单元培优讲义：分数加法和减法-2025-2026学年苏教版数学五年级下册

分数加法和减法 知识梳理+例题讲解+培优练习 编者的话 同学们好！经过前面的学习，我们已经深入理解了分数的意义和性质，掌握了约分和通分的技巧。现在，是时候给我们的“分数工具箱”添上最实用的计算工具了。本讲义将带领大家进入《分数加法和减法》的探索之旅。我们会发现，分数的运算其实并不神秘，它和我们熟悉的整数运算有着共通的道理。我们将从简单的同分母分数入手，逐步攻克异分母分数的计算难关，并最终学会处理复杂的分数混合运算。学习时，请务必动手算一算，理清每一步的算理，养成自觉验算的好习惯。让我们一起揭开分数运算的面纱，感受数学逻辑的严谨与魅力吧！ 知识梳理 1. 同分母分数加减法 （1）计算法则 ① 原理：分数单位相同，即分母相同的分数，它们的分数单位（如 ）是一样的，可以直接将分数单位的个数（分子）相加减。 ② 法则：分母不变，分子相加减。 （2）注意事项 ① 结果化简：计算的结果，能约分的必须约成最简分数。 ② 假分数处理：如果计算结果是假分数，通常要化成带分数或整数。 2. 异分母分数加减法 （1）计算法则 ① 核心步骤：先通分，将异分母分数转化成同分母分数。 ② 操作：通分后，按照同分母分数加减法的法则进行计算。 （2）通分技巧 ① 找公分母：一般找两个分母的最小公倍数作为公分母，这样计算量最小。 ② 转化：根据分数的基本性质，将每个分数化成以最小公倍数为分母的分数。 3. 分数加减混合运算 （1）运算顺序 ① 规则：与整数、小数加减混合运算的顺序相同。没有括号的，从左往右依次计算；有括号的，先算括号里面的，再算括号外面的。 （2）简便运算 ① 运算律：整数加法的交换律（ ）和结合律（ ）对分数加法同样适用。 ② 应用：在连加算式中，可以灵活运用运算律，将能凑成整数或同分母的分数先加起来，使计算简便。 例题讲解 【典型例题1】 计算： 和 解析： 1.观察：这两道题都是同分母分数相加减。 2.计算： （分母不变，分子相加）。 （分母不变，分子相减）。 3.化简： 不是最简分数，分子分母同时除以4，约分得 。 【跟踪练习1】 计算下面各题，结果能约分的要约成最简分数。 （1） （2） 【典型例题2】 计算： 和 解析： 1.观察：这两道题是异分母分数相加减，不能直接计算。 2.通分： 和 的分母是4和8，最小公倍数是8。将 通分成分母是8的分数： 。 和 的分母是6和3，最小公倍数是6。将 通分成分母是6的分数： 。 3.计算： 。 。 4.化简： 约分得 。 【跟踪练习2】 计算下面各题。 （1） （2） 【典型例题3】 计算： 和 解析： 1.分析运算顺序： 第一题没有括号，从左往右依次计算。 第二题有括号，先算括号里面的加法。 2.计算过程： 第一题： 。 然后 ，通分（公分母为8）： ，所以 。 第二题： 先算括号内： ，通分（公分母为6）： 。 再算 。 【跟踪练习3】 计算下面各题，能简算的要简算。 （1） （2） 培优练习 一、选择题 1．如图，甜甜根据下图写了一个算式：，则m表示的数是（    ）。 A． B． C． D． 2．乐乐和园园分别从一座人行天桥的两端相向而行，乐乐走了全程的，园园走了全程的。（    ）离中点近一点。 A．乐乐 B．园园 C．两人一样 D．无法确定谁 3．下列的问题，能用算式解决的是（    ）。 ①陈阿姨做窗帘用了一匹布的，做桌布用了这匹布的，做窗帘比做桌布多用了这匹布的几分之几？ ②陈阿姨做窗帘用了一匹布的，做桌布比做窗帘多用了这匹布的，做桌布用了这匹布的几分之几？ ③修一段路，第一天修了千米，第二天比第一天少修千米，第二天修了多少千米？ ④修一段路，第一天修了千米，第二天修了千米，两天一共修了多少千米？ A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 4．一满杯药水，先倒出杯，然后加满了温水。又倒掉了半杯，再加满温水，一共加入了（    ）杯水。 A． B． C． D．1 5．下面四个算式中的“3”和“5”可以直接相加减的是（    ）。 A．243＋568 B．4.38－2.5 C．－ D．5＋ 二、填空题 6．“夜来南风起，小麦覆陇黄。”一台收割机收割一片麦田，上午收割了这片麦田的，下午收割了这片麦田的，一共收割了这块麦田的( )，还剩这片麦田的( )没有收割。 7．比米长米是( )米；米比( )米长米。 8．数学课上，老师用了一节课的讲课，学生用了一节课的探究，其余时间做练习，做练习用了一节课的( )。 9．园园将一个分数减去错算成了加上，结果是，正确的计算结果应该是( )。 10．在括号里填上“＞”“＜”和“＝”。 ( )        ( )0.36             ( )       ( ) 三、判断题 11．运用了加法交换律和加法结合律。( ) 12．1吨苹果，卖出吨后还剩下吨。( ) 13．第一根绳子比第二根绳子长米，也就是第二根绳子比第一根绳子短米。( ) 14．一杯纯果汁，小红第一次喝了它的，之后加满水；第二次喝了半杯，再加满水；第三次把一杯全部喝完了。小红喝的纯果汁和水相比，喝的水更多。( )。 15．有一瓶牛奶，妈妈喝了升，爸爸喝了升，还剩升。( ) 四、计算题 16．直接写出得数。                                                 17．计算下列各题，能简算的要简算。                                       五、解答题 18．《太平惠民和剂局方》中记载的玉枢丹可以治疗湿热病。玉枢丹的部分配方组成如下表所示。 配方组成 山慈菇 红大戟 朱砂 麝香 占整个方剂的几分之几 （1）山慈菇和朱砂共占整个方剂的几分之几？ （2）朱砂比麝香多占整个方剂的几分之几？ 19．为传承和弘扬书法艺术，乐园小学举行了书法比赛，并设有一、二、三等奖。获一二等奖的人数占获奖总人数的，获二、三等奖的人数占获奖总人数的。获一、二、三等奖的人数各占获奖总人数的几分之几？ 20．菜园里种植了三种蔬菜：西红柿、茄子和青椒。已知西红柿占菜园面积的茄子占菜园面积的其余部分种植青椒。 （1）小明在解决“西红柿和茄子一共占菜园面积的几分之几？”这个问题时，他是这么想的。请你帮他把想法补充完整。（先涂一涂，再算一算）。 （2）青椒占菜园面积的几分之几？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 分数加法和减法 知识梳理+例题讲解+培优练习 编者的话 同学们好！经过前面的学习，我们已经深入理解了分数的意义和性质，掌握了约分和通分的技巧。现在，是时候给我们的“分数工具箱”添上最实用的计算工具了。本讲义将带领大家进入《分数加法和减法》的探索之旅。我们会发现，分数的运算其实并不神秘，它和我们熟悉的整数运算有着共通的道理。我们将从简单的同分母分数入手，逐步攻克异分母分数的计算难关，并最终学会处理复杂的分数混合运算。学习时，请务必动手算一算，理清每一步的算理，养成自觉验算的好习惯。让我们一起揭开分数运算的面纱，感受数学逻辑的严谨与魅力吧！ 知识梳理 1. 同分母分数加减法 （1）计算法则 ① 原理：分数单位相同，即分母相同的分数，它们的分数单位（如 ）是一样的，可以直接将分数单位的个数（分子）相加减。 ② 法则：分母不变，分子相加减。 （2）注意事项 ① 结果化简：计算的结果，能约分的必须约成最简分数。 ② 假分数处理：如果计算结果是假分数，通常要化成带分数或整数。 2. 异分母分数加减法 （1）计算法则 ① 核心步骤：先通分，将异分母分数转化成同分母分数。 ② 操作：通分后，按照同分母分数加减法的法则进行计算。 （2）通分技巧 ① 找公分母：一般找两个分母的最小公倍数作为公分母，这样计算量最小。 ② 转化：根据分数的基本性质，将每个分数化成以最小公倍数为分母的分数。 3. 分数加减混合运算 （1）运算顺序 ① 规则：与整数、小数加减混合运算的顺序相同。没有括号的，从左往右依次计算；有括号的，先算括号里面的，再算括号外面的。 （2）简便运算 ① 运算律：整数加法的交换律（ ）和结合律（ ）对分数加法同样适用。 ② 应用：在连加算式中，可以灵活运用运算律，将能凑成整数或同分母的分数先加起来，使计算简便。 例题讲解 【典型例题1】 计算： 和 解析： 1.观察：这两道题都是同分母分数相加减。 2.计算： （分母不变，分子相加）。 （分母不变，分子相减）。 3.化简： 不是最简分数，分子分母同时除以4，约分得 。 【跟踪练习1】 计算下面各题，结果能约分的要约成最简分数。 （1） （2） 答案及解析： （1） 。 （2） 。 的分子分母同时除以2，约分得 。 【典型例题2】 计算： 和 解析： 1.观察：这两道题是异分母分数相加减，不能直接计算。 2.通分： 和 的分母是4和8，最小公倍数是8。将 通分成分母是8的分数： 。 和 的分母是6和3，最小公倍数是6。将 通分成分母是6的分数： 。 3.计算： 。 。 4.化简： 约分得 。 【跟踪练习2】 计算下面各题。 （1） （2） 答案及解析： （1）先通分，5和10的最小公倍数是10。 ，所以 。 约分得 。 （2）先通分，4和6的最小公倍数是12。 ， ，所以 。 【典型例题3】 计算： 和 解析： 1.分析运算顺序： 第一题没有括号，从左往右依次计算。 第二题有括号，先算括号里面的加法。 2.计算过程： 第一题： 。 然后 ，通分（公分母为8）： ，所以 。 第二题： 先算括号内： ，通分（公分母为6）： 。 再算 。 【跟踪练习3】 计算下面各题，能简算的要简算。 （1） （2） 答案及解析： （1）从左往右计算。 。 然后 。 （2）先算括号内的加法。 。 再算减法： 。 最后约分： 。 培优练习 一、选择题 1．如图，甜甜根据下图写了一个算式：，则m表示的数是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，第一幅图把整个正方形平均分成3份，阴影部分占其中一份，用分数表示为，第二幅图，把整个正方形平均分成9份，减去其中1份，即表示减去，第三幅图即为剩下的部分，剩下，据此解答。 【详解】根据分析： － ＝－ ＝ 所以m表示的数是。 故答案为：D 2．乐乐和园园分别从一座人行天桥的两端相向而行，乐乐走了全程的，园园走了全程的。（    ）离中点近一点。 A．乐乐 B．园园 C．两人一样 D．无法确定谁 【答案】B 【分析】首先把天桥的全程看成一个整体单位“1”，中点就是全程的一半，也就是。要判断谁离中点近，需要分别算出乐乐、园园走的路程到​的差距，差距小的那个就离中点更近。 【详解】乐乐走的路程与中点的差： 园园走的路程与中点的差： 比较差的大小：，说明园园离中点更近。 故答案为：B 3．下列的问题，能用算式解决的是（    ）。 ①陈阿姨做窗帘用了一匹布的，做桌布用了这匹布的，做窗帘比做桌布多用了这匹布的几分之几？ ②陈阿姨做窗帘用了一匹布的，做桌布比做窗帘多用了这匹布的，做桌布用了这匹布的几分之几？ ③修一段路，第一天修了千米，第二天比第一天少修千米，第二天修了多少千米？ ④修一段路，第一天修了千米，第二天修了千米，两天一共修了多少千米？ A．①② B．②③ C．②④ D．①③ 【答案】C 【分析】做窗帘比做桌布多用了这匹布的分率＝做窗帘用的分率－做桌布用的分率，也就是求与的差； 做桌布用了这匹布的分率＝做窗帘用了这匹布的分率＋做桌布比做窗帘多用的分率，也就是求与的和； 第二天修的千米数＝第一天修的千米数－第二天比第一天少修的千米数，也就是求与的差； ④两天一共修的千米数＝第一天修的千米数＋第二天修的千米数，也就是求与的和。 【详解】①列式为：； ②列式为：； ③列式为：； ④列式为：； 所以能用算式解决的是②和④。 故答案为：C 4．一满杯药水，先倒出杯，然后加满了温水。又倒掉了半杯，再加满温水，一共加入了（    ）杯水。 A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据题意，第一次倒掉杯，所以第一次加入的即为杯水，第二次倒掉半杯就是杯，加的温水也是杯，因此把两次加水的杯数相加即可求出一共加入的杯数。 【详解】根据分析可得： ＋ ＝＋ ＝（杯） 一共加入了杯水。 故答案为：C 5．下面四个算式中的“3”和“5”可以直接相加减的是（    ）。 A．243＋568 B．4.38－2.5 C．－ D．5＋ 【答案】B 【分析】整数、小数加减法要相同数位对齐后，相同计数单位相加减；分数加减法需要先通分，把异分母分数转化为同分母分数，相同的分数单位相加减；据此判断算式中的“3”和“5”表示的计数单位或者分数单位是否相同，即可求得。 【详解】A．243＋568，“3”在个位上表示3个1，“5”在百位上表示5个100，“3”和“5”表示的计数单位不相同，不能直接相加； B．4.38－2.5，“3”在十分位上表示3个0.1，“5”在十分位上表示5个0.1，“3”和“5”表示的计数单位相同，可以直接相减； C．－，的分数单位是，“3”表示3个，的分数单位是，“5”表示5个，“3”和“5”表示的分数单位不相同，不能直接相减； D．5＋，“5”表示5个1，的分数单位是，“3”表示3个，“3”和“5”表示的意义不相同，不能直接相加。 故答案为：B 二、填空题 6．“夜来南风起，小麦覆陇黄。”一台收割机收割一片麦田，上午收割了这片麦田的，下午收割了这片麦田的，一共收割了这块麦田的( )，还剩这片麦田的( )没有收割。 【答案】； 【分析】求一共收割了这块麦田的多少，把这片麦田看作单位“1”，用上午割的麦子占这片麦田的加下午割的麦子占这片麦田的； 求还剩这片麦田的多少没有收割，用总量，即单位“1”减去已经割了的麦子数即可解答。 【详解】 “夜来南风起，小麦覆陇黄。”一台收割机收割一片麦田，上午收割了这片麦田的，下午收割了这片麦田的，一共收割了这块麦田的（），还剩这片麦田的（）没有收割。 7．比米长米是( )米；米比( )米长米。 【答案】 【分析】这里的所有分数都有单位，表示长度，所以要求比米长米是多少米，用加法计算；米比多少米长米，用减法计算。 【详解】 （米） （米） 所以比米长米是米，米比米长米。 8．数学课上，老师用了一节课的讲课，学生用了一节课的探究，其余时间做练习，做练习用了一节课的( )。 【答案】 【分析】单位1减去讲课的时间占这节课的几分之几，再减去探究的时间占这节课的几分之几，即可求出做练习的时间占这节课的几分之几。 【详解】1－ ＝ ＝ 做练习用了一节课的。 9．园园将一个分数减去错算成了加上，结果是，正确的计算结果应该是( )。 【答案】 【分析】根据将错就错的原则，即一个数加上结果是。再根据加数＋加数＝和，得出另外一个加数＝和－一个加数，得出原来的被减数，再用被减数减，得出正确的结果。 【详解】 园园将一个分数减去错算成了加上，结果是，正确的计算结果应该是。 10．在括号里填上“＞”“＜”和“＝”。 ( )        ( )0.36             ( )       ( ) 【答案】 ＜ ＞ ＜ ＜ 【分析】解答这道题需熟知异分母分数大小的比较方法：利用分数的基本性质，先通分，将分母化相同，再比较分子，分子大的这个分数就大，分子小的这个分数就小。另外还需明确真分数小于1，假分数大于或等于1。比较和0.36时，可以将化成小数再比较。据此解答。 【详解】根据分析： （1）是真分数，所以。 （2）因     0.4444……＞0.36 所以＞0.36。 （3）      因，所以。 （4） 因是真分数，所以 ，＞0.36，，。 三、判断题 11．运用了加法交换律和加法结合律。( ) 【答案】 【分析】解答这道题需明确加法结合律：，加法交换律：，再结合算式分析判断。 【详解】根据分析： 由题可知，算式 中和交换了位置，运用了加法交换律。同时和，把分母相同的分数相加，运用了加法结合律。 所以，运用了加法交换律和加法结合律，是正确的。 故答案为： 12．1吨苹果，卖出吨后还剩下吨。( ) 【答案】 √ 【分析】已知1吨苹果，卖出吨后，剩下的量应为总量减去卖出的量。由于单位均为“吨”，可直接进行减法运算。据此判断。 【详解】1－＝（吨） 所以1吨苹果，卖出吨后还剩下吨。原题说法正确。 故答案为：√ 13．第一根绳子比第二根绳子长米，也就是第二根绳子比第一根绳子短米。( ) 【答案】√ 【分析】在长度比较中，长度差是一定的。题中的“米”是具体的数量，第一根绳子比第二根绳子长米，反过来说，第二根绳子一定比第一根绳子短米。 【详解】设第二根绳子的长度为a米，则第一根绳子的长度为（a＋）米。 a＋－a＝（米） 第一根绳子比第二根绳子长米，也就是第二根绳子比第一根绳子短米。 原题说法正确。 故答案为：√ 14．一杯纯果汁，小红第一次喝了它的，之后加满水；第二次喝了半杯，再加满水；第三次把一杯全部喝完了。小红喝的纯果汁和水相比，喝的水更多。( )。 【答案】× 【分析】由题意可知，小红最终喝完了整杯纯果汁，因此共喝了1杯纯果汁。水是每次加水的总量，第一次喝了后加满水，加了杯水；第二次喝了半杯（即）后加满水，加了杯水。这些水在后续饮用过程中均被喝完，因此喝的水总量为杯。比较与1的大小，即可判断题干说法是否正确。 【详解】水： ＝ ＝（杯） 纯果汁：1杯 ＜1 因此，小红喝的纯果汁比水多。 一杯纯果汁，小红第一次喝了它的，之后加满水；第二次喝了半杯，再加满水；第三次把一杯全部喝完了。小红喝的纯果汁和水相比，果汁比水多。原题干说法错误。 故答案为：× 15．有一瓶牛奶，妈妈喝了升，爸爸喝了升，还剩升。( ) 【答案】× 【分析】先计算妈妈和爸爸一共喝了多少升牛奶，再根据“剩下的牛奶量＝原来的牛奶量−喝掉的牛奶量”来判断。但题目中没有给出原来牛奶的总量，无法确定剩下的牛奶量是否正确。 【详解】两人一共喝了：＋ ＝＋ ＝ 由于不知道原来牛奶的总量，所以无法得出剩下的量，所以表述错误。 故答案为：× 四、计算题 16．直接写出得数。                                                 【答案】1；；；； ；；； 【解析】略 17．计算下列各题，能简算的要简算。                                        【答案】1；；； 【分析】 ，从左往右依次计算； ，利用加法交换律，先算，再加； ，利用减法的性质，先算，再减； ，利用加法交换律和减法的性质，先算，再算，最后算减法。 【详解】 五、解答题 18．《太平惠民和剂局方》中记载的玉枢丹可以治疗湿热病。玉枢丹的部分配方组成如下表所示。 配方组成 山慈菇 红大戟 朱砂 麝香 占整个方剂的几分之几 （1）山慈菇和朱砂共占整个方剂的几分之几？ （2）朱砂比麝香多占整个方剂的几分之几？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）用山慈菇占整个方剂的分数加上朱砂占整个方剂的分数，计算即可求出山慈菇和朱砂共占整个方剂的几分之几； （2）朱砂占整个方剂的分数减去麝香占整个方剂的分数，即可求出朱砂比麝香多占整个方剂的几分之几。 【详解】（1） = = = 答：山慈菇和朱砂共占整个方剂的。 （2） = = 答：朱砂比麝香多占整个方剂的 19．为传承和弘扬书法艺术，乐园小学举行了书法比赛，并设有一、二、三等奖。获一二等奖的人数占获奖总人数的，获二、三等奖的人数占获奖总人数的。获一、二、三等奖的人数各占获奖总人数的几分之几？ 【答案】二等奖： 一等奖： 三等奖： 【分析】把总人数看作单位“1”，先通过获一、二等奖和获二、三等奖的人数占比之和减去总人数占比1，求出获二等奖的人数占比；再用获一、二等奖的人数占比减去获二等奖的人数占比，得到获一等奖的人数占比；最后用获二、三等奖的人数占比减去获二等奖的人数占比，得到获三等奖的人数占比。据此解答。 【详解】 答：获一等奖的人数占获奖总人数的，获二等奖的人数占获奖总人数的，获三等奖的人数占获奖总人数的。 20．菜园里种植了三种蔬菜：西红柿、茄子和青椒。已知西红柿占菜园面积的茄子占菜园面积的其余部分种植青椒。 （1）小明在解决“西红柿和茄子一共占菜园面积的几分之几？”这个问题时，他是这么想的。请你帮他把想法补充完整。（先涂一涂，再算一算）。 （2）青椒占菜园面积的几分之几？ 【答案】（1）涂色见详解； （2） 【分析】（1）把表示两个分数的图形都平均分成6份（2和3的最小公倍数为6），西红柿占菜园面积的那就是占6份里的即3份；茄子占菜园面积的，那就是占6份里的，即2份，然后根据涂色部分的份数，把两个分数都写成分母是6的分数，分子就是涂色部分的份数，然后两个份数（分子）相加即可； （2）用1减去西红柿和茄子共占的分率即可求出种植青椒的部分占菜园面积的几分之几。 【详解】（1）涂色如下： （2）1－ ＝－ ＝ 答：青椒占菜园面积的。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $