6.3.5平面向量数量积的坐标表示归纳检测学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.5平面向量数量积的坐标表示归纳检测学案（学生版） 【1】教材知识提炼 已知非零向量，，与的夹角为. 几何表示 坐标表示 数量积 ________ 模 ________ ________ 夹角 ________ ____________ 的充要条件 ____________ 与的关系 【2】基于教材的训练题目 一、单选题 1．已知，，则（   ） A．5 B．6 C．12 D．16 2．已知向量，若向量在方向上的投影的数量为，则（   ） A． B． C．1 D．2 3．已知向量，若，则（   ） A． B．2 C． D．6 4．已知且，则在方向上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知平面向量，，则“与的夹角为钝角”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知向量，满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．(多选)已知，且，求向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 10．已知向量，，，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．在上的投影向量为 D．的最小值为 11．已知向量，则下列结论中正确的是（   ） A．与可以作为所在平面的一组基底 B． C． D． 三、填空题 12．已知平面向量，，若方向相反，则_____. 13．已知平面向量在向量上的投影向量为，则______. 14．已知非零向量、满足，，则向量与向量夹角的余弦值为______. 四、解答题 15．已知向量与同向，，． (1)求向量的坐标； (2)若，求． 16．已知． (1)求与夹角的余弦值； (2)若，求实数的值． 17．已知平面直角坐标系中，，，． (1)若A，B，P三点共线，求实数t的值． (2)若，求实数t的值． (3)若是锐角，求实数t的取值范围． 18．设，，又，，若与夹角为，求实数m的值． 19．已知向量，． (1)若，试求锐角的值； (2)若，且，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.5平面向量数量积的坐标表示归纳检测学案（详解版） 【1】教材知识提炼 已知非零向量，，与的夹角为. 几何表示 坐标表示 数量积 ________ 模 ________ ________ 夹角 ________ ____________ 的充要条件 ____________ 与的关系 【答案】 【2】基于教材的训练题目 一、单选题 1．已知，，则（   ） A．5 B．6 C．12 D．16 【答案】D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】根据向量的加减以及数量积的坐标表示求解，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以. 故选：D. 2．已知向量，若向量在方向上的投影的数量为，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【知识点】平面向量数量积的几何意义、向量模的坐标表示 【分析】首先求出，再由向量在方向上的投影的数量为计算可得. 【详解】由向量，可得， 因为向量在方向上的投影的数量为， 由题意可得，解得. 故选：B 3．已知向量，若，则（   ） A． B．2 C． D．6 【答案】C 【知识点】向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数 【详解】因为，所以， 得. 4．已知且，则在方向上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知向量垂直求参数、求投影向量 【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求参数，再应用投影向量的定义求解. 【详解】由，则，可得，故， 所以在方向上的投影向量的坐标是. 故选：B 5．已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量垂直的坐标表示、已知向量垂直求参数 【分析】由，可得，求出的值，从而可求出的坐标. 【详解】因为向量，且， 所以，解得， 所以， 所以. 故选：B. 6．已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、数量积的运算律、数量积的坐标表示、利用数量积求参数 【分析】利用向量数量积的运算律可得，再利用充分条件、必要条件判断即得. 【详解】向量，则 ，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7．已知平面向量，，则“与的夹角为钝角”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、利用数量积求参数 【分析】若与的夹角为钝角，则且与不共线，结合向量的坐标运算求得的取值范围，再根据范围之间的关系即可判断. 【详解】“且”，即“且”，是“”的充分不必要条件， 故选:A． 8．已知向量，满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的坐标表示、向量夹角的计算、向量夹角的坐标表示 【分析】利用向量坐标运算求出，再利用向量数量积公式求向量的夹角. 【详解】因为， 所以，解得， 所以， 所以，又， 所以向量与的夹角为， 故选：B 二、多选题 9．(多选)已知，且，求向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】向量垂直的坐标表示 【分析】设，由题可得，解方程即可求解. 【详解】设，则或. 或． 故选：AD 10．已知向量，，，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．在上的投影向量为 D．的最小值为 【答案】BC 【知识点】向量垂直的坐标表示、求投影向量、由坐标判断向量是否共线、坐标计算向量的模 【分析】A选项，根据向量垂直得到方程，求出；B选项，根据得到B正确；C选项，由投影向量的公式得到C正确；D选项，举出反例得到D错误. 【详解】A选项，，若， 则，解得，A错误； B选项，，则，故， 所以，B正确； C选项，， 在上的投影向量为，C正确； D选项，， 故，当时，，D错误. 故选；BC 11．已知向量，则下列结论中正确的是（   ） A．与可以作为所在平面的一组基底 B． C． D． 【答案】AC 【知识点】向量夹角的计算、向量垂直的坐标表示、基底的概念及辨析、坐标计算向量的模 【分析】A选项，判断出与不平行，所以与可以作为所在平面的一组基底，A正确；B选项，，由模长公式进行求解；C选项，计算出，；D选项，由夹角余弦公式进行求解. 【详解】A选项，，， 故与不平行，所以与可以作为所在平面的一组基底，A正确； B选项，，故，B错误； C选项，， 所以，故，C正确； D选项，，D错误. 故选：AC 三、填空题 12．已知平面向量，，若方向相反，则_____. 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模 【分析】借助平面向量共线定理可得的值，再借助模长公式计算即可得解. 【详解】由方向相反，故存在，使， 即，解得或（舍去）， 故，则， 故答案为：. 13．已知平面向量在向量上的投影向量为，则______. 【答案】 【知识点】坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】根据投影向量的定义可令，即可表示出平面向量在向量上的投影向量，从而得到，解得即可. 【详解】因为平面向量在向量上的投影向量为， 又平面向量在向量上的投影向量为， 所以令， 所以，，所以， 则，解得， 所以，则. 故答案为：. 14．已知非零向量、满足，，则向量与向量夹角的余弦值为______. 【答案】 【知识点】向量夹角的计算、垂直关系的向量表示、数量积的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】设的坐标，根据数量积的定义及向量的坐标运算法则，可求得向量与向量夹角的余弦值.或直接由数量积的定义及运算法则求解. 【详解】因为，所以可设，，则，. 因为，所以，即. 则. 即向量与向量夹角的余弦值为. 方法二： 因为，所以，即. . 即向量与向量夹角的余弦值为. 四、解答题 15．已知向量与同向，，． (1)求向量的坐标； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示 【分析】（1）利用两个向量平行的坐标运算求解； （2）利用向量的数量积的坐标运算求解. 【详解】（1）与同向，且， ∴可设，且． 又由，可得， 解得， ． （2）， 由（1）知， ． 16．已知． (1)求与夹角的余弦值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示、垂直关系的向量表示 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示及向量夹角的坐标表示求解. （2）利用垂直关系的向量表示及向量数量积的运算律列式求解. 【详解】（1）由，得， 设与的夹角为，则， 所以与夹角的余弦值为. （2）由，得， 即，而， 则，所以． 17．已知平面直角坐标系中，，，． (1)若A，B，P三点共线，求实数t的值． (2)若，求实数t的值． (3)若是锐角，求实数t的取值范围． 【答案】(1)-2 (2) (3)，且． 【知识点】数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）由A，B，P三点共线得到，利用向量平行的坐标公式求解； （2）利用向量垂直的坐标公式求解； （3）由是锐角得到且，不共线，由利用向量的数量积求解，由，不共线利用向量共线的坐标公式求解. 【详解】（1），B，P三点共线，． ，，，． （2），，． （3）若是锐角，则，且，不共线． ，，， 且，解得，且． 18．设，，又，，若与夹角为，求实数m的值． 【答案】． 【知识点】数量积的坐标表示、向量夹角的坐标表示、向量模的坐标表示 【分析】先依次计算、、，再由向量夹角余弦公式即可计算求解m. 【详解】，， ， ， ， 又，， ， 化简得，解得或． 又，即， 所以． 19．已知向量，． (1)若，试求锐角的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2)． 【知识点】向量垂直的坐标表示、三角恒等变换的化简问题、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）因为，所以化简即可求解； （2）因为，所以，即，化简可得，利用同角的三角函数关系求得,再利用两角差的余弦公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以，所以， 即，解得或（舍去）， 又是锐角，故． （2）因为，所以，即，，即． 因为，所以， 从而． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $