8.1.3 三角形的三边关系（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年七年级下册数学（华东师大版·新教材）

CE∥BA,∴.∠B=∠1，∠2=∠A. :∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴.∠A+∠B+∠ACB=180°. 6.B7.C8.100°9.直角三角形 10.解：△ABC是直角三角形.理由如下： :ED⊥AB,∠ADE=90°， ∴.∠1+∠A=90°. ∠1=∠2，∴.∠2+∠A=90°， ∴.∠C=90°，.△ABC是直角三角形. 11.20或3012.D13.D14.50° 15.(1)∠1=∠2.理由略 (2)(1)中的结论仍成立.理由略 16.略 17.解：[感知]∠1=2∠A [探究]2∠A=∠1十∠2.理由如下： 由折叠的性质，得∠ADE=∠A'DE,∠AED= ∠A'ED, ∴.∠1+2∠ADE=180°，∠2+2∠AED=180°， ∴.∠1+∠2+2（∠ADE+∠AED)=360°. ∠A+∠ADE+∠AED=180°， .∠ADE+∠AED=180°-∠A, .∠1+∠2+2（∠180°-∠A)=360°， .2∠A=∠1+∠2. [拓展]28 第2课时三角形的外角性质及外角和 1.B【变式】60°2.∠1<∠2<∠33.40° 4.解：∠B=25°，∠E=30°， ∴.∠ECD=∠B+∠E=55°. :CE是∠ACD的平分线， ∴.∠ACE=∠ECD=55°， ∴.∠BAC=∠ACE+∠E=85°. 5.解：540°-（∠1+∠2+∠3）180360 [解法2]：∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3， ∠ACD=∠1+∠2， ∴.∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3). ∠1+∠2+∠3=180°， ∴.∠BAE+∠CBF+∠ACD=2X180°=360°. 或[解法2]如图，过点A作射线AP∥BD. E AP∥BD,∴.∠CBF=∠BAP,∠ACD=∠EAP. ,∠BAE+∠BAP+∠EAP=360°， ∴.∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°. 6.C7.B8.50° ·答 9.解：(1)∠B=40 (2)∠BOC=∠A十∠B十∠C.理由如下： ,∠BEC是△ABE的外角， ∴∠BEC=∠A+∠B. :∠BOC是△COE的外角， ∴.∠BOC=∠BEC+∠C, .∠BOC=∠A+∠B+∠C. 变式微专题2三角形顶点的角平 分线与高的夹角模型 解：(1)①作图如图所示. DE C 在△ABC中，∠B=40°，∠C=70°， ∴∠BAC=70. AD是∠BAC的平分线， 1 六∠BAD=2∠BAC=35, 解法1：：∠ADC是△ABD的一个外角， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=40°+35°=75°. ,AE⊥BC,∴.∠AED=90°， .∠DAE=90°-75°=15. 解法2：：AE⊥BC,∴∠AED=90°， ∠BAE=50°，∴∠DAE=50°-35°=15. ②∠DFE=15°. [解题思路]过点A作AM⊥BC,垂足为M,则 ∠DFE=∠DAM,解法同(I)①. (2)不变.理由如下： :∠ADC是△ABD的一个外角，且度数为75°不变， ∴.∠DFE=90°-∠ADC=15°. (3)∠DEF=B 2 经典模型专题11三角形中“A字” “飞镖”“8字”模型 1.C2.27°3.D4.180 5.解：选择以下一种即可. [方法一]如图1，作射线AC. 图1 .∠3=∠B+∠1，∠4=∠D+∠2， .∠3+∠4=∠B+∠D+∠1+∠2. :∠BAD=∠1+∠2， 案11· .∠BCD=∠B+∠D+∠BAD=55°+20°+45°=120°. [方法二]如图2，延长BC交AD于点E. 图2 :∠CED=∠A+∠B,∠BCD=∠CED+∠D, ∴.∠BCD=∠A+∠B+∠D=45°+55°+20°=120°. [方法三]如图3，连结BD. D 图3 '∠A+∠ABD+∠ADB=∠A+∠1+∠2+ ∠3+∠4=180°， ∴.∠A+∠2+∠4=180°-（∠1+∠3）. :∠BCD=180°-（∠1+∠3）， ∴.∠BCD=∠A+∠2+∠4=45°+55°+20°=120°. 6.略 教材变式专题12三角形双角平分线模型 1.解：(1)：在△ABC中，BO,CO分别是∠ABC, ∠ACB的平分线， ∠1-2∠ABC,∠2-3∠ACB, :∠1+∠2=7(ZABC+∠ACB)=2(180 ∠A)=90°-2∠A, ∠0=180°-（∠1+∠2）=180°-(90°-2∠A）= 90+5∠A (2),∠2是△BC0的外角，.∠0=∠2-∠1. :BO平分∠ABC,CO平分∠ACD, ∠I-3∠ABC,∠2-g∠AcD. :∠0=（∠ACD-∠ABC). :∠A=∠ACD-∠ABC,∠0-=3∠A. (3∠0=90-2∠A. :BO,CO分别为∠CBD,∠BCE的平分线， :∠2=2∠BCE,∠1=2∠DBC ,∠BCE=∠A+∠ABC,∠DBC=∠A+∠ACB, ·答多 :∠2=2（∠A+∠ABC),∠1=3（∠A+ ∠ACB), .∠0=180°-∠1-∠2=180°-（∠1+∠2）= 180°-2[∠A+(∠A+∠ABC+∠ACB)]=180° 2(∠A+180)=90-7∠A. 2.C 3.60+2。 a4.120°-1 05.1)45°（2)22 3三角形的三边关系 1.B2.B3.C 4.10m<d<50m三角形的任意两边之和大于第 三边，任意两边之差小于第三边 5.3 6.解：由三角形的三边关系可知， 8-3<2x-1<8+3, 解得3<x<6. 7.D8.三角形的稳定性 9.三角形的稳定性不稳定性 10.5.5或811.D12.B13.3 14.3a-b-c15.-3<a<-2 16.(1)3≤x<8(2)三角形周长的最大值为15 17.解：由三角形的三边关系，得AB十AD>BD, PD+CD>PC,..AB+AD+PD+CD>BD+PC, 即AB+AC+PD>BP+PD+PC, .'.AB+AC>BP+PC. 18.解：(1)：1b+c-2a|+(b+c-5)2=0, .b+c-2a=0,b+c-5=0, 5 ∴2a=5,解得a=2 (2)由b+c一5=0，得c=5-b. (3)由三角彩的三边关系，得当6≥0，中5-6>号 5 <5-6+5, , 5 5 即6≤2时，有 解得 5 <b≤2 >5-b-2' 5 5 当c<a,即5-6<2，即6>2时， 6<5-b+2: 5 有 5 b72 -(5-b), 5 15 解得2<6<4 然上所迷，6的取值范调是<6< 15 案12·3 三角形 A知识分点练 夯基础 知识点1三角形的三边关系 1.(2025·连云港)下列长度（单位：cm)的3根小木 棒能搭成三角形的是 A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,5,8 D.4,5,10 2.(2024·准安)用一根小木棒与两根长度分别为 3cm,5cm的小木棒组成三角形，则这根小木 棒的长度可以是 ( ) A.9 cm B.7 cm C.2 cm D.1 cm 3.(2024·成都锦江区月考)若使用如图所示的①② 两根直铁丝做成一个三角形框架，需要将其中 一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段的 是 5 cm 4 cm ① ② A.①②都可以 B.①②都不可以 C.只有①可以 D.只有②可以 4.如图，为了估测池塘两端A,B之间的距离，小 华在池塘边一侧选取一点O,测得OA=30m, OB=20m,则A,B两点之间的距离d的取值 范围是 ,理由是 B 5.若有4条线段的长度分别是4cm,7cm,8cm 和11cm,选择其中能组成三角形的三条线段 作三角形，则可作 个不同的三角形. 6.在△ABC中，AB=3,BC=2x-1,AC=8,求 x的取值范围. 82一本·初中数学7年级下册HDSD版 的三边关系 知识点2三角形的稳定性 7.如图，某中学的电动伸缩校门利用的数学原理 是 A.三角形的稳定性 B两点之间线段最短 C.三角形的任意两边之和大于第三边 D.四边形的不稳定性 8.港珠澳大桥全长约55km,集桥、岛、隧于一体， 是迄今世界最长的跨海大桥.港珠澳大桥中的 斜拉索桥如图所示，索塔、斜拉索、桥面构成了 三角形，这样能使其更稳定，其中运用的数学 原理是 9.造房子时屋顶常用三角结构，从数学角度来 看，是应用了 ;而活动挂架则用 了四边形的 9易错点1考虑不全而出错 10.已知等腰三角形的周长为19，一边长为8，则 该等腰三角形的腰长为 ?易错点2忽视三边关系而出错 11.等腰三角形ABC的两条边长分别为4和9， 则周长为 () A.9 B.17或22 C.17 D.22 B能力综合练 练思维、 12.已知某三角形的两边a=3,b=7,第三边是 c,且a<b<c,则c的取值范围是 () A.4<c<7 B.7<c<10 C.4<c<10 D.7<c<13 13.如图所示，要使一个六边形木架在同一平面 内不易变形，至少要再钉上 根木条. 14.已知a,b,c是△ABC的三边长，则化简|a十 b-c|+|b-c-a|-|c-a十b|的结 果是 15.数3,1一a,1一2a在数轴上从左到右依次排 列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a 的取值范围为 16.已知三角形的三条边长分别为3,5和x. (1)若3是该三角形的最短边长，求x的取值 范围； (2)若x为整数，求三角形周长的最大值， 17.如图，试说明AB+AC>BP+PC. C拓展探究练 提素养 18.小明和小红在一本数学资料书上看到有这样 一道竞赛题：“已知△ABC的三边长分别为 a,b,c,且|b+c-2a|+(b+c-5)2=0,求b 的取值范围” (1)小明说：“b的取值范围，我看不出如何求， 但我能求出α的长度.”你知道小明是如何计 算的吗？请你帮他写出求解的过程， (2)小红说：“我也看不出如何求b的范围，但 我能用含b的代数式表示c.”请帮小红写出 过程， (3)小明和小红一起去问数学老师，老师说： “根据你们二人的求解，利用三角形的三边满 足的关系即可求出答案.”你知道答案吗？请 写出过程 第8章三角形83