精品解析：河北张家口市第一中学2025-2026学年第二学期高二开学检测数学试卷

张家口市第一中学2025-2026学年第二学期 高二年级开学检测 数学试卷 一、单选题 1. 某批待出口的水果罐头，每罐净重X（单位：g）服从正态分布．随机抽取1罐，其净重在179g与186.5g之间的概率为（ ） （注：若，，，） A. 0.8185 B. 0.84 C. 0.954 D. 0.9755 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性，以及即可求得净重在179g与186.5g之间的概率. 【详解】由题意可知，，可得 净重在179g与186.5g之间的概率为 由正态分布的对称性可知， ； 所以净重在179g与186.5g之间的概率为. 故选：A. 2. 某企业秉承“科学技术是第一生产力”的发展理念，投入大量科研经费进行技术革新，该企业统计了最近6年投入的年科研经费x（单位：百万元）和年利润y（单位：百万元）的数据，并绘制成如图所示的散点图．已知x，y的平均值分别为，．甲统计员得到的回归方程为；乙统计员得到的回归方程为；若甲、乙二人计算均未出现错误，有下列四个结论： ①当投入年科研经费为20（百万元）时，按乙统计员的回归方程可得年利润估计值为75.6（百万元）（取）； ②； ③方程比方程拟合效果好； ④y与x正相关． 以上说法正确的是（ ） A. ①③④ B. ②③ C. ②④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】结合样本中心点过回归直线方程，已知数据，散点图等依次判断各命题即可得答案. 【详解】解：将代入，得，①正确； 将，代入得，②正确； 由散点图可知，回归方程比的拟合效果更好，③错误； 因为随的增大而增大，所以与正相关，④正确．故①②④正确． 故选：D． 3. 为研究某池塘中水生植物覆盖水塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系．设，与的数据如表格所示，得到与的线性回归方程，则（ ） 3 4 6 7 2 2.5 4.5 7 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出样本中心点，进而求出，再还原模型即可. 【详解】依题意，， 由与的线性回归方程，得，则， 即，因此，所以. 4. 随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，利用全概率公式以及条件概率公式即可得到答案. 【详解】设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”， 由题意可知：， 则， ， 若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是. 故选：B. 5. 数列满足，则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，依次计算即得. 【详解】数列中，， . 故选：B 6. 若，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意写出并求出，进而结合二项式定理求得答案. 【详解】由题意得， ∴ . ∵ ， ∴. 故选：C. 7. 甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ） A. 20种 B. 16种 C. 12种 D. 8种 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论：乙丙及中间人占据首四位、乙丙及中间人占据尾四位，然后根据分类加法计数原理求得结果. 【详解】因为乙和丙之间恰有人，所以乙丙及中间人占据首四位或尾四位， ①当乙丙及中间人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间， 排乙丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法， 所以有种方法； ②当乙丙及中间人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间， 排乙丙有种方法，排甲有种方法，剩余两个位置两人全排列有种排法， 所以有种方法； 由分类加法计数原理可知，一共有种排法， 故选：B. 8. 已知函数，若恒成立，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数进行求导，再利用导数和函数的关系求出导函数的零点，最后令求导判断即可； 先对题干中的式子进行变形，再构造函数，通过单调性比大小即可. 【详解】方法一：函数的定义域为，， 显然单调递增且有唯一零点. 令，即，此时有. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，， 即有：，. 令，，时，，单调递减； 时，，单调递增，，又，. 方法二：注意到，又恒成立由方法一得：，， ，，. 方法三：恒成立在恒成立， 令，即恒成立. ，时，，单调递增； 时，，单调递减 ，又恒成立，，. 故选：A 二、多选题 9. 某校高三1班48名物理方向的学生在一次质量检测中，语文成绩、数学成绩与六科总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，“”表示的是该班甲、乙、丙三位同学对应的点.从这次考试的成绩看，下列结论正确的是（ ） A. 该班六科总成绩排名前6的同学语文成绩比数学成绩排名更好 B. 在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是语文 C. 数学成绩与六科总成绩的相关性比语文成绩与六科总成绩的相关性更强 D. 在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其六科总成绩名次靠前的学生是甲 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合图形可分析出答案. 【详解】由图可得，该班六科总成绩排名前6的同学数学成绩比语文成绩排名更好，故A错误； 由右图可得丙同学的总成绩排在班上倒数第三名，其语文成绩排在250到300名之间， 从左图可得其数学成绩排在400名左右，故B正确； 数学成绩与六科总成绩的相关性比语文成绩与六科总成绩的相关性更强，因为右图的点的分布较左图更分散，故C正确； 由左图可得甲的总成绩排在班上第7名，年级名次100多一点， 对应到右图可得，其语文成绩排在年级近100名，故甲的语文成绩名次比其六科总成绩名次靠前， 由左图可得甲的总成绩排在班上第27名，年级名次接近250名， 对应到右图可得，其语文成绩排在年级250名之后，故乙的语文成绩名次比其六科总成绩名次靠后，故D正确； 故选：BCD 10. 若函数的导函数是偶函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于中心对称 B. 有3个不同的零点 C. 最小值为 D. 对任意，都有 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出函数的导函数，由求出的值，即可得到函数解析式，从而判断函数的奇偶性，即可判断A，令求出方程的解，即可判断B，利用导数说明函数的单调性，即可判断C，利用作差法判断D. 【详解】因为，则， 又是偶函数，所以，即， 所以对任意的恒成立，所以，解得，则，定义域为， 且，即为奇函数， 所以的图象关于中心对称，故A正确； 令，即，解得、、， 所以有3个不同的零点，故B正确； 因为，所以当或时，当时， 即的单调递增区间为，，单调递减区间为， 所以不存在最值，故C错误； 设任意，则，，则， 又， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以对任意，都有，故D正确； 故选：ABD 11. 设是等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. 中最小值为 C. 当取得最大值时， D. 使成立的最大整数为15 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，利用等差数列的求和公式和等差数列的性质，求得，且，，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由，可得， 又因为，可得，即，所以， 所以，所以A正确； 对于B，因为，且，所以且，所以B正确； 对于C，在等差数列中，由且， 则当时，可得；当时，可得， 所以当取得最大值时，，所以C正确； 对于D，由，且， 所以使得成立的最大整数为，所以D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12. 为研究变量x，y的相关关系，收集得到如下数据： x 1 2 3 4 5 y 60 若由最小二乘法求得y关于x的线性回归方程为，并据此计算在样本点处的残差为0，则______． 【答案】290 【解析】 【分析】先利用残差的计算公式求出，再根据回归直线过样本点的中心求出，即可得解． 【详解】因为在样本点处的残差为0， 所以，得， 则y关于x的线性回归方程为． 因为，所以， 所以． 故答案为： 13. “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】定义从出发最终从1号口出的概率为，结合独立乘法、互斥加法列出方程组即可求解. 【详解】设从出发最终从1号口出的概率为，所以，解得. 故答案为：. 14. 已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案. 【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点 因为，所以方程的两个根为， 即方程的两个根为， 即函数与函数的图象有两个不同的交点， 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 所以当时，，即图象在上方 当时，，即图象在下方 ，图象显然不符合题意，所以． 令，则， 设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为， 则切线的斜率为，故切线方程为， 则有，解得，则切线的斜率为， 因为函数与函数的图象有两个不同的交点， 所以，解得，又，所以， 综上所述，的取值范围为． [方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导 =0的两个根为 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 设函数，则， 若，则在上单调递增，此时若， 则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数 且的极小值点和极大值点，则，不符合题意； 若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以. 【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解； 法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法． 四、解答题 15. 已知数列中， （1）求的值； （2）求证：数列是等比数列； （3）求数列的前项和． 【答案】（1），， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由数列的递推关系，令、和即可求出答案； （2）由递推公式求出，再利用等比数列定义判断作答. （3）利用（2）的结论求出的通项公式，再结合递推关系得到的表达式，最后借助分组求和法求和作答. 【小问1详解】 由， 令，则；令，则， 令，则， 所以，，. 【小问2详解】 依题意，设， 则 ， 而， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 【小问3详解】 由（2）知，， 因此， 当时，，又， 则， ， 因此 . 16. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 （1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ （2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R． （ⅰ）证明：； （ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值． 附， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. （2）（i）证明：因为， 所以 所以. (ii)； 【解析】 【分析】(1)由所给数据结合公式求出的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求. 【小问1详解】 由已知， 又，， 所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. 【小问2详解】 (i)略 (ii) 由已知，， 又，， 所以 17. 如图，直四棱柱的底面是菱形，，，E，M，N分别是BC，，的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1） 连接ME，， ∵M，E分别为，BC中点， ∴ME为的中位线， ∴且， 因为且， 所以四边形为平行四边形，所以且， 又N为中点，∴且， ∴，， ∴四边形MNDE为平行四边形， ∴，又平面，平面， ∴平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接ME，，证明四边形MNDE为平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）连接，，设，，以O为原点，可建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，，设，， 由直四棱柱性质可知：平面ABCD， ∵四边形ABCD为菱形， ∴， 则以O为原点，可建立如图所示的空间直角坐标系， 则：，，，，， 取AB中点F，连接DF，则， ∵四边形ABCD为菱形且， ∴为等边三角形， ∴， 又平面ABCD，平面ABCD， ∴， 又平面， ∴平面，即DF⊥平面， ∴为平面的一个法向量，且， 设平面的一个法向量为， 又，， ∴，令，则，， ∴平面的一个法向量为 ∴， ∴， ∴二面角的正弦值为． 18. 为了监控生产某种零件的一条生产线的生产过程，零件尺寸检验员每天需从该生产线上随机抽取一批零件，并测量其尺寸（单位：cm），然后根据尺寸标准判断这条生产线是否正常． 假设这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布． （1）假设生产线的生产状态正常，记为一天内抽取的16个零件中尺寸在之外的零件数，求及的数学期望． （2）一天内抽检的零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． ①试说明上述监控生产过程的方法的合理性． ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，． 用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查．剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（结果精确到，其中若随机变量 服从正态分布，则，，）． 【答案】（1）, （2）①说明见解析；②需要，， 【解析】 【分析】（1）根据题意及正态分布的性质可知尺寸在之外的概率为，而，进而可求出的数学期望; （2）①根据出现尺寸在之外的零件的概率分析即可；②计算，，剔除之外的数据，算出剩下数据的平均数，即为的估计值，剩下数据的样本方差，即为的估计值. 【小问1详解】 根据题意及正态分布的性质可知抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为， 所以零件的尺寸在之外的概率为， 所以， 所以， 的数学期望. 【小问2详解】 ①由（1）可知如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率仅有， 一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率仅有，发生的概率很小， 因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况， 需要对当天的生产过程进行检查， 因此上述监控生产过程的方法是合理的. ②由，得的估计值，的估计值， 由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在，即之外， 因此需要对当天的生产过程进行检查， 剩下数据的平均数为，因此的估计值为， 因为， 所以剩下数据的样本方差为， 因此的估计值为. 19. 已知函数． （1）当时， （i）求的图象在点处的切线方程； （ii）过原点向的图象作切线，求该切线的方程； （2）若时，函数有两个极值点，且，求实数的取值范围． 【答案】（1）（i）；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）首先由导函数确定切线的斜率，然后求解切线方程即可； （ii）设切点为，由导函数确定切线的斜率，求解切线方程，代入已知点，计算参数，最后得到切线方程； （2）由题意问题转化为两个函数有两个交点问题，分离参数，然后利用导函数求解参数的取值范围即可. 【小问1详解】 当时，． （i），故点（0，1）处的切线方程为. （ii）设切点为，则，则切线方程为，代入， 可得，得，则切线方程是. 【小问2详解】 当时，，则. 由题意得有两个变号零点，即有两个实根， 方程可变形为，可转化为直线和曲线有两个不同的交点. 由，解得，且是的递增区间，是的递减区间； 注意到，且时，，画出其图象如图， 当且仅当时函数有两个极值点，且 又因为，所以.令，则． 又，则，即， 两边取自然对数可得．设，那么，分母恒为正值， 对于分子对应的函数，在时恒成立， 所以单调递减，所以，也就是在时恒成立， 所以也单调递减，所以，从而. 又在上单调递增， 所以当时，取得最大值，且， 因此实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 张家口市第一中学2025-2026学年第二学期 高二年级开学检测 数学试卷 一、单选题 1. 某批待出口的水果罐头，每罐净重X（单位：g）服从正态分布．随机抽取1罐，其净重在179g与186.5g之间的概率为（ ） （注：若，，，） A. 0.8185 B. 0.84 C. 0.954 D. 0.9755 2. 某企业秉承“科学技术是第一生产力”的发展理念，投入大量科研经费进行技术革新，该企业统计了最近6年投入的年科研经费x（单位：百万元）和年利润y（单位：百万元）的数据，并绘制成如图所示的散点图．已知x，y的平均值分别为，．甲统计员得到的回归方程为；乙统计员得到的回归方程为；若甲、乙二人计算均未出现错误，有下列四个结论： ①当投入年科研经费为20（百万元）时，按乙统计员的回归方程可得年利润估计值为75.6（百万元）（取）； ②； ③方程比方程拟合效果好； ④y与x正相关． 以上说法正确的是（ ） A. ①③④ B. ②③ C. ②④ D. ①②④ 3. 为研究某池塘中水生植物覆盖水塘的面积 （单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合 与的关系．设， 与的数据如表格所示，得到 与的线性回归方程，则（ ） 3 4 6 7 2 2.5 4.5 7 A. B. C. D. 4. 随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 数列满足，则（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 6. 若，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 7. 甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ） A. 20种 B. 16种 C. 12种 D. 8种 8. 已知函数，若恒成立，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 某校高三1班48名物理方向的学生在一次质量检测中，语文成绩、数学成绩与六科总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，“”表示的是该班甲、乙、丙三位同学对应的点.从这次考试的成绩看，下列结论正确的是（ ） A. 该班六科总成绩排名前6的同学语文成绩比数学成绩排名更好 B. 在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是语文 C. 数学成绩与六科总成绩的相关性比语文成绩与六科总成绩的相关性更强 D. 在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其六科总成绩名次靠前的学生是甲 10. 若函数的导函数是偶函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于中心对称 B. 有3个不同的零点 C. 最小值为 D. 对任意，都有 11. 设是等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. 中最小值为 C. 当取得最大值时， D. 使成立的最大整数为15 三、填空题 12. 为研究变量x，y的相关关系，收集得到如下数据： x 1 2 3 4 5 y 60 若由最小二乘法求得y关于x的线性回归方程为，并据此计算在样本点处的残差为0，则______． 13. “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________． 14. 已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________． 四、解答题 15. 已知数列中， （1）求的值； （2）求证：数列是等比数列； （3）求数列的前项和． 16. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 （1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？ （2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R． （ⅰ）证明：； （ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值． 附， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 17. 如图，直四棱柱的底面是菱形，，，E，M，N分别是BC，，的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 18. 为了监控生产某种零件的一条生产线的生产过程，零件尺寸检验员每天需从该生产线上随机抽取一批零件，并测量其尺寸（单位：cm），然后根据尺寸标准判断这条生产线是否正常． 假设这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布． （1）假设生产线的生产状态正常，记为一天内抽取的16个零件中尺寸在之外的零件数，求及的数学期望． （2）一天内抽检的零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． ①试说明上述监控生产过程的方法的合理性． ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得，，其中为抽取的第个零件的尺寸，． 用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查．剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（结果精确到，其中若随机变量 服从正态分布，则，，）． 19. 已知函数． （1）当时， （i）求的图象在点处的切线方程； （ii）过原点向的图象作切线，求该切线的方程； （2）若时，函数有两个极值点，且，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $