专题07 实际问题与二元一次方程组 学年2025-2026 讲义人教版数学七年级下册

　实际问题与二元一次方程组07 题型1 以数学文化为背景的应用题 4 题型2 工程问题 5 题型3 相遇与追及问题 6 题型4 航行问题 7 题型5 商品销售问题 7 题型6 图形问题 8 题型7 调配问题 9 储备区 知识储备 技巧总结 1 知识清单 1．列二元一次方程组解应用题 （1）工程问题 （2）行程问题 （3）商品销售问题 （4）图形问题 （5）古文化问题 （6）调配问题 （7）方案设计问题 2．列二元一次方程组解应用题的一般步骤 2 知识储备 列二元一次方程组解应用题的一般步骤知识点 01 （1）审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系； （2）设：设未知数（一般求什么，就设什么）； （3）找：找出应用题中的相等关系； （4）列：根据相等关系列出两个方程，组成方程组； （5）解：解所列的方程组，求出未知数的值； （6）检：检验所求未知数的值是否符合题意； （7）答：写出答案（包括单位名称）． 列二元一次方程组应用题的常见类型知识点 02 （1）和差倍分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数×一份的量． （2）产品配套问题：加工总量成比例． （3）速度问题：路程=速度×时间 （4）航速问题 ①顺流（风）速度=静水（无风）中的速度+水（风）速； ②逆流（风）速度=静水（无风）中的速度－水（风）速． （5）工程问题：工作量=工作效率×工作时间． （6）增长率问题 原量×（1+增长率）=增长后的量，原量×（1－减少率）=减少后的量． （7）浓度问题：溶液质量×浓度=溶质质量． （8）银行利率问题 免税利息=本金×利率×期数，税后利息=本金×利率×期数－本金×利率×期数×税率． （9）利润问题：利润=售价－进价，利润率=×100%． （10）盈亏问题：解这类问题关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度来把握事物的总量． （11）数字问题 解这类问题，要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关的概念、特征及表示． （12）几何问题 解这类问题要准确掌握有关几何图形的性质和周长、面积等计算公式． （13）年龄问题：解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等这一特征． 3 技巧总结 1．列方程（组）解应用题的注意事项 （1）方程两边表示的是同类量； （2）同类量的单位要统一； （3）方程两边的数值要相等； （4）方程（组）的解要符合问题的实际意义． 2．列二元一次方程组解决实际问题的设元技巧 （1）直接设元：问什么设什么； （2）间接设元：选取题中与所求的未知量密切相关的量为未知数，再通过所设的未知数求出题中要求的量； （3）少设元：所设的未知数个数比所问的问题少； （4）多设元：所设的未知数个数比所问的问题多． 拓展区 拓展延伸 走进重高 线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组（例如四元一次方程组）．对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，记载在公元初《九章算术》方程章中． 强化区 巩固强化 成果展示 题型1 以数学文化为背景的应用题 【典例1】　（2025秋•崂山区期末）《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译为：“用一根绳子去量一根木棍，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”设绳子长x尺，木长y尺，则列方程组为（　　） A． B． C． D． 【典例2】　（2025秋•滕州市校级期末）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例3】　（2025秋•沙坪坝区校级期末）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中记载了许多有趣的数学问题．摘得一道题，译文如下：“甲，乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文，问甲、乙二人原来各有多少钱？”若设甲原有x钱，乙原有y钱，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 题型2 工程问题 【典例4】　（2024春•青浦区期中）甲乙两个工程队修建某段公路．如果甲乙两队合作，12天可以完成；如果甲队单独做3天后，乙队加入．两队继续工作6天，共完成了总工作量的．设甲队单独完成这项工程需要x天，乙队单独完成这项工程需要y天，那么根据题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【典例5】　（2024秋•南岗区校级期中）一件工作，甲单独做需20小时，乙单独做需24小时，丙单独做需30小时．若三人合作先完成一部分工作后，一人有事中途退出，剩下的工作再由剩余两人合作，这样共用了11小时完成，则乙做了 　 　 小时． 【典例6】　（2024春•平泉市期末）某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治，现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天． （1）小明、小华两位同学提出解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得； 小华同学：设整治任务完成后，m表示 　 　 ，n表示 　 　 ； 得． 请补全括号及横线部分的内容． （2）求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 题型3 相遇与追及问题 【典例7】　（2025秋•青岛校级月考）某人沿电车路线行走，每12分钟有一辆电车从后面赶上，每4分钟有一辆电车迎面开来，若行人与电车都是匀速前进的，则电车每隔 　　 分钟从起点开出一辆． 【典例8】　（2024秋•怀化期末）甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 【典例9】　（2023秋•法库县期末）甲、乙两人从相距36km的两地相向而行，如果甲比乙先走2h，那么他们在乙出发2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他们在甲出发3h后相遇，甲、乙两人的速度分别是多少？ 题型4 航行问题 【典例10】　（2024春•邵东市期末）列方程（组）解应用题 已知某江上游甲地到下游乙地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，此轮船现由甲地顺流而下到达乙地用18小时，由乙地逆流而上到达甲地用24小时，求此轮船在静水中的速度以及此江水流的速度． 【典例11】　（2022秋•铜仁市期末）解诗谜：悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟；归时四分行六百，试问风速是多少？题目的意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风，1000里只用了4分钟；回来时逆风，4分钟只走了600里，试求风的速度为 　 　 ． 【典例12】　（2022秋•金湾区校级期中）飞机无风航速为vkm/h，风速为20km/h． （1）飞机顺风飞行4h和逆风飞行4h的行程各是多少？ （2）飞机顺风飞行4h和逆风飞行4h相差多少千米？ 题型5 商品销售问题 【典例13】　（2025春•蕲春县期末）为了丰富同学们的课余生活，某校举行了“阅读红色经典，汲取青春能量”诗歌朗诵活动，准备购买笔记本和夹子两种文具，奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买2个笔记本和3个夹子共需45元；购买1个笔记本和2个夹子共需25元． （1）求购买一个笔记本和一个夹子各需要多少元？ （2）若学校计划购买这两种文具共120个，笔记本不低于38个，并且投入资金不多于1000元，请问有哪几种购买方案？ 【典例14】　（2025•榆阳区校级三模）陕西茯茶距今已有近千年历史．该茶茶体紧结，色泽黑褐油润，金花茂盛，菌香四溢，茶汤橙红透亮，滋味醇厚悠长．某茯茶特产专卖店同时购进了甲、乙两种茯茶共200盒，其进价和售价如表，设购进甲种茯茶x盒，销售完这200盒茯茶的总利润为y元． 甲 乙 进价（元/盒） 65 32 售价（元/盒） 80 50 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该专卖店计划投入资金不少于8050元购进这两种茯茶，求该专卖店销售完这两种茯茶获得的最大利润． 【典例15】　（2025春•齐齐哈尔期末）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售A，B两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题． 名称 A种头盔 B种头盔 批发价（元/个） 60 40 零售价（元/个） 80 50 （1）该商店第一次批发A，B两种头盔共120个，用去5600元钱，求A，B两种头盔各批发了多少个； （2）该商店第二次仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），用去7200元钱，要求批发A种头盔不高于76个，要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元，则该商店第二次有几种批发方案； （3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种批发方案会使商店利润最大，并求出最大利润． 题型6 图形问题 【典例16】　（2025秋•芜湖期末）如图，在一个大长方形的内部平铺放入六个完全一样的小长方形，大长方形的边长如图所示，则大长方形内部空白部分的面积是（　　） A．12 B．48 C．58 D．72 【典例17】　（2025秋•平阴县期末）用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点B的坐标为（7，4），若每个长方形的长为x，宽为y，则可列出方程组（　　） A． B． C． D． 【典例18】　（2025秋•淮南期末）如图，长方形ABCD中放置10个形状、大小都相同的小长方形，AD与CD的差为1，小长方形的周长为14，则图中阴影部分的面积为（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 题型7 调配问题 【典例19】　（2025春•翼城县期中）某校学生去参加活动，若单独调配30座（不含司机）客车若干辆，则有5人没有座位；若只调配25座（不含司机）客车，则用车数量将增加3辆，并空出5个座位．设计划调配30座客车x辆，该大学共有y名大学生志愿者，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例20】　（2025•黎城县二模） 2025年2月13日，中国载人月球探测任务取得新进展，登月服“望宇”和载人月球车“探索”正式命名．为保障任务顺利进行，某航天基地需调配两种特殊合金材料生产登月装备．已知每套“望宇”登月服需消耗5千克合金A和3千克合金B，每辆“探索”月球车需消耗2千克合金A和4千克合金B．基地现有合金A共230千克，合金B共180千克，两种装备各生产多少时，材料恰好用完？ 【典例21】　（2025•天涯区模拟）2024年海南基本实现全省公办中小学教室空调配置全覆盖，为广大中小学生提供了舒适的学习环境．某学校需采购一批空调，经市场调研了解：每台甲型空调售价比每台乙型空调售价贵300元，若购买一台甲型空调和一台乙型空调需5700元，求甲、乙两种型号空调每台价格各是多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 　实际问题与二元一次方程组07 题型1 以数学文化为背景的应用题 4 题型2 工程问题 6 题型3 相遇与追及问题 9 题型4 航行问题 11 题型5 商品销售问题 12 题型6 图形问题 16 题型7 调配问题 18 储备区 知识储备 技巧总结 1 知识清单 1．列二元一次方程组解应用题 （1）工程问题 （2）行程问题 （3）商品销售问题 （4）图形问题 （5）古文化问题 （6）调配问题 （7）方案设计问题 2．列二元一次方程组解应用题的一般步骤 2 知识储备 列二元一次方程组解应用题的一般步骤知识点 01 （1）审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系； （2）设：设未知数（一般求什么，就设什么）； （3）找：找出应用题中的相等关系； （4）列：根据相等关系列出两个方程，组成方程组； （5）解：解所列的方程组，求出未知数的值； （6）检：检验所求未知数的值是否符合题意； （7）答：写出答案（包括单位名称）． 列二元一次方程组应用题的常见类型知识点 02 （1）和差倍分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数×一份的量． （2）产品配套问题：加工总量成比例． （3）速度问题：路程=速度×时间 （4）航速问题 ①顺流（风）速度=静水（无风）中的速度+水（风）速； ②逆流（风）速度=静水（无风）中的速度－水（风）速． （5）工程问题：工作量=工作效率×工作时间． （6）增长率问题 原量×（1+增长率）=增长后的量，原量×（1－减少率）=减少后的量． （7）浓度问题：溶液质量×浓度=溶质质量． （8）银行利率问题 免税利息=本金×利率×期数，税后利息=本金×利率×期数－本金×利率×期数×税率． （9）利润问题：利润=售价－进价，利润率=×100%． （10）盈亏问题：解这类问题关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度来把握事物的总量． （11）数字问题 解这类问题，要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关的概念、特征及表示． （12）几何问题 解这类问题要准确掌握有关几何图形的性质和周长、面积等计算公式． （13）年龄问题：解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等这一特征． 3 技巧总结 1．列方程（组）解应用题的注意事项 （1）方程两边表示的是同类量； （2）同类量的单位要统一； （3）方程两边的数值要相等； （4）方程（组）的解要符合问题的实际意义． 2．列二元一次方程组解决实际问题的设元技巧 （1）直接设元：问什么设什么； （2）间接设元：选取题中与所求的未知量密切相关的量为未知数，再通过所设的未知数求出题中要求的量； （3）少设元：所设的未知数个数比所问的问题少； （4）多设元：所设的未知数个数比所问的问题多． 拓展区 拓展延伸 走进重高 线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组（例如四元一次方程组）．对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，记载在公元初《九章算术》方程章中． 强化区 巩固强化 成果展示 题型1 以数学文化为背景的应用题 【典例1】　（2025秋•崂山区期末）《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译为：“用一根绳子去量一根木棍，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”设绳子长x尺，木长y尺，则列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，绳子比木长4.5尺，可得x﹣y＝4.5；对折绳子量木，木比对折绳子长1尺，可得，即，可得出关于x、y的二元一次方程组． 【解答】解：根据题意可得： ， 故选：B． 【典例2】　（2025秋•滕州市校级期末）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可． 【解答】解：根据题意得：， 故选：B． 【典例3】　（2025秋•沙坪坝区校级期末）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中记载了许多有趣的数学问题．摘得一道题，译文如下：“甲，乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文，问甲、乙二人原来各有多少钱？”若设甲原有x钱，乙原有y钱，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设甲原有x钱，乙原有y钱，根据甲的钱+乙的钱的一半＝48文钱，乙的钱+甲所有钱的48文钱，列出方程组即可． 【解答】解：设甲原有x钱，乙原有y钱， 根据题意得：， 故选：B． 题型2 工程问题 【典例4】　（2024春•青浦区期中）甲乙两个工程队修建某段公路．如果甲乙两队合作，12天可以完成；如果甲队单独做3天后，乙队加入．两队继续工作6天，共完成了总工作量的．设甲队单独完成这项工程需要x天，乙队单独完成这项工程需要y天，那么根据题意，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“甲乙两队合作，12天可以完成；如果甲队单独做3天后，乙队加入．两队继续工作6天，共完成了总工作量的”，可得出关于x，y的方程组，此题得解． 【解答】解：∵甲乙两队合作，12天可以完成， ∴1； ∵甲队独做3天后，乙队加入，两队继续工作了6天，共完成了总工作量的， ∴， 即． ∴根据题意可列出方程组． 故选：C． 【典例5】　（2024秋•南岗区校级期中）一件工作，甲单独做需20小时，乙单独做需24小时，丙单独做需30小时．若三人合作先完成一部分工作后，一人有事中途退出，剩下的工作再由剩余两人合作，这样共用了11小时完成，则乙做了 　2或11　 小时． 【答案】2或11． 【分析】根据工作时间得出三个人的工作效率，然后分三种情况讨论，得出工作时间即可． 【解答】解：一件工作，甲单独做需20小时，乙单独做需24小时，丙单独做需30小时，依题意可知： 甲的工作效率为：；乙的工作效率为：；丙的工作效率为：， 若三人合作先完成一部分工作后，一人有事中途退出，剩下的工作再由剩余两人合作，分三种情况讨论： ①如果甲和乙合作，丙退出： 则甲和乙工作了11小时， 则，不合题意，舍去； ②如果甲和丙合作，乙退出： 则， 则乙工作了小时； ③如果乙和丙合作，甲退出： 则， 则甲工作了小时，乙工作了11小时， 综上所述：乙做了2或11小时， 故答案为：2或11． 【典例6】　（2024春•平泉市期末）某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进行整治，现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天． （1）小明、小华两位同学提出解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得； 小华同学：设整治任务完成后，m表示 　甲工程队整治河道用的天数　 ，n表示 　乙工程队整治河道用时的天数　 ； 得． 请补全括号及横线部分的内容． （2）求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 【答案】（1）；甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用时的天数； （2）见解析，甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 【分析】（1）根据小明同学设的未知数以及所列式子可知小华同学所列方程组即可求解； （2）从中任选一个方程组组解答即可． 【解答】解：（1）小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意得； 小华同学：设整治任务完成后，m表示甲工程队整治河道用的天数，n表示乙工程队整治河道用时的天数； 得， 故答案为：甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用时的天数； （2）选小明同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 由题意得：； 解得：， 答：甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 题型3 相遇与追及问题 【典例7】　（2025秋•青岛校级月考）某人沿电车路线行走，每12分钟有一辆电车从后面赶上，每4分钟有一辆电车迎面开来，若行人与电车都是匀速前进的，则电车每隔 　　 分钟从起点开出一辆． 【答案】6 【分析】每12分钟有一辆电车从后面赶上属于追及问题，等量关系为：电车12分走的路程＝行人12分走的路程+两辆电车相间隔的路程；每4分钟有一辆电车迎面开来，是相遇问题，等量关系为：电车4分走的路程+行人4分走的路程＝两辆电车相间隔的路程，两辆电车间隔的路程为两辆电车相隔的时间×电车的速度． 【解答】解：设电车的每分走x，行人每分走y，电车每隔a分钟从起点开出一辆． 则 两式相减得：x＝2y 把x＝2y代入方程组任何一个式子都可以得到a＝6 【典例8】　（2024秋•怀化期末）甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米． 【分析】设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是（74﹣x﹣y）千米，利用时间＝路程÷速度，结合往、返所需时间，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值（即甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡路的长度），再将其代入（74﹣x﹣y）中，即可求出甲地到乙地的行驶过程中下坡路的长度． 【解答】解：从下午1点到下午3点30分共2.5小时，从下午4点到下午6点48分共2.8小时． 设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是（74﹣x﹣y）千米， 根据题意得：， 解得：， ∴74﹣x﹣y＝74﹣30﹣16＝28． 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米． 【典例9】　（2023秋•法库县期末）甲、乙两人从相距36km的两地相向而行，如果甲比乙先走2h，那么他们在乙出发2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他们在甲出发3h后相遇，甲、乙两人的速度分别是多少？ 【答案】甲的速度为6km/h，乙的速度为3.6km/h． 【分析】设甲的速度为xkm/h，乙的速度为ykm/h，根据“如果甲比乙先走2h，那么他们在乙出发2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他们在甲出发3h后相遇”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出甲、乙两人的速度． 【解答】解：设甲的速度为xkm/h，乙的速度为ykm/h， 依题意得：， 解得：． 答：甲的速度为6km/h，乙的速度为3.6km/h． 题型4 航行问题 【典例10】　（2024春•邵东市期末）列方程（组）解应用题 已知某江上游甲地到下游乙地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，此轮船现由甲地顺流而下到达乙地用18小时，由乙地逆流而上到达甲地用24小时，求此轮船在静水中的速度以及此江水流的速度． 【答案】见试题解答内容 【分析】本题中的等量关系有2个：顺流时间×顺流速度＝总路程；逆流时间×逆流速度＝总路程，据此可列方程组求解． 【解答】解：设船在静水中的速度为x，水流速度为y． ， 解得：． 答：此轮船在静水中的速度为17.5千米/小时，此江水流的速度为2.5千米/小时． 【典例11】　（2022秋•铜仁市期末）解诗谜：悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟；归时四分行六百，试问风速是多少？题目的意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风，1000里只用了4分钟；回来时逆风，4分钟只走了600里，试求风的速度为 　50里/分钟　 ． 【答案】50里/分钟． 【分析】设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，根据顺风4分钟飞跃1000里及逆风4分钟走了600里，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可． 【解答】解：设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟， 依题意，得， 解得． 答：风的速度为50里/分钟． 故答案为：50里/分钟． 【典例12】　（2022秋•金湾区校级期中）飞机无风航速为vkm/h，风速为20km/h． （1）飞机顺风飞行4h和逆风飞行4h的行程各是多少？ （2）飞机顺风飞行4h和逆风飞行4h相差多少千米？ 【答案】（1）飞机顺风飞行4h的路程为（80+4v）km，飞机逆风飞行4h的路程为（80﹣4v）km； （2）160km． 【分析】（1）先求出飞机顺风速度为（20+v）km/h，逆风速度为（v﹣20）km/h，再根据路程＝速度×时间进行求解即可； （2）用（1）中所求的顺风飞行4h的路程减去逆风飞行4h的路程即可得到答案． 【解答】解：（1）由题意得，飞机顺风速度＝（20+v）km/h，逆风速度＝（v﹣20）km/h， ∴飞机顺风飞行4h的路程为4（20+v）＝（80+4v）km，飞机逆风飞行4h的路程为4（v﹣20）＝（4v﹣80）km； （2）（80+4v）﹣（4v﹣80）＝160（km）， ∴飞机顺风飞行4h和逆风飞行4h相差160km． 题型5 商品销售问题 【典例13】　（2025春•蕲春县期末）为了丰富同学们的课余生活，某校举行了“阅读红色经典，汲取青春能量”诗歌朗诵活动，准备购买笔记本和夹子两种文具，奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买2个笔记本和3个夹子共需45元；购买1个笔记本和2个夹子共需25元． （1）求购买一个笔记本和一个夹子各需要多少元？ （2）若学校计划购买这两种文具共120个，笔记本不低于38个，并且投入资金不多于1000元，请问有哪几种购买方案？ 【答案】（1）购买一个笔记本需要15元，一个夹子需要5元； （2）共有3种购买方案， 方案1：购买38个笔记本，82个夹子； 方案2：购买39个笔记本，81个夹子； 方案3：购买40个笔记本，80个夹子． 【分析】（1）设购买一个笔记本需要x元，一个夹子需要y元，根据“购买2个笔记本和3个夹子共需45元；购买1个笔记本和2个夹子共需25元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个笔记本，则购买（120﹣m）个夹子，根据“购买笔记本不低于38个，并且投入资金不多于1000元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出各购买方案． 【解答】解：（1）设购买一个笔记本需要x元，一个夹子需要y元， 依题意得：， 解得：． 答：购买一个笔记本需要15元，一个夹子需要5元． （2）设购买m个笔记本，则购买（120﹣m）个夹子， 依题意得：， 解得：38≤m≤40． 又∵m为整数， ∴m可以为38，39，40， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买38个笔记本，82个夹子； 方案2：购买39个笔记本，81个夹子； 方案3：购买40个笔记本，80个夹子． 【典例14】　（2025•榆阳区校级三模）陕西茯茶距今已有近千年历史．该茶茶体紧结，色泽黑褐油润，金花茂盛，菌香四溢，茶汤橙红透亮，滋味醇厚悠长．某茯茶特产专卖店同时购进了甲、乙两种茯茶共200盒，其进价和售价如表，设购进甲种茯茶x盒，销售完这200盒茯茶的总利润为y元． 甲 乙 进价（元/盒） 65 32 售价（元/盒） 80 50 （1）求y与x之间的函数关系式； （2）该专卖店计划投入资金不少于8050元购进这两种茯茶，求该专卖店销售完这两种茯茶获得的最大利润． 【答案】（1）y＝﹣3x+3600； （2）该专卖店销售完这两种茯茶获得的最大利润是3450元． 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以写出y与x之间的函数关系式； （2）根据题意，可以写出利润关于x的函数关系式，然后根据该专卖店计划投入资金不少于8050元购进这两种茯茶，可以列出相应的不等式，求出x的取值范围，然后根据一次函数的性质求最值． 【解答】解：（1）设购进甲种茯茶x盒，销售完这200盒茯茶的总利润为y元， 依题意得：y＝（80﹣65）x+（50﹣32）（200﹣x）＝﹣3x+3600； （2）由（1）知：y＝﹣3x+3600， ∵﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵该专卖店计划投入资金不少于8050元购进这两种茯茶， ∴依题意得：65x+32（200﹣x）≥8050， 解得x≥50， ∴x＝50时，y取得最大值，此时y＝3450， 答：该专卖店销售完这两种茯茶获得的最大利润是3450元． 【典例15】　（2025春•齐齐哈尔期末）为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售A，B两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题． 名称 A种头盔 B种头盔 批发价（元/个） 60 40 零售价（元/个） 80 50 （1）该商店第一次批发A，B两种头盔共120个，用去5600元钱，求A，B两种头盔各批发了多少个； （2）该商店第二次仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），用去7200元钱，要求批发A种头盔不高于76个，要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元，则该商店第二次有几种批发方案； （3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种批发方案会使商店利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个； （2）该商店第二次有3种批发方案， 方案1：批发了72个A种头盔，72个B种头盔； 方案2：批发了74个A种头盔，69个B种头盔； 方案3：批发了76个A种头盔，66个B种头盔； （3）在（2）的条件下，批发方案3会使商店利润最大，最大利润为2180元． 【分析】（1）设A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个，根据“该商店第一次批发A，B两种头盔共120个，用去5600元钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该商店第二次批发了m个A种头盔，则批发了（180m）个B种头盔，根据“批发A种头盔不高于76个，第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各批发方案； （3）利用总利润＝每个的销售利润×销售数量（进货数量），即可求出选择各方案商店可获得的利润，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个， 依题意得：， 解得：． 答：A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个． （2）设该商店第二次批发了m个A种头盔，则批发了（180m）个B种头盔， 依题意得：， 解得：72≤m≤76， 又∵m，（180m）均为正整数， ∴m可以为72，74，76， ∴该商店第二次有3种批发方案， 方案1：批发了72个A种头盔，72个B种头盔； 方案2：批发了74个A种头盔，69个B种头盔； 方案3：批发了76个A种头盔，66个B种头盔． （3）选择批发方案1商店可获得的利润为（80﹣60）×72+（50﹣40）×72＝2160（元）； 选择批发方案2商店可获得的利润为（80﹣60）×74+（50﹣40）×69＝2170（元）； 选择批发方案3商店可获得的利润为（80﹣60）×76+（50﹣40）×66＝2180（元）． ∵2160＜2170＜2180， ∴在（2）的条件下，批发方案3会使商店利润最大，最大利润为2180元． 题型6 图形问题 【典例16】　（2025秋•芜湖期末）如图，在一个大长方形的内部平铺放入六个完全一样的小长方形，大长方形的边长如图所示，则大长方形内部空白部分的面积是（　　） A．12 B．48 C．58 D．72 【答案】B 【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形的长和宽，接着就可以求出图中空白部分的面积． 【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，依题意得： ， 解得：． 故小长方形的长为6，宽为2， ∴S空白部分＝S大长方形﹣6×S小长方形＝12×10﹣6×2×6＝48． 故选：B． 【典例17】　（2025秋•平阴县期末）用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点B的坐标为（7，4），若每个长方形的长为x，宽为y，则可列出方程组（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】每个长方形的长为x，宽为y，根据点B的坐标，列出关于x、y的二元一次方程组即可． 【解答】解：根据题意得：， 故选：C． 【典例18】　（2025秋•淮南期末）如图，长方形ABCD中放置10个形状、大小都相同的小长方形，AD与CD的差为1，小长方形的周长为14，则图中阴影部分的面积为（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】D 【分析】根据小长方形的周长为14可列方程2（x+y）＝14，解方程组可以求出小长方形的长为6，宽为1，根据小长方形在大长方形放置的位置可以求出AD＝10，CD＝9，根据长方形的面积公式可以求出阴影部分的面积． 【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意可得：， 解方程组可得：， ∴CD＝x+3y＝6+3＝9，AD＝x+4y＝6+4＝10， ∴长方形ABCD的面积是10×9＝90， 一个小长方形的面积是6×1＝6， ∴90﹣6×10＝30． 图中阴影部分的面积是30． 故选：D． 题型7 调配问题 【典例19】　（2025春•翼城县期中）某校学生去参加活动，若单独调配30座（不含司机）客车若干辆，则有5人没有座位；若只调配25座（不含司机）客车，则用车数量将增加3辆，并空出5个座位．设计划调配30座客车x辆，该大学共有y名大学生志愿者，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设计划调配30座客车x辆，则只调配25座（不含司机）客车时，用车数量为（x+3）辆，根据若单独调配30座（不含司机）客车若干辆，则有5人没有座位；若只调配25座（不含司机）客车，则用车数量将增加3辆，并空出5个座位．列出二元一次方程组即可． 【解答】解：设计划调配30座客车x辆，则只调配25座（不含司机）客车时，用车数量为（x+3）辆， 由题意得：． 故选：B． 【典例20】　（2025•黎城县二模） 2025年2月13日，中国载人月球探测任务取得新进展，登月服“望宇”和载人月球车“探索”正式命名．为保障任务顺利进行，某航天基地需调配两种特殊合金材料生产登月装备．已知每套“望宇”登月服需消耗5千克合金A和3千克合金B，每辆“探索”月球车需消耗2千克合金A和4千克合金B．基地现有合金A共230千克，合金B共180千克，两种装备各生产多少时，材料恰好用完？ 【答案】“望宇”登月服生产40套，“探索”月球车生产15辆时，材料恰好用完． 【分析】设“望宇”登月服生产x套，“探索”月球车生产y辆，根据每套“望宇”登月服需消耗5千克合金A和3千克合金B，每辆“探索”月球车需消耗2千克合金A和4千克合金B．基地现有合金A共230千克，合金B共180千克，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设“望宇”登月服生产x套，“探索”月球车生产y辆， 由题意得：， 解得：， 答：“望宇”登月服生产40套，“探索”月球车生产15辆时，材料恰好用完． 【典例21】　（2025•天涯区模拟）2024年海南基本实现全省公办中小学教室空调配置全覆盖，为广大中小学生提供了舒适的学习环境．某学校需采购一批空调，经市场调研了解：每台甲型空调售价比每台乙型空调售价贵300元，若购买一台甲型空调和一台乙型空调需5700元，求甲、乙两种型号空调每台价格各是多少元？ 【答案】购买一台甲型空调价格为3000元，一台乙型空调价格为2700元． 【分析】设购买一台甲型空调价格为x元，一台乙型空调价格为y元，根据“每台甲型空调售价比每台乙型空调售价贵300元，购买一台甲型空调和一台乙型空调需5700元”，列出方程组即可． 【解答】解：设购买一台甲型空调价格为x元，一台乙型空调价格为y元， 依题意，得， 解得：， 答：购买一台甲型空调价格为3000元，一台乙型空调价格为2700元． 学科网（北京）股份有限公司 $