学易金卷：高一数学下学期第一次月考02（江苏专用，范围：苏教版必修第二册第9～10章）

2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版必修第二册第9章~第10章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的充分条件 2．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 3．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具，在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．运动员小华以球杆击球，使冰球从点出发，沿运动至点，已知，，且，则冰球位移的大小是（    ）    A． B． C． D． 4．若单位平面向量夹角为，向量，向量，则下列命题为假命题的是（ ） A． B． C． D． 5．美国数学家Jack Kiefer于1953年提出0.618优选法，又称黄金分割法，是在优选时把尝试点放在黄金分割点上来寻找最优选择.我国著名数学家华罗庚于20世纪60、70年代对其进行简化、补充，并在我国进行推广，广泛应用于各个领域.黄金分割比，现给出三倍角公式，则与的关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 6．青花瓷是中国瓷器的主流品种之一，常简称青花.图1就是一个青花瓷圆盘，该圆盘可看作两个圆心重合的圆（如图2），若大圆半径，小圆半径，点A在大圆上，点B在小圆上，，动点C满足，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．（   ） A． B． C． D．1 8．下列有关函数的已知：，且，下列命题正确的个数是（    ） ①函数的周期为；②函数的一个对称中心为；③函数的单调递减区间为；④若函数在区间上是单调函数，且，则的值为2或 A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 10．关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．若，，对任意的非零实数和，则 B．若，，则向量，的夹角为钝角 C．若，，且和的夹角为，则 D．若点在同一平面内，且，则三点共线 11．（25-26高三上·山东·月考）已知向量，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．命题“”的否定是真命题 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则__________. 13．如图，在中，，，为上一点，且满足，则实数的值为___________；若，则的最小值为____________.（第一空2分，第二空3分） 14．已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知向量与的夹角，且． (1)若与垂直，求。 (2)求与的夹角的余弦值。 16．（15分） 设，已知是平面内两个不共线的向量，，且，，三点共线. (1)求的值： (2)若， ①求向量与的夹角的余弦值； ②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形.求点的坐标. 17．（15分） 已知函数. (1)当时，求函数的最小正周期及单调递减区间； (2)若，从①②中任选一个作答，若选择多个分别作答，则按第一个解答计分， ①O为坐标原点，，，求面积的取值范围；②A为函数图象与x轴的交点，点B，C分别为函数图象的最高点或最低点，求面积的最小值. 18．（17分） （新考法）某校数学兴趣小组，在学习三角函数的过程中发现一个规律： 据此规律提出猜想：，并证明如下：.同理可得，，由于这三个角三等分了圆周，类似于电风扇的三个叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“电风扇恒等式”．同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“电风扇”，这样的“电风扇恒等式”的结论能否得到推广呢？ 根据以上信息，回答下列问题： (1)解关于的方程：，其中； (2)猜想的值，并证明你的猜想： (3)证明：，其中. 19．（17分） 已知函数的最小正周期为．将函数横坐标先向左平移个单位，再将得到的函数横坐标变为原来的，得到函数． (1)求常数的值； (2)若，使得成立，求实数的取值范围； (3)求证：方程有且只有一个根，且． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C D C B B B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD ABD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．【答案】 13．【答案】 2（第一空2分，第二空3分） 14．【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）由已知，得， 由与垂直，则，则；（5分） （2）， 设与的夹角为，则， 与的夹角的余弦值为.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）由已知得， 因为三点共线，所以，即；（4分） （2）由已知得， ①；（9分） ②由平行四边形得，又， 所以解得，即.