第20章勾股定理检测卷（培优卷） 2025-2026学年人教版数学八年级下册

2026春季人教版新教材八年级下册 第20章勾股定理检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题 每题3分 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，3， B．2，4，5 C．6，8，10 D．5，10，15 【答案】C 【分析】勾股数是指满足的三个正整数，需同时满足是正整数且符合勾股定理这两个条件． 【详解】解：A选项：不是正整数，不符合勾股数定义，故A不符合题意； B选项：∵，，，不满足勾股定理，故B不符合题意； C选项：∵，，即，且6、8、10均为正整数，符合勾股数定义，故C符合题意； D选项：∵，，，不满足勾股定理，故D不符合题意． 【点睛】注意勾股数不仅要满足，还要满足三个数为正整数． 2．如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在网格线的交点上，其中长度为无理数的线段是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理．根据勾股定理求出每条线段的长即可判断． 【详解】解：由勾股定理可得：，， 故长度为无理数的线段是， 故选：D． 3．已知三边长分别为，，，且满足，则是（  ） A．以为斜边长的直角三角形 B．以为斜边长的直角三角形 C．以为斜边长的直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】本题考查非负数的性质及勾股定理的逆定理，先利用非负数的性质求出的三边长，再通过勾股定理的逆定理判断三角形形状及斜边． 【详解】解：∵，，，且， ∴，，， ∴，，， 解得，，， ∵，， ∴， 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，且a为斜边长， 故选C． 4．已知：在中，分别是的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理及勾股定理的逆定理的应用，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键． 利用三角形内角和定理和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵，，∴，，，∴不是直角三角形，故此选项符合题意； C、∵，，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵，∴可设，∵，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选B． 5．已知直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长可能为（   ） A．3 B．4 C．5 D．5或 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，需分两种情况讨论，利用勾股定理计算第三边长，题目未明确已知两边是直角边还是斜边． 【详解】解：∵直角三角形的两边长分别为3和4 当3和4为两条直角边时 由勾股定理得，第三边长为； 当4为斜边，3为直角边时 由勾股定理得，第三边长为 ∴第三边长为5或， 故选：D． 6．如图，以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是（   ） A． B． C．-2．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出的长，即可得到的长，据此可得答案． 【详解】解：由勾股定理得， 由作图方法可得， ∵点A在点B左侧，点B为原点， ∴点A表示的实数是， 故选：A． 7．如图正方形的边长为，，连接，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用．延长交于点，根据正方形的性质证明，可得、、，由勾股定理可得的长． 【详解】解：如图，延长交于点， ，，， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ， ，， ，， 又，， ，， 在和中， ， ， ，，， ， 同理可得， 在中， ， 故选：B． 8．如图，在中，，若将沿折叠，使得点与上的点重合，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，掌握三角形高相等，面积之比等于底之比是解题的关键． 先用勾股定理的逆定理，得到是直角三角形，根据边长求出的面积，再由折叠可知和有一条高相等，则面积之比等于底之比，即可求解． 【详解】解：， ， 是直角三角形， ， 由折叠可知， ， ． 故选：B． 9．一个底面周长为，高为的圆柱，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处，则小虫爬的最短路径长为（   ）． A．13 B．15 C． D．18 【答案】A 【分析】将圆柱的侧面展开得到一个长方形，则根据两点之间线段最短可得出最短路径．而长方形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理可得出结果． 【详解】解：展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知最短． 由题意，得，， 在中，由勾股定理，得， 即小虫爬的最短路径长为． 10．下列命题中，其中正确命题的个数为（    ）个 ①中，已知两边长分别为3和4，则第三边为5； ②有一个内角等于其他两个内角和的三角形是直角三角形； ③三角形的三边分别为，，若，则 ④在中，，则为直角三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形的判定，利用勾股定理及其逆定理、三角形内角和定理即可判定． 【详解】解：若4是斜边，则第三边为, 若4是直角边，则第三边为, 故①错误； ∵三角形的内角和为， ∴若三角形中一个内角等于其它两个内角的和，则这个角的度数为， ∴这个三角形是直角三角形， 故②正确； ∵三角形的三边a、b、c满足， ∴中，， 故③错误； ∵在中，， ∴， ∴是直角三角形， 故④正确； 综上所述，上述四个命题中，正确的有2个． 故选：B． 11．如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点为垂足，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理．根据线段垂直平分线的性质得出的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：连接，    ∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 故选：D． 12．《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明， 完全平方公式的应用，三角形的面积，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意由4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积为以为边长的正方形面积减去两个直角三角形的面积，建立方程求解出的值，再利用完全平方公式变形即可解答． 【详解】解：已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10， 根据题意：，， 则， ，， ， （负值舍去），即， 故选：D． 评卷人 得分 二、填空题 每题3分 13．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为，宽为，对角线长为，则这个桌面______．（填“合格”或“不合格”） 【答案】合格 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键在于掌握勾股定理的逆定理； 首先，用桌面长的平方加上宽的平方，看其是否等于对角线的平方； 然后，若其相等则满足勾股定理的逆定理，三者构成直角三角形，桌面合格，否则不合格． 【详解】解：∵长方形桌面的长为，宽为，对角线长为，， ∴，， ， ∴ ∴桌面的角是直角， ∴这个桌面是合格的， 故答案为：合格． 14．如图，甲，乙两船同时从港口O出发，甲以20海里/时的速度向南偏东方向航行，乙船向南偏西方向航行，已知它们离开港口两小时后，两船相距50海里，则乙船的速度为______海里/时． 【答案】15 【分析】本题考查勾股定理，方向角的概念，关键是应用勾股定理求出的长．由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：由条件得：(海里)，(海里)， 而， ∴ (海里)， ∴乙船的速度是(海里/时)． 故答案为：15． 15．如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为_____ 【答案】55 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据勾股定理可得，，，，然后列式解答即可． 【详解】解：建立如图的数据， 由题意得，，，，，， ∴ ， 故答案为：55． 16．如图，在中，，点D在边上，，平分交于点E，若，则的长为________．    【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，先根据，运用勾股定理列式计算，得，又因为平分交于点E，， ，得，故，即可作答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分交于点E， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 故答案为：10． 评卷人 得分 三、解答题 共72分 17．如图，在中，，点D在边上，． (1)求边上的高； (2)求的长． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． （1）过点A作于点M，由勾股定理可得出，即可求出答案； （2）过点B作于点N，由勾股定理得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点A作于点M， ∵， ∴M是的中点， ∵， ∴， ∴， 即边上的高为4； （2）过点B作于点N， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长 (2)四边形的面积． 【答案】(1)5 (2)36 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中， 根据勾股定理求得的长即可； （2）在中，根据得到是直角三角形，利用进行求解即可． 【详解】（1）解： 在中，， 由勾股定理得； （2）解：在中， 由于，即， 则是直角三角形， 因此． 19．阅读与探究： 勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫作一组“勾股数”， 【探究1】 （1）①如果、、是一组勾股数，即满足，则、、（为正整数）也是一组勾股数．如：3、4、5是一组勾股数，则_____________也是一组勾股数． ②另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出：，，（为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的、、是一组勾股数． 【探究2】 （2）观察3、4、5；5、12、13；7、24、25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且以3起就没有间断过，并且勾为3时，股，弦；勾为5时，股，弦． 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： ①如果勾为7时，则股_____________；弦_____________． ②现在将勾用表示，股用表示，弦用表示，当时，（，且为奇数）则_________；_________；（用含有的式子表示）并证明这个规律的合理性． 【答案】探究1（1）①6，8，10；②见解析；探究2（2）①，；②，，证明见解析 【分析】本题主要考查勾股定理的证明，注意由具体例子观察发现规律，证明的时候熟练运用完全平方公式． （1）①根据为正整数举例即可； ②通过计算验证给定公式满足勾股定理即可； （2）①根据奇数勾股数的规律，勾的平方减1除以2得股，加1除以2得弦即可； ②由①得出规律，并证明其满足勾股定理即可． 【详解】解： 探究1：（1）①∵3，4，5是一组勾股数， 又为正整数， ∴当时，，，，且， ∴6，8，10也是一组勾股数（答案不唯一） ②证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴a，b，c是一组勾股数 （2）①如果勾为7，则股，弦， 故答案为：；； ②当（，且n为奇数）时，，； 证明：∵，， ∴， ∴该规律合理． 故答案为：；． 20．如图，是中边上的高，点E在边上．    (1)若是的角平分线，，，求的度数； (2)若是的中线，，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和、角平分线和垂直的定义，易求，，计算即可求解． （2）设，则，，根据勾股定理，可列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：，， ， 是的角平分线， ， 是中边上的高， ， ， ； （2）解：设， 是的中线， ， ， ，， 是中边上的高， ， 在中，，则，即， 在中，，则，， ， 解得， 则的长为． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，垂直的定义，勾股定理，列方程等知识点，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 21．如图，在中，，一动点D从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，设运动时间为t． (1)求； (2)当时，求； (3)若平分，求t． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理的应用，熟练掌握角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），结合勾股定理建立方程求解是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）先求出当时，点运动到上，，再利用勾股定理即可求解； （3）过点作，利用角平分线的性质可知，再证，推出，最后利用股定即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴； （2）解：∵， 当时，点运动的距离为， 此时，点运动到上， 则， ∵， ∴； （3）解：如图，过点作， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， 根据题意，，则， ∵， ∴，即， 解得． 22．如图，在中，，斜边的垂直平分线分别交，于D，E两点，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用． （1）先根据线段的垂直平分线的性质证明，再证明，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）设，则，在中，根据勾股定理得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ，， ． ，， ， 解得； （2）解：是的垂直平分线， ． 设，则， 在中，根据勾股定理，得 ，即， 解得， ． 23．如图，点，点分别为轴正半轴、轴负半轴上的点，以点为直角顶点在第二象限作等腰． (1)如图1，若、满足，求点的坐标 (2)在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点M在上，点N在的延长线上，，请证明：． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为或或 (3)见解析 【分析】此题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形等知识， （1）过点作轴于．求出，，证明， 则，，求出，即可得到答案； （2）设点P的坐标为，则，，求出，分两种情况分别进行解答即可； （3）过点作，使，连接、．证明， 则，，证明， 则，得到，则， 由勾股定理得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图：过点作轴于． ∵， ∴， ，， ，， ，， ∵是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ； （2）存在； 设点P的坐标为，则， ∵，， ∴， 当时，则，得到，解得或（不合题意，舍去） ∴此时点P的坐标为； 当时，得到，解得或 ∴此时点P的坐标为或； 综上可知，点P的坐标为或或； （3）过点作，使，连接、． ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， 在和中， ，，， ， ，， ， ， ． 24．【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：与按如图所示位置放置，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点（在同一直线上），其中，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ (3)【延伸扩展】在问题解决中若时，，米，米，米，求的长度？ 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少1米 (3)米 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证． （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果． （3）为y米，在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：， 又， 是同一图形的面积，面积相等， ， ． （2）解：设为米，则米，米， ， ∴， 在中，，米， ， 即， 解得：， （米）， （米）， 新路比原路少1米． （3）解：由题意设：为y米， 又米，米，米， 米， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， 的长度为米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026春季人教版新教材八年级下册 第20章勾股定理检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题 每题3分 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，3， B．2，4，5 C．6，8，10 D．5，10，15 2．如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在网格线的交点上，其中长度为无理数的线段是（  ） A． B． C． D． 3．已知三边长分别为，，，且满足，则是（  ） A．以为斜边长的直角三角形 B．以为斜边长的直角三角形 C．以为斜边长的直角三角形 D．等腰三角形 4．已知：在中，分别是的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D． 5．已知直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长可能为（   ） A．3 B．4 C．5 D．5或 6．如图，以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是（   ） A． B． C．-2．2 D． 7．如图正方形的边长为，，连接，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，若将沿折叠，使得点与上的点重合，则的面积为（   ） A． B． C． D． 9．一个底面周长为，高为的圆柱，有一只小虫从底部点A处爬到上底B处，则小虫爬的最短路径长为（   ）． A．13 B．15 C． D．18 10．下列命题中，其中正确命题的个数为（    ）个 ①中，已知两边长分别为3和4，则第三边为5； ②有一个内角等于其他两个内角和的三角形是直角三角形； ③三角形的三边分别为，，若，则 ④在中，，则为直角三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点为垂足，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 12．《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 评卷人 得分 二、填空题 每题3分 13．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为，宽为，对角线长为，则这个桌面______．（填“合格”或“不合格”） 14．如图，甲，乙两船同时从港口O出发，甲以20海里/时的速度向南偏东方向航行，乙船向南偏西方向航行，已知它们离开港口两小时后，两船相距50海里，则乙船的速度为______海里/时． 15．如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为_____ 16．如图，在中，，点D在边上，，平分交于点E，若，则的长为________．    评卷人 得分 三、解答题 共72分 17．如图，在中，，点D在边上，． (1)求边上的高； (2)求的长． 18．如图，在四边形中，，，，，． (1)求的长 (2)四边形的面积． 19．阅读与探究： 勾股定理是一个基本的几何定理，在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫作一组“勾股数”， 【探究1】 （1）①如果、、是一组勾股数，即满足，则、、（为正整数）也是一组勾股数．如：3、4、5是一组勾股数，则_____________也是一组勾股数． ②另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出：，，（为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的、、是一组勾股数． 【探究2】 （2）观察3、4、5；5、12、13；7、24、25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且以3起就没有间断过，并且勾为3时，股，弦；勾为5时，股，弦． 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： ①如果勾为7时，则股_____________；弦_____________． ②现在将勾用表示，股用表示，弦用表示，当时，（，且为奇数）则_________；_________；（用含有的式子表示）并证明这个规律的合理性． 20．如图，是中边上的高，点E在边上．    (1)若是的角平分线，，，求的度数； (2)若是的中线，，，，求的长． 21．如图，在中，，一动点D从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，设运动时间为t． (1)求； (2)当时，求； (3)若平分，求t． 22．如图，在中，，斜边的垂直平分线分别交，于D，E两点，连接． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 23．如图，点，点分别为轴正半轴、轴负半轴上的点，以点为直角顶点在第二象限作等腰． (1)如图1，若、满足，求点的坐标 (2)在x轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点M在上，点N在的延长线上，，请证明：． 24．【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：与按如图所示位置放置，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点（在同一直线上），其中，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ (3)【延伸扩展】在问题解决中若时，，米，米，米，求的长度？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $