单元培优讲义：圆柱和圆锥-2025-2026学年苏教版数学六年级下册

圆柱和圆锥 知识梳理+例题讲解+培优练习 编者的话 同学们好！欢迎进入六年级下册数学第二单元《圆柱和圆锥》的探索之旅。在我们的生活中，圆柱和圆锥无处不在：喝水的杯子、生日的蛋糕、路障、甚至是我们玩的陀螺。本讲义严格依据苏教版教材编写，旨在帮助大家从直观感知上升到理性认识。我们将从认识圆柱和圆锥的特征开始，逐步深入到侧面积、表面积和体积的计算。学习时，请务必动手操作，比如用纸做一个圆柱的侧面，切一切萝卜看看横截面，或者玩一玩沙漏感受体积的转化。希望你们在动手实践中，理解公式的由来，掌握计算的方法，攻克“等底等高”这一核心概念，成为空间与几何的小行家！ 知识梳理 1. 圆柱和圆锥的认识 （1）圆柱的特征 ① 面的组成：圆柱是由3个面围成的。上下两个面是完全相同的圆形，叫做底面；周围的面叫做侧面，是一个曲面。 ② 高：圆柱两个底面之间的距离叫做高。圆柱有无数条高，且长度都相等。 （2）圆锥的特征 ① 面的组成：圆锥是由2个面围成的。底面是一个圆，侧面是一个曲面。 ② 高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做高。圆锥只有一条高。 2. 圆柱的表面积 （1）圆柱的侧面积 ① 展开图：圆柱的侧面沿高剪开，展开后是一个长方形（或正方形）。长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。 ② 计算公式：侧面积 = 底面周长 × 高，用字母表示为 。 （2）圆柱的表面积 ① 组成：圆柱的表面积 = 侧面积 + 两个底面积。 ② 计算公式： 。 ③ 实际应用：制作油桶需要的铁皮面积、压路机压过的路面面积（只有侧面积）等。 3. 圆柱和圆锥的体积 （1）圆柱的体积 ① 推导：通过切拼法，将圆柱转化成近似的长方体，长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高就是圆柱的高。 ② 公式：体积 = 底面积 × 高，用字母表示为 。 （2）圆锥的体积 ① 实验：通过等底等高的圆柱和圆锥容器装水（或沙子）实验，发现倒满圆柱需要3次圆锥。 ② 关系：等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍；圆锥体积是圆柱体积的 。 ③ 公式： 。 例题讲解 【典型例题1】 一个圆柱形的茶叶筒，底面半径是5厘米，高是15厘米。要在它的侧面贴一圈商标纸（接头处忽略不计），这张商标纸的面积至少是多少平方厘米？ 解析： 题目要求的是圆柱的侧面积。 1.先算出底面周长： （厘米）。 2.再用周长乘高： （平方厘米）。 答：这张商标纸的面积至少是471平方厘米。 【跟踪练习1】 一个圆柱形的通风管，底面直径是4分米，长是1.2米。做这样一根通风管至少需要多少平方分米的铁皮？ 【典型例题2】 一个圆柱形水桶，从里面量底面直径是4分米，高是5分米。这个水桶最多能装水多少升？（铁皮厚度忽略不计） 解析： 1.先算出底面半径： （分米）。 2.算出底面积： （平方分米）。 3.算出体积： （立方分米）。 4.单位换算：1立方分米 = 1升，所以能装水62.8升。 答：这个水桶最多能装水62.8升。 【跟踪练习2】 一个圆柱形的汽油桶，底面半径是4分米，高是10分米。这个汽油桶的容积是多少立方分米？ 【典型例题3】 一个近似圆锥形的沙堆，底面周长是12.56米，高是1.5米。每立方米沙子大约重1.5吨，这堆沙子大约重多少吨？ 解析： 1.先根据周长求半径： （米）。 2.算出圆锥体积： （立方米）。 3.算重量： （吨）。 答：这堆沙子大约重9.42吨。 【跟踪练习3】 一个圆锥形的铅锤，底面直径是4厘米，高是9厘米。这个铅锤的体积是多少立方厘米？ 培优练习 一、选择题 1．卷圆柱时，导致圆柱歪斜的主要原因是（    ）。 A．纸条太宽 B．纸条边缘没对齐 C．胶水太少 D．纸条太长 2．下列关于圆柱和长方形纸条的关系，说法正确的是（    ）。 A．纸条的长度决定圆柱的粗细，宽度决定圆柱的高度 B．纸条的长度决定圆柱的高度，宽度决定圆柱的粗细 C．纸条的大小和圆柱的大小没有关系 D．一张长方形纸条只能卷出一种大小的圆柱 3．用两张宽度相同、长度不同的长方形纸条卷成圆柱（沿着长的方向卷），两者的主要区别是（    ）。 A．粗细不同 B．高度不同 C．平面形状不同 D．曲面数量不同 4．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面半径与高的比是（    ）。 A． B． C． D． 5．一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，且体积比是1∶6，已知圆柱的高是4.2厘米，则圆锥的高是（    ）厘米。 A．2.1 B．1.4 C．8.4 D．0.7 6．下面（    ）图形是圆柱的展开图。（单位：cm） A． B． C． D． 二、填空题 7．手工课做纸灯笼时，灯笼的侧面展开像( )，顶部的小盖子是( )，挂灯笼的纸绳绕成的形状像( )。 8．用旧薯片罐做收纳盒，薯片罐本身是( )形状，给它贴一圈彩色纸，彩色纸展开是( )，纸的长要和薯片罐的底面的一周一样长。 9．校园一角里，长桌像( )，方凳像( )，水杯像( )。 10．下图中，（    ）卷出的圆柱最高，（    ）卷出的圆柱最粗。 ①    ②  ③ A．①；① B．①；② C．②；③ 11．淘气用长方形纸制作的坦克，主要用到的立体图形有( )、( )和( )。 三、判断题 12．圆柱有 2 个平面和 1 个曲面，上下两个平面是圆形。( ) 13．用长方形纸条卷圆柱时，纸条越宽，卷出的圆柱越粗。( ) 14．圆柱有两个圆形的面，大小一样。( ) 15．圆柱的上下底面是长方形。( ) 16．坦克的炮筒一定是用圆柱做的。( ) 四、计算题 17．计算下面圆锥的体积。 18．下图是一个圆柱的展开图，求这个圆柱的表面积和体积。 五、解答题 19．一个圆锥形沙堆，底面积是，高是1.2m。用这堆沙在10m宽的公路上铺成1.5cm厚的路面，能铺多少米？ 20．一个圆柱形易拉罐的侧面贴着商标纸，易拉罐的底面直径是10cm，高是18cm。这张商标纸展开后是一个长方形，它的长和宽各是多少？（接口处不计） 21．一个圆锥形容器中装有3L水，水面高度正好是圆锥高度的一半。这个容器还能装多少升水？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆柱和圆锥 知识梳理+例题讲解+培优练习 编者的话 同学们好！欢迎进入六年级下册数学第二单元《圆柱和圆锥》的探索之旅。在我们的生活中，圆柱和圆锥无处不在：喝水的杯子、生日的蛋糕、路障、甚至是我们玩的陀螺。本讲义严格依据苏教版教材编写，旨在帮助大家从直观感知上升到理性认识。我们将从认识圆柱和圆锥的特征开始，逐步深入到侧面积、表面积和体积的计算。学习时，请务必动手操作，比如用纸做一个圆柱的侧面，切一切萝卜看看横截面，或者玩一玩沙漏感受体积的转化。希望你们在动手实践中，理解公式的由来，掌握计算的方法，攻克“等底等高”这一核心概念，成为空间与几何的小行家！ 知识梳理 1. 圆柱和圆锥的认识 （1）圆柱的特征 ① 面的组成：圆柱是由3个面围成的。上下两个面是完全相同的圆形，叫做底面；周围的面叫做侧面，是一个曲面。 ② 高：圆柱两个底面之间的距离叫做高。圆柱有无数条高，且长度都相等。 （2）圆锥的特征 ① 面的组成：圆锥是由2个面围成的。底面是一个圆，侧面是一个曲面。 ② 高：从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做高。圆锥只有一条高。 2. 圆柱的表面积 （1）圆柱的侧面积 ① 展开图：圆柱的侧面沿高剪开，展开后是一个长方形（或正方形）。长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。 ② 计算公式：侧面积 = 底面周长 × 高，用字母表示为 。 （2）圆柱的表面积 ① 组成：圆柱的表面积 = 侧面积 + 两个底面积。 ② 计算公式： 。 ③ 实际应用：制作油桶需要的铁皮面积、压路机压过的路面面积（只有侧面积）等。 3. 圆柱和圆锥的体积 （1）圆柱的体积 ① 推导：通过切拼法，将圆柱转化成近似的长方体，长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高就是圆柱的高。 ② 公式：体积 = 底面积 × 高，用字母表示为 。 （2）圆锥的体积 ① 实验：通过等底等高的圆柱和圆锥容器装水（或沙子）实验，发现倒满圆柱需要3次圆锥。 ② 关系：等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍；圆锥体积是圆柱体积的 。 ③ 公式： 。 例题讲解 【典型例题1】 一个圆柱形的茶叶筒，底面半径是5厘米，高是15厘米。要在它的侧面贴一圈商标纸（接头处忽略不计），这张商标纸的面积至少是多少平方厘米？ 解析： 题目要求的是圆柱的侧面积。 1.先算出底面周长： （厘米）。 2.再用周长乘高： （平方厘米）。 答：这张商标纸的面积至少是471平方厘米。 【跟踪练习1】 一个圆柱形的通风管，底面直径是4分米，长是1.2米。做这样一根通风管至少需要多少平方分米的铁皮？ 答案及解析： 1.2米 = 12分米。 1.底面周长： （分米）。 2.侧面积（通风管只有侧面）： （平方分米）。 答：至少需要150.72平方分米的铁皮。 【典型例题2】 一个圆柱形水桶，从里面量底面直径是4分米，高是5分米。这个水桶最多能装水多少升？（铁皮厚度忽略不计） 解析： 1.先算出底面半径： （分米）。 2.算出底面积： （平方分米）。 3.算出体积： （立方分米）。 4.单位换算：1立方分米 = 1升，所以能装水62.8升。 答：这个水桶最多能装水62.8升。 【跟踪练习2】 一个圆柱形的汽油桶，底面半径是4分米，高是10分米。这个汽油桶的容积是多少立方分米？ 答案及解析： 1.底面积： （平方分米）。 2.容积： （立方分米）。 答：这个汽油桶的容积是502.4立方分米。 【典型例题3】 一个近似圆锥形的沙堆，底面周长是12.56米，高是1.5米。每立方米沙子大约重1.5吨，这堆沙子大约重多少吨？ 解析： 1.先根据周长求半径： （米）。 2.算出圆锥体积： （立方米）。 3.算重量： （吨）。 答：这堆沙子大约重9.42吨。 【跟踪练习3】 一个圆锥形的铅锤，底面直径是4厘米，高是9厘米。这个铅锤的体积是多少立方厘米？ 答案及解析： 1.半径： （厘米）。 2.体积： （立方厘米）。 答：这个铅锤的体积是37.68立方厘米。 培优练习 一、选择题 1．卷圆柱时，导致圆柱歪斜的主要原因是（    ）。 A．纸条太宽 B．纸条边缘没对齐 C．胶水太少 D．纸条太长 【答案】B 【分析】卷制圆柱的过程，本质是将长方形的一组对边重合，形成圆柱的侧面，这个过程要求长方形的边保持平行且对齐，才不会歪斜。 【详解】A．纸条太宽只会让卷出来的圆柱更高，不会导致歪斜； B．卷圆柱时纸条边缘没对齐会导致圆柱歪斜； C．胶水太少会影响粘贴牢固度，不会导致歪斜； D．纸条太长只会让卷出来的圆柱更粗，不会导致歪斜。 故答案为：B 2．下列关于圆柱和长方形纸条的关系，说法正确的是（    ）。 A．纸条的长度决定圆柱的粗细，宽度决定圆柱的高度 B．纸条的长度决定圆柱的高度，宽度决定圆柱的粗细 C．纸条的大小和圆柱的大小没有关系 D．一张长方形纸条只能卷出一种大小的圆柱 【答案】B 【分析】回忆卷圆柱的过程，一张纸条可以卷出两种圆柱，圆柱的高矮和粗细与纸条的长度和宽度有关系。 【详解】根据长方形纸条卷圆柱的过程，对齐的边成为圆柱的高，另一条边围成底面圆的周长（决定粗细），因此长度决定高度，宽度决定粗细，A、C 错误； 一张纸条可通过不同对齐方式（长边对齐或短边对齐）卷出两种圆柱，D 错误。 故答案为：B 3．用两张宽度相同、长度不同的长方形纸条卷成圆柱（沿着长的方向卷），两者的主要区别是（    ）。 A．粗细不同 B．高度不同 C．平面形状不同 D．曲面数量不同 【答案】A 【分析】两张纸条宽度相同，卷成圆柱的高度（对齐边的长度）相同；长度不同，卷成圆柱的底面（决定粗细）不同，因此主要区别是粗细不同。 【详解】用两张宽度相同、长度不同的长方形纸条卷成圆柱，两者的主要区别是粗细不同。 故答案为：A 4．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面半径与高的比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】圆柱的侧面展开图一般是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高；特殊情况下，圆柱的侧面展开图是正方形，此时圆柱的底面周长和高相等，即C＝h。根据圆的周长公式C＝2r，进而得出圆柱的底面半径与高的比。 【详解】由一个圆柱的侧面展开图是正方形，可得出：C＝h； r∶h＝ r∶C＝ r∶2r＝（r÷r）∶（2r÷r）＝1∶2 所以这个圆柱的底面半径与高的比是1∶2。 故答案为：D 5．一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，且体积比是1∶6，已知圆柱的高是4.2厘米，则圆锥的高是（    ）厘米。 A．2.1 B．1.4 C．8.4 D．0.7 【答案】A 【分析】根据圆柱的体积＝底面积×高，可推出高＝圆柱的体积÷底面积；根据圆锥的体积＝底面积×高÷3，可推出高＝圆锥的体积×3÷底面积；把底面积看成S，把圆锥的体积看作1，则圆柱的体积为6，那么圆柱的高为6÷S＝，圆锥的高为1×3÷S＝3÷S＝，圆柱与圆锥高的比为：∶＝2∶1，即圆柱的高是圆锥的2倍，已知圆柱的高是4.2厘米，则圆锥的高为4.2÷2，据此解答。 【详解】由分析可知：把底面积看成S，把圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积为6份。 圆柱的高为：6÷S＝ 圆锥的高为：1×3÷S ＝3÷S ＝ 圆柱与圆锥高的比为：∶ ＝（×S）∶（×S） ＝6∶3 ＝（6÷3）∶（3÷3） ＝2∶1 4.2÷2＝2.1（厘米） 所以圆锥的高是2.1厘米。 故答案为：A 6．下面（    ）图形是圆柱的展开图。（单位：cm） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形（特殊情况下是正方形），长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高；已知圆柱的底面直径或半径，根据圆柱的底面周长公式C＝πd，代入数据计算求出底面周长，再与长方形的长相比较，如果相等，就是圆柱的展开图；反之，如果不相等，就不是圆柱的展开图。 【详解】A．3×3.14＝9.42（cm），是圆柱的展开图； B．4×3.14＝12.56（cm），不是圆柱的展开图； C．2×3.14＝6.28（cm），不是圆柱的展开图； D．3×2×3.14 ＝6×3.14 ＝18.84（cm），不是圆柱的展开图。 故答案为：A 二、填空题 7．手工课做纸灯笼时，灯笼的侧面展开像( )，顶部的小盖子是( )，挂灯笼的纸绳绕成的形状像( )。 【答案】 长方形 圆形 圆柱 【分析】灯笼整体像一个圆柱，圆柱的侧面，展开后是长方形； 因为灯笼的顶部和底部都是圆形的面，所以顶部的小盖子是圆形， 挂灯笼的纸绳绕成的形状像圆柱 【详解】圆柱的侧面展开后一般是长方形，上面与底面是相同的圆，绳一般是圆柱状的。 手工课做纸灯笼时，灯笼的侧面展开像长方形，顶部的小盖子是圆形，挂灯笼的纸绳绕成的形状像圆柱。 8．用旧薯片罐做收纳盒，薯片罐本身是( )形状，给它贴一圈彩色纸，彩色纸展开是( )，纸的长要和薯片罐的底面的一周一样长。 【答案】 圆柱 长方形 【分析】日常生活中的薯片罐，上下两个底面是大小相同的圆形，侧面是曲面，符合圆柱的特征，因此薯片罐本身是圆柱形状。 彩色纸展开的形状：给薯片罐侧面贴一圈彩色纸，相当于把圆柱的侧面沿高剪开并展开。展开后得到的图形是长方形，其中长方形的长与薯片罐底面的周长长度相等，长方形的宽与薯片罐的高度相等。 【详解】由分析可得：用旧薯片罐做收纳盒，薯片罐本身是圆柱形状，给它贴一圈彩色纸，彩色纸展开是长方形，纸的长要和薯片罐的底面的一周一样长。 9．校园一角里，长桌像( )，方凳像( )，水杯像( )。 【答案】 长方体 正方体 圆柱 【分析】长桌的外形是长长方方的，具有长方体的典型特征，有 6 个面，相对的面大小相等；方凳是正方体，每个面都是正方形；水杯的主体是圆柱形，侧面是曲面，上下底面为大小相同的圆形。 【详解】由分析可知： 校园一角里，长桌像长方体，方凳像正方体，水杯像圆柱。 10．下图中，（    ）卷出的圆柱最高，（    ）卷出的圆柱最粗。 ①    ②  ③ A．①；① B．①；② C．②；③ 【答案】A 【分析】用长方形卷圆柱时，有两种卷法：一种是以长方形的长为圆柱底面周长，宽为圆柱的高；另一种是以长方形的宽为圆柱底面周长，长为圆柱的高。 【详解】圆柱的高度由作为高的那条边决定，边越长则圆柱越高；圆柱的粗细由底面周长决定，底面周长越大，半径越大，圆柱越粗。 故答案为A。 11．淘气用长方形纸制作的坦克，主要用到的立体图形有( )、( )和( )。 【答案】 长方体 正方体 圆柱 【分析】制作坦克的车身部分有长方体、正方体，车轮部分可看作圆柱体等立体图形。 【详解】由分析可知： 淘气用长方形纸制作的坦克，主要用到的立体图形有长方体、正方体和圆柱。 三、判断题 12．圆柱有 2 个平面和 1 个曲面，上下两个平面是圆形。( ) 【答案】√ 【分析】根据圆柱的定义，圆柱由两个平行的圆形底面和一个侧面组成，底面是平面，侧面是曲面。题干所述“圆柱有2个平面和1个曲面，上下两个平面是圆形”与定义一致，因此正确。 【详解】圆柱有两个底面是平面，且为圆形，侧面是曲面。 故答案为：√ 13．用长方形纸条卷圆柱时，纸条越宽，卷出的圆柱越粗。( ) 【答案】√ 【分析】可以这样理解，把长方形纸条卷成纸筒，就好像用一根绳子绕成一个圆圈。纸条越宽，就相当于这根“绳子”越长，绕出来的圆圈就会越大、越粗，据此解答。 【详解】由分析可得： 比如说，我们用短一点的绳子绕圆圈，圆圈就小；用长一点的绳子绕，圆圈就大啦。所以长方形纸条越宽，卷成的纸筒就越粗，这个说法是对的。 故答案为：√ 14．圆柱有两个圆形的面，大小一样。( ) 【答案】√ 【分析】圆柱体有两个底面，都是圆形，并且大小相等，两个底面平行且形状大小相同，因此该陈述正确。 【详解】圆柱的两个底面是圆形且大小相等，所以正确。 故答案为：√ 15．圆柱的上下底面是长方形。( ) 【答案】× 【分析】圆柱的上下底面是圆形，不是长方形。长方形是平面图形，用于描述长方体的面。圆柱的底面是圆形的，这是圆柱的定义特征。 【详解】圆柱是由两个平行且相等的圆形底面和一个侧面组成的立体图形。因此，圆柱的上下底面不是长方形，而是圆形。 故答案为：× 16．坦克的炮筒一定是用圆柱做的。( ) 【答案】× 【分析】在小学数学中，圆柱的定义是由两个平行且全等的圆面和一个曲面侧面组成的几何体。坦克的炮筒在现实生活中通常近似圆柱形，但并非所有炮筒都严格符合圆柱的定义（如底面可能不完全平行或全等，或存在特殊设计）；据此解答。 【详解】由分析可得：原题说法错误。 故答案为：× 四、计算题 17．计算下面圆锥的体积。 【答案】7.065立方厘米 【分析】由图可知，圆锥的底面半径为1.5厘米，高为3厘米，根据圆锥的体积公式：，代入数据进行求解即可。 【详解】 （立方厘米） 圆锥的体积为7.065立方厘米。 18．下图是一个圆柱的展开图，求这个圆柱的表面积和体积。 【答案】表面积：131.88dm2；体积：113.04dm3 【分析】根据圆柱的展开图，已知圆柱的底面半径和圆柱的高，根据圆柱的表面积公式、圆柱的体积公式，即可求出圆柱的表面积和体积。 【详解】圆柱的表面积：（dm2） 圆柱的体积：（dm3） 答：这个圆柱的表面积是131.88dm2，体积是113.04dm3。 五、解答题 19．一个圆锥形沙堆，底面积是，高是1.2m。用这堆沙在10m宽的公路上铺成1.5cm厚的路面，能铺多少米？ 【答案】 50.24米 【分析】根据圆锥的体积＝底面积高，长方体的体积＝长宽高，1m＝100cm，据此进行分析。 【详解】1.5厘米＝0.015米 （米） 答：能铺50.24米。 20．一个圆柱形易拉罐的侧面贴着商标纸，易拉罐的底面直径是10cm，高是18cm。这张商标纸展开后是一个长方形，它的长和宽各是多少？（接口处不计） 【答案】它的长是31.4厘米，宽是18厘米。 【分析】圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高； 圆柱的底面直径是10厘米，根据（d表示直径，π取3.14），列式求出底面周长，就是长方形的长。 【详解】长： 宽：因为宽就是圆柱形易拉罐的高，所以宽是18cm。 答：它的长是31.4厘米，宽是18厘米。 21．一个圆锥形容器中装有3L水，水面高度正好是圆锥高度的一半。这个容器还能装多少升水？ 【答案】21升 【分析】首先根据水面高度正好是圆锥高度的一半，求出，其体积正好是圆锥体积的，所以还能再装水升。据此解答。 【详解】 （升） 答：这个容器还能装21升水。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $