵，∴．在中，． ∵，∴当、、三点共线时，可以取得最大值， 最大值．故选：B． 模型2.中位线模型 例1（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点．若，的周长是，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线，交于点O， ∴，，， ∵，∴， ∵的周长是，∴， ∴， ∵点E，F分别是线段，的中点，∴，故选：B． 例2（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，是中点，延长到，使，交于点，若，则的长度为 ． 【答案】 【详解】解：取的中点，连接， ，是的中位线，，， 是中点，，，，， ，．故答案为：． 例3（2025·甘肃兰州·二模）如图，在矩形中，E，F分别是边上的点，且，连接，M，N分别是的中点，连接，若，则的长为 【答案】 【详解】解：连接，并延长交于点H，连接，如图所示∶ ∵四边形是矩形，且，∴， ∴，∵，∴， ∵点N是的中点，∴， 在和中，∴， ∴，∴， 在中，由勾股定理得∶ ∵点M是的中点，，∴是的中位线，∴故答案为：． 例4（2023·广西·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为 ．    【答案】 【详解】如图所示，连接，    ∵M，N分别是的中点，∴是的中位线，∴， ∵四边形是正方形，∴，∴， ∴当最大时，最大，此时最大， ∵点E是上的动点，∴当点E和点C重合时，最大，即的长度， ∴此时，∴，∴的最大值为．故答案为：． 例5（2024·青海西宁·二模）在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路． （1）【知识回顾】在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决，请写出已知，求证，并证明三角形中位线定理． （2）【数学发现】如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你沿着将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形． 如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？ 【证明猜想】（3）证明（2）的结论，并在“，”的条件下，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）画图见解析，猜想：，；（3）证明见解析，6； 【详解】解：（1）已知：在中，分别是的中点，求证：： 证明：如图所示，过点C作交延长线与F， ∵分别是的中点，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴四边形是平行四边形， ∴，∴； （2）如图所示，延长交延长线于M，则把延剪开后放置到的位置，即为所求；猜想：，； （3）连接并延长，交延长线于点， ，．是的中点，． ，．，． 点是的中点，又点是的中点，是的中位线， ，．． ，，．，． ∵，，∴。 模型3.中点四边形模型 例1（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点，连接，．则下列说法：①与互相平分；②若，则四边形为矩形；③若，则四边形为菱形．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【详解】解：∵点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点， ∴，， ， ∴四边形是平行四边形，∴与互相平分；故①符合题意； 若，则， ∴平行四边形是矩形，故②符合题意； 若，则， ∴平行四边形是菱形，故③符合题意；故选：C． 例2（24-25九年级下·北京东城·阶段练习）如图，顺次连接四边形各边的中点得到四边形，再顺次连接四边形的各边中点得到四边形，下列说法错误的是（   ） A．四边形一定是平行四边形 B．四边形的周长一定是四边形周长的2倍 C．四边形的面积一定是四边形面积的4倍 D．只要四边形的对角线相等，则四边形一定是矩形 【答案】B 【详解】解：连接，∵顺次连接四边形各边的中点得到四边形， ∴，∴， ∴四边形是平行四边形，故A正确，不符合题意；记交于点，连接， ∵为中点，∴，∴，∴， 同理， ∴，同理， ∴四边形的面积一定是四边形面积的4倍，故C正确，不符合题意； 如图：连接，同理可得：，∴当时，， ∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形，∴， 同理可得：，，∴，同理可得四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形，故D正确，不符合题意，B选项条件不足，不能证明，故B错误，符合题意， 故选：B． 例3（24-25八年级下·北京·期中）如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点为平面内一个动点，线段，，，的中点分别为M，N，P，Q，在点的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形是平行四边形；②存在无数个中点四边形是菱形； ③存在无数个中点四边形是矩形；④存在无数个中点四边形是正方形． 其中，所有正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【详解】①与不平行时，中点四边形是平行四边形，故存在无数个中点四边形是平行四边形，所以①正确；②与相等且不平行时，中点四边形是菱形，故存在无数个中点四边形是菱形，所以②正确；③与互相垂直（B，D不重合）时，中点四边形是矩形，故存在无数个中点四边形是矩形，所以③正确；④如图所示，当与相等且互相垂直时，中点四边形是正方形，故存在两个中点四边形是正方形，所以④错误．故选A． 例4（24-25下·江苏·八年级校考期中）四边形ABCD，点M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、AD的中点．