6.3 二项式定理（讲义）高二数学人教A版选择性必修第三册

本高中数学讲义聚焦二项式定理核心知识点，系统梳理从概念（展开式特点、通项公式、二项式系数与项的系数区别）到性质（对称性、最值、和、赋值法），再到应用（整除余数、数列求和）及杨辉三角的知识脉络，构建完整学习支架。 资料通过分层知识点设计、10类题型典例与变式练习，结合实例培养学生数学思维（推理能力、运算能力），杨辉三角内容渗透数学眼光（抽象能力、创新意识），赋值法等方法强化数学语言（模型意识、应用意识），课中辅助教师教学，课后助力学生巩固查漏。

第六章 计数原理 6.3 二项式定理 知识点一 二项式定理的概念 二项式定理：这个公式表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式。 二项展开式的特点： 1、二项展开式一共有n＋1项，且按的降幂的升幂排列，每项中与的次数和为n。 2、通项公式，即展开式的第项： 3、二项式系数为，，…，，项的系数是每项中的常数系数，注意区分两者。 注意： 1、和是不能交换位置的。与的展开式的排列顺序是不同的，它们对应的通项是不一致的。的通项是，而的通项为 2、注意，若中间有负号的时候，可以理解为，通项为 即学即练 1．（25-26高三上·天津南开·期末）的二项展开式中，常数项为______． 知识点二 二项式系数的性质 1、二项式系数的性质：对称性；根据组合数性质有 2、二项式系数的最值： 当为偶数时，中间一项的二项式系数最大 当为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大 3、二项式系数和：令，可得 令可得联立上式可得： 4、求系数最大项 假设展开式的各项系数（不是二项式系数）为，若有第项系数最大，则有，从而解出来． 5、赋值法求和 若，要求系数各种组合的和，常用赋值的方法。 1、求各项系数和，令 2、求奇数项的系数和或偶数项的系数和 令，可得，令，可得，两式相加或相减可得奇数项的系数和与偶数项的系数和 3、求，考虑到二项展开式的所有项可能正负性一致，又或者奇数项与偶数项的正负相反，若正负一致则用各项系数和来求，若正负相反，则可以用奇数项的系数和与偶数项的系数和来求。 4、常见的有； 即学即练 1．（25-26高二下�全国�课堂例题）求的展开式中： (1)各项二项式系数之和； (2)奇数项二项式系数和； (3)偶数项二项式系数和； (4)各项系数和； (5)各项系数绝对值和； (6)奇数项系数和与偶数项系数和． 知识点三 二项式定理的应用 二项式定理在除数与余数的问题以及数列求和中的应用： 1、 整除与余数问题：将数拆成形式，用二项式展开，除首项外其余项含的幂，余数与首项有关。 2、 将组合系数与数列通项相乘的求和，转化为对进行赋值等操作，从而得到解。 即学即练 1．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）被9除的余数是___________. 知识点四 杨辉三角 杨辉三角——二项式系数表 当n依次取1,2,3,时，观察的展开式的二项式系数： 从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结 果，由此我们可以发现以下性质： ①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的 二项式系数相等. ②每一行两端都是1，而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. ③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大. ④第一行的两个数之和为，第二行的三个数之和为，，第六行的各数之和为，……，第n行的(n+1)个数之和为. 即学即练 1．（多选）“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（   ）    A．第6行中，有两个相等的最大数 B． C．第行所有数之和为 D．在第3行以后，还会出现全为奇数的行 题型01 二项展开式的应用 / 1、对二项展开式公式的应用，熟悉公式，熟悉通项公式。 2、对二项展开式公司的逆用，观察式子是否如展开式（组合数且有幂次规律），可以对二项展开式进行求和 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二下�全国�课堂例题）（1）求的展开式； （2）化简：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二下�全国�课堂例题）的展开式共12项，则等于（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．（2025高三·全国·专题练习）设复数（是虚数单位），则（    ） A．0 B． C． D． 3．（2026·重庆永川·模拟预测）设是正整数，表达式化简的结果是______ 题型02 二项展开式的项 / 1、第  项对应组合数上标为 k。 2、若二项式中含有负号，通项中务必带上。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上�江西九江�期末）在的展开式中，常数项为（   ） A．15 B．40 C．60 D．80 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二下�全国�课堂例题）的展开式中的第4项为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·陕西渭南·期末）的展开式中常数项为（   ） A．-15 B．15 C．-20 D．20 3．（2026·云南大理·二模）二项式的展开式的第四项为（   ） A． B． C． D． 题型03 二项展开式的系数与二项式系数 / 1、二项式系数：仅指组合数 ，与字母取值无关，对称且先增后减。 2、项的系数：该项所有常数因子的乘积（含组合数、数字系数、符号），与具体字母取值绑定。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）在的展开式中，第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）的二项展开式中，项的系数为________. 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）的展开式中的第6项的二项式系数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ） A．6 B．16 C．24 D．216 题型04 二项展开式系数的增减性与最值 / 1、二项式系数最值： 先根据  的奇偶确定中间项位置（为偶数时中间一项最大；为奇数时中间两项相等且最大）。 利用增减性：从两端向中间增大，中间达峰值。 2、项的系数最值： 设第  项系数为​，解不等式组 求出 k 的范围，再结合 k 为整数确定最大项。 若系数有正负，则分正负分别考虑绝对值大小。 3、含参数系数： 将系数表示为关于的函数（可能含参数），求其单调区间或利用比值法比较相邻项大小。 注意： 1、区分“系数”与“二项式系数”：二项式系数最值直接由  决定；项的系数最值需考虑括号内数字、符号的影响，不可混用。 2、符号影响：若展开式中含负项，系数可能正负交替，需单独考虑正系数最大和负系数绝对值最大。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高三上�湖南长沙�月考）若的二项展开式中，有且仅有第5项是二项式系数最大的项，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二下�全国�课后作业）的展开式中，系数最大的项是（   ） A．第6项 B．第3项 C．第3项和第6项 D．第5项和第7项 2．（25-26高二上�江苏常州�期末）已知展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则（ ） A．1 B．2 C．20 D．24 3．（25-26高二下�全国�课后作业）的展开式中的系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________． 题型05 二项展开式的二项式系数和 / 1、二项式系数和：令，可得 2、令可得联立上式可得： 典｜例｜精｜析 1．（25-26高三上·四川成都·期末）若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二下�黑龙江�开学考试）已知的二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（    ） A． B． C．40 D．80 2．（25-26高三下�云南昆明�月考）在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（    ） A．243 B．81 C．64 D．32 3．（2026高二下·全国·专题练习）已知二项式的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数是（   ） A．1 B． C． D． 题型06赋值法求系数的和 / 1、常规赋值： 令  代入展开式，得所有项的系数和（含常数项）。 令  代入，得奇数项系数与偶数项系数之差，结合与 的结果可解奇偶项和。 2、局部赋值： 若需求指定幂次范围的系数和，可令 取特殊值（如等）构造方程组。 3、含参二项式： 形如 的展开式，令 x=1 得即为各项系数和。 若括号内含分式或根式，赋值后需注意所得数值是否合理。 注意： 1、赋值是对展开式中的字母进行代换，求的是“项的系数和”，不是“二项式系数和”。 2、赋值时必须将 的值完整代入原二项式的括号内，如  中令  得 ，不要漏掉系数。 典｜例｜精｜析 1．（多选）（25-26高三上�湖南长沙�月考）若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（多选）（25-26高二上�山东德州�期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高二上�江西吉安�期末）若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高二下·全国·课后作业）已知的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（   ） A．展开式的奇数项的二项式系数的和为256 B．展开式的第6项的系数与二项式系数相等且最大 C．展开式中存在常数项 D．展开式中含项的系数为45 题型07 多项式积的展开式 / 1、将一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再合并同类项。遵循“每一项都要乘到”的原则，确保不遗漏。 2、合并前先按字母的指数归类，相同指数的项系数相加。若多项式较多，可先两两相乘，逐步合并。 典｜例｜精｜析 1．（2026�陕西�模拟预测）展开式中的系数为（    ） A．56 B．42 C．84 D．120 变｜式｜巩｜固 1．（多选）（2026�山东�模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下�全国�课堂例题）在的展开式中，的系数是________（用数字作答）． 3．（2026�黑龙江哈尔滨�模拟预测）在的展开式中，项的系数是________．（用数字作答） 题型08 三项展开式的问题 / 三项式的展开式： 若令，便得到三项式展开式通项公式： ， 其中叫三项式系数． 典｜例｜精｜析 1．（2025高三�全国�专题练习）在的展开式中的系数是_________．（用具体数字作答） 变｜式｜巩｜固 1．（2025高二�全国�专题练习）的展开式中，的系数为______ 2．（25-26高三上�辽宁沈阳�期中）的展开式中，的系数为______.（用数值作答） 3．（25-26高三上�四川成都�月考）在的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．45 C．60 D．90 题型09 整除问题或求余数 / 1、拆底数配凑：将被除数拆成“除数倍数 + 小整数”的形式，再用二项式展开。展开后除首项外，其余项均含除数因子，从而判断整除性或余数。 2、对高指数求余数，可先找底数对除数的余数周期。用指数除以周期，将高次幂转化为低次幂的余数。 3、若展开后出现负余数，将其加回除数变为正余数。 注意： 1、拆成的两项中，一项必须是除数的整数倍，另一项绝对值尽量小（常用 ±1），这样展开后除该项外都能被整除。 2、展开后只有不含除数因子的那一项（通常是首项或末项）影响余数，其余项整除可忽略。 典｜例｜精｜析 1．（2026�江苏镇江�模拟预测）若能被7整除，则的一个值可能为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高三上�河北沧州�期末）对于数字的结果可借助二项式的展开式进行计算，由此请写出的后三位数为______. 2．（2025·河南许昌·模拟预测）若，则被8整除的余数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2025·云南昭通·模拟预测）若，则被整除的余数为（    ） A． B． C． D． 题型10 杨辉三角问题 / 1、第 n 行（从 0 开始）各数对应 的二项式系数，左右对称，两端为 1。每个数等于它肩上两数之和（递推关系）。 2、第 n 行所有数之和为。第 n 行奇数项和 = 偶数项和 =  。 3、左斜线（如 1, 3, 6, 10 …）为组合数 随 n变化的值，常与“走格子”“选票问题”相关。 典｜例｜精｜析 1．（多选）（25-26高二上�江西鹰潭�期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（    ） A． B．第10行所有数字之和为 C．第2026行的第1013个数最大 D．第15行中从左到右第4个数与倒数第4个数之比为1:3 变｜式｜巩｜固 1．（多选）（2026高三·全国·专题练习）（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论正确的是（    ）．    A． B．第2024行的第1012个和第1013个数字最大 C．第6行、第7行、第8行的第7个数字之和等于第9行的第7个数字 D．第34行从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3 2．（多选）（2025高三·全国·专题练习）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发了一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述错误的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 3． “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数､第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 计数原理 6.3 二项式定理 知识点一 二项式定理的概念 二项式定理：这个公式表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式。 二项展开式的特点： 1、二项展开式一共有n＋1项，且按的降幂的升幂排列，每项中与的次数和为n。 2、通项公式，即展开式的第项： 3、二项式系数为，，…，，项的系数是每项中的常数系数，注意区分两者。 注意： 1、和是不能交换位置的。与的展开式的排列顺序是不同的，它们对应的通项是不一致的。的通项是，而的通项为 2、注意，若中间有负号的时候，可以理解为，通项为 即学即练 1．（25-26高三上·天津南开·期末）的二项展开式中，常数项为______． 【答案】240 【分析】根据二项式定理可得展开式的通项公式，令，可求得常数项. 【详解】的二项展开式的通项为： ，， 令，得，所以展开式中的常数项为. 故答案为：. 知识点二 二项式系数的性质 1、二项式系数的性质：对称性；根据组合数性质有 2、二项式系数的最值： 当为偶数时，中间一项的二项式系数最大 当为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大 3、二项式系数和：令，可得 令可得联立上式可得： 4、求系数最大项 假设展开式的各项系数（不是二项式系数）为，若有第项系数最大，则有，从而解出来． 5、赋值法求和 若，要求系数各种组合的和，常用赋值的方法。 1、求各项系数和，令 2、求奇数项的系数和或偶数项的系数和 令，可得，令，可得，两式相加或相减可得奇数项的系数和与偶数项的系数和 3、求，考虑到二项展开式的所有项可能正负性一致，又或者奇数项与偶数项的正负相反，若正负一致则用各项系数和来求，若正负相反，则可以用奇数项的系数和与偶数项的系数和来求。 4、常见的有； 即学即练 1．（25-26高二下�全国�课堂例题）求的展开式中： (1)各项二项式系数之和； (2)奇数项二项式系数和； (3)偶数项二项式系数和； (4)各项系数和； (5)各项系数绝对值和； (6)奇数项系数和与偶数项系数和． 【答案】(1)4096 (2)2048 (3)2048 (4)4096 (5)16777216 (6) 【分析】（1）利用二项式系数的性质即可求解； （2）利用二项式系数的性质即可求解； （3）利用二项式系数的性质即可求解； （4）令，得各项系数和； （5）令，得各项系数的绝对值和； （6）令，即可求解. 【详解】（1）各项二项式系数和为． （2）奇数项二项式系数和为. （3）偶数项二项式系数和为. （4），令，得各项系数和为4096． （5）令，得各项系数的绝对值和为. （6）令奇数项系数和为，偶数项系数和为． 令得；令得． ，． 所以奇数项系数和为 8390656 ，偶数项系数和为 −8386560. 知识点三 二项式定理的应用 二项式定理在除数与余数的问题以及数列求和中的应用： 1、 整除与余数问题：将数拆成形式，用二项式展开，除首项外其余项含的幂，余数与首项有关。 2、 将组合系数与数列通项相乘的求和，转化为对进行赋值等操作，从而得到解。 即学即练 1．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·月考）被9除的余数是___________. 【答案】7 【分析】本题可先根据二项式定理将原式变形，然后分析变形后的式子被9除的余数. 【详解】根据二项式定理， 对进行变形， 可得，即. 因为，所以. 根据二项式定理展开： ， 则. 除了最后一项，其余各项都含有因数9，都能被9整除， 所以除以9的余数就是. 即被9除的余数是. 故答案为：7. 知识点四 杨辉三角 杨辉三角——二项式系数表 当n依次取1,2,3,时，观察的展开式的二项式系数： 从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结 果，由此我们可以发现以下性质： ①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的 二项式系数相等. ②每一行两端都是1，而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. ③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大. ④第一行的两个数之和为，第二行的三个数之和为，，第六行的各数之和为，……，第n行的(n+1)个数之和为. 即学即练 1．（多选）“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（   ）    A．第6行中，有两个相等的最大数 B． C．第行所有数之和为 D．在第3行以后，还会出现全为奇数的行 【答案】BCD 【分析】根据由杨辉三角的规律直接写出第6、7行可判断AD；利用性质化简可判断B；由二项式系数性质可判断C. 【详解】对A，由杨辉三角的规律可知，第6行的数为：，最大数只有一个，错误； 对B， ，正确； 对C，由二项式系数性质可知，第行所有数之和为，正确； 对D，由杨辉三角的规律可知，第6行的数为：， 第7行的数为：，所有数都是奇数，正确. 故选：BCD 题型01 二项展开式的应用 / 1、对二项展开式公式的应用，熟悉公式，熟悉通项公式。 2、对二项展开式公司的逆用，观察式子是否如展开式（组合数且有幂次规律），可以对二项展开式进行求和 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二下�全国�课堂例题）（1）求的展开式； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）法一：直接利用二项式的展开式即可得到结果；法二：整理可得，结合二项式的展开式即可得到结果； （2）根据题意，反向利用二项式定理，即可得到结果. 【详解】法一： ． 法二：． （2）原式． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二下�全国�课堂例题）的展开式共12项，则等于（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】利用二项展开式的性质易得. 【详解】因为的展开式有项， 由，可得． 故选：C. 2．（2025高三·全国·专题练习）设复数（是虚数单位），则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简，再利用二项式定理变形后再计算． 【详解】由， 则 ． 故选：A. 3．（2026·重庆永川·模拟预测）设是正整数，表达式化简的结果是______ 【答案】 【分析】根据二项式定理化简. 【详解】 故答案为：. 题型02 二项展开式的项 / 1、第  项对应组合数上标为 k。 2、若二项式中含有负号，通项中务必带上。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上�江西九江�期末）在的展开式中，常数项为（   ） A．15 B．40 C．60 D．80 【答案】C 【分析】利用二项式定理的通项公式进行求解. 【详解】由题，展开式的通项为， 令，所以展开式中常数项为. 故选：C. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二下�全国�课堂例题）的展开式中的第4项为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项展开式的通项公式代值计算即得. 【详解】的展开式中的第4项为. 故选：A. 2．（25-26高二上·陕西渭南·期末）的展开式中常数项为（   ） A．-15 B．15 C．-20 D．20 【答案】C 【分析】结合二项式定理的通项公式求解即可. 【详解】该二项式展开式通项为. 令，则，所以. 故选：C. 3．（2026·云南大理·二模）二项式的展开式的第四项为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出通项，进而计算第四项即可； 【详解】二项式的通项为， 则． 故选：A. 题型03 二项展开式的系数与二项式系数 / 1、二项式系数：仅指组合数 ，与字母取值无关，对称且先增后减。 2、项的系数：该项所有常数因子的乘积（含组合数、数字系数、符号），与具体字母取值绑定。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·甘肃张掖·期末）在的展开式中，第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则______． 【答案】14或23 【分析】表示各二项式系数，利用等差数列公式求解即可. 【详解】由题意得，． 在的展开式中，第9项、第10项、第11项的二项式系数分别为，，，可得， 即， 化简得，解得或． 故答案为：14或23. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）的二项展开式中，项的系数为________. 【答案】 【分析】由二项展开式的通项计算可得. 【详解】由题可知，二项展开式的通项公式为， 令，可得， 故， 故项的系数为. 故答案为：. 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）的展开式中的第6项的二项式系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式的定义，即可得答案. 【详解】由题意可知第6项的二项式系数为． 故选：C 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ） A．6 B．16 C．24 D．216 【答案】A 【分析】根据展开项二项式系数的特点直接计算即可． 【详解】由题可知：的项的二项式系数为， 故选：A． 题型04 二项展开式系数的增减性与最值 / 1、二项式系数最值： 先根据  的奇偶确定中间项位置（为偶数时中间一项最大；为奇数时中间两项相等且最大）。 利用增减性：从两端向中间增大，中间达峰值。 2、项的系数最值： 设第  项系数为​，解不等式组 求出 k 的范围，再结合 k 为整数确定最大项。 若系数有正负，则分正负分别考虑绝对值大小。 3、含参数系数： 将系数表示为关于的函数（可能含参数），求其单调区间或利用比值法比较相邻项大小。 注意： 1、区分“系数”与“二项式系数”：二项式系数最值直接由  决定；项的系数最值需考虑括号内数字、符号的影响，不可混用。 2、符号影响：若展开式中含负项，系数可能正负交替，需单独考虑正系数最大和负系数绝对值最大。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高三上�湖南长沙�月考）若的二项展开式中，有且仅有第5项是二项式系数最大的项，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】根据二项式系数的性质确定二项展开式的项数即可求得答案. 【详解】由题意知，二项式系数中只有第5个最大，即最大， 由二项式系数的性质可知，展开式共有9项，故. 故选：A. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二下�全国�课后作业）的展开式中，系数最大的项是（   ） A．第6项 B．第3项 C．第3项和第6项 D．第5项和第7项 【答案】D 【分析】结合通项公式写出展开式各项的系数，根据系数的正负性和二项式系数的性质即可得解. 【详解】因为的展开式的通项公式为， 所以的展开式的各项系数分别为， 第6项系数为，第5项和第7项系数分别为，且， 所以系数最大的项是第5项和第7项. 故选：D 2．（25-26高二上�江苏常州�期末）已知展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则（ ） A．1 B．2 C．20 D．24 【答案】C 【分析】由题意可求得，再利用二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】由的展开式中只有第6项的二项式系数最大， 所以项数为11项，所以，解得， 所以展开式的通项公式为， 令，所以. 故选：C. 3．（25-26高二下�全国�课后作业）的展开式中的系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________． 【答案】 【分析】由题意可得项的系数与二项式系数是相等的，根据题意可得，再由二项式系数的性质得系数最大的项. 【详解】因为， 令，得各项系数的和， ．又． 因为展开式各项的系数与二项式系数是相等的， 由二项式系数的性质得系数最大的项为． 故答案为： 题型05 二项展开式的二项式系数和 / 1、二项式系数和：令，可得 2、令可得联立上式可得： 典｜例｜精｜析 1．（25-26高三上·四川成都·期末）若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 【答案】 【分析】根据二项式系数之和得出，再利用二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】二项式系数之和为，所以， 因为的展开式的通项公式为： ， 当时，所以， 则展开式中的系数为. 故答案为：40. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二下�黑龙江�开学考试）已知的二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（    ） A． B． C．40 D．80 【答案】B 【分析】先求出，再利用二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】由题知，，解得， 所以的展开式的通项为， 令，得，所以的系数为. 故选：B. 2．（25-26高三下�云南昆明�月考）在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（    ） A．243 B．81 C．64 D．32 【答案】B 【分析】根据二项式系数和公式求出，再利用赋值法求各项系数的和. 【详解】因为二项式系数的和是16，所以，解得， 令得展开式中各项系数的和为. 故选：B. 3．（2026高二下·全国·专题练习）已知二项式的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用二项式系数的性质，求得，得到展开式的通项，结合展开式的通项，确定的值，代入即可求解. 【详解】由二项式的展开式的二项式系数之和为，可得，解得， 又由二项展开式的通项为， 令，可得，所以含项的系数为． 故选：C. 题型06赋值法求系数的和 / 1、常规赋值： 令  代入展开式，得所有项的系数和（含常数项）。 令  代入，得奇数项系数与偶数项系数之差，结合与 的结果可解奇偶项和。 2、局部赋值： 若需求指定幂次范围的系数和，可令 取特殊值（如等）构造方程组。 3、含参二项式： 形如 的展开式，令 x=1 得即为各项系数和。 若括号内含分式或根式，赋值后需注意所得数值是否合理。 注意： 1、赋值是对展开式中的字母进行代换，求的是“项的系数和”，不是“二项式系数和”。 2、赋值时必须将 的值完整代入原二项式的括号内，如  中令  得 ，不要漏掉系数。 典｜例｜精｜析 1．（多选）（25-26高三上�湖南长沙�月考）若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于ABC，利用赋值法分别判断即可；对于D，对等式两边同时求导，再赋值即可求解判断. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于BC，令，则， 令，则， 则，，故B错误，C正确； 对于D，由两边同时求导可得： ， 令，则， 所以，故D错误. 故选：AC 变｜式｜巩｜固 1．（多选）（25-26高二上�山东德州�期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用赋值法分别判断即可. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，令，则， 所以，故B正确； 对于C，令，则， 由B可知， 所以， 即，，所以，故C错误； 对于D，令，则， 所以，故D正确； 故选：ABD 2．（多选）（25-26高二上�江西吉安�期末）若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于A，令，即可判断，对于BC，由，由系数计算公式和令进行判断，对于D，分别令和，得到和，进而可判断. 【详解】对于A，取，得，A错； 对于B,展开式中项的系数为，B对； 对于C，令， 可得二项式， 展开式中各项系数均为正， 即， 又 ，C错； 对于D，取，得， 取，得， 联立解得， 因此，D对. 故选：BD 3．（多选）（25-26高二下·全国·课后作业）已知的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（   ） A．展开式的奇数项的二项式系数的和为256 B．展开式的第6项的系数与二项式系数相等且最大 C．展开式中存在常数项 D．展开式中含项的系数为45 【答案】BCD 【分析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等可知，由展开式的各项系数之和为1024可得，则二项式为，易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同，利用二项式系数的对称性判断A，B；根据通项判断C，D即可. 【详解】由的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等可知． 又展开式的各项系数之和为1024，即当时，，所以， 所以，其展开式的各二项式系数的和为， 则奇数项的二项式系数的和为，故A错误； 由可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的二项式系数最大， 因为与的系数均为1，所以展开式的各项的二项式系数与系数相同， 即第6项的各项的二项式系数相等且最大，故B正确； 若展开式中存在常数项，则展开式中存在的指数为0的项， 由通项， 可得当，即时，符合要求，故C正确； 由通项可得，当时，， 所以展开式中含项的系数为，故D正确． 故选：BCD 题型07 多项式积的展开式 / 1、将一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再合并同类项。遵循“每一项都要乘到”的原则，确保不遗漏。 2、合并前先按字母的指数归类，相同指数的项系数相加。若多项式较多，可先两两相乘，逐步合并。 典｜例｜精｜析 1．（2026�陕西�模拟预测）展开式中的系数为（    ） A．56 B．42 C．84 D．120 【答案】B 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再利用多项式乘法法则求出含的项即可. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 因此展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为42. 故选：B 变｜式｜巩｜固 1．（多选）（2026�山东�模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】A：根据展开式最高次项的次数进行求解即可；B：利用二项式的通项公式，结合乘法的运算性质进行求解即可；C：利用赋值法进行求解即可；D：利用导数的运算性质，结合赋值法进行求解即可. 【详解】A：因为， 所以多项式最高次项的次数为， 所以，因此本选项说法正确； B：因为，所以本选项说法不正确； C：在中， 令，得， 令，得， 所以本选项说法正确； D：对两边同时求导， 得， 令，得 ，所以本选项说法不正确. 故选：AC 2．（25-26高二下�全国�课堂例题）在的展开式中，的系数是________（用数字作答）． 【答案】 【分析】从个因式的个因式中选择，个因式中选择常数相乘即可得到含的项，即可得解. 【详解】在中， 个因式选择，个因式选择常数即可得到含的项， 所以含的项为， 所以展开式中的系数是． 故答案为：. 3．（2026�黑龙江哈尔滨�模拟预测）在的展开式中，项的系数是________．（用数字作答） 【答案】 【分析】先求二项式的展开式的通项，再由乘法法则求出的展开式中含的项即可得解． 【详解】， 的展开式通项为， 当，即时，， 当，即时，， 所以项的系数是． 故答案为：． 题型08 三项展开式的问题 / 三项式的展开式： 若令，便得到三项式展开式通项公式： ， 其中叫三项式系数． 典｜例｜精｜析 1．（2025高三�全国�专题练习）在的展开式中的系数是_________．（用具体数字作答） 【答案】264 【分析】先化简，再应用二项式展开式结合组合数计算求解. 【详解】因为，所以展开式中的系数是． 故答案为：264. 变｜式｜巩｜固 1．（2025高二�全国�专题练习）的展开式中，的系数为______ 【答案】 【分析】利用多项式乘以多项式的规则及分类计数原理可求解. 【详解】个因式，个因式中取，个因式中取，个因式中取， 即可得出含的项， 则的系数为， 故的系数为. 故答案为：. 2．（25-26高三上�辽宁沈阳�期中）的展开式中，的系数为______.（用数值作答） 【答案】 【分析】根据多项式乘积的性质即可求解． 【详解】由于表示5个因式的乘积， 故其中有2个因式取，2个因式取，剩余的一个因式取，可得含的项， 故展开式中含的项为，其系数为. 故答案为：． 3．（25-26高三上�四川成都�月考）在的展开式中，的系数为（    ） A．15 B．45 C．60 D．90 【答案】B 【分析】根据二项式展开式的通项公式计算即可求解. 【详解】的展开式为 ， 所以二项式展开式中含项为， 二项式展开式中含项的系数为45. 故选：B 题型09 整除问题或求余数 / 1、拆底数配凑：将被除数拆成“除数倍数 + 小整数”的形式，再用二项式展开。展开后除首项外，其余项均含除数因子，从而判断整除性或余数。 2、对高指数求余数，可先找底数对除数的余数周期。用指数除以周期，将高次幂转化为低次幂的余数。 3、若展开后出现负余数，将其加回除数变为正余数。 注意： 1、拆成的两项中，一项必须是除数的整数倍，另一项绝对值尽量小（常用 ±1），这样展开后除该项外都能被整除。 2、展开后只有不含除数因子的那一项（通常是首项或末项）影响余数，其余项整除可忽略。 典｜例｜精｜析 1．（2026�江苏镇江�模拟预测）若能被7整除，则的一个值可能为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】A 【分析】运用二项式定理、结合指数幂的运算性质进行求解即可. 【详解】 ， 因为， 所以能被7整除， ， 所以能被7整除， 因此要想能被7整除，只需能被7整除. A：，，显然符合能被7整除； B：，，显然不符合能被7整除； C：，，显然不符合能被7整除； D：，，显然不符合能被7整除； 故选：A 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高三上�河北沧州�期末）对于数字的结果可借助二项式的展开式进行计算，由此请写出的后三位数为______. 【答案】 【分析】将转化为，利用二项式定理展开，分析展开式中会对百位、十位、个位产生影响的项，当时，必为的倍数，则只需要考虑当的情况进行求解. 【详解】由题意可知， ， 当时，必为的倍数， 所以只需要考虑当的情况， 首先考虑，此时该项为， 由于的末位为0， 所以的末三位均为0， 依然不会对结果的百位、十位、个位产生影响， 故只需考虑的情况. 当时，， 当时，， 所以将这两项相加得到，取后三位即. 故答案为：. 2．（2025·河南许昌·模拟预测）若，则被8整除的余数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】令得，令得，两式相减即可得，即利用二项式定理即可求解. 【详解】令得，令得， 两式相减得， 所以，因为 ，，因为能被8整除， 所以被8整除的余数为4. 故选：C. 3．（2025·云南昭通·模拟预测）若，则被整除的余数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，给自变量赋值，取和，两个式子相减，得到的值，将构造成一个新的二项式，根据二项展开式可以看出被8整除的结果，得到余数． 【详解】令，得， 令，得， 两式相减得， 所以． 因为 能被8整除， 被8整除的余数为3， 所以被8整除的余数为3， 故选：C． 题型10 杨辉三角问题 / 1、第 n 行（从 0 开始）各数对应 的二项式系数，左右对称，两端为 1。每个数等于它肩上两数之和（递推关系）。 2、第 n 行所有数之和为。第 n 行奇数项和 = 偶数项和 =  。 3、左斜线（如 1, 3, 6, 10 …）为组合数 随 n变化的值，常与“走格子”“选票问题”相关。 典｜例｜精｜析 1．（多选）（25-26高二上�江西鹰潭�期末）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了杨辉三角，杨辉三角是中国数学史上一项重要研究成果.从不同的角度观察杨辉三角，能得到很多优美的规律，如图是一个7阶的杨辉三角，则下列说法正确的是（    ） A． B．第10行所有数字之和为 C．第2026行的第1013个数最大 D．第15行中从左到右第4个数与倒数第4个数之比为1:3 【答案】AB 【分析】由组合数的性质计算可判断A；由杨辉三角的每行系数和性质可判断B；由杨辉三角图可知，第行有个数字，每行最中间项的系数最大可判断C；根据可判断D. 【详解】对于，故A正确； 对于B，由杨辉三角的每行系数和性质可知， 第0行所有数字之和为，第1行所有数字之和为， 第2行所有数字之和为，第3行所有数字之和为， 第4行所有数字之和为，以此类推，第10行所有数字之和为，故B正确； 对于C，由杨辉三角图可知，第行有个数字， 如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大； 如果是偶数，则第个数字最大，故第2026行的第个数最大，故C错误； 对于D，由题意，第15行，第4个数为， 倒数第4个数为，即，故D错误. 故选：AB. 变｜式｜巩｜固 1．（多选）（2026高三·全国·专题练习）（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论正确的是（    ）．    A． B．第2024行的第1012个和第1013个数字最大 C．第6行、第7行、第8行的第7个数字之和等于第9行的第7个数字 D．第34行从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3 【答案】AD 【分析】利用组合数运算公式计算可判断A；若n是偶数，则第个数字最大，即可判断B；根据规律确定数字，即可判断C；根据规律确定第34行第14个数字与第15个数字即可判断D. 【详解】对于A，，，故A正确； 对于B，由图可知，第n行有个数字，若n是奇数，则第个和第个数字最大，且这两个数字一样大；若n是偶数，则第个数字最大，故第2024行的第1013个数字最大，故B错误； 对于C，第6行、第7行、第8行的第7个数字分别为1，7，28，其和为36，第9行第7个数字是84，故C错误； 对于D，依题意，第34行第14个数字是，第34行第15个数字是， 所以，故D正确． 故选：AD. 2．（多选）（2025高三·全国·专题练习）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发了一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述错误的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 【答案】ABC 【分析】根据题意，归纳可得：第行的第个数为，由组合数的性质依次分析选项是否正确，综合可得答案． 【详解】根据题意，由“杨辉三角”可得，第行的第个数为， 对于A，根据， 则，故A错误； 对于B，第2023行中从左往右第1013个数为，第1014个数为，两者不相等，故B错误； 对于C，记第行的第个数为，则， 则，故C错误； 对于D，第20行中第8个数为，第9个数为， 则两个数的比为，故D正确. 故选：ABC. 3． “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数､第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 【答案】D 【分析】根据杨辉三角每一行的数字与组合数的对应关系，结合组合数的运算性质，依次判断选项. 【详解】对于A，因“杨辉三角”的第10行中第5个数是，又，故A错误； 对于B，因“杨辉三角”的第2023行中第1011个数和第1012个数分别为和， 因，故，故B错误； 对于C，因， ……… 则，故C错误； 对于D，因，而，故D正确. 故选：D 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $