学易金卷：高二数学下学期第一次月考02（江苏专用，范围：苏教版选择性必修第二册第6～7章）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D D C D B D C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD ACD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．【答案】 13．【答案】18 14．【答案】②③④ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）由，即，则；（3分） （2）由，则， 而，则在上的投影向量；（7分） （3）由，则 ，所以.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）若三科竞赛均有2人报名参加，则报名方法有种.（4分） （2）若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，则报名方法有种.（8分） （3）由题可得报名人数的分配方案可以是，，或，，或，，. 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种. 所以三科竞赛均有人报名参加，报名方法共有种.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）令，得①.（3分） （2）令，得②， 由①②，得， 所以.（7分） （3）因为， 的展开式通项为， 所以， 当为奇数时，；当为偶数时，. 所以.（11分） （4）， 两边分别求导，得， 令，得.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）因为四边形是正方形，所以， 又因为，所以四边形是正方形， 所以，所以，所以四点共面.（4分） （2）（i）因为，平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 因为，所以平面，同理可得，平面， 因为平面，平面，所以，， 所以和都是直角三角形，所以的中点就是球心，（6分） 如图所示，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，则， 设平面的一个法向量，所以，令，所以， 所以，所以点到平面的距离为.（10分） （ii）当三点共线时，球面上点到点的距离最小， 因为，所以球的半径，分别取中点， 则，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 由（i）知平面的一个法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为 .（17分） 19．（17分） 【详解】（1）若截面平面，且面面，面面， 则，因为，所以， 同理可得，则连接即可，如图，作出截面.（4分） （2）找的中点，连接，因为菱形的边长为2， 所以，则，同理可得，则是二面角的平面角， 因为二面角的余弦值为，所以，由题意得， 则由余弦定理得，解得（负根舍去）， 由折叠性质得，则，则，同理可得， 由三角形面积公式得，， ，， 则三棱锥的表面积为.（10分） （3）如图，作面，以为原点建立空间直角坐标系， 由题意得，，，，设， 则，，， 因为，所以，解得，此时， 由题意得，由两点间距离公式得， 因为，所以， 联立方程组，解得， 得到，则，， 由题意得面的法向量为，设面的法向量为， 则，令，解得，， 可得，设二面角为， 得到，而，则， 由同角三角函数的基本关系得，解得， 故，即二面角的正切值为.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版选择性必修第二册第6~7章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．平面及其法向量，直线、及其方向向量、，下面推理错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．已知均为正整数，则下列各式中运算结果不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量共面 4.对于的展开式，下列说法正确的是（    ） A．的展开式中共有6项. B．展开式中的第四项与的展开式中的第四项不同. C．的展开式中奇数项与偶数项的系数相等. D．的展开式中系数为有理数的项共有四项. 5．甲、乙、丙、丁、戊、己6人一起报名校运会的跑步项目，跑步项目共有100m短跑、400m短跑和1000m长跑这3项，每人仅报一个项目，每个项目至少有一人报名，则不同的报名方法有（   ） A．450 B．540 C．630 D．900 6．空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究．现给出一个同余问题：如果和除以所得的余数相同，那么称和对模同余，记为（mod）．若，（mod），则值可以是（       ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 8．如图，画在纸面上的抛物线过焦点的弦长为9，则沿轴将纸面折成平面角为的二面角后，空间中线段的长度为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 11．以下说法正确的是（    ） A．若空间四点不共面，则与不共面 B．当三点不共线时，若，则四点共面 C．直线的方向向量为，平面的法向量为，当时， D．若平面的法向量分别为，则与夹角的正弦值为 12．2025年国庆假期，小张､小李､小王､小刘四人计划去南京旅游.现有玄武湖､明孝陵､牛首山､银杏湖四个景点可供选择，且每人只能去一个景点，则（    ） A．每个景点都有人去的情况共有24种 B．有景点没人去的情况共有256种 C．恰有1个景点没人去的情况共有144种 D．4人只选择“玄武湖”“明孝陵”两个景点的情况有14种 11．给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算： ①是与都垂直的向量；②三个向量构成右手系（如图1）；③． 如图2，在长方体中，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．长方体的体积 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是______. 13．在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成，，，四个区域，现有牡丹、芍药、月季三种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有______种. 14．如图，正方体的棱长为2，动点，在棱上且，动点，分别在棱上（均不与点重合）．给出以下四个结论： ①直线与直线所成角的范围是；②四面体体积的最大值为； ③当且为中点时，线段上一点到直线的距离的最小值为； ④当且分别为中点时，若空间中一个动点满足，则的最小值为5． 其中所有正确结论的序号为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 如下图所示，在平行六面体中，，，， (1)求与的数量积； (2)求在上的投影向量； (3)求的长. 16．（15分） 某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 17．（15分） 已知，求解： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（17分） 如图，四边形是边长为1的正方形，四边形是梯形，是上的点，且，平面平面. (1)证明：四点共面； (2)设，且点均在球的球面上. （i）求点到平面的距离； （ii）记为球面上到点距离最小的点，求直线与平面所成角的正弦值. 19．（17分） 如图所示，已知菱形的边长为2，，沿对角线翻折成三棱锥，使二面角的余弦值为. (1)设为棱上一点，且，用过点的平面去截三棱锥，与棱，交于，两点，且截面平面，请在图（2）画出截面（保留痕迹，不写作法）； (2)求三棱锥的表面积； (3)求二面角的正切值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C]D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) D' B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) E A M C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) D M D B (1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版选择性必修第二册第6~7章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．平面及其法向量，直线、及其方向向量、，下面推理错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．已知均为正整数，则下列各式中运算结果不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量共面 4.对于的展开式，下列说法正确的是（    ） A．的展开式中共有6项. B．展开式中的第四项与的展开式中的第四项不同. C．的展开式中奇数项与偶数项的系数相等. D．的展开式中系数为有理数的项共有四项. 5．甲、乙、丙、丁、戊、己6人一起报名校运会的跑步项目，跑步项目共有100m短跑、400m短跑和1000m长跑这3项，每人仅报一个项目，每个项目至少有一人报名，则不同的报名方法有（   ） A．450 B．540 C．630 D．900 6．空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究．现给出一个同余问题：如果和除以所得的余数相同，那么称和对模同余，记为（mod）．若，（mod），则值可以是（       ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 8．如图，画在纸面上的抛物线过焦点的弦长为9，则沿轴将纸面折成平面角为的二面角后，空间中线段的长度为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 11．以下说法正确的是（    ） A．若空间四点不共面，则与不共面 B．当三点不共线时，若，则四点共面 C．直线的方向向量为，平面的法向量为，当时， D．若平面的法向量分别为，则与夹角的正弦值为 12．2025年国庆假期，小张､小李､小王､小刘四人计划去南京旅游.现有玄武湖､明孝陵､牛首山､银杏湖四个景点可供选择，且每人只能去一个景点，则（    ） A．每个景点都有人去的情况共有24种 B．有景点没人去的情况共有256种 C．恰有1个景点没人去的情况共有144种 D．4人只选择“玄武湖”“明孝陵”两个景点的情况有14种 11．给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算： ①是与都垂直的向量；②三个向量构成右手系（如图1）；③． 如图2，在长方体中，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．长方体的体积 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是______. 13．在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成，，，四个区域，现有牡丹、芍药、月季三种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有______种. 14．如图，正方体的棱长为2，动点，在棱上且，动点，分别在棱上（均不与点重合）．给出以下四个结论： ①直线与直线所成角的范围是；②四面体体积的最大值为； ③当且为中点时，线段上一点到直线的距离的最小值为； ④当且分别为中点时，若空间中一个动点满足，则的最小值为5． 其中所有正确结论的序号为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 如下图所示，在平行六面体中，，，， (1)求与的数量积； (2)求在上的投影向量； (3)求的长. 16．（15分） 某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 17．（15分） 已知，求解： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（17分） 如图，四边形是边长为1的正方形，四边形是梯形，是上的点，且，平面平面. (1)证明：四点共面； (2)设，且点均在球的球面上. （i）求点到平面的距离； （ii）记为球面上到点距离最小的点，求直线与平面所成角的正弦值. 19．（17分） 如图所示，已知菱形的边长为2，，沿对角线翻折成三棱锥，使二面角的余弦值为. (1)设为棱上一点，且，用过点的平面去截三棱锥，与棱，交于，两点，且截面平面，请在图（2）画出截面（保留痕迹，不写作法）； (2)求三棱锥的表面积； (3)求二面角的正切值. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版选择性必修第二册第6~7章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．平面及其法向量，直线、及其方向向量、，下面推理错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D \【详解】选项A：，又，故，则A选项正确； 选项B：，又，故，则B选项正确； 选项C：，又，故，则C选项正确； 选项D：、时，直线与可能为平行、相交或异面关系， 因此它们的方向向量与不一定平行，故D选项错误. 故选：D 2．已知均为正整数，则下列各式中运算结果不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A： ，，两边相等，A正确. 选项B：，两边相等，B正确. 选项C：这是组合数的杨辉恒等式，直接成立， C正确. 选项D：，取， 左边，右边左右两边显然不相等，等式不成立，D错误.故选： 3．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量共面 【答案】C 【详解】对A：，所以，故A错； 对B：因为，所以不成立，故B错误； 对C：因为，即向量在向量上的投影向量为，故C正确； 对D：令，，即，显然无解， 所以向量与向量不共面，故D错误.故选：C 4.对于的展开式，下列说法正确的是（    ） A．的展开式中共有6项. B．展开式中的第四项与的展开式中的第四项不同. C．的展开式中奇数项与偶数项的系数相等. D．的展开式中系数为有理数的项共有四项. 【答案】D 【详解】由，可知展开式共7项，故A错误； 展开式中的第四项为，的展开式中的第四项为，相同，故B错误； 因为展开式的通项公式为，所以第一项的系数为8，第二项的系数为，不相等，故C错误； 展开式的通项公式为，当系数为有理数时，，共四项，故D正确.故选：D 5．甲、乙、丙、丁、戊、己6人一起报名校运会的跑步项目，跑步项目共有100m短跑、400m短跑和1000m长跑这3项，每人仅报一个项目，每个项目至少有一人报名，则不同的报名方法有（   ） A．450 B．540 C．630 D．900 【答案】B 【详解】先将6人分成3组，即分为；或，共有种分组方法， 再把三组分配到3个不同项目，则有种不同的报名方法.故选：B 6．空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为平面的方程为，故其法向量为， 且直线的方程为，故其方向向量为， 设直线与平面所成角为，则， 可得，所以直线与平面所成角的余弦值为.故选：D. 7．《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究．现给出一个同余问题：如果和除以所得的余数相同，那么称和对模同余，记为（mod）．若，（mod），则值可以是（       ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】C 【详解】 因能被整除， 故除以余数为， 所以除以余数为， 因为，所以，，， 又（mod），所以值可以是. 故选：C. 8．如图，画在纸面上的抛物线过焦点的弦长为9，则沿轴将纸面折成平面角为的二面角后，空间中线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，设直线为，， 联立与可得，则，则， 故，解得， 故，解得，故， 如图，以O为坐标原点，所在直线为x轴，在平面内作的垂线为y轴，过点O作平面的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，    过作平面于，过作于，连接， 由于轴，且轴，，平面，故轴平面， 平面，故轴，则 由于在直角坐标系中，故， 因此在直角三角形中，， 因此在空间直角坐标系中，，故，故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 11．以下说法正确的是（    ） A．若空间四点不共面，则与不共面 B．当三点不共线时，若，则四点共面 C．直线的方向向量为，平面的法向量为，当时， D．若平面的法向量分别为，则与夹角的正弦值为 【答案】BCD 【详解】选项A：空间中任意两个向量均为共面向量，故A错误； 选项B：若，则共面，则四点共面； 选项C、当时，正确 选项D：设平面与的夹角为，则，故，故选：BCD 12．2025年国庆假期，小张､小李､小王､小刘四人计划去南京旅游.现有玄武湖､明孝陵､牛首山､银杏湖四个景点可供选择，且每人只能去一个景点，则（    ） A．每个景点都有人去的情况共有24种 B．有景点没人去的情况共有256种 C．恰有1个景点没人去的情况共有144种 D．4人只选择“玄武湖”“明孝陵”两个景点的情况有14种 【答案】ACD 【详解】对于A，每个景点都有人员选择去的情况数为，故A正确； 对于B，4人选择四个景点，每人只能去一个的总的情况数为， 结合A，则有景点没人去的情况数为，故B错误； 对于C，先将四个人分为3组，则有种情况， 故恰有1个景点没人去的情况数为，故C正确； 对于D，方法一：4人从“玄武湖”“明孝陵”两个景点中，每人选择1个景点，共种情况， 若4人均选择同一个景点，情况为2种，故4人只选择“玄武湖”“明孝陵”两个景点的情况数为； 方法二：将4人分为两组，若其中1组为1人，另一组为3人，则有种情况， 若平均分为两组，则有种情况， 故4人只选择“玄武湖”“明孝陵”两个景点的情况数为，故D正确.故选：ACD. 11．给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算： ①是与都垂直的向量；②三个向量构成右手系（如图1）；③． 如图2，在长方体中，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．长方体的体积 【答案】BCD 【详解】选项A：向量同时与向量垂直，且向量三个向量构成右手系， ，，所以，故A不正确， 选项B：由，， 所以，故B选项正确， 选项C：因为，且与同向共线， 又，且与同向共线， 又因为与同向共线，所以，故C选项正确， 选项D：长方体的体积为：， ，故，所以D选项正确，故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的系数是______. 【答案】 【详解】二项式 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大， 二项式系数最大值出现在中间项， 当 为偶数时，最大项为第 项，因此有 ，解得 ， 展开式的通项公式为： 令 ，解得 ，代入通项，得系数为： 因此，展开式中 的系数为 .故答案为： 13．在如图所示的圆环形花园种花，将圆环平均分成，，，四个区域，现有牡丹、芍药、月季三种花可供选择，要求每个区域只种一种花且相邻区域的花不同，则不同的种植方法有______种. 【答案】18 【详解】区域种同一种花，不同的种植方法有：； 区域种不同的花，不同的种植方法有：； 由分类加法计数原理可得，共有18种方法.故答案为：18 14．如图，正方体的棱长为2，动点，在棱上且，动点，分别在棱上（均不与点重合）．给出以下四个结论： ①直线与直线所成角的范围是；②四面体体积的最大值为； ③当且为中点时，线段上一点到直线的距离的最小值为； ④当且分别为中点时，若空间中一个动点满足，则的最小值为5． 其中所有正确结论的序号为___________． 【答案】②③④ 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间坐标系，如图所示：    则，， 设，则设， 对于①，因为所以， 所以与不可能垂直，所以直线与不可能垂直， 即直线与直线所成角的不可能为，故①错误； 对于②，因为三点在平面内，且四边形为矩形， 其中,，所以， 所以当点到平面的距离最大时，四面体体积的最大， 易知当点与点重合时，点到平面的距离最大，为， 此时，故②正确； 对于③，当且为中点时，则，，则， 设，则， 所以，又因为，所以与共线的单位向量， 所以点到直线的距离， 所以当时，取最小值，为，故③正确； 对于④，当且分别为中点时， 则，，所以， 设，则， ，所以， 又因为，由题意可得， 所以，所以的轨迹为一个平面，取中点连接，则， 所以，所以， 在所表示的平面中，取三个点， 则，设此平面的法向量为， 则，则有，取，则， 又因为，所以点到平面的距离， 设点关于此平面的射影点为，则， 又因为，所以①， 又因为的中点在平面内，所以②， 由①②可得，即， 所以当、、三点共线时，取最小值，为， 又因为， 所以此时， 即的最小值为5，故④正确.故答案为：②③④ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 如下图所示，在平行六面体中，，，， (1)求与的数量积； (2)求在上的投影向量； (3)求的长. 【详解】（1）由，即，则；（3分） （2）由，则， 而，则在上的投影向量；（7分） （3）由，则 ，所以.（13分） 16．（15分） 某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛. (1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？ (3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？ 【详解】（1）若三科竞赛均有2人报名参加，则报名方法有种.（4分） （2）若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，则报名方法有种.（8分） （3）由题可得报名人数的分配方案可以是，，或，，或，，. 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种； 若三科竞赛的报名人数为，，，则报名方法有种. 所以三科竞赛均有人报名参加，报名方法共有种.（15分） 17．（15分） 已知，求解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）令，得①.（3分） （2）令，得②， 由①②，得， 所以.（7分） （3）因为， 的展开式通项为， 所以， 当为奇数时，；当为偶数时，. 所以.（11分） （4）， 两边分别求导，得， 令，得.（15分） 18．（17分） 如图，四边形是边长为1的正方形，四边形是梯形，是上的点，且，平面平面. (1)证明：四点共面； (2)设，且点均在球的球面上. （i）求点到平面的距离； （ii）记为球面上到点距离最小的点，求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为四边形是正方形，所以， 又因为，所以四边形是正方形， 所以，所以，所以四点共面.（4分） （2）（i）因为，平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 因为，所以平面，同理可得，平面， 因为平面，平面，所以，， 所以和都是直角三角形，所以的中点就是球心，（6分） 如图所示，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，则， 设平面的一个法向量，所以，令，所以， 所以，所以点到平面的距离为.（10分） （ii）当三点共线时，球面上点到点的距离最小， 因为，所以球的半径，分别取中点， 则，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 由（i）知平面的一个法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为 .（17分） 19．（17分） 如图所示，已知菱形的边长为2，，沿对角线翻折成三棱锥，使二面角的余弦值为. (1)设为棱上一点，且，用过点的平面去截三棱锥，与棱，交于，两点，且截面平面，请在图（2）画出截面（保留痕迹，不写作法）； (2)求三棱锥的表面积； (3)求二面角的正切值. 【详解】（1）若截面平面，且面面，面面， 则，因为，所以， 同理可得，则连接即可，如图，作出截面.（4分） （2）找的中点，连接，因为菱形的边长为2， 所以，则，同理可得，则是二面角的平面角， 因为二面角的余弦值为，所以，由题意得， 则由余弦定理得，解得（负根舍去）， 由折叠性质得，则，则，同理可得， 由三角形面积公式得，， ，， 则三棱锥的表面积为.（10分） （3）如图，作面，以为原点建立空间直角坐标系， 由题意得，，，，设， 则，，， 因为，所以，解得，此时， 由题意得，由两点间距离公式得， 因为，所以， 联立方程组，解得， 得到，则，， 由题意得面的法向量为，设面的法向量为， 则，令，解得，， 可得，设二面角为， 得到，而，则， 由同角三角函数的基本关系得，解得， 故，即二面角的正切值为.（17分） / 学科网（北京）股份有限公司 $