(1)如图1，顺次连结M、N、P、Q得到四边形ANPQ，试猜想四边形MNPQ的形状并证明； (2)如图2，若∠B＝∠C，AB＝CD，顺次连结M、N、P、Q得到四边形MNPQ，试猜想四边形MNPQ的形状并证明；(3)如图3，若∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，AB＝3，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是______． 【答案】(1)四边形MNPQ为平行四边形，理由见解析(2)四边形MNPQ为菱形，理由见解析(3)≤m≤ 【详解】（1）解：四边形MNPQ为平行四边形，连结BD ∵点M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、AD的中点. ∴MQBD，MQ＝BD，PNBD，PN＝BD ∴MQPN，MQ＝PN∴四边形MNPQ为平行四边形． （2）四边形MNPQ为菱形，连结BD、AC∵点M、N分别是边AB、BC的中点. ∴MN＝AC 在△ABC与△DCB中，∴△ABC≌△DCB（SAS）∴AC＝BD ∵点M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、AD的中点. ∴MQBD，MQ＝BD，PNBD，PN＝BD ∴MQMN ，MQ＝PN ∵四边形MNPQ为平行四边形   ∴平行四边形MNPQ是菱形． （3）解：如图，连结BD，取BD的中点P，连接QP、CP， 在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，∴BD＝10， ∵点P是BD的中点，∴CP＝BP＝CP＝BD＝5， ∵点Q是AD的中点，点P是BD的中点，∴PQ是△ABD的中位线， ∴PQ＝AB＝， 在△CPQ中，CP﹣PQ＜CQ＜CP+PQ， ∴＜m＜， ∵点C、点Q是定点，点P是动点，∴当点C、P、Q三点共线，且点Q在线段CP上时，m取得最小值， 当点C、P、Q三点共线，且点Q在射线CP上时，m取得最大值，综上，m的取值范围为：≤m≤． 1．（2025·广东·校考二模）若顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是菱形，则四边形的两条对角线，一定是（    ） A．互相平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直 D．相等 【答案】D 【详解】解：∵E，F，G，H分别是边，，，的中点， ∴，，，，， ∴，，∴四边形是平行四边形， 当平行四边形是菱形时，∴， ∵，，∴，故选：D． 2．（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，为的中位线，连接，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵为的中位线，∴，，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，故选：C． 3．（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，在中，，，是边的中点，是边上一点，若平分的周长，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，延长至，使得，连接， ，,又，是等边三角形，， 是边的中点，是边上一点，平分的周长， ，，， ，，即，是的中位线，．故选C． 4．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在中，，点F为AC中点，是的中位线，若，则BF=（    ） A．6 B．4 C．3 D．5 【答案】A 【详解】解：∵DE是的中位线，∴AC=2DE=2×6=12， ∵在中，，点F为AC中点，∴BF=，故选择A． 5．（2025·山东·统校考二模）如图所示，为的中位线，点F在上，且，若，，则的长是（　　）    A．2 B． C． D．3 【答案】C 【详解】解：∵为的中位线，，∴，点D为的中点， ∵，，∴，∴，故选C． 6．（2025·海南·校联考模拟预测）如图，在平行四边形中，，，平分，平分，且，相交于点O，若点P为线段的中点，连接，则线段的长为（    ）    A． B．2 C． D．1 【答案】D 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，．∴，． ∵平分，平分，∴，， ∴，，∴，， ∴，∴， ∵，∴，即， ∴，∴， ∵点P是的中点，∴．故选D． 7．（2025·陕西榆林·校考三模）如图，在中，于点，且，、分别为、的中点，连接、，若，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：、分别为、的中点， 是的中位线，, ,，于点，, 在与中，,,,故选：． 8．（24-25下·河北保定·八年级统考期末）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．下列说法正确的个数为（    ） ①任意四边形的中点四边形是平行四边形;②平行四边形的中点四边形是菱形 ③矩形的中点四边形是菱形;④菱形的中点四边形是正方形;⑤正方形的中点四边形是正方形 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】任意四边形的中点四边形是平行四边形，①正确； 平行四边形的中点四边形仍然是平行四边形，②错误； 矩形的中点四边形是菱形，③正确；菱形的中点四边形是矩形，④错误； 正方形的中点四边形仍然是正方形，⑤正确．正确的个数是3个．故选：B． 9．（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，，为边上的中线，为边上的中线，若，则的长为（　　）    A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】解：∵，由勾股定理得，， ∵，为边上的中线， ∴，，∴， ∵为边上的中线，∴，∴由勾股定理得，，故选：C． 10．（2025·青海海东·三模）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（    ）   A．72 B．48 C．24 D．9 【答案】B 【详解】解：四边形是菱形，，，， ，，，，， ，，菱形的面积．故选：B． 11．（2025·浙江嘉兴·统考二模）在中，，点分别是的中点，点是上的一个动点，连结，作交于点，连结． 点从点向点运动的过程中，的最小值为 ．    【答案】/ 【详解】解：如图，作于，取中点，连接，，    ，，，，， 是中点，，，是中点，，， 是的中点，，，， ，， ，，的最小值是，故答案为： 12．（2025·浙江台州·校考一模）如图，中，平分，点E为中点，则的长为 ．    【答案】2 【详解】解：∵平分，∴D为的中点， ∵点E为中点，∴为的中位线，∴，故答案为：2． 13．（2025·北京·校考二模）如图，在矩形中，点M，N分别为的中点，若，则的长为 ．    【答案】10 【详解】解：如图所示，连接，∵点M，N分别为的中点，∴是的中位线， ∵，∴，∵四边形是矩形，∴，故答案为：10．    14．（24-25下·山东德州·八年级统考期中）如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，下列说法；①若，则四边形为矩形：②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数有 个    【答案】1 【详解】解：∵点 E、F、G、H分别是四边形边边、、、的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ①当时，则， 则四边形为菱形，①说法错误； ②当时，则， 则四边形为矩形，②说法错误； ③四边形一定是平行四边形，与不一定互相平分，③说法错误； ④当四边形是正方形时，与互相垂直且相等，④说法正确； 故答案为：1． 15．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图，，、分别是、的中点．(1)求证：；(2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)4 【详解】（1）证明：连接、， ∵，是的中点，∴， ∵是的中点，∴． （2）解：由（1）可知，， ∴，∴， ∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴． 16．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）【课本再现】如图，画，并画出斜边上的中线，量一量，看与有什么关系，相信你与你的同伴一定会发现：恰好是的一半、下面让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图，在中，，是斜边上的中线．求证：． 证明：延长至点，使，连结，． (1)【定理证明】请根据以上提示，结合图1，写出完整的证明过程． (2)【结论应用】如图2，在四边形中，，，，是的中点，连接，．求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：补全后的证明过程如下： 证明：延长至点，使，连接，， 是斜边上的中线，，又，四边形是平行四边形， 又，四边形是矩形，，． （2）解：如图，连接， ，，，，， 是的中点，， ， ，， ． 17．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）阅读下列材料，完成相应任务． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：要证明等于的一半．可以用“倍长法”将延长一倍，如图2，延长到E，使得．连接．可证四边形是矩形，由矩形的对角线相等得，这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到． (1)请你按材料中的分析写出证明过程；(2)上述证明方法中主要体现的数学思想是　　　； A．转化思想    B．类比思想    C．数形结合思想    D．从一般到特殊思想 (3)如图3，点C是线段上一点，，点E是线段上一点，分别连接，，点F，G分别是和的中点，连接．若，则　　　． 【答案】(1)见解析(2)A(3) 【详解】（1）证明：如解图①，延长到点，使得 连接，， 图① 是斜边上的中线，，又，四边形是平行四边形， 又 平行四边形是矩形， ， ，； （2）由上述证明方法中主要体现的数学思想是转化思想，故答案为：A （3）解：如解图②，连接并延长到点，使，连接，，连接并延长到点，使，连接，，延长交于点，连接， 则四边形，四边形，四边形都为矩形， 四边形，四边形均为矩形， 在 中，由勾股定理得： 点，分别是，的中点，四边形，四边形都是矩形， 点，分别是，的中点， 是的中位线， 的长为。 18．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）【三角形中位线定理】已知：在中，点D、E分别是边的中点．直接写出和的关系； 【应用】如图②，在四边形中，点E、F分别是边的中点，若，，，．求的度数； 【拓展】如图③，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F、G，．求证：．    【答案】[三角形中位线定理]见解析；[应用]；[拓展]见解析 【详解】解：[三角形中位线定理]，； 理由：点，分别是边，的中点， 是的中位线，，； [应用]连接，如图所示，    、分别是边、的中点，，，， ，，，，， ，； [拓展]证明：取的中点，连接、．  、分别是、的中点，是的中位线， 且，同理可得且． ，，，， ，，，，． 19．（24-25下·福建福州·八年级期中）已知：在矩形ABCD中，，． （1）如图1，E、F、G、H分别是AD，AB，BC，CD的中点、求证：四边形EFGH是菱形； （2）如图2，若菱形EFGH的三个顶点E、F、H分别在AD，AB，CD上，． ①连接BG，若，求AF的长； ②设，△GFB的面积为S，且S满足函数关系式．在自变量m的取值范围内，是否存在m，使菱形EPGH面积最大？若存在，请直接写出菱形EFGH面积最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①；②存在m=，菱形EFGH面积最大为 【详解】解：（1）连接，， 、、、分别是，，，的中点，，， 四边形是矩形，，，四边形是菱形； （2）①如图2，过点作延长线于，，，， 又，，， ，， 设，则，，， 即，解得，故； ②如图2，延长交延长线于， 由已知可得，四边形是矩形，由①知，同理可证， 菱形的面积矩形的面积的面积的面积的面积的面积， ，即，， ，，，，， ， 当取最大值时菱形面积最大， 当与重合时有最大值，即取到最大值， 此时， ，当时，菱形面积最大为． 20．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形” 【概念理解】（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，_________是“中方四边形”（填序号）． 【性质探究】（2）如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，线段和线段有什么关系，并证明你的结论． 【问题解决】（3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．求证：四边形是“中方四边形”． 【答案】（1）④；（2）；（3）见解析 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下： 因为正方形的对角线相等且互相垂直，故答案为：④； （2）解：；理由如下：如图1，∵四边形是“中方四边形”， ∴是正方形且E、F、G、H分别是的中点， ∴，，，， ∴，故答案为：，； （3）证明：如图2，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴，，， ∴，，∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形，∴， ∴，即， ∴，∴， ∴，∴平行四边形是菱形，∵，∴． 又∵∴，∴， 又∵，∴． ∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 6 模型1.直角三角形斜边中线模型 6 模型2.中位线模型 9 模型3.中点四边形模型 13 18 直角三角形斜边中线模型的核心定理最早可能隐含于毕达哥拉斯学派对直角三角形的研究中，但未明确提出“斜边中点模型”的完整概念‌。《周髀算经》记载了勾股定理特例，虽未直接描述斜边中线性质，但为模型构建奠定基础‌。直到20世纪教材体系化过程中，该定理被明确表述为：“直角三角形斜边中线等于斜边一半”。模型历经古希腊的演绎证明与中国实用几何传统结合，形成今日标准化教学模型。‌因直角三角形斜边中线模型常与中位线、三线合一结合使用，戏称其为“三兄弟模型”。 20世纪初，德国数学家克莱因在《初等几何学》中首次将“连接三角形两边中点的线段”定义为“中位线”（Median Line），并严格证明其性质：‌平行于第三边且长度为第三边的一半。中位线模型从古典几何的隐性规律发展为现代数学教育的高效工具，体现了数学抽象性与应用性的深度统一。 20世纪60年代，教育工作者将三角形中位线性质迁移至四边形场景，发现‌任意四边形的中点连线必形成平行四边形。这一规律被命名为“中点四边形稳定性定理”。 （2025广东·模拟预测）如图，四边形中，，，，以，为邻边作，连接，则线段长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 （2025·四川德阳·中考真题）如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（   ） A．4 B．5 C．8 D．10 1）直角三角形斜边中线模型（单中线模型） 条件：如图，若AD为斜边上的中线； 结论：（1）；（2），为等腰三角形；（3），． 证明：取AC的中点E，连接DE，∵AD是斜边BC的中线，∴BD=CD=， ∵E是AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB，∴∠DEC=∠BAC=90°，∴DE垂直平分AC， ∴AD=CD，∴；∴，为等腰三角形； ∵AD=CD，∴，∵，∴，同理：． 2）直角三角形斜边中线模型（双中线模型） 条件：如图，在由两个直角三角形组成的图中，M为BC边的中点，（直角在BC的同侧和异侧两类） 结论：（1）；（2）． 证明：∵，M为BC边的中点，∴，，∴ ∴，∵，∴，同理： ∴，∴．（同侧和异侧证明一致） 3）三角形的中位线模型： 条件：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E， 结论：（1）DE//BC且，（2）△ADE∽△ABC。 证明：如图1，过点C作交延长于点F，∴， ∵是的中位线，∴，∴，∴， ∴，又∵，∴四边形是平行四边形， ∴，，∴，； ∵，∴，，∴△ADE∽△ABC。 图1 图2 4）梯形的中位线模型： 条件：如图2，在梯形中，，、分别是两腰、的中点， 结论：（1），； （2）梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高。 证明：连接并延长，交延长线于点，，． 是的中点，．，． ，．点是的中点，又点是的中点， 是的中位线，，．． ，，．，． ∵梯形的面积=，∴梯形的面积==中位线的长×高。（为梯形的高） 5）顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形． 条件：如图1，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，结论：四边形MNPQ为平行四边形。 证明：∵点M、N是AC、AB的中点，∴，， 同理：，，∴MN=PQ，，∴四边形是平行四边形， 图1 图2 6）顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形） 条件：如图2，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC⊥DB，结论：四边形MNPQ为矩形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC⊥DB，∴MN⊥MQ，∴四边形MNPQ为矩形。 7）顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形） 条件：如图3，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，结论：四边形MNPQ为菱形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴， ∵AC=DB，∴MN=MQ，∴四边形MNPQ为菱形。 图3 图4 8）顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形． 条件：如图4，已知点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，AC=DB，AC⊥DB， 结论：四边形MNPQ为正方形。 证明：由结论1知：四边形是平行四边形， ∵点M、N、P、Q是四边形ABCD各边中点，∴，，， ∵AC=DB，AC⊥DB，∴MN=MQ，MN⊥MQ，，∴四边形MNPQ为正方形。 模型1.直角三角形斜边中线模型 例1（24-25八年级下·福建宁德·期中）如图，在中，，为上一点，连接．已知，为的中线且，，则的长是（   ） A． B． C． D． 例2（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点E为的中点，在中，，连接，，；若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例3（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在中，是中位线，点在上，，若，，则的长为 ． 例4（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，且分别是上的高，分别是的中点，若，则的长为（　　）    A．10 B．12 C．13 D．14 例5（2025·江苏镇江·校考一模）如图，已知， M、N分别是中点，若，则    例6（25-26上·山东·九年级专题练习）如图，，矩形在的内部，顶点，分别在射线，上，，，则点到点的最大距离是（　　） A． B． C． D． 模型2.中位线模型 例1（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点．若，的周长是，则的长度是（    ） A． B． C． D． 例2（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，是中点，延长到，使，交于点，若，则的长度为 ． 例3（2025·甘肃兰州·二模）如图，在矩形中，E，F分别是边上的点，且，连接，M，N分别是的中点，连接，若，则的长为 例4（2023·广西·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为 ．    例5（2024·青海西宁·二模）在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路． （1）【知识回顾】在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决，请写出已知，求证，并证明三角形中位线定理． （2）【数学发现】如图②，在梯形中，，是腰的中点，请你沿着将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形． 如图③，在梯形中，，、分别是两腰、的中点，我们把叫做梯形的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想和、有怎样的位置和数量关系？ 【证明猜想】（3）证明（2）的结论，并在“，”的条件下，求的长． 模型3.中点四边形模型 例1（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点，连接，．则下列说法：①与互相平分；②若，则四边形为矩形；③若，则四边形为菱形．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 例2（24-25九年级下·北京东城·阶段练习）如图，顺次连接四边形各边的中点得到四边形，再顺次连接四边形的各边中点得到四边形，下列说法错误的是（   ） A．四边形一定是平行四边形 B．四边形的周长一定是四边形周长的2倍 C．四边形的面积一定是四边形面积的4倍 D．只要四边形的对角线相等，则四边形一定是矩形 例3（24-25八年级下·北京·期中）如图，点A，B，C为平面内不在同一直线上的三点．点为平面内一个动点，线段，，，的中点分别为M，N，P，Q，在点的运动过程中，有下列结论：①存在无数个中点四边形是平行四边形；②存在无数个中点四边形是菱形； ③存在无数个中点四边形是矩形；④存在无数个中点四边形是正方形． 其中，所有正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 例4（24-25下·江苏·八年级校考期中）四边形ABCD，点M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、AD的中点．(1)如图1，顺次连结M、N、P、Q得到四边形ANPQ，试猜想四边形MNPQ的形状并证明； (2)如图2，若∠B＝∠C，AB＝CD，顺次连结M、N、P、Q得到四边形MNPQ，试猜想四边形MNPQ的形状并证明；(3)如图3，若∠BCD＝90°，BC＝8，CD＝6，AB＝3，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是______． 1．（2025·广东·校考二模）若顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是菱形，则四边形的两条对角线，一定是（    ） A．互相平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直 D．相等 2．（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，为的中位线，连接，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 3．（2022·贵州安顺·统考中考真题）如图，在中，，，是边的中点，是边上一点，若平分的周长，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在中，，点F为AC中点，是的中位线，若，则BF=（    ） A．6 B．4 C．3 D．5 5．（2025·山东·统校考二模）如图所示，为的中位线，点F在上，且，若，，则的长是（　　）    A．2 B． C． D．3 6．（2025·海南·校联考模拟预测）如图，在平行四边形中，，，平分，平分，且，相交于点O，若点P为线段的中点，连接，则线段的长为（    ）    A． B．2 C． D．1 7．（2025·陕西榆林·校考三模）如图，在中，于点，且，、分别为、的中点，连接、，若，则的长为（　　）    A． B． C． D． 8．（24-25下·河北保定·八年级统考期末）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．下列说法正确的个数为（    ） ①任意四边形的中点四边形是平行四边形;②平行四边形的中点四边形是菱形 ③矩形的中点四边形是菱形;④菱形的中点四边形是正方形;⑤正方形的中点四边形是正方形 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，，为边上的中线，为边上的中线，若，则的长为（　　）    A． B． C． D．3 10．（2025·青海海东·三模）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（    ）   A．72 B．48 C．24 D．9 11．（2025·浙江嘉兴·统考二模）在中，，点分别是的中点，点是上的一个动点，连结，作交于点，连结． 点从点向点运动的过程中，的最小值为 ．    12．（2025·浙江台州·校考一模）如图，中，平分，点E为中点，则的长为 ．    13．（2025·北京·校考二模）如图，在矩形中，点M，N分别为的中点，若，则的长为 ．    14．（24-25下·山东德州·八年级统考期中）如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，下列说法；①若，则四边形为矩形：②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数有 个    15．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图，，、分别是、的中点．(1)求证：；(2)若，，求的长． 16．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）【课本再现】如图，画，并画出斜边上的中线，量一量，看与有什么关系，相信你与你的同伴一定会发现：恰好是的一半、下面让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图，在中，，是斜边上的中线．求证：． 证明：延长至点，使，连结，． (1)【定理证明】请根据以上提示，结合图1，写出完整的证明过程． (2)【结论应用】如图2，在四边形中，，，，是的中点，连接，．求的度数． 17．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）阅读下列材料，完成相应任务． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图1，中，，是斜边上的中线．求证：． 分析：要证明等于的一半．可以用“倍长法”将延长一倍，如图2，延长到E，使得．连接．可证四边形是矩形，由矩形的对角线相等得，这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到． (1)请你按材料中的分析写出证明过程；(2)上述证明方法中主要体现的数学思想是　　　； A．转化思想    B．类比思想    C．数形结合思想    D．从一般到特殊思想 (3)如图3，点C是线段上一点，，点E是线段上一点，分别连接，，点F，G分别是和的中点，连接．若，则　　　． 18．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）【三角形中位线定理】已知：在中，点D、E分别是边的中点．直接写出和的关系； 【应用】如图②，在四边形中，点E、F分别是边的中点，若，，，．求的度数； 【拓展】如图③，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为的中点，分别交于点F、G，．求证：．    19．（24-25下·福建福州·八年级期中）已知：在矩形ABCD中，，． （1）如图1，E、F、G、H分别是AD，AB，BC，CD的中点、求证：四边形EFGH是菱形； （2）如图2，若菱形EFGH的三个顶点E、F、H分别在AD，AB，CD上，． ①连接BG，若，求AF的长； ②设，△GFB的面积为S，且S满足函数关系式．在自变量m的取值范围内，是否存在m，使菱形EPGH面积最大？若存在，请直接写出菱形EFGH面积最大值，若不存在，请说明理由． 20．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形” 【概念理解】（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，_________是“中方四边形”（填序号）． 【性质探究】（2）如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，线段和线段有什么关系，并证明你的结论． 【问题解决】（3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．求证：四边形是“中方四边形”． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $