单元培优讲义：解决问题的策略-2025-2026学年苏教版数学六年级下册

解决问题的策略 知识梳理+例题讲解+培优练习 编者的话 同学们好！当我们面对复杂多样的数学问题时，除了掌握基础知识，更需要拥有一套灵活的“思维工具箱”。本讲义依据苏教版六年级下册数学教材编写，旨在帮助大家系统回顾和梳理小学阶段所学的核心解题策略。在这里，我们不会去攻克超纲的难题，而是专注于如何将未知的问题转化为已知的模型，如何通过画图让抽象的数量关系变得一目了然，以及如何运用假设与列举去突破思维的瓶颈。这些策略不仅是解决数学题的钥匙，更是培养逻辑思维和分析能力的重要途径。希望大家在学习中体会“条条大路通罗马”的解题乐趣，学会根据题目特点选择最合适的策略，从而提升解决问题的综合能力。 知识梳理 1. 策略的回顾与整理 （1）画图策略 ① 线段图：主要用于解决分数、百分数应用题或行程问题。通过画出表示数量的线段，能直观地看出部分与整体、数量之间的差倍或和倍关系。 ② 示意图：主要用于解决几何图形问题。当题目描述比较复杂时，画出示意图可以将抽象的文字转化为直观的图形，帮助我们找准解题的突破口。 （2）转化策略 ① 化繁为简：在解决一些复杂的计算或图形问题时，将其转化为简单的、熟悉的数学模型。例如，计算不规则图形面积时，通过割补、平移等方法将其转化为规则图形。 ② 化未知为已知：这是数学中非常核心的思想。例如，在解决分数应用题时，找准单位“1”，将求一个数的几分之几是多少转化为乘法计算。 （3）假设与替换策略 ① 假设法：当题目中有两个或两个以上的未知量，且关系复杂时，可以先假设全部是一种情况，再根据出现的矛盾进行调整。这是解决“鸡兔同笼”、“租船问题”等经典题型的利器。 ② 等量替换：利用题目中相等的数量关系，将一种量替换成另一种量，从而使复杂问题简单化。 （4）列举策略 ① 有序列举：在解决找规律、搭配问题或不定方程时，按照一定的顺序（如从小到大、从左到右）将所有可能的情况一一列举出来，做到不重复、不遗漏。 2. 策略的选择与应用 （1）分析问题特征 ① 看结构：如果题目涉及图形或空间，优先考虑画图；如果题目涉及多个未知数且存在倍数或和差关系，优先考虑假设或替换。 ② 看数据：如果数据较大且难以直接计算，考虑是否可以通过列举前几项来找规律。 （2）多策略综合 ① 组合运用：很多难题往往需要综合运用多种策略。例如，先画图分析数量关系，再运用假设法进行计算。 例题讲解 【典型例题1】 六年级同学参加植树活动，六（1）班植树60棵，六（2）班植树的棵数比六（1）班多 。六（2）班植树多少棵？ 解析： 本题考查分数应用题，核心是找准单位“1”和对应分率。 1.确定单位“1”：六（1）班植树的棵数是单位“1”，即60棵。 2.分析分率：六（2）班比六（1）班多 ，说明六（2）班是六（1）班的 。 3.列式计算：求一个数的几分之几是多少，用乘法。 （棵）。 答：六（2）班植树75棵。 【跟踪练习1】 商店运来一批水果，其中苹果有120千克，梨的质量比苹果少 。商店运来梨多少千克？ 【典型例题2】 一个长方形的周长是30厘米，长与宽的比是3:2。这个长方形的面积是多少平方厘米？ 解析： 本题涉及比和长方形的性质，可以运用“按比例分配”结合几何公式解决。 1.分析周长：长方形的周长 = （长 + 宽） 2，所以长 + 宽 = 30 2 = 15（厘米）。 2.按比例分配：长与宽的比是3:2，总份数是3 + 2 = 5份。 长占3份： （厘米）。 宽占2份： （厘米）。 3.计算面积：长 宽 = （平方厘米）。 答：这个长方形的面积是54平方厘米。 【跟踪练习2】 用48米长的篱笆围成一个长与宽的比是2:1的长方形菜地（篱笆刚好用完，且不靠墙）。这块菜地的面积是多少平方米？ 【典型例题3】 笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有10个头，从下面数，有28只脚。鸡和兔各有多少只？ 解析： 这是经典的“鸡兔同笼”问题，适合运用“假设法”。 1.假设全是鸡：每只鸡有2只脚，10只鸡共有脚： （只）。 2.比较差异：实际有28只脚，比假设多了： （只）脚。 3.调整：因为每只兔比鸡多2只脚（ ），所以多出的8只脚是由于把兔算成了鸡。兔的只数为： （只）。 4.求鸡：鸡的只数为： （只）。 答：鸡有6只，兔有4只。 【跟踪练习3】 某次数学竞赛共有10道题，答对一题得10分，答错一题扣5分。小明全部做完了，得了70分。他答对了几道题？ 培优练习 一、选择题 1．奇思有面值1.2元和2.7元的邮票共30张，这些邮票的总面值是66元，面值1.2元和面值2.7元的邮票分别有多少张？在用列表法解决这道题的过程中，下面发现错误的是（    ）。 A．每增加一张面值2.7元邮票，减少一张面值1.2元邮票，总面值增加1.5元 B．每减少一张面值2.7元邮票，增加一张面值1.2元邮票，总面值减少1.5元 C．在列表过程中，发现总面值多了，就要减少1.2元面值的邮票 D．奇思有10张面值1.2元的邮票，20张面值2.7元的邮票 2．我国乒乓球发展历经百年。在某乒乓球训练场里，有20张训练桌，一共有62人在进行训练，全部参加单打训练或双打训练，没有一个闲着的人，也没有空桌，一共有（    ）张球桌在进行双打训练。 A．8 B．9 C．11 D．12 3．车辆模型。车辆模型拓展课，组装双轮车和四轮车共20辆，用了70个轮子。四轮车有几辆？下面是鹏鹏和田田解决这个问题的过程。 鹏鹏的解决过程： 双轮车数量 10 9 8 7 6 5 四轮车数量 10 11 12 13 14 15 轮子总数 60 62 64 66 68 70 田田的解决过程： 下面说法中，你不同意的是（    ）。 A．鹏鹏没有列举出所有情况，但也能找到规律解决问题。 B．尽管鹏鹏和田田解决问题的方式不同，但都对轮子的数量进行了比较。 C．根据田田的解决过程可以知道减少10个轮子，就增加5辆四轮车。 D．根据鹏鹏的过程可以知道四轮车增加1辆，轮子就增加2个。 4．中国植树造林的历史悠久，可以追溯到几千年前。3月12日，红星小学有老师和学生共40人一起去参加义务植树活动，每位老师植树5棵，每位学生植树2棵，一共植树92棵。老师和学生分别多少人？（    ） A．2，38 B．3，37 C．5，35 D．4，36 5．爸爸拿出了10枚硬币（只有1角和5角两种），一共2.6元。下面小丽的四种“尝试一猜测”思路中，（    ）是错误的。 A．先假设两种硬币各5枚，总钱数3元，比2.6元多，应减少5角硬币数量、增加1角硬币数量 B．调整时，若减少1角硬币、增加5角硬币，总钱数会下降 C．每把1枚1角硬币换成5角硬币，总钱数增加0.4元 D．若最终得到6枚1角、4枚5角，总钱数正好是2.6元 二、填空题 6．全班38人去公园划船，一共租了5条船。每条大船坐10人，每条小船坐4人，每条船都正好坐满。他们租了( )条大船，( )条小船。 7．科学实验课上，于老师将全班45人分成三人组和四人组，每组一张实验桌，共使用13张实验桌，其中三人组有( )组。 8．校足球队买了20套训练服和12套比赛服，共付4680元。每套训练服比每套比赛服便宜70元，每套训练服( )元，每套比赛服( )元。 9．今有鸡兔同笼，一共有24个头，54条腿。笼中鸡有( )只，兔有( )只。 10．3辆大卡车和5辆小卡车共运货33吨，每辆小卡车比每辆大卡车少运货3吨。大卡车的载质量是( )吨，小卡车的载质量是( )吨。 三、判断题 11．鸡兔同笼，共有106只脚，40个头，那么笼中有13只兔。( ) 12．鸡和兔共8只，22条腿：有5只鸡，3只兔。( ) 13．如果答对一题得3分，答错一题倒扣2分。答对一题比答错一题多得3分。( ) 14．阳光小学正在举行“快乐乒乓球”比赛，8张球桌共22人进行比赛。进行单打的乒乓球桌有3张，双打的乒乓球桌有5张。( ) 15．在知识竞赛中，有10道判断题，评分规定：每答对一道得2分，答错一道扣1分，小明答了全部题目，但最后得14分，他答错了3道。( ) 四、解答题 16．游乐场在周六这天售出成人票和儿童票共1200张，共收入5400元，成人票6元一张，儿童票4元一张，周六这天售出成人票多少张？ 17．五（1）班同学去植树，男生每人种3棵，女生每人种2棵，第一小组8人一共种了21棵树，这个小组男生和女生各有几人？ 18．观察下图，笑笑通过一次次尝试最后得到了鸡兔的只数。奇思觉得这样太麻烦，他发现鸡多1只兔少1只，腿数就少2条，鸡多2只兔少2只，腿数就少4条……奇思根据规律利用第一行数据列出了这样的式子解决了问题。 （138－94）÷2＝22（只），22＋1＝23（只），35－23＝12（只）答：鸡23只，兔12只。 (1)算式（138－94）÷2＝22中除数“2”表示的意思是( )。 (2)请你根据表格其它行数据，利用奇思的方法，求出鸡兔只数。如果没有思路可以利用下面表格从鸡17只、兔18只开始猜想与尝试解决问题。 鸡有几只 兔有几只 腿有多少条 17 18 106（×） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 解决问题的策略 知识梳理+例题讲解+培优练习 编者的话 同学们好！当我们面对复杂多样的数学问题时，除了掌握基础知识，更需要拥有一套灵活的“思维工具箱”。本讲义依据苏教版六年级下册数学教材编写，旨在帮助大家系统回顾和梳理小学阶段所学的核心解题策略。在这里，我们不会去攻克超纲的难题，而是专注于如何将未知的问题转化为已知的模型，如何通过画图让抽象的数量关系变得一目了然，以及如何运用假设与列举去突破思维的瓶颈。这些策略不仅是解决数学题的钥匙，更是培养逻辑思维和分析能力的重要途径。希望大家在学习中体会“条条大路通罗马”的解题乐趣，学会根据题目特点选择最合适的策略，从而提升解决问题的综合能力。 知识梳理 1. 策略的回顾与整理 （1）画图策略 ① 线段图：主要用于解决分数、百分数应用题或行程问题。通过画出表示数量的线段，能直观地看出部分与整体、数量之间的差倍或和倍关系。 ② 示意图：主要用于解决几何图形问题。当题目描述比较复杂时，画出示意图可以将抽象的文字转化为直观的图形，帮助我们找准解题的突破口。 （2）转化策略 ① 化繁为简：在解决一些复杂的计算或图形问题时，将其转化为简单的、熟悉的数学模型。例如，计算不规则图形面积时，通过割补、平移等方法将其转化为规则图形。 ② 化未知为已知：这是数学中非常核心的思想。例如，在解决分数应用题时，找准单位“1”，将求一个数的几分之几是多少转化为乘法计算。 （3）假设与替换策略 ① 假设法：当题目中有两个或两个以上的未知量，且关系复杂时，可以先假设全部是一种情况，再根据出现的矛盾进行调整。这是解决“鸡兔同笼”、“租船问题”等经典题型的利器。 ② 等量替换：利用题目中相等的数量关系，将一种量替换成另一种量，从而使复杂问题简单化。 （4）列举策略 ① 有序列举：在解决找规律、搭配问题或不定方程时，按照一定的顺序（如从小到大、从左到右）将所有可能的情况一一列举出来，做到不重复、不遗漏。 2. 策略的选择与应用 （1）分析问题特征 ① 看结构：如果题目涉及图形或空间，优先考虑画图；如果题目涉及多个未知数且存在倍数或和差关系，优先考虑假设或替换。 ② 看数据：如果数据较大且难以直接计算，考虑是否可以通过列举前几项来找规律。 （2）多策略综合 ① 组合运用：很多难题往往需要综合运用多种策略。例如，先画图分析数量关系，再运用假设法进行计算。 