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）当时，， 所以函数的最小正周期为. （2分） 令，则.因为是增函数， 所以当，即时，单调递减. 所以函数的单调递减区间为；（6分） （2），其中. 由，知当时，取得最值， 所以，所以. 所以.所以，所以.所以. ①，且.所以. 直线的方程为：，所以点到直线的距离为. 所以面积为. 因为，所以.所以面积的取值范围为；（15分） ②由，，最大值为2，最小值为-2. 令，则.所以点A的坐标为. 不妨令，则.由的周期性和对称性，令是函数图象上点右侧相邻的最低点. 则如图或位置时，面积最小，最小值为.（15分）    18．（17分） 【详解】（1）令，则，得到， 因， 原方程可化为， 由题意得， 可得，即， 则，或， ① 当时，解得， 因，当时，；当时，. ② 当时，此时被消去，不合题意. 综上可得，方程的解为或. （5分） （2）猜想：， 先证明三倍角公式， 由题意得 ， 则得（*）， 证明：由诱导公式可得， 设，可得，则，可得， 将（*）代入可得， 整理得， 因为，所以， 可得，解得（负根舍去），即， 则， 故.（10分） （3）设， 则， 由积化和差公式变形可得： ， 则 ， 则， 因为，所以，此时， 故，即原命题得证.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）， 因为的最小正周期为，所以，解得；（4分） （2）将函数横坐标先向左平移个单位，可得， 再将得到的函数横坐标变为原来的，得到函数， 当时，，则， 当，，则， 因为，使得成立， 当时，符合题意； 当时，由题意可得， 则，解得，所以； 当时，由题意可得， 则，解得，所以； 综上所述，．（10分） （3）由题意设，其定义域为． ①当时，单调递增，且，， 故存在，使得； ②当时，由，所以， 而，所以在恒成立，即此时函数无零点. 综上，存在唯一的，使得，且． 由题意可知，，因， 要证成立，只需证（*）， 令，则， 则（*）为，即证：， 又因，显然成立，故（*）成立，也即得证.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________、_________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C[D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C]D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 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2．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 3．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具，在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．运动员小华以球杆击球，使冰球从点出发，沿运动至点，已知，，且，则冰球位移的大小是（    ）    A． B． C． D． 4．若单位平面向量夹角为，向量，向量，则下列命题为假命题的是（ ） A． B． C． D． 5．美国数学家Jack Kiefer于1953年提出0.618优选法，又称黄金分割法，是在优选时把尝试点放在黄金分割点上来寻找最优选择.我国著名数学家华罗庚于20世纪60、70年代对其进行简化、补充，并在我国进行推广，广泛应用于各个领域.黄金分割比，现给出三倍角公式，则与的关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 6．青花瓷是中国瓷器的主流品种之一，常简称青花.图1就是一个青花瓷圆盘，该圆盘可看作两个圆心重合的圆（如图2），若大圆半径，小圆半径，点A在大圆上，点B在小圆上，，动点C满足，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．（   ） A． B． C． D．1 8．下列有关函数的已知：，且，下列命题正确的个数是（    ） ①函数的周期为；②函数的一个对称中心为；③函数的单调递减区间为；④若函数在区间上是单调函数，且，则的值为2或 A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 10．关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．若，，对任意的非零实数和，则 B．若，，则向量，的夹角为钝角 C．若，，且和的夹角为，则 D．若点在同一平面内，且，则三点共线 11．（25-26高三上·山东·月考）已知向量，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．命题“”的否定是真命题 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则__________. 13．如图，在中，，，为上一点，且满足，则实数的值为___________；若，则的最小值为____________.（第一空2分，第二空3分） 14．已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知向量与的夹角，且． (1)若与垂直，求。 (2)求与的夹角的余弦值。 16．（15分） 设，已知是平面内两个不共线的向量，，且，，三点共线. (1)求的值： (2)若， ①求向量与的夹角的余弦值； ②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形.求点的坐标. 17．（15分） 已知函数. (1)当时，求函数的最小正周期及单调递减区间； (2)若，从①②中任选一个作答，若选择多个分别作答，则按第一个解答计分， ①O为坐标原点，，，求面积的取值范围；②A为函数图象与x轴的交点，点B，C分别为函数图象的最高点或最低点，求面积的最小值. 18．（17分） （新考法）某校数学兴趣小组，在学习三角函数的过程中发现一个规律： 据此规律提出猜想：，并证明如下：.同理可得，，由于这三个角三等分了圆周，类似于电风扇的三个叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“电风扇恒等式”．同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“电风扇”，这样的“电风扇恒等式”的结论能否得到推广呢？ 根据以上信息，回答下列问题： (1)解关于的方程：，其中； (2)猜想的值，并证明你的猜想： (3)证明：，其中. 19．（17分） 已知函数的最小正周期为．将函数横坐标先向左平移个单位，再将得到的函数横坐标变为原来的，得到函数． (1)求常数的值； (2)若，使得成立，求实数的取值范围； (3)求证：方程有且只有一个根，且． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版必修第二册第9章~第10章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】B 【详解】当时， ，解得或，即必要性不成立，故A错误； 当时，，故，所以，即充分性成立，故B正确； 当时，，解得，即必要性不成立，故C错误； 当时，不满足，所以不成立，即充分性不成立，故D错误. 故选：B. 2．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，，，， 由题可知，，所以.故选：C. 3．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具，在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．运动员小华以球杆击球，使冰球从点出发，沿运动至点，已知，，且，则冰球位移的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，即， 则，即，因为，所以， .故选：D 4．若单位平面向量夹角为，向量，向量，则下列命题为假命题的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知单位向量、的夹角为，因此且 A选项：，， ，，故，A为真命题； B选项：，B为真命题； C选项：假设，则存在使， 整理得：，由于与不共线（夹角为），则且， 此方程组无解，矛盾，故与不平行，C为假命题； D选项：所以，D为真命题.故选：C 5．美国数学家Jack Kiefer于1953年提出0.618优选法，又称黄金分割法，是在优选时把尝试点放在黄金分割点上来寻找最优选择.我国著名数学家华罗庚于20世纪60、70年代对其进行简化、补充，并在我国进行推广，广泛应用于各个领域.黄金分割比，现给出三倍角公式，则与的关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，又 所以，化简得， 可得， 解得（负值舍去），所以.故选：B. 6．青花瓷是中国瓷器的主流品种之一，常简称青花.图1就是一个青花瓷圆盘，该圆盘可看作两个圆心重合的圆（如图2），若大圆半径，小圆半径，点A在大圆上，点B在小圆上，，动点C满足，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，两边平方得， 又，，， 所以，令，则， 所以，所以， 所以，所以，解得， 所以的最大值为.故选：B. 7．（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】 . 故选：B. 8．下列有关函数的已知：，且，下列命题正确的个数是（    ） ①函数的周期为；②函数的一个对称中心为；③函数的单调递减区间为；④若函数在区间上是单调函数，且，则的值为2或 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由 ， 所以的周期为，所以函数的周期为，故①错误， ，所以函数的一个对称中心为，故②正确， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为，故③错误， ， 由在区间上是单调函数，所以, 又，所以为的一条对称轴，为的一个对称中心， 所以， 又，所以或，当时，， 当时，，所以的值为2或，故④正确，故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】因为，故A错误；因为，故B正确； 因为，故C正确； 因为 ，故D正确. 故选：BCD 10．关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．若，，对任意的非零实数和，则 B．若，，则向量，的夹角为钝角 C．若，，且和的夹角为，则 D．若点在同一平面内，且，则三点共线 【答案】ABD 【详解】对于A，因，则，故，即A正确； 对于B，由，且与不共线， 则向量，的夹角为钝角，故B正确； 对于C，因， 则，故C错误； 对于D，由，可得， ，即与共线，故三点共线，即D正确.故选：ABD. 11．（25-26高三上·山东·月考）已知向量，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．命题“”的否定是真命题 【答案】BCD 【详解】对于A，B：当时，，得， 则，又，故A错误，B正确； 对于C：当时，，故C正确； 对于D：假设，则有，则， 这显然不成立，所以假设不成立，所以命题“”是假命题， 从而命题“”的否定是真命题，故D正确.故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则__________. 【答案】 【详解】由题意可得，又，， 所以，所以，所以，又， 所以.故答案为：. 13．如图，在中，，，为上一点，且满足，则实数的值为___________；若，则的最小值为____________.（第一空2分，第二空3分） 【答案】 /0.5 2 【详解】设，则 ，所以，解得， ，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立.所以，的最小值为.故答案为：；. 14．已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】由题可得， 当时，，又，， 函数在上单调递增，在上单调递减，而的值域为， 所以，得，所以实数的取值范围为.故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知向量与的夹角，且． (1)若与垂直，求。 (2)求与的夹角的余弦值。 【详解】（1）由已知，得， 由与垂直，则，则；（5分） （2）， 设与的夹角为，则， 与的夹角的余弦值为.（13分） 16．（15分） 设，已知是平面内两个不共线的向量，，且，，三点共线. (1)求的值： (2)若， ①求向量与的夹角的余弦值； ②已知点的坐标为，若四边形为平行四边形.求点的坐标. 【详解】（1）由已知得， 因为三点共线，所以，即；（4分） （2）由已知得， ①；（9分） ②由平行四边形得，又， 所以解得，即.（15分） 17．（15分） 已知函数. (1)当时，求函数的最小正周期及单调递减区间； (2)若，从①②中任选一个作答，若选择多个分别作答，则按第一个解答计分， ①O为坐标原点，，，求面积的取值范围；②A为函数图象与x轴的交点，点B，C分别为函数图象的最高点或最低点，求面积的最小值. 【详解】（1）当时，， 所以函数的最小正周期为. （2分） 令，则.因为是增函数， 所以当，即时，单调递减. 所以函数的单调递减区间为；（6分） （2），其中. 由，知当时，取得最值， 所以，所以. 所以.所以，所以.所以. ①，且.所以. 直线的方程为：，所以点到直线的距离为. 所以面积为. 因为，所以.所以面积的取值范围为；（15分） ②由，，最大值为2，最小值为-2. 令，则.所以点A的坐标为. 不妨令，则.由的周期性和对称性，令是函数图象上点右侧相邻的最低点. 则如图或位置时，面积最小，最小值为.（15分）    18．（17分） （新考法）某校数学兴趣小组，在学习三角函数的过程中发现一个规律： 据此规律提出猜想：，并证明如下：.同理可得，，由于这三个角三等分了圆周，类似于电风扇的三个叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“电风扇恒等式”．同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“电风扇”，这样的“电风扇恒等式”的结论能否得到推广呢？ 根据以上信息，回答下列问题： (1)解关于的方程：，其中； (2)猜想的值，并证明你的猜想： (3)证明：，其中. 【详解】（1）令，则，得到， 因， 原方程可化为， 由题意得， 可得，即， 则，或， ① 当时，解得， 因，当时，；当时，. ② 当时，此时被消去，不合题意. 综上可得，方程的解为或. （5分） （2）猜想：， 先证明三倍角公式， 由题意得 ， 则得（*）， 证明：由诱导公式可得， 设，可得，则，可得， 将（*）代入可得， 整理得， 因为，所以， 可得，解得（负根舍去），即， 则， 故.（10分） （3）设， 则， 由积化和差公式变形可得： ， 则 ， 则， 因为，所以，此时， 故，即原命题得证.（17分） 19．（17分） 已知函数的最小正周期为．将函数横坐标先向左平移个单位，再将得到的函数横坐标变为原来的，得到函数． (1)求常数的值； (2)若，使得成立，求实数的取值范围； (3)求证：方程有且只有一个根，且． 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析. 【详解】（1）， 因为的最小正周期为，所以，解得；（4分） （2）将函数横坐标先向左平移个单位，可得， 再将得到的函数横坐标变为原来的，得到函数， 当时，，则， 当，，则， 因为，使得成立， 当时，符合题意； 当时，由题意可得， 则，解得，所以； 当时，由题意可得， 则，解得，所以； 综上所述，．（10分） （3）由题意设，其定义域为． ①当时，单调递增，且，， 故存在，使得； ②当时，由，所以， 而，所以在恒成立，即此时函数无零点. 综上，存在唯一的，使得，且． 由题意可知，，因， 要证成立，只需证（*）， 令，则， 则（*）为，即证：， 又因，显然成立，故（*）成立，也即得证.（17分） / 学科网（北京）股份有限公司 $