课时作业(6) 第2课时 组合数的综合应用-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

(2)第一步，将6个演唱节目排成一列，有A=720(种)方法， 排好后形成7个空： 12面衣超老得2号≤长号又G出 第二步，将4个舞骝节目插入7个空中，有A=840(种)方法. n=6.所以原式=CB十C报十C骋十…+C是=C十C。+ 根据分步乘法计数原理，一共有720×840=604800（种）安排 C+…+C2=19+18+17+…+12=124. 顺序 答室124 (3)加入2个节目后共有12个节目，若所有节目没有顺序 13.解析(1)从中任选5人是组合问题，共有C=792(种)不同 要求，全部排列，则有A种排法，但原来的10个节目已定 的选法， 好顺序，所以节日滨出的随序有是-怎=12种 (2)甲、乙、丙3人必须参加，则只需要从另外9人中选2 人，共有C号=36（种）不同的选法. 课时作业（五） (3)甲、乙、丙3人不能参加，则只需要从另外9人中选5 人，共有C=126(种)不同的选法， 1.CD解析从100名幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序 无关：集合A的任一个含2个元素的子集与元素顺序无关， (4)甲、乙、丙3人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、 故C,D项是组合问题.故选CD项. 丙中选1人，有C种选法；再从另外9人中选4人，有C 2.B解析先从3名男生中选出2人，有(C=3(种)选法，再从 种选法.根据分步乘法计数原理，共有CC=378(种)不同 4名女生中选出2人，有C写=6（种）选法，所以共有3×6= 的选法 18(种)选法，故选B项」 14.解析(1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队 3.C解析甲选修2门，有C=6(种)方案，乙、丙各选修3门， 的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个 各有C=4(种)方案.根据分步乘法计数原理，共有6×4× 元素中任取2个元素的组合数，共有两组，所以小组赛共要 4=96(种)方案.故选C项， 比赛2C=2x65=30(场). 4.C照ǖ由A>C得n(m-1)>m)-2 3×2×1 ,即n<8, (2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名（乙组的第一名与甲 又n≥3，且n∈N,所以n=3,4,5,6,7.故选C项. 组的第二名)主客场各赛一场，所以半决赛共要比赛2A= 5.BD解析根据组合数的性质得x+2=2x一5或x+2+2x 2×1×2=4(场). 5=12,解得x=7或x=5.故选BD项. (3)决赛只需比赛一场，即可决出胜负。 6解扬每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手 所以全部赛程共需比赛30十4十1=35（场）. C=15(次) 答室15 1.c题1+是+是+淡袋+…+2得 1×2×…×18 7.解析由题意得，满足要求的承包方案共有CC=60(种). C8十C+C匠+Cg+…+C装=C+C+C臂+Cg+…+C= 答多60 C故选C项。 8.解析由已知得n≥4，且4(C十C)=A=CA=6C,所以 16.照折1)由题意得C3,=一7)X(8)X(-》=一81 n! n 2C=C,即2X41”一31”3，即2(n一3)=4，解得 (2)性质①不能推广，如当x=2时，C物有意义，但C号无 n=5. 意义.性质②能推广，它的推广形式是C十C1=C 答案5 (x∈R,m∈N).证明如下：当m=0时，有Cy+C=1十x= 9解析(1)是排列问题.发信人与收信人是有区别的 (2)是组合问题.甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一 C+1:当m≥1时，有C+C1=rrDx-m+D+ m! 次电话，没有顺序的区别， (3)是红合问题.3个代表之间没有顺序的区别. x(c-1D(x-2)(x-m=x(x-)（r-m+里(1+ (m十1)！ m! (4)是排列问题.3个人中，担任哪一科的代表是有顺序区 x+1)x(x-1)…(x-m+D=C. 别的. m十1 (十1)！ 5一n, 综上，性质②的推广得证 5一≥0， 10.解析(1)由题意得 9-≤n+1, 解得4≤n≤5，因为n∈ 课时作业（六） 9-n≥0， 1,A解析先选取三个不同的数，有C种方法，然后把其中最 N°，所以n=4或n=5.当n=4时，原式=C十C=5:当n=5 大的数放在百位上，另两个不同的数放在十位和个位上，有 时，原式=Cg+C=16. A种排法，故共有C得A=40(个)三位数.故选A项. (2)由题意可知m的取值范国为(m0≤m≤3，m∈N,由已知 2.D解析如果按“1男2女”选出3名同学，则有C心C=30(种) 得m3mlm4mL_5m5mL,即12m=(5 3! 4! 12×5！ 方法，如果按“2男1女”选出3名同学，则有CC=40(种) m)(4-m),整理得m2一21m十20=0，解得m=20(舍去)或 方法，再将选出的3名同学安排到3个地方，则共有(30十 m=1,所以C=C=8. 40)×A3=420(种)方法.故选D项. 1L.D解扬在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y 3.AC解析选取的3个学生都是女生的不同选法共有C= 轴的6条直线中任取2条，4条直线相交得出一个矩形，所 4(种)，故A项正确：选取的3个学生给有1个女生的不同选 以矩形共有CC8=15×15=225(个).故选D项. 法共有CC=12(种)，故B项错误：选取的3个学生至少有1 ·193· 个女生的不同选法共有一C=34(种)，故C项正确：选取的 纵线段.设每走一条横线段或纵线段为一个行走时段，从9 3个学生至多有1个男生的不同选法共CC十C=22(种)， 个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横 故D项错误.故选AC项。 线段，共有CC=126(种)走法，故从A地到B地的最短路 4,D解枥小李可选的旅游路线分两种情况：①最后去甲景区 线共有126条 旅游，则可选的路线有A条：②不最后去甲景区旅游，则一 答率126 定最后去丙景区旅游，可选的路线有CA条.所以小李可 12.解析根据题意，设集合A={5名只擅长铁饼的运动员)， 选的旅游路线的条数为A十CA是=10.故选D项. B={2名只擅长跳高的运动员}，C={3名既擅长铁饼又擅 5.B解析第一类：当剩余的一本是画册时，相当于把3本相 长跳高的运动员，当集合B中有2人参加比赛时，共有 同的集邮册和1本画册分给4位朋友，只有1位朋友得到画 C装=28（种）方法：当集合B中有1人参加比赛时，则必须在 册，即把4位朋友分成人数为1,3的两队，有1个元素的那 集合C中选1人参加比赛，此时共有CCC号=126（种）方 队分给画册，另一队分给集邮册，有心种分法：第二类：当剩 法：当集合B中没有人参加比赛时，则必须在集合C中选2 余的一本是集邮册时，相当于把2本相同的画册和2本相同 人参加比赛，此时共有CC=45(种)方法.故共有28十126+ 的集邮哥分给4位朋友，有2位朋友得到画册，即把4位朋 45=199(种)不同的参赛方法。 友分成人数为2,2的两队，一队分给画册，另一队分给集邮 答率199 册，有C肾种分法。因此满足题意的赠送方法共有C十C一 13.解析第一个空：可分三类：第一类，平面M中取一点，平面 4十6=10（种）.故选B项. N中取两点，最多可确定CCg个平面：第二类，平面M中 6解析完成这件事需分两步：第一步，从5名志愿者中选出2 取两点，平面N中取一点，最多可确定CC个平面：第三 人在周六参加社区公益活动，有C赠种选法：第二步，从余下 类，平面M和平面V共2个，故最多可确定CC十CC+ 的3人中选出2人在周日参加社区公益活动，有C种选法 2=72(个)平面. 根据分步乘法计数原理，共有CC=30(种)不同的安排 第二个空：方法一分三类：第一类，平面M内取一个，点， 方策 平面N内取三个，点，最多可确定CC号个四面体：第二类， 答索30 平面M内取两个点，平面N内取两个点，最多可确定CC 7解析从8个顶点中任取4个的取法为C种，其中共面的情 个四面体：第三类，平面M内取三个点，平面N内取一个 况有12种，则四面体的个数为C一12=58. 点，最多可确定CC个四面体.故共有CC十(C十CC= 答率58 120(个)四面体. 8解析若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数 方法二从9个，点中任意取4个，点，共有C种选法，在同 为CCA:若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的 一个平面内的4个点不能组成四面体，在平面M内有C 个数为CCC以A.综上，一共可以组成没有重复数宇的四位 种选法不能组成四面体，在平面N内有C种远法不能组成 数的个数为CgC号A+CCCA号=720+540=1260. 四面体，所以最多能确定C一(C一C=120(个)四面体. 答系1260 答率72120 9.解析(1)适合题意的方法有C=1716(种). 14.解析(1)从10双鞋子中选取4双，有C种不同的取法，每 (2)第一步，选出女生，有C种方法：第二步，选出男生，有C 双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步乘法计数原 种方法.根据分步乘法计数原理，适合题意的方法有CC 理，共有N=C×2=3360(种)不同的取法. 560(种). (2)从10双鞋子中选2双，有C种取法，即有45种不同的 (3)第一步，选出适合题意的6人，有CC种方法：第二步， 取法 给这6人安排6种不同的工作，有A种方法.根据分步乘法 (3)先选取一双，有C种取法，再从9双鞋中选取2双，有 计数原理，适合题意的分工方法共有CCA=504000(种). C爵种取法，每双鞋只取一只各有2种取法，根据分步乘法 10解析(1)第一步，选3名男运动员，有C种选法；第二步，选 计数原理，共有N=CC×22=1440(种)不同的取法. 2名女运动员，有C种选法.所以共有CC=120(种)选法. 15.C解析相邻的区域不能用同一种颜色，则涂5块区域至 (2)方法一至少有1名女运动员包括以下几种情况：1女 少需要3种颜色.若5块区域用3种颜色涂色，则颜色的选 4男，2女3男，3女2男，4女1男.根据分类加法计数原 法有学种，相对的两个直角三角形必同色，此时共有不同 理，共有CC十CC+CC+CC=246(种)选法， 的涂色方案CA=60(种)：若5块区域用4种颜色涂色， 方法二“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动 则颜色的选法有C种，其中一组相对的两个直角三角形必 员”，可用间接法求解.从10人中任选5人有C种选法，其 同色，余下的两个直角三角形不同色，此时共有不同的涂色 中全是男运动员的选法有C种，所以“至少有1名女运动 方案CCA=240(种)：若5块区战用5种颜色涂色，则每 员”的选法有C一C=246(种). 块区域涂色均不同，此时共有不同的涂色方案A= (3)当有女队长时，其他人任意选，共有C种选法.不选女 120(种).综上，共有不同的涂色方案G0十240十120=420（种）. 队长时，必选男队长，共有C种选法，其中不含女运动员的 故选C项， 选法有C种，所以不选女队长时的选法共有C。一（种.所以 既有队长又有女运动员的选法共有C%十C一C=191(种). 16.BCD解扬由题意，所有不同的分派方案共有CSCC.A A 11.解析要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或 36(种)，故A项错误，B项正确：若甲必须到A企业，当A企 向下走，因此从A地到B地归结为走完5条横线段和4条 业有两人时，将其余三人安排到三家企业，每家企业一人， ·194· 则不同的分派方案有A=6(种)，当A企业只有一人时，不 求：若万位数是3，千位是2，百位是4或5，有CA=4(个)符 同的分派方案有CCA匠=6（种），所以所有不同的分派方 合要求，另外32154特合要求；若万位数是4或5，有CA时= 案共有6十6=12（种），故C项正确：若甲、乙安排到同一家 48(个)符合要求.综上，在组成的所有五位数中，比32145大 企业，则将剩下的两人安排到另外两家企业，每家企业一 的五位数有12+4+1十48=65（个）. 人，则有A=6(种)不同的分派方案，所以若甲，乙不能安排 10.解析(1)当种5种色的花时，作全排列，则有A-120(种) 到同一家企业，则所有不同的分派方案共有36一6一30（种），故 种植方法：当种4种颜色的花时，5种颜色选4种，{(A,E), D项正确.故选D项 (C,E),(B,C)》中选一组种同颜色的花，余下3种颜色作全 排列，则有CCCA=360(种)种植方法：当种3种颜色的 培优训练（一） 花时，5种颜色选3种，D位置任选一种，余下2种颜色在 1.B解析由题意知，甲，乙已经被邀请，相当于只需再从6人 {(A,E),(B,C)}分别种相同颜色，则有CCA=60(种)种 中选2人，则有C=15(种)不同的组成方式.故选B项. 植方法.所以共有120十360+60=540（种）不同的种植 2.ABD解析根据组合数的性质，可知A,B项正确：对于C 方法 项，A=两m=",故C项错说：对于D n! (2)7个盆栽有(3,1,1,1,1}，{2,2,1,1,1}两种分组方式，以 (-m)! {3,1,1,1,1分组，则CA=4200(种)放法：以{2,2,1,1 项，A十mAg1= (nm十0，=”二m+1）:!+ (n-m+1)！ 1分组，则爬.N=120(种)放法.所以共有420+ n一m十(n十1-m=A,故D项正确.故选AD项. m·! (十1)！ 12600=16800(种)不同的放法。 3.D解析第一天可以是5个人中的任意一个，共有5种情 3 11.B解扬由题意，可得m中≤1O00,即(1+1)！≥3000， 形：第二天除了第一天的那个人，另外4个人任意一个都可 当n=5时，61=720<3000：当n=6时，7！=5040>3000 以，共有4种情形：第三天徐了第二天的那个人，另外4个人 任意一个都可以，共有4种情形：第四天除了第三天的那个 所以n的最小值是6.故选B项. 12.C解析若乙、丙两人中没有一人选《中腈》，则乙、丙两人 人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形：第五天除了 第四天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情 在《大学》，《孟子》中各选一书，则甲只能选《论语》，丁只能 形：根据分步乘法计数原理可得，所有的排法总数为5×4× 选《中庸》，此时选法种数为A:若乙、丙两人中有一人选 4×4×4=1280(种).故选D项. 《中庸》，则另一人可在《大学》、《孟子》中选择一书，甲、丁两 4.C解析根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中 人选书时没有限制，此时选法种数为CCA品.综上所述，4 有一个角落放两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，有C种选 名同学所有可能的选择种数为A量十CCA号=10.故选 法，之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方，有种 C项 放法，所以不同的摆放方法共有GA=6×6=36(种).故选 13.解析假设3辆红车不同，3辆黑车也不相同，第一辆车显然可 C项」 占36个方格中任意一个，有36种放法，第二辆车由于不能与 5.C解析由题意得，十位数只能是3,4,5.当十位效是3时， 第一辆车同行，也不能与第一辆车同列，有25种放法，同理，第 个位和百位只能是1,2，“伞数”共有A=2(个)：当十位数是 三、四、五、六辆车分别有16,9,4,1种放法.又3辆红车相同，3 4时，个位和百位只能是1,2,3，“伞数”共有A=6(个)：当 辆黑车也相同，故不同的放法共有36X25X16×9X4X1 3!×3! 十位数是5时，个位和百位只能是1,2,3,4，“伞数”共有 14400(种). A=12(个).所以“伞数”共有20个.故选C项. 答室14400 6.解析若“阅读文章”与“视听学习”相邻，则有AXA=240(种) 14.解析若尾数为1，则前三位的数字可能为027,036,045，共 方法：若“阅读文章”与“视听学习”相隔一个答题板块，则有 A×C×A=192(种)方法，故共有240十192=432（种）方法. 有C×A8×3=12(个)奇数，还可能为234，有A=6(个) 答系432 奇数：若尾数为3，则前三位的数字可能为016,025，共有 7.解折选用3种颜色时，必须是②④同色，③⑤问色，与①进行 C×A×2=8(个)奇数，还可能为124，有A=6(个)奇 全排列，涂色方法有CA1=24(种)：4种颜色全选时，②④同 数；若尾数为5，则前三位的数字可能为014,023，共有C× 色或③⑤同色，涂色方法有CA=48(种).所以共有24+ A×2=8(个)奇数：若尾数为7，则前三位的数字可能为012， 48=72(种)不同的涂色方法 共C×A号=4（个）奇数.综上所述，共有12十6+8十6+8+4= 答索72 44(个)奇数. 8解析由题意知，7名同学分成3个组，每组分别有2,2,3人， 答系44 共有CCC=1O5(种)分组方式，再排列有105A=630(种) 15,A解析由图可知，从右数的前两个竖槽中包含五个檐，则 A 问题可分三种情况：第一种情况，五个槽中每个槽里最多只 方案。 取一个小珠，则一共可以表示出C月=10（个）不同的分数：第 答案630 二种情况，一个槽中取两个小珠，另一个槽中取一个小珠，则一 9.解折(1)先考虑个位数，从2或4中选择1个，有C种，再考 共可以表示出CC=8(个)不同的分数：第三种情况，一个 虑其余4个数位，即余下的4个数字进行全排列，有A:种， 楠中取三个小珠，则只能表示出1个分数，且这三种情况表 所以一共有CA=48(个)五位偶数. 示的分数均不同.综上可知，从右数的前两个竖槽中任选三 (2)若万位数是3，千位是4或5，有CA=12(个)符合要 个小珠，一共可以表示出19个不同的分数.故选A项. ·195·课时作业(六) 组合数的综合应用 答案见P II基础训练| 二、填空题 一、选择题 6.将5名志愿者中的4人安排在周六、周日两天参 1.从0,1.2,3,4,5这六个数中每次取三个不同的 加社区公益活动,若每天安排2人,则不同的安 排方案共有 数,把其中最大的数放在百位上排成三位数,这 种(用数字作答). 7.以正方体的顶点为顶点的四面体共有 ( 样的三位数有 个(用 ) A.40个 B.120个 数字作答). D.720个 C.360个 8.从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任 取2个数字,一共可以组成 2.某小组共有5名男同学,4名女同学,现从该小组 个没有重复 中选出3名同学分别到A,B,C三地进行社会调 数字的四位数(用数字作答) 三、解答题 查,每地1名,若选出的同学中男女均有,则不同 ( 9.有8名男生和5名女生,从中任选6人. 的安排方法有 ) A.70种 B.140种 (1)有多少种不同的方法? C.840种 D.420种 (2)其中有3名女生,有多少种不同的方法? (3)其中有2名女生和4名男生,分别负责6种 3.(参选)现有3个男生和4个女生,若从中选取3 不同的工作,共有多少种不同的分工方法? 个学生,则 ( ) A.选取的3个学生都是女生的不同选法共有 4种 B.选取的3个学生恰有1个女生的不同选法共 有24种 C.选取的3个学生至少有1个女生的不同选法 共有34种 D.选取的3个学生至多有1个男生的不同选法 共有18种 4.旅游体验师小李受某网站激请,决定在甲、乙。 内、丁这四个景区进行体验式旅游,已知他不能 最先去甲景区旅游:不能最后去乙景区和工景区 旅游,则他可选的旅游路线的条数为 C A.24 B.18 C.16 D.10 5.某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本; 从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则 不同的赠送方法共有 ) ) A.4种 B. 10种 C. 18种 D.20种 .115. 10.有男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长 (1)4只鞋子没有成双的; 各1名,选派5人外出比赛,按下列要求各有多 (2)4只鞋子恰有两双; 少种选法. (3)4只鞋子有2只成双,另2只不成双 (1)男运动员3名,女运动员2名; (2)至少有1名女运动员; (3)既要有队长,又要有女运动员 II拓展探穷 15.汉代数学家赵密在注解 《周魏算经》时给出的 lI能力提升ll “赵爽弦图”是我国古代 11.某城市纵向有6条道路,横向有5条道路,构成 数学的瑰宝,如图所示 如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路). 的弦图中,由四个全等 则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有 的直角三角形和一个正 条(用数字作答). 方形构成.现有五种不同的颜色可供涂色,要求 相邻的区域不能用同一种颜色,则不同的涂色 方案有 ( ) A.180种 B.192种 12.现有10名运动员,其中有8名擅长铁饼,5名擅 C.420种 D.480种 长跳高,3名既擅长铁饼又擅长跳高,现要从中 16.(参选)某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A 选2人参加铁饼比赛,2人参加跳高比赛,则有 B.C三家企业开展“面对面”义诊活动,每名医 种不同的参赛方法(用数字作答). 生只能到一家企业工作,每家企业至少派1名 13.已知M,N是两个互相平行的平面,且平面M C 医生,则下列结论正确的是 ~ 内有4个点,平面N内有5个点,则这9个点最 A.所有不同的分派方案共有4{种 多能确定 个平面;这9个点最多能确 B.所有不同的分派方案共有36种 定 个四面体(用数字作答). C.若甲必须到A企业,则所有不同的分派方案 14.将10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中,从 共有12种 中任意取出4只,试求下列情况各有多少种不 D.若甲、乙不能安排到同一家企业,则所有不同 同的取法. 的分派方案共有30种 .1l6·