例题讲解 【典型例题1】 六年级同学参加植树活动，六（1）班植树60棵，六（2）班植树的棵数比六（1）班多 。六（2）班植树多少棵？ 解析： 本题考查分数应用题，核心是找准单位“1”和对应分率。 1.确定单位“1”：六（1）班植树的棵数是单位“1”，即60棵。 2.分析分率：六（2）班比六（1）班多 ，说明六（2）班是六（1）班的 。 3.列式计算：求一个数的几分之几是多少，用乘法。 （棵）。 答：六（2）班植树75棵。 【跟踪练习1】 商店运来一批水果，其中苹果有120千克，梨的质量比苹果少 。商店运来梨多少千克？ 答案及解析： 1.单位“1”是苹果的质量（120千克）。 2.梨比苹果少 ，说明梨是苹果的 。 3.列式： （千克）。 答：商店运来梨96千克。 【典型例题2】 一个长方形的周长是30厘米，长与宽的比是3:2。这个长方形的面积是多少平方厘米？ 解析： 本题涉及比和长方形的性质，可以运用“按比例分配”结合几何公式解决。 1.分析周长：长方形的周长 = （长 + 宽） 2，所以长 + 宽 = 30 2 = 15（厘米）。 2.按比例分配：长与宽的比是3:2，总份数是3 + 2 = 5份。 长占3份： （厘米）。 宽占2份： （厘米）。 3.计算面积：长 宽 = （平方厘米）。 答：这个长方形的面积是54平方厘米。 【跟踪练习2】 用48米长的篱笆围成一个长与宽的比是2:1的长方形菜地（篱笆刚好用完，且不靠墙）。这块菜地的面积是多少平方米？ 答案及解析： 1.长 + 宽 = 48 2 = 24（米）。 2.长与宽的比是2:1，总份数是2 + 1 = 3份。 长： （米）。 宽： （米）。 3.面积： （平方米）。 答：这块菜地的面积是128平方米。 【典型例题3】 笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有10个头，从下面数，有28只脚。鸡和兔各有多少只？ 解析： 这是经典的“鸡兔同笼”问题，适合运用“假设法”。 1.假设全是鸡：每只鸡有2只脚，10只鸡共有脚： （只）。 2.比较差异：实际有28只脚，比假设多了： （只）脚。 3.调整：因为每只兔比鸡多2只脚（ ），所以多出的8只脚是由于把兔算成了鸡。兔的只数为： （只）。 4.求鸡：鸡的只数为： （只）。 答：鸡有6只，兔有4只。 【跟踪练习3】 某次数学竞赛共有10道题，答对一题得10分，答错一题扣5分。小明全部做完了，得了70分。他答对了几道题？ 答案及解析： 1.假设全对：总分应为： （分）。 2.比较差异：实际得了70分，少了： （分）。 3.分析错题：答错一题不仅得不到10分，还要扣5分，相对于全对要扣掉 分。 4.求错题数： （道）。 5.求对题数： （道）。 答：他答对了8道题。 培优练习 一、选择题 1．奇思有面值1.2元和2.7元的邮票共30张，这些邮票的总面值是66元，面值1.2元和面值2.7元的邮票分别有多少张？在用列表法解决这道题的过程中，下面发现错误的是（    ）。 A．每增加一张面值2.7元邮票，减少一张面值1.2元邮票，总面值增加1.5元 B．每减少一张面值2.7元邮票，增加一张面值1.2元邮票，总面值减少1.5元 C．在列表过程中，发现总面值多了，就要减少1.2元面值的邮票 D．奇思有10张面值1.2元的邮票，20张面值2.7元的邮票 【答案】C 【分析】在列表法中，通过调整邮票数量组合，观察总面值变化，逐步逼近目标值。据此逐项分析解答。 【详解】A．2.7－1.2＝1.5（元），所以每增加一张面值2.7元邮票，减少一张面值1.2元邮票，总面值增加1.5元，说法正确； B．每减少一张面值2.7元邮票，增加一张面值1.2元邮票，总面值减少2.7－1.2＝1.5（元）描述了调整过程中总面值变化的规律，正确； C．关于总面值多时应减少低面值邮票的描述错误，因为这会增加总面值或违反总张数固定条件，因为：若减少面值1.2元的邮票同时增加面值2.7元的邮票（保持总张数），总面值增加 2.7−1.2＝1.5（元），与减少总面值的目标矛盾。若仅减少面值1.2元的邮票而不增加其他邮票，总张数减少，违反总张数固定为30的条件。 正确做法应为减少高面值（2.7元）邮票，增加低面值（1.2元）邮票。 D．10＋20＝30（张），1.2×10＋2.7×20＝12＋54＝66（元），给出了正确的邮票数量组合。 所以在列表过程中，发现总面值多了，就要减少1.2元面值的邮票描述错误。 故答案为：C 2．我国乒乓球发展历经百年。在某乒乓球训练场里，有20张训练桌，一共有62人在进行训练，全部参加单打训练或双打训练，没有一个闲着的人，也没有空桌，一共有（    ）张球桌在进行双打训练。 A．8 B．9 C．11 D．12 【答案】C 【分析】先假设20张球桌全是单打，算出总人数，再算出比实际的人数少了的人数；每张双打桌的人数比单打桌的人数多2人，用比实际人数少了的人数除以每张桌多的2人，就是在进行双打训练球桌的张数。 【详解】假设20张训练桌全是单打 （人） （人） （人） （张） 一共有11张球桌在进行双打训练。 故答案为：C 【点睛】这道题是典型的 “鸡兔同笼” 类应用题，重点考查运用假设法解决实际问题，关键是 “假设全为一种情况” 来找到数量差，再结合两种情况的单位差，从而推算出另一种情况的数量。 3．车辆模型。车辆模型拓展课，组装双轮车和四轮车共20辆，用了70个轮子。四轮车有几辆？下面是鹏鹏和田田解决这个问题的过程。 鹏鹏的解决过程： 双轮车数量 10 9 8 7 6 5 四轮车数量 10 11 12 13 14 15 轮子总数 60 62 64 66 68 70 田田的解决过程： 下面说法中，你不同意的是（    ）。 A．鹏鹏没有列举出所有情况，但也能找到规律解决问题。 B．尽管鹏鹏和田田解决问题的方式不同，但都对轮子的数量进行了比较。 C．根据田田的解决过程可以知道减少10个轮子，就增加5辆四轮车。 D．根据鹏鹏的过程可以知道四轮车增加1辆，轮子就增加2个。 【答案】C 【分析】本题考查鸡兔同笼问题的两种解法：鹏鹏用列举法，田田用假设法，结合两种解法的逻辑分析选项即可。 【详解】A．鹏鹏从双轮车10辆、四轮车10辆开始列举，发现四轮车每增加1辆，双轮车减少1辆，轮子总数增加2个，依此规律找到轮子总数为70的情况，无需列举所有情况。鹏鹏没有列举出所有情况，但也能找到规律解决问题，说法正确，同意这个说法。 B．鹏鹏将每次列举的轮子总数与70对比，找到符合条件的情况；田田将假设全是四轮车的轮子总数与实际70个对比，算出轮子差，二者均通过轮子数量的比较解题。尽管鹏鹏和田田解决问题的方式不同，但都对轮子的数量进行了比较，说法正确，同意这个说法。 C．田田的解法中，假设全是四轮车比实际多10个轮子，需要减少10个轮子，而每减少1辆四轮车、增加1辆双轮车，轮子减少2个，因此需要减少5辆四轮车、增加5辆双轮车才能减少10个轮子，“增加5辆四轮车”的说法错误，不同意这个说法。 D．鹏鹏的列举中：四轮车10辆（轮子总数60）→11辆（62）→12辆（64）……每增加1辆四轮车，双轮车对应减少1辆，轮子变化为4－2＝2（个），轮子总数增加2个，说法正确，同意这个说法。 故答案为：C 4．中国植树造林的历史悠久，可以追溯到几千年前。3月12日，红星小学有老师和学生共40人一起去参加义务植树活动，每位老师植树5棵，每位学生植树2棵，一共植树92棵。老师和学生分别多少人？（    ） A．2，38 B．3，37 C．5，35 D．4，36 【答案】D 【分析】假设参加植树的全部是学生，则应该植树棵数为40×2＝80（棵），比实际植树棵数少92－80＝12（棵），是因为每名老师比每名学生多植树5－2＝3（棵），用比实际植树棵数少的棵数除以每名老师比每名学生多植树的棵数即可求出老师的人数，用植树的总人数减去老师的人数即是学生的人数。 【详解】40×2＝80（棵） 92－80＝12（棵） 5－2＝3（棵） 12÷3＝4（人） 40－4＝36（人） 老师有4人，学生有36人。 故答案为：D 5．爸爸拿出了10枚硬币（只有1角和5角两种），一共2.6元。下面小丽的四种“尝试一猜测”思路中，（    ）是错误的。 A．先假设两种硬币各5枚，总钱数3元，比2.6元多，应减少5角硬币数量、增加1角硬币数量 B．调整时，若减少1角硬币、增加5角硬币，总钱数会下降 C．每把1枚1角硬币换成5角硬币，总钱数增加0.4元 D．若最终得到6枚1角、4枚5角，总钱数正好是2.6元 【答案】B 【分析】要解决这道题，我们需要逐一分析每个选项，结合鸡兔同笼问题的思路（通过假设、调整来求解两种硬币的数量）来判断对错。 【详解】因为1元角，所以2.6元角。 A.假设两种硬币各5枚：1角硬币总钱数： （角） 5角硬币总钱数：（角） 总钱数：（角） 30角＝3元 30角＞26角 因为5角硬币面值更大，要减少总钱数，应减少5角硬币数量、增加1角硬币数量，所以选项A正确。 B．1角硬币面值小于5角硬币。若减少1角硬币、增加5角硬币，相当于用“大面值硬币”替换“小面值硬币”，总钱数会上升（而非下降）。所以选项B错误。 C．1角硬币换成5角硬币，每换1枚，钱数变化为： （角） 4角＝0.4元 总钱数会增加0.4元，所以选项正确。 D．若有6枚1角、4枚5角； 1角硬币总钱数： （角） 5角硬币总钱数：（角） 总钱数：（角） 26角＝2.6元 符合条件，所以选项正确。 综上，错误的思路是选项。 故答案为： 二、填空题 6．全班38人去公园划船，一共租了5条船。每条大船坐10人，每条小船坐4人，每条船都正好坐满。他们租了( )条大船，( )条小船。 【答案】 3 2 【分析】这是典型的鸡兔同笼问题，应用假设法解答。假设5条船全部是小船，则全班人数与5条小船所坐的全部人数的差额是没坐上船的人数，原因是把1条大船看作1条小船就有6人没坐上船，据此用没坐上船的人数除以6人，可以求出大船的条数，进而用减法计算能得到小船的条数，据此解答。 【详解】假设租的全是小船，     则大船有：（38－4×5）÷（10－4） ＝（38－20）÷6 ＝18÷6 ＝3（条） 小船有：5－3＝2（条） 故租3条大船，2条小船。 7．科学实验课上，于老师将全班45人分成三人组和四人组，每组一张实验桌，共使用13张实验桌，其中三人组有( )组。 【答案】7 【分析】假设13组全部是四人组，按照每组4人计算，总共会有13×4＝52人，这比实际的45人多了7人。之所以会多算7人，是因为把三人组当成了四人组，每把一组三人组看成四人组，就会多算1个人。多算的7人里，每多1人对应1个被误算的三人组，用总人数差值除以单组的人数误差，求出三人组的数量。 【详解】假设13组全部是四人组 13×4＝52（人） 52－45＝7（人） 4－3＝1（人） 7÷1＝7（组） 所以三人组有7组。 8．校足球队买了20套训练服和12套比赛服，共付4680元。每套训练服比每套比赛服便宜70元，每套训练服( )元，每套比赛服( )元。 【答案】 120 190 【分析】可通过假设法解题。先根据“每套训练服比比赛服便宜70元”，假设购买的20套训练服全部换成比赛服，这样总价会增加20×70＝1400（元），此时总价格变为4680＋1400＝6080（元），对应的服装总数量是20＋12＝32（套），这32套全部为比赛服，用调整后的总价除以总数量就能算出比赛服的单价，再用比赛服的单价减去70元，即可得到训练服的单价。 【详解】假设购买的20套训练服全部换成比赛服。 （4680＋20×70）÷（20＋12） ＝（4680＋1400）÷32 ＝6080÷32 ＝190（元） 训练服：190－70＝120（元） 每套训练服120元，每套比赛服190元。 9．今有鸡兔同笼，一共有24个头，54条腿。笼中鸡有( )只，兔有( )只。 【答案】 21 3 【分析】已知每只鸡有2条腿，每只兔子有4条腿。假设全部是兔子，每只兔子有4条腿，24只兔子的总腿数是4×24＝96条；实际只有54条腿，比假设的少了96－54＝42条腿。每只鸡比兔子少4－2＝2条腿，少的42条腿是因为把鸡当成了兔子，所以鸡的数量是42÷2＝21只。最后用总头数24减去鸡的只数即可求出兔的只数。 【详解】（4×24－54）÷（4－2） ＝（96－54）÷2 ＝42÷2 ＝21（只） 24－21＝3（只） 所以笼中鸡有21只，兔有3只。 10．3辆大卡车和5辆小卡车共运货33吨，每辆小卡车比每辆大卡车少运货3吨。大卡车的载质量是( )吨，小卡车的载质量是( )吨。 【答案】 6 3 【分析】每辆小卡车比每辆大卡车少运货3吨，大卡车有3辆，用求出3辆大卡车总共比小卡车多运多少吨；用算出卡车总辆数，假设辆车都是小卡车，用求全部小卡车运货的总吨数，再除以得到每辆小卡车的载质量，将每辆小卡车的载质量加上3得到每辆大卡车的载质量。 【详解】 所以大卡车的载质量是6吨，小卡车的载质量是3吨。 三、判断题 11．鸡兔同笼，共有106只脚，40个头，那么笼中有13只兔。( ) 【答案】√ 【分析】先假设它们全是兔，于是根据鸡兔头的总个数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看相差多少，每差2只脚就说明有一只鸡；将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只鸡，然后用40减去鸡的只数可得兔的只数。 【详解】假设全部都是兔子 则有：（40×4－106）÷（4－2） ＝（160－106）÷2 ＝54÷2 ＝27（只） 故鸡的数量为27只，则兔子有：40－27＝13（只） 那么笼中有13只兔。原题说法正确。 故答案为：√ 12．鸡和兔共8只，22条腿：有5只鸡，3只兔。( ) 【答案】√ 【分析】假设笼内全是鸡，则腿的条数是8×2＝12条，这与实际的条数差了22－16＝6条，这是因为每只鸡比每只兔子少4－2＝2条腿。据此可求出兔子的只数，求出兔子的只数，再用8去减，就是鸡的只数。据此解答。 【详解】（22－8×2）÷（4－2） ＝（22－16）÷2 ＝6÷2 ＝3（只） 8－3＝5（只） 鸡和兔共8只，22条腿：有5只鸡，3只兔。说法正确。 故答案为：√ 13．如果答对一题得3分，答错一题倒扣2分。答对一题比答错一题多得3分。( ) 【答案】× 【分析】已知答对一题得3分，答错一题倒扣2分，因此答对一题与答错一题之间会相差：3＋2＝5分，据此解答即可。 【详解】根据分析可得： 答对一题与答错一题会相差5分 所以原题说法错误。 故答案为：× 14．阳光小学正在举行“快乐乒乓球”比赛，8张球桌共22人进行比赛。进行单打的乒乓球桌有3张，双打的乒乓球桌有5张。( ) 【答案】× 【分析】设进行双打的乒乓球桌有x张，则单打的乒乓球桌有（8－x）张；双打是4人，x张桌有4x人；单打是2人，（8－x）张桌有2×（8－x）人，共22人，列方程：4x＋2×（8－x）＝22，解方程，求出单打桌子的数量和双打桌子的数量，进而解答。 【详解】解：设双打乒乓球桌有x张，则单打乒乓球桌有（8－x）张。 4x＋2×（8－x）＝22 4x＋2×8－2x＝22 2x＋16＝22 2x＋16－16＝22－16 2x＝6 2x÷2＝6÷2 x＝3 单打：8－3＝5（张） 阳光小学正在举行“快乐乒乓球”比赛，8张球桌共22人进行比赛。进行单打的乒乓球桌有5张，双打的乒乓球桌有3张。 原题干说法错误。 故答案为：× 15．在知识竞赛中，有10道判断题，评分规定：每答对一道得2分，答错一道扣1分，小明答了全部题目，但最后得14分，他答错了3道。( ) 【答案】× 【分析】有10道题，每答对一道得2分，则如果全做对满分为10×2＝20分，错一题倒扣1分，即做错一题实际比做对1题少得2＋1＝3分，结果只得了14分，即少得了20－14＝6分，则小明做错了6÷3＝2题。 【详解】假设全答对，则答错的有： （10×2－14）÷（2＋1） ＝6÷3 ＝2（道） 即他答错了2道题，所以原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程进行解答。 四、解答题 16．游乐场在周六这天售出成人票和儿童票共1200张，共收入5400元，成人票6元一张，儿童票4元一张，周六这天售出成人票多少张？ 【答案】300张 【分析】这道题的核心是通过假设全部是儿童票，对比假设的总价和实际的总价求出价钱差，同时求出成人票和儿童票的金额差进而求出成人票的数量。题目中已知成人票和儿童票共1200张，共收入5400元，成人票6元一张，儿童票4元一张，假设全部都是儿童票，用假设总价与实际总价的差除以两种票的金额差结果是成人票数量。据此解答。 【详解】假设全是儿童票。 求假设总价：（元） 求总价差：（元） 求两种票的金额差：（元） 求成人票的数量：（张） 答：周六这天售出成人票300张。 17．五（1）班同学去植树，男生每人种3棵，女生每人种2棵，第一小组8人一共种了21棵树，这个小组男生和女生各有几人？ 【答案】5人；3人 【分析】假设都是男生，则一共可以种8×3＝24（棵），实际比假设少了：24－21＝3（棵），一名女生比一名男生少种（3－2）棵，所以用实际比假设少的数量÷一名女生比一名男生少种的棵树即为女生的人数，用8减去女生人数可得男生人数。 【详解】假设都是男生； （8×3－21）÷（3－2） ＝（24－21）÷（3－2） ＝3÷1 ＝3（人） 男生：8－3＝5（人） 答：这个小组男生有5人，女生有3人。 18．观察下图，笑笑通过一次次尝试最后得到了鸡兔的只数。奇思觉得这样太麻烦，他发现鸡多1只兔少1只，腿数就少2条，鸡多2只兔少2只，腿数就少4条……奇思根据规律利用第一行数据列出了这样的式子解决了问题。 （138－94）÷2＝22（只），22＋1＝23（只），35－23＝12（只）答：鸡23只，兔12只。 (1)算式（138－94）÷2＝22中除数“2”表示的意思是( )。 (2)请你根据表格其它行数据，利用奇思的方法，求出鸡兔只数。如果没有思路可以利用下面表格从鸡17只、兔18只开始猜想与尝试解决问题。 鸡有几只 兔有几只 腿有多少条 17 18 106（×） 【答案】(1)每把1只兔换成1只鸡，腿数减少2条 (2)见详解 【分析】（1）已知鸡有2条腿，兔有4条腿，当把1只兔换成1只鸡，腿数的变化为4－2＝2条，也就是每替换1只（兔换鸡），腿就会减少2条，所以在算式（138－94）÷2＝22中，除数“2”表示的是每把1只兔换成1只鸡，腿就会减少2条，据此解答。 （2）若鸡有17只，兔有18只，此时共有17×2＋18×4＝106条腿，比实际多；根据鸡每增加1只，兔减少一只，减少2条腿，由于总的腿数是94条，那么说明兔子多了，鸡的只数依次增加，兔的只数依次减少，列表即可，据此解答。 【详解】（1）根据分析可知，算式（138－94）÷2＝22中除数“2”表示的意思是每把1只兔换成1只鸡，腿数减少2条。 （2）列表如下： 鸡有几只 兔有几只 腿有多少条 17 18 106（×） 18 17 104（×） 19 16 102（×） 20 15 100（×） 21 14 98（×） 22 13 96（×） 23 12 94（√） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $