第10章 相交线、平行线与平移(重难题思维训练)（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年七年级下册数学（沪科版·新教材）安徽专版

第10章相交线、平行线与平移 10.3平行线的性质 题型12过拐点作平行线 例(2025·合肥四十六中期末)如图，某市二环路修到长虹家电城区时，需要拐弯绕城区而过第 次的拐角∠A是130°，第二次的拐角∠B是150°，第三次的拐角是∠C,这时的道路恰 好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数为 () A.130° B.140° C.150° D.160° 拔⊙【变式1】(2025·芜湖十一中期末)如图，AB∥CD,点C在点D的右侧，BE平分 高 ∠ABC,DE平分∠ADC,BE,DE所在直线交于点E,∠ADC=80°. 题 (1)∠CDE= (2)若∠ABC=x°，则∠BED= (用含x的式子表示) B 【变式2】已知AB∥CD,点E在AB上，点H在CD上，点F在AB,CD之间，连接 EF,FH,HM平分∠CHF,交FE的延长线于点M.若∠DHF=54°，∠EMH=30°， 则∠AEM= 【变式3】(2025·安庆太湖期末)一只螳螂如图1所示，小盟利用几何图形画出如图2所 示的螳螂简笔画，CF,BG交于点A,FG∥DE∥BC,∠FAG=40°，AC平分∠BAD. 设∠ADE=x°，∠G=y°，则x和y之间的关系是 () 图1 图2 A.x+2y=180 B.x-2y=60 C.x-y=80 D.x+y=150 14数学7车级下册HK版 压◇【变式4】(2025·合肥包河区期末)[阅读理解] 轴 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题， 题 例如，如图1，AB∥CD,点E在直线AB,CD之间，试说明∠BED=∠B十∠D. 解：如图2，过点E作EF∥AB,所以∠1=∠B. 因为AB∥CD,所以EF∥CD,所以∠2=∠D, 所以∠BED=∠1十∠2=∠B十∠D. 运用以上方法，解答下列问题： [类比应用] (1)如图3，AB∥CD,点E在直线AB,CD之间，BF平分∠ABE,DF平分∠CDE. ①若∠BED=90°，求∠ABE十∠CDE的度数； ②若∠BED=a,求∠BFD的度数（用含a的式子表示）， [拓展探索] (2)如图4，AB∥CD,点E在AB的上方，∠EDC的平分线与∠EBA的平分线所在 的直线交于点F,求2∠BED+∠BFD的度数. 图3 图4 第10章相交线、平行线与平移15 题型13与平行线有关的旋转问题 例如图，将含45°角的直角三角板DEF放在含30°角的直角三角板ABC上，使两直角顶点 F,C重合，转动三角板DEF,始终保持三角板有重合的部分，当∠ACE的度数为 时，DE∥BC. D ①☑ C(F) 图1 图2 例题图 变式1图 拔⊙【变式1】将两块不同的三角板ABC,A'CD按如图1所示的方式摆放，AC边与A'C 高 边重合，∠BAC=45°，∠DA'C=30°，接着保持三角板ABC不动，将三角板A'CD绕 题 着点C(点C不动)按顺时针方向旋转，如图2所示，在旋转的过程中，∠ACA'逐渐增 大，当∠ACA'第一次等于90°时，停止旋转，在此旋转过程中，∠ACA'的度数为 时，三角板A'CD有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行. 压⊙【变式2】(2025·安庆外国语期未)已知直线MN∥PQ,现将一个含30°角的直角三角板 轴 ABC按照如图1所示的位置放置，使点A,B分别在直线MN,PQ上，∠ABC=90°， 题 ∠C=60°，AD平分∠CAN交直线PQ于点D,且AD∥BC. (1)求∠BAM的度数. (2)将一个含有45°角的直角三角板EFG按照如图2所示的位置放置，直角顶点G与 点A重合，直角边GF与AB重合.若将三角板GEF绕点A以每秒6°的速度顺时针旋 转，设旋转时间为ts(0<t<15),三角板ABC保持不动，作∠DAF的平分线AK,当 ∠CAK=12时，求t的值. A(G 图1 图2 16数学7车级下册HK版【变式3】A【变式1)或9(21或好 【变式5】解：1)x十=-5可化为x+一2)X(-3》 (-2)十(-3)， 所以x1=一2，x2=一3.故答案为一2；一3. (2)由题意，得mn=一5，m十n=一2， 所以” m n =m2十n2 mn -（m十n)2-2mm mn 4+10 -5 (3)原方程变为工-2-20十3张=一6-3， x-2 所以工-2+(-263》=k十(-26-3》. x-2 因为x1>x2,k>0, 所以x1-2=k,x2-2=-2k-3, 解得x1=k十2，x2=-2k-1, 所以一2及 1 以，+i-2k=-2 第10章相交线、平行线与平移 10.3平行线的性质 题型12过拐点作平行线 【例】D 【变式1140(2（分x+40）【变式2】38 【变式3】C 【变式4】解：(1)①如图1，过点E作EM∥AB, 则∠ABE十∠BEM=180°. 因为AB∥CD,所以EM∥CD,所以∠CDE+∠MED= 180°，所以∠ABE+∠BEM+∠MED+∠CDE=360°. 因为∠BED=∠BEM+∠MED=90°， 所以∠ABE+∠CDE=360°-90°=270° 图1 图2 ②如图2，过，点F作FN∥AB, 则∠ABF=∠BFN. 因为AB∥CD,所以FN∥CD, 所以∠CDF=∠DFN, 所以∠BFD=∠BFN+∠DFN=∠ABF+∠CDF. 因为BF平分∠ABE,DF平分∠CDE, 所以∠ABE=2∠ABF,∠CDE=2∠CDF 所以∠ABE十∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2∠BFD. 由①可得，∠ABE十∠BED十∠CDE=360°. 因为∠BED=a, 所以∠ABE+∠CDE=360°-a, 所以2∠BFD=360°-a, 所以∠BFD=180-号 (2)如图3，过点E作EP∥AB,则∠PEB十∠ABE= 180°，即∠PEB=180°-∠ABE. 图3 因为AB∥CD,所以PE∥CD,所以∠PED十∠CDE= 180°，即∠PED=180°-∠CDE, 所以∠BED=∠PED-∠PEB=(180°-∠CDE)-(180°- ∠ABE)=∠ABE-∠CDE, 同理(1)可得，∠BFD=∠ABF十∠CDF 因为BM平分∠ABE,DF平分∠CDE, 所以∠ABE=2∠ABM,∠CDE=2∠CDF 因为∠ABF=180°-∠ABM=180-号∠ABE, 所以∠BFD=180-合∠ABE+号∠CDE=180° 1 1 2(∠ABE-∠CDE)=180°- 2∠BED, 1 所以2∠BED+∠BFD=18O, 题型13与平行线有关的旋转问题 【例】45 【变式1】30°或45°或75 【变式2】解：(1)因为∠ABC=90°，∠C=60°， 所以∠BAC=30°. 因为AD∥BC,所以∠ABC+∠BAD=180°. 因为∠ABC=90°，所以∠BAD=90. 因为∠BAC=30°，所以∠CAD=60°. 因为AD平分∠CAN, 所以∠CAN=2∠CAD=120°， 所以∠BAN=∠CAN+∠BAC=150°， 所以∠BAM=180°-∠BAN=30°. (2)当AK在∠CAD内部时， ∠CAD-∠DAK=∠CAK=12° 因为∠DAF=90°+(6t)°，AK是∠DAF的平分线， 所以∠DAK=号∠DAF=45+(3e 因为∠CAD=60°， 所以60°-[45°+(3t)]=12°，解得t=1. 当AK在∠CAD外部时，∠DAK-∠CAD=∠CAK=12°. 因为∠DAF=90°十(6t)°，AK是∠DAF的平分线， 所以∠DAK=号∠DAF=45+(3) 因为∠CAD=60°， 所以45°+(3t)°-60°=12°， 解得t=9. 综上所述，t=1或t=9. 150.