第19章二次根式检测卷（培优卷） 2025-2026学年人教版数学八年级下册

2026春季人教版新教材八年级下册 第19章二次根式检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题 每题3分 1．下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D．​ 【答案】D 【分析】本题考查二次根式，根据二次根式的定义（形如（）的式子是二次根式，需满足根指数为2且被开方数非负），逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：A、的被开方数，式子无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意； B、的根指数为3，不是二次根式，故本选项不符合题意； C、中的取值范围不确定，当时式子无意义，不一定是二次根式，故本选项不符合题意； D、的根指数为2，被开方数，符合二次根式的定义，一定是二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 2．下列根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的识别，解题的关键是掌握：被开方数的因数是整数，字母因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此判断即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B．是最简二次根式，故此选项符合题意； C．，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D．，不是最简二次根式，故此选项不符合题意． 故选：B． 3．下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，需依据同类二次根式的加减法则及二次根式的乘除法则逐一判断各选项． 【详解】解：A选项，，正确， B选项，，不正确， C选项，，不正确， D选项，，不正确， 故选A． 4．长方形的长和宽如图所示，则该长方形的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，解题的关键是掌握二次根式乘法法则． 根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 5．已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简； 由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知ab必须异号，而，易确定b的取值范围，然后即可化简． 【详解】解：有意义， ， ， 又， ， ． 故选：A． 6．已知、为实数，且，求的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，先根据二次根式有意义的条件求出，从而可得，再代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， 解得：， ∴ ， ∴， 故选：C． 7．下列二次根式化成最简二次根式以后，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简各选项为最简二次根式，根据其被开方数是否与的被开方数相同即可解答． 【详解】解：A、，被开方数为2，能与合并，不符合题意； B、，被开方数为2，能与合并，不符合题意； C、，被开方数为3，不能与合并，符合题意； D、，被开方数为2，能与合并，不符合题意． 8．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握平方与开平方的计算方法是解题关键． 把的值代入所给公式即可求解． 【详解】解：将代入公式得， ． 故选：B． 9．如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据已知条件求得大正方形的边长是解决问题的关键． 根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到大正方形的边长，用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可得余下部分的面积． 【详解】解：∵两个小正方形的面积分别为和， ∴两个小正方形的边长分别为和， ∴大正方形的边长是， ∴大正方形的面积是， ∴余下的面积是． 故选：A． 10．估计的值应在（     ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算． 先计算，得到，然后通过估计的值确定范围 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴值在8和9之间． 故选：C． 11．已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简及完全平方数的性质，关键是熟练应用知识点解题；先将化简，再根据结果为整数的条件确定的最小值. 【详解】解：∵， 又∵是整数，是正整数， ∴必须是整数，即为完全平方数， ∴最小为时，是完全平方数， ∴的最小值是， 故选：C． 12．已知，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的比较大小，二次根式的分母有理化，解题的关键是掌握倒数法比较大小． 先对每个数的倒数进行分母有理化，再比较大小，根据倒数大的反而小，即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴， 故选：A． 评卷人 得分 二、填空题 每题3分 13．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解． 【详解】解：由题意可得，，解得． 即实数的取值范围是． 14．化简：_____ 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的性质．利用二次根式的性质将原式转化为绝对值形式，再根据与的大小关系去绝对值符号完成化简． 【详解】解：根据二次根式的性质，可得， 因为， 所以， 根据绝对值的性质，当时，， 因此． 故答案为：． 15．已知，，则代数式的值等于________． 【答案】19 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，已知字母的值，求代数式的值，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键．先求出，，再将完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ． 故答案为：19． 16．如果最简根式和是同类二次根式，则______ 【答案】2 【分析】根据同类二次根式的定义：两个最简二次根式，被开方数相同，列式求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查同类二次根式．熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 评卷人 得分 三、解答题 共72分 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则求解即可； （2）先计算零指数幂，负整数指数幂和绝对值，再计算加减法即可； （3）先计算二次根式乘除法，再化简二次根式即可； （4）先利用平方差公式去括号和化简二次根式，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．用“※”表示一种新的运算，对于实数、，都有※．例如：※ ． (1)求※的值； (2)若※※，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解一元一次方程，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握运算法则． （1）按照运算法则计算即可； （2）根据题意可得关于的一元一次方程，解方程即可得的值． 【详解】（1）解：∵对于实数、，都有※， ∴※ （2）解：∵对于实数、，都有※， ∴※， ∴※※※， ∵※※， ∴， ∴． 19．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】根据数轴判断，，，然后根据，以及去括号法则、合并同类项法则化简即可． 【详解】解：由数轴知：，， ∴，，， ∴ ． 20．已知a，b，c满足． (1)求a，b，c的值； (2)以a，b，c为三角形的三边长，请求出这个三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了绝对值、算术平方根以及偶次方根的非负性，二次根式的加减运算，掌握相关结论即可； （1）由题意得：，即可求解； （2）将a，b，c代入计算即可； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴； （2）解：三角形的周长； 21．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，完全平方公式，运用相关公式、法则正确进行分式的化简是解题的关键．先根据分式的混合运算法则进行化简，然后将代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ； 将代入，原式． 22．根据以下素材，探索完成任务. 设计合适的盒子 素材1 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，小志制作了一面圆形团扇作为春节礼物，这把团扇的扇面圆面积为，手柄长为. 素材2 为了美观，小志设计一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装. 任务 （1）根据素材1，该圆形团扇的半径为__________； （2）根据素材2，求出该长方体盒子的长和高； （3）如果不考虑团扇和盒子的厚度，这个长方体盒子能装得下这面团扇吗？请说明理由. 【答案】（1）；（2）该长方体盒子的长为，高为；（3）这个长方体盒子能装得下这面团扇，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，无理数的估算，解题的关键是正确理解题意，化简二次根式． （1）设该圆形团扇的半径为，根据扇形面积公式即可求解； （2）可设长为，高为，再由长方体的正面的面积为建立方程求解即可； （3）先求出圆形团扇的直径为，总高度为，再与长方体盒子的长和高比较即可． 【详解】解：（1）设该圆形团扇的半径为 团扇面积为， ∴， 解得（舍负） 故答案为：9． （2）∵小志设计一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装 ∴可设长为，高为， ∵， 解得（舍负）， ∴该长方体盒子的长为，高为； （3）这个长方体盒子能装得下这面团扇，理由如下： 圆形团扇的直径为，总高度为， ∵，， ∴这个长方体盒子能装得下这面团扇． 23．阅读材料： 双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．当然也可以利用得，故 像这样，通过分子、分母同乘以（或除以）一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 解决问题： (1)化简： (2)计算： (3)若求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）给分子分母同乘分母的有理化因式，结合平方差公式进行分母有理化化简； （2）对每个分式分别分母有理化后，利用中间项抵消的规律简便计算； （3）先将分母有理化，再利用完全平方公式变形所求式子后代入计算． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： ∴ 24．阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）填空： ① ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】（1）①；；②；；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． （1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为，根据题意得：，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为，代值计算即可． 【详解】解：（1）①； ②； 故答案为：①；；②；； （2）； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为， 根据题意得：，， ∴，， 剩余部分的面积为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026春季人教版新教材八年级下册 第19章二次根式检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题 每题3分 1．下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D．​ 2．下列根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 4．长方形的长和宽如图所示，则该长方形的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．16 5．已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 6．已知、为实数，且，求的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．13 7．下列二次根式化成最简二次根式以后，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 8．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 9．如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为（   ） A． B． C． D． 10．估计的值应在（     ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 11．已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 12．已知，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 评卷人 得分 二、填空题 每题3分 13．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 14．化简：_____ 15．已知，，则代数式的值等于________． 16．如果最简根式和是同类二次根式，则______ 评卷人 得分 三、解答题 共72分 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．用“※”表示一种新的运算，对于实数、，都有※．例如：※ ． (1)求※的值； (2)若※※，求的值． 19．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 20．已知a，b，c满足． (1)求a，b，c的值； (2)以a，b，c为三角形的三边长，请求出这个三角形的周长． 21．先化简，再求值：，其中． 22．根据以下素材，探索完成任务. 设计合适的盒子 素材1 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，小志制作了一面圆形团扇作为春节礼物，这把团扇的扇面圆面积为，手柄长为. 素材2 为了美观，小志设计一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装. 任务 （1）根据素材1，该圆形团扇的半径为__________； （2）根据素材2，求出该长方体盒子的长和高； （3）如果不考虑团扇和盒子的厚度，这个长方体盒子能装得下这面团扇吗？请说明理由. 23．阅读材料： 双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．当然也可以利用得，故 像这样，通过分子、分母同乘以（或除以）一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 解决问题： (1)化简： (2)计算： (3)若求的值． 24．阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 （1）填空： ① ② （2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 （3）如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $