精品解析：江苏省南通中学附属实验学校2025--2026学年上学期12月八年级月考试卷数学

八年级数学试卷（2025.12） （本卷满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 一种多模光纤芯的半径是0.00003125米，将0.00003125用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法表示绝对值小于1的数：把一个绝对值小于1的数表示成的形式（，是正整数）． 根据科学记数法的定义，计算求值即可； 【详解】解：， 故选：C． 2. 使分式有意义的x的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案． 本题考查了分式有意义的条件，利用分式的分母不为零得出不等式是解题关键． 【详解】解：由分式有意义，得， 解得， 故选：A． 3. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变可判断A；同底数幂相除，底数不变指数相减可判断B；同底数幂相乘，底数不变指数相加可判断C，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘可判断D． 【详解】解：A、，故选项A计算不正确，不符合题意； B、，故选项B计算不正确，不符合题意； C、，故选项C正确；符合题意； D、，故选项D计算不正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．此题考查最简二次根式问题，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，被开方数不能含有分母；（2）在二次根式的被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意 B、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D、是最简二次根式，故该选项符合题意； 故选D 5. 下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，因此，要确定从左边到右边的变形是否是因式分解，只需根据定义来确定即可． 【详解】解：A、是多项式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B、等号右边不是积的形式，不符合题意； C、是多项式的乘法，不是因式分解，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选：D． 6. 将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，则分式的值（    ） A. 扩大为原来的倍 B. 扩大为原来的倍 C. 不变 D. 扩大为原来的倍 【答案】B 【解析】 【分析】将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，进行计算后，再与原分式进行比较得出答案． 【详解】解：将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，原分式可变为， 因此分式的值较原来扩大了倍， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是正确判断的前提． 7. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（　　） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先根据角平分线的性质可得，再根据求解即可得． 【详解】解：是的平分线，且， ， ， ， ，即， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键． 8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则． 9. 如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=110°，延长BC到D，在∠ACD内作射线CE，使得∠ECD=15°．过点A作AF⊥CE，垂足为F．若AF=，则AB的长为（　　） A. B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】过点C作CH⊥AB于H，根据等腰三角形的性质以及角的和差求出AH＝BH，∠ACH＝∠ACF＝55°，则CA平分∠HCF，根据角平分线的性质可得AH＝AF，即可得AB的长． 【详解】解：过点C作CH⊥AB于H， ∵CA＝CB，∠ACB＝110°， ∴∠ACH∠ACB＝55°，∠ACD＝70°， ∵∠ECD＝15°． ∴∠ACF＝∠ACD﹣∠ECD＝55°， ∴∠ACH＝∠ACF＝55°， ∴CA平分∠HCF， ∵AF⊥CE，CH⊥AB， ∴AH＝AF， ∴AB＝2AH＝2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，解决问题的关键是得出CA平分∠HCF． 10. 已知实数a，b满足，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得，设，依题意得出，进而根据二次函数的性质 ，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 设，∵ ∴，即 ∴ 即当时，，的最大值为 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可； 【详解】解：由题可知， 解得： 故答案为： ． 12. 因式分解_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 若，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法和乘方的逆运算，由已知方程得 ，把原式化为，代入求值即可． 【详解】∵， ∴ ∴． 故答案为：256 14. 若长方形的长为，宽为，则该长方形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查二次根式的混合运算的应用，计算长与宽的和，最后利用周长公式求解即可 【详解】解：长方形的周长 故答案为 15. 已知，化简_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握成为解题的关键． 先运用完全平方公式对被开方数因式分解，然后再根据二次根式的性质化简即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：1． 16. 已知关于x的方程的解大于1，则a的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，将分式方程转化为整式方程后得出不等式是解题的关键． 分式方程去分母转化成整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程的解大于1结合分式有意义的条件即可求出a的取值范围． 【详解】解：， 去分母得：， 解得： ， ∵关于x的方程的解大于1， ∴得到 ，且， 解得：且． 故答案为：且． 17. 若，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形应用，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，先由，得出，求出，，得出，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴，， 解得：，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 18. 新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式________； ②若，则交换对称式的最小值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是关键． 对于①，利用多项式的乘法得到和的值，代入表达式求值；对于②，先将表达式化简为关于的表达式，然后配方求最小值． 【详解】①∵，， ∴， ∴，， ∵ ∵，， ∴原式， 故答案为； ② ∵ ∴原式 故答案为． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、整式的混合运算，关键是熟练应用运算法则进行计算； （1）先算乘除，然后计算加减即可； （2）先算乘方、绝对值及算术平方根化简，最后算加减； （3）先算幂的乘方、同底数幂的乘法，最后合并同类项即可； （4）根据多项式除以单项式的法则计算即可； 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ； 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程的求解过程，一定要注意检验． （1）将分式方程化为整式方程，然后求解，最后检验即可； （2）将分式方程化为整式方程，然后求解，最后检验即可． 【小问1详解】 解：由可得， 即，解得， 经检验，是分式方程的根； 【小问2详解】 解：由可得， 化简可得：， 解得：， 经检验，是分式方程的增根，原分式方程无解． 21. 如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC．CF平分∠DCE．求证： （1）△ACD≌△BEC； （2）CF⊥DE． 【答案】 证明：（1）， ， 在和中 ， （2）， ， 又平分， ． 【解析】 【分析】（1）根据平行线性质求出，根据推出即可． （2）根据全等三角形性质推出，根据等腰三角形性质求出即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行线性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质的应用，解题的关键是：注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等． 22. 先化简再求值：，其中． 【答案】． 【解析】 【分析】先因式分解，再利用分式的除法性质：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，约分、化简，最后代入特殊值解题即可． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝a﹣2， 当a＝2+时，原式＝2+﹣2＝． 【点睛】本题考查分式的化简求值，其中涉及因式分解：十字相乘法、平方差公式、完全平方公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 23. 工厂加工某种零件，经测试，单独加工完成这种零件，甲车床需用x小时，乙车床需用小时，丙车床需用小时． （1）单独加工完成这种零件，若甲车床所用的时间是丙车床的 ，求乙车床单独加工完成这种零件所需的时间； （2）加工这种零件，乙车床的工作效率与丙车床的工作效率能否相同？请说明理由． 【答案】（1）15小时 （2） 不相同， 理由：∵乙车床的工作效率与丙车床的工作效率相同，由题意得， ∴， ∴， ∴． 经检验，x＝1不是原方程的解， ∴ 原方程无解． 答：乙车床的工作效率与丙车床的工作效率不能相同． 【解析】 【分析】（1）若甲车床需要x小时，丙车床需用小时，根据甲车床所用的时间是丙车床的，即可列出方程求解． （2）假设乙车床的工作效率与丙车床的工作效率相同列出方程，证明它无解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ， 解得． ∴ (小时)． 答：乙车床单独加工完成这种零件所需的时间是15小时． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系列方程是解本题的关键． 24. 如图，在中， （1）请用无刻度的直尺、圆规作出的平分线，作出的垂直平分线，与相交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知，，作，交于点，，交的延长线于点，求线段的长． 【答案】（1） 如图，，即为所求； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了作图——基本作图，角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用基本作图作的平分线和作的垂直平分线，它们的交点即为点； （）连接，，由角平分线性质可得，又，，则，证明，所以，由作图可知垂直平分，则，证明，所以，即有，然后代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由作图可知垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 如图，甲和乙均是容积为V且高为h的长方体盒子（不计制造材料的厚度），甲盒子底面是边长为a的正方形，乙盒子底面是长为b，宽为c的长方形（）． （1）若，则甲盒子的侧面积为________； （2）若，甲，乙两个盒子侧面积的和为40.5，求c的长； （3）甲，乙两个盒子中，哪个的侧面积的更小？请说明理由．（提示：） 【答案】（1） （2） （3）解：甲的侧面积更小，理由如下： 甲的侧面积为：，乙的侧面积为：． ∴ ∵（） ∴ 又 ∴ ∴，即 ∴当时，甲的侧面积更小， 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算、完全平方公式以及因式分解等知识点，掌握长方体的体积和侧面积公式是解题关键． （1）由题意得甲、乙底面积相同，可得，据此即可求解； （2）由题意可得，根据甲，乙两个盒子侧面积可推出，结合即可求解； （3）由题意可得甲的侧面积为：，乙的侧面积为：．作差，即可求解． 【小问1详解】 解：∵长方体体积相同，高相同， ∴甲、乙底面积相同． ∴． ∴， ∴甲盒子的侧面积为：， 故答案为： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵甲，乙两个盒子侧面积和为， ∴， 又， ∴． ∴． 【小问3详解】 略 26. 已知． （1）若． ①直接写出的值为________； ②求的值； ③求的值． （2）若，求的最小值． 【答案】（1）① ② ③ （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，平方差公式及完全平方公式的应用，关键是灵活应用知识点解题； （1）①直接根据平方差公式计算即可； ②先通分，再展开，然后将的结果代入即可； ③先提出，再仿照②解答； （2）由已知得，再将待求式整理为含，的式子，然后分两种情况讨论最小值即可． 【小问1详解】 ①解：由题意得：． 故答案为：； ②解：∵， ∴ ∴原式； ③解：原式 ； 【小问2详解】 解：由题意得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵有实数根， ∴， 即： 当时，，， 即： ∴原式 ， ∵， ∴当时， 上式最小，最小值为：， 当时，，， 即： ∴原式 ， ∵， ∴当时， 上式的值最小，最小值为； 综上所述，的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试卷（2025.12） （本卷满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 一种多模光纤芯的半径是0.00003125米，将0.00003125用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 使分式有意义的x的取值范围是（    ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，则分式的值（    ） A. 扩大为原来的倍 B. 扩大为原来的倍 C. 不变 D. 扩大为原来的倍 7. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（　　） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 8. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=110°，延长BC到D，在∠ACD内作射线CE，使得∠ECD=15°．过点A作AF⊥CE，垂足为F．若AF=，则AB的长为（　　） A. B. 2 C. 4 D. 6 10. 已知实数a，b满足，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是________． 12. 因式分解_____． 13. 若，则的值是________． 14. 若长方形的长为，宽为，则该长方形的周长为______． 15. 已知，化简_______． 16. 已知关于x的方程的解大于1，则a的取值范围是________． 17. 若，且，则______． 18. 新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式________； ②若，则交换对称式的最小值为________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC．CF平分∠DCE．求证： （1）△ACD≌△BEC； （2）CF⊥DE． 22. 先化简再求值：，其中． 23. 工厂加工某种零件，经测试，单独加工完成这种零件，甲车床需用x小时，乙车床需用小时，丙车床需用小时． （1）单独加工完成这种零件，若甲车床所用的时间是丙车床的 ，求乙车床单独加工完成这种零件所需的时间； （2）加工这种零件，乙车床的工作效率与丙车床的工作效率能否相同？请说明理由． 24. 如图，在中， （1）请用无刻度的直尺、圆规作出的平分线，作出的垂直平分线，与相交于点（不写作法，保留作图痕迹）； （2）已知，，作，交于点，，交的延长线于点，求线段的长． 25. 如图，甲和乙均是容积为V且高为h的长方体盒子（不计制造材料的厚度），甲盒子底面是边长为a的正方形，乙盒子底面是长为b，宽为c的长方形（）． （1）若，则甲盒子的侧面积为________； （2）若，甲，乙两个盒子侧面积的和为40.5，求c的长； （3）甲，乙两个盒子中，哪个的侧面积的更小？请说明理由．（提示：） 26. 已知． （1）若． ①直接写出的值为________； ②求的值； ③求的值． （2）若，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $