单元培优讲义：分数乘法-2025-2026学年苏教版数学五年级下册

分数乘法 知识梳理+例题讲解+培优练习 编者的话 同学们好！欢迎进入五年级下册数学第六单元《分数乘法》的探索之旅。在之前的学习中，我们已经理解了分数的意义，并掌握了整数乘法的运算规律。今天，我们将把“乘法”这个熟悉的朋友请进分数的世界。分数乘法不仅是小学数学运算体系中的重要一环，更是我们解决生活中“求一个数的几分之几”问题的有力工具。本讲义将带领大家从直观的图形入手，理解分数乘法的意义，自主探究出计算法则，并学会如何进行约分。学习时，请大家动手画一画、分一分，理解算理，切忌死记硬背。让我们一起揭开分数乘法的神秘面纱，感受数学运算的逻辑之美吧！ 知识梳理 1. 分数乘法的意义 （1）分数乘整数 ① 意义：与整数乘法的意义相同，表示求几个相同加数的和的简便运算；也可以理解为求这个整数的几分之几是多少。 ② 举例： 表示3个 是多少，或者表示求3的 是多少。 （2）分数乘分数 ① 意义：表示求一个分数的几分之几是多少。 ② 举例： 表示求 的 是多少。 2. 分数乘法的计算法则 （1）基本法则 ① 分数乘整数：分母不变，分子与整数相乘的积作分子。 ② 分数乘分数：分子乘分子的积作分子，分母乘分母的积作分母。 （2）约分技巧 ① 先约分再计算：在计算前，观察分子与分母之间是否有公因数，如果有，先进行约分，再计算。这样可以使计算过程更简单，数字更小。 ② 计算过程中约分：在分子与分母相乘时，可以边乘边约分。 3. 分数与整数相乘的特殊形式 （1）整数乘分数 ① 意义：与分数乘整数的意义相同，表示求这个整数的几分之几是多少。 ② 法则：整数可以看作分母是1的分数，然后按照分数乘分数的法则进行计算。 （2）带分数参与计算 ① 化为假分数：如果算式中出现带分数，通常先把带分数化成假分数，再进行计算。 例题讲解 【典型例题1】 计算： 解析： 1.方法一（按定义）：分子3乘整数4，分母11不变。即 。 2.方法二（转化为分数乘分数）：把整数4看作 ，则 。 3.结果： 是一个假分数，可以化成带分数 ，但通常保留假分数形式即可。 【跟踪练习1】 计算下面各题。 （1） （2） 答案及解析： （1） 。 （2） 。结果需要化简，分子分母同时除以5，得 。 【典型例题2】 计算： 解析： 1.直接计算：分子乘分子： ；分母乘分母： 。得到 。 2.化简： 的分子分母同时除以2，约分得 。 3.简便算法（先约分）：观察发现，第一个分数的分子3和第二个分数的分母5没有公因数，但第一个分数的分母4和第二个分数的分子2有公因数2。我们可以先将4和2分别除以2，变成2和1，然后再计算： 。这样计算更简单。 【跟踪练习2】 计算下面各题，能约分的要先约分。 （1） （2） 答案及解析： （1）先约分，分子2和分母8有公因数2，分子3和分母3有公因数3。约分后得 。（或直接计算 ）。 （2）先约分，分子5和分母10有公因数5，分子3和分母6有公因数3。约分后得 。 【典型例题3】 一袋糖果重 千克，一箱有20袋。这箱糖果的一半重多少千克？ 解析： 1.分析：要求“这箱糖果的一半”重多少，可以先求出整箱糖果的总重量，再求总重量的一半；也可以直接用一袋的重量乘以袋数的一半。 2.列式：方法一： ；方法二： 。 3.计算：我们采用方法二更简便。先算 。然后算 。 4.化简： 化简为 ，或者写成带分数 千克。 【跟踪练习3】 一块长方形菜地，长是 米，宽是 米。如果每平方米菜地收青菜 千克，这块菜地一共可以收青菜多少千克？ 答案及解析： 1.求面积：先算出菜地的面积。面积 = 长 宽 = 。 计算： 。约分得 （平方米）。 2.求总产量：用面积乘以每平方米的产量。 。 计算： （千克）。 3.答：这块菜地一共可以收青菜1千克。 培优练习 一、选择题 1．盐城黄海湿地是丹顶鹤的诗意家园，亭亭玉立的丹顶鹤徜徉在滩涂之上，尽显优雅之姿。丹顶鹤站立时身高约140厘米，其颈长约占身高的。估算丹顶鹤的颈长约（    ）厘米。 A．50 B．56 C．60 D．84 【答案】B 【分析】求一个数的几分之几是多少用乘法，颈长约占身高的，据此用140×即可解题。 【详解】140×＝56（厘米） 丹顶鹤站立时身高约140厘米，其颈长约占身高的。估算丹顶鹤的颈长约56厘米。 故答案为：B 2．两根同样长的铁丝，第一根用去，第二根用去米。两根铁丝剩下部分的长度相比较，（    ）。 A．第一根长 B．第二根长 C．同样长 D．无法确定 【答案】D 【分析】求一个数的几分之几是多少的问题，可以用乘法解决；用原来的长度乘剩余的分率即可求出第一根剩下的长度，用原来的长度减去用去的米即可计算出第二根铁丝剩下的长度，通过比较剩下的铁丝长度，得出可能的结果，从而得出答案。 【详解】原来的长度×＝第一根剩下的长度； 原来的长度－＝第二根剩下的长度； 两根铁丝原来的长度未知，则两根铁丝剩下部分的长度也无法确定。 故答案为：D 3．下面能够表示的图是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】表示：先将整个图形看作单位“1”，平均分成5份，每一份表示，取其中2份即涂成浅灰色；再将浅灰色部分看作单位“1”，平均分成4份，每一份表示，取其中3份即涂成深灰色；最后根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”用乘计算出深灰色部分占整个图形的几分之几。 【详解】根据分析： A．表示将整个图形看作单位“1”，平均分成5份，取其中2份即涂成浅灰色，再将浅灰色部分看作单位“1”，平均分成4份，取其中2份即涂成深灰色，用计算出深灰色部分占整个图形的几分之几；所以不能够表示，该选项不符； B．表示将整个图形看作单位“1”，平均分成5份，取其中2份即涂成浅灰色，再将浅灰色部分看作单位“1”，平均分成4份，取其中3份即涂成深灰色，用计算出深灰色部分占整个图形的几分之几；所以能够表示，该选项符合； C．表示将整个图形看作单位“1”，平均分成5份，取其中3份即涂成浅灰色，再将浅灰色部分看作单位“1”，平均分成4份，取其中3份即涂成深灰色，用计算出深灰色部分占整个图形的几分之几；所以不能够表示，该选项不符； D．表示将整个图形看作单位“1”，平均分成5份，取其中2份即涂成浅灰色，再将未涂色部分的看作单位“1”，平均分成4份，取其中3份即涂成深灰色，用计算出深灰色部分占整个图形的几分之几；所以不能够表示，该选项不符。 故答案为：B 4．两根同样长的绳子，第一根先截去全长的，再截去米；第二根先截去米，再截去余下的。两根绳子截去的部分相比，结果是（    ）。 A．两根截去的一样长 B．第一根截去的长 C．第二根截去的长 D．无法确定 【答案】B 【分析】设绳子的长度是单位“1”，绳子长度乘再加上米，求出第一根绳子用去的长度；用绳子的长度减去米，再乘，再加上米即可第二根绳子用去的长度，再和第一根绳子用去的长度比较，在乘法中，一个因数相等时，另一个因数越大，则乘积越大，即可解答。 【详解】第一根绳子截去的长度＝绳子的长度×＋ 第二根绳子截去的长度＝（绳子的长度－）×＋＝绳子的长度×－＋＝绳子的长度×＋ 即第一根绳子截去的长度＞第二根绳子截去的长度。 即两根绳子截去的部分相比，第一根截去的长。 故答案为：B 5．在一次大型马拉松比赛中，完赛选手的成绩分布在3小时30分钟到5小时之间。此次比赛共有2000名选手完赛，其中大约有的选手成绩在4小时以内。成绩在4小时以内的选手大约有（    ）人。 A．200～300 B．300～700 C．400～600 D．500～800 【答案】C 【分析】由题意知，有~的选手成绩在4小时以内，本题的单位“1”为2000名完赛的选手。根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”，列式为2000×，2000×。计算出的结果即为选手人数的范围 【详解】2000×＝400（人） 2000×＝600（人） 成绩在4小时以内的选手大约有400~600人。 故答案为：C 二、填空题 6．与互为倒数，那么的结果是( )。 【答案】 【分析】互为倒数的两个数乘积为1，则与的乘积为1，代入式子即可计算。 【详解】，则，即的结果是。 7．计算，就是用5个( )乘3个( )，得( )个( )，是( )。 【答案】 15 【分析】将中拆成5与的乘积，拆成3与的乘积，根据乘法交换律和结合律先计算5与3的乘积，再计算与的乘积，由此即可填空。 【详解】 即计算，就是用5个乘3个，得15个，是。 8．小区安装了草坪自动喷灌系统，第一小时浇灌草坪总面积的，第二小时浇灌剩余面积的，第二小时浇灌总面积的；还剩总面积的未浇灌。 【答案】； 【分析】我们把总面积看作单位“1”，第一小时浇灌草坪总面积的，剩余1－＝，第二小时浇灌剩余面积的，即×，未浇灌的部分为：总面积－第一小时灌溉的面积－第二小时灌溉的面积。 【详解】设总面积为单位“1” 第一小时后剩余：1－＝ 第二小时浇灌：×＝＝ 未浇灌：1－－＝ 所以第二小时浇灌总面积的；还剩余总面积的未浇灌。 9．弟弟把错当成进行计算，这样算出的结果与正确结果相差( )。 【答案】 【分析】根据乘法分配律展开中的小括号，再减去即可求出这样算出的结果与正确结果相差多少。 【详解】 即这样算出的结果与正确结果相差。 10．下图大正方形面积表示为1，平均分成5行。求涂色部分面积可列式为：( )。 【答案】 【分析】把大正方形看作单位“1”，先平均分成5行，每行的面积就是大正方形的。3行的面积就是求3个 是多少，用 来表示；3行可以组合成一个长方形（见下图红框）： 长方形又是一个平行四边形，从图中可知，阴影部分三角形的面积与红框中的长方形是等底等高的图形，依据“等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半”，即（有多种形式，答案不唯一），计算出阴影部分三角形的面积。 【详解】 ＝ ＝ 所以，涂色部分面积可以用来表示。 三、判断题 11．0.75的倒数是，1的倒数是它本身，0没有倒数。( ) 【答案】√ 【分析】根据倒数的定义：如果两个数的乘积为1，则它们互为倒数，据此解答。 【详解】0.75＝ 所以0.75的倒数是，1的倒数是它本身，0没有倒数，原题说法正确。 故答案为：√ 12．一个数（0除外）乘真分数，积一定小于这个数。( ) 【答案】√ 【分析】真分数是指分子小于分母的分数，其值小于1。一个非零数乘一个小于1的数（0除外），乘积小于这个数本身；由此即可判断。 【详解】一个非零数乘一个小于1的数（0除外），乘积小于这个数本身；因为真分数小于1，一个数（0除外）乘真分数，积一定小于这个数。 故答案为：√ 13．两堆各1吨重的煤，甲堆用去它的，乙堆用去吨，则两堆煤剩下的质量一样重( )。 【答案】√ 【分析】甲堆用去它的，即用去甲堆质量的（是分率），用甲堆质量×，求出用掉的量。再用总量甲的总量1吨减去用掉的就是甲堆剩下的量； 乙堆用去吨（是具体量）。用乙堆的总量1吨减去用掉的就是乙堆剩下的量； 然后比较甲乙两堆煤剩下量的多少即可； 【详解】甲堆：（吨） 剩下：（吨） 乙堆剩下：（吨） 吨=吨 因此，两堆煤剩下的质量一样重。 故答案为：√ 14．下面这幅图可以表示。( ) 【答案】× 【分析】表示的是多少，判断图中涂色的过程意义，是否符合此意义即可判断。 观察图形，整体是一个长方形，被平均分成了4行（每行数量相同），其中涂色部分占3行，对应“整体的”。接着在的基础上，再取它的”：已取的3行（即）被平均分成了5列，其中深色部分占4列，对应“的”，应列式为×，不可以表示。据此判断。 【详解】由分析可得，题中这幅图可以表示×，不可以表示。原题说法错误。 故答案为：× 15．一本漫画书，小希第一天看了全书的，第二天看了剩下页数的，两天看的同样多。( ) 【答案】× 【分析】解答这道题需明确：求一个数的几分之几是多少，用乘法。可以将全书的页数设为页，根据小希第一天看了全书的，第二天看了剩下页数的这两个条件，表示出第一天和第二天看的页数作比较即可。第一天看了全书的，单位“1”是全书的页数，即看了的，则第一天看了页。第二天看了剩下页数的，单位“1”是剩下的页数，剩下的页数页，则第二天看了的，据此求出第二天看了的页数，最后用第一天看的页数和第二天看的页数作比较即可。 【详解】设全书有页。 第一天看的页数： （页） 剩余页数： （页） 第二天看的页数： （页） 比较和。 因为，所以与不相等，因此两天看的页数不相同。 故答案为：× 【点睛】这道题的关键是理解题目中的两个所对应的单位“1”是不同的，第一个对应的单位“1”是全书的页数，第二个对应的单位“1”是剩下的页数。 四、计算题 16．直接写出结果。                                                     【答案】；；6；； 15；；4；0； 【详解】略 17．看图列式计算。 【答案】80千米 【分析】据图可知“已行了”是指把全程200千米平均分成5份，已走的占其中3份。所以已行的路程是：200×，用全程减去已行路程，即得到剩余路程。 【详解】已行的路程：200×＝120（千米） 剩余路程：200－120＝80（千米） 五、解答题 18．乡村振兴帮扶小组援建了一个饲养场，饲养场里养了1600只鸡。根据市场需求，饲养场养的鸭的数量比鸡多。这个饲养场里鸡和鸭一共有多少只？ 【答案】3520只 【分析】已知饲养场养了1600只鸡，鸭的数量比鸡多，把鸡的数量看作单位“1”，那么鸭的数量是鸡的数量的（1＋），根据求一个数的几分之几是多少用乘法，可得鸭的数量为：鸡的数量×（1＋）；再将鸡的数量和鸭的数量相加，可得总数。 【详解】1600×（1＋） ＝1600× ＝1920 （只） 1600＋1920＝3520（只） 答：这个饲养场里鸡和鸭一共有3520只。 19．小薇用手机软件搜索了一下从家到动物园的总路程为30千米，出行过程中需要使用步行、乘坐地铁和骑共享单车三种方式，其中乘坐地铁的里程占总路程的，骑共享单车的里程占总路程的，这两种交通方式出行的路程之和是多少？ 【答案】29千米 【分析】要求乘坐地铁和骑共享单车两种方式的路程之和。已知总路程为30千米，乘坐地铁的里程占总路程的，骑共享单车的里程占总路程的。可以先分别计算每种方式的路程：地铁路程 ＝ 总路程 × 乘坐地铁的分率，共享单车路程 ＝ 总路程 × 骑共享单车的分率，再将结果相加；或者先计算两种方式占总路程的分率之和，再乘总路程。分率之和需通分计算，分母取10和15的最小公倍数30。 【详解】方法一： 答：这两种交通方式出行的路程之和是29千米。 方法二： 答：这两种交通方式出行的路程之和是29千米。 20．在“读书周”活动中，林芳打算用7天时间读完一本112页的故事书，她星期一到星期五每天读这本书的，剩下的星期六星期天读完。 (1)星期一到星期五每天读多少页？ (2)星期六星期天这两天平均每天要读多少页？ 【答案】(1)14页 (2)21页 【分析】解答这道题需明确：求一个数的几分之几是多少，单位“1”已知，用具体量乘分率。平均分，用除法。 （1）一本112页的故事书，林芳星期一到星期五每天读这本书的，求星期一到星期五每天读多少页，表示求112的是多少。 （2）先利用星期一到星期五每天读的页数乘5求出星期一到星期五一共读的页数，再用总页数减去星期一到星期五一共读的页数，最后除以2即可。 【详解】（1）（页） 答：星期一到星期五每天读14页。 （2） （页） 答：星期六星期天这两天平均每天要读21页。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 分数乘法 知识梳理+例题讲解+培优练习 编者的话 同学们好！欢迎进入五年级下册数学第六单元《分数乘法》的探索之旅。在之前的学习中，我们已经理解了分数的意义，并掌握了整数乘法的运算规律。今天，我们将把“乘法”这个熟悉的朋友请进分数的世界。分数乘法不仅是小学数学运算体系中的重要一环，更是我们解决生活中“求一个数的几分之几”问题的有力工具。本讲义将带领大家从直观的图形入手，理解分数乘法的意义，自主探究出计算法则，并学会如何进行约分。学习时，请大家动手画一画、分一分，理解算理，切忌死记硬背。让我们一起揭开分数乘法的神秘面纱，感受数学运算的逻辑之美吧！ 知识梳理 1. 分数乘法的意义 （1）分数乘整数 ① 意义：与整数乘法的意义相同，表示求几个相同加数的和的简便运算；也可以理解为求这个整数的几分之几是多少。 ② 举例： 表示3个 是多少，或者表示求3的 是多少。 （2）分数乘分数 ① 意义：表示求一个分数的几分之几是多少。 ② 举例： 表示求 的 是多少。 2. 分数乘法的计算法则 （1）基本法则 ① 分数乘整数：分母不变，分子与整数相乘的积作分子。 ② 分数乘分数：分子乘分子的积作分子，分母乘分母的积作分母。 （2）约分技巧 ① 先约分再计算：在计算前，观察分子与分母之间是否有公因数，如果有，先进行约分，再计算。这样可以使计算过程更简单，数字更小。 ② 计算过程中约分：在分子与分母相乘时，可以边乘边约分。 3. 分数与整数相乘的特殊形式 （1）整数乘分数 ① 意义：与分数乘整数的意义相同，表示求这个整数的几分之几是多少。 ② 法则：整数可以看作分母是1的分数，然后按照分数乘分数的法则进行计算。 （2）带分数参与计算 ① 化为假分数：如果算式中出现带分数，通常先把带分数化成假分数，再进行计算。 例题讲解 【典型例题1】 计算： 解析： 1.方法一（按定义）：分子3乘整数4，分母11不变。即 。 2.方法二（转化为分数乘分数）：把整数4看作 ，则 。 3.结果： 是一个假分数，可以化成带分数 ，但通常保留假分数形式即可。 【跟踪练习1】 计算下面各题。 （1） （2） 【典型例题2】 计算： 解析： 1.直接计算：分子乘分子： ；分母乘分母： 。得到 。 2.化简： 的分子分母同时除以2，约分得 。 3.简便算法（先约分）：观察发现，第一个分数的分子3和第二个分数的分母5没有公因数，但第一个分数的分母4和第二个分数的分子2有公因数2。我们可以先将4和2分别除以2，变成2和1，然后再计算： 。这样计算更简单。 【跟踪练习2】 计算下面各题，能约分的要先约分。 （1） （2） 【典型例题3】 一袋糖果重 千克，一箱有20袋。这箱糖果的一半重多少千克？ 解析： 1.分析：要求“这箱糖果的一半”重多少，可以先求出整箱糖果的总重量，再求总重量的一半；也可以直接用一袋的重量乘以袋数的一半。 2.列式：方法一： ；方法二： 。 3.计算：我们采用方法二更简便。先算 。然后算 。 4.化简： 化简为 ，或者写成带分数 千克。 【跟踪练习3】 一块长方形菜地，长是 米，宽是 米。如果每平方米菜地收青菜 千克，这块菜地一共可以收青菜多少千克？ 培优练习 一、选择题 1．盐城黄海湿地是丹顶鹤的诗意家园，亭亭玉立的丹顶鹤徜徉在滩涂之上，尽显优雅之姿。丹顶鹤站立时身高约140厘米，其颈长约占身高的。估算丹顶鹤的颈长约（    ）厘米。 A．50 B．56 C．60 D．84 2．两根同样长的铁丝，第一根用去，第二根用去米。两根铁丝剩下部分的长度相比较，（    ）。 A．第一根长 B．第二根长 C．同样长 D．无法确定 3．下面能够表示的图是（    ）。 A． B． C． D． 4．两根同样长的绳子，第一根先截去全长的，再截去米；第二根先截去米，再截去余下的。两根绳子截去的部分相比，结果是（    ）。 A．两根截去的一样长 B．第一根截去的长 C．第二根截去的长 D．无法确定 5．在一次大型马拉松比赛中，完赛选手的成绩分布在3小时30分钟到5小时之间。此次比赛共有2000名选手完赛，其中大约有的选手成绩在4小时以内。成绩在4小时以内的选手大约有（    ）人。 A．200～300 B．300～700 C．400～600 D．500～800 二、填空题 6．与互为倒数，那么的结果是( )。 7．计算，就是用5个( )乘3个( )，得( )个( )，是( )。 8．小区安装了草坪自动喷灌系统，第一小时浇灌草坪总面积的，第二小时浇灌剩余面积的，第二小时浇灌总面积的；还剩总面积的未浇灌。 9．弟弟把错当成进行计算，这样算出的结果与正确结果相差( )。 10．下图大正方形面积表示为1，平均分成5行。求涂色部分面积可列式为：( )。 三、判断题 11．0.75的倒数是，1的倒数是它本身，0没有倒数。( ) 12．一个数（0除外）乘真分数，积一定小于这个数。( ) 13．两堆各1吨重的煤，甲堆用去它的，乙堆用去吨，则两堆煤剩下的质量一样重( )。 14．下面这幅图可以表示。( ) 15．一本漫画书，小希第一天看了全书的，第二天看了剩下页数的，两天看的同样多。( ) 四、计算题 16．直接写出结果。                                              17．看图列式计算。 五、解答题 18．乡村振兴帮扶小组援建了一个饲养场，饲养场里养了1600只鸡。根据市场需求，饲养场养的鸭的数量比鸡多。这个饲养场里鸡和鸭一共有多少只？ 19．小薇用手机软件搜索了一下从家到动物园的总路程为30千米，出行过程中需要使用步行、乘坐地铁和骑共享单车三种方式，其中乘坐地铁的里程占总路程的，骑共享单车的里程占总路程的，这两种交通方式出行的路程之和是多少？ 20．在“读书周”活动中，林芳打算用7天时间读完一本112页的故事书，她星期一到星期五每天读这本书的，剩下的星期六星期天读完。 (1)星期一到星期五每天读多少页？ (2)星期六星期天这两天平均每天要读多少页？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $