专题03 平行四边形的性质与判定重难点题型汇编（十大题型）-2025-2026学年八年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（苏科版）

专题03 平行四边形的性质与判定重难点题型汇编 【题型1 数图形中平行四边形的个数】.....................................................................................................1 【题型2 利用平行四边形的性质求解】.....................................................................................................5 【题型3 利用平行四边形的性质证明】.....................................................................................................9 【题型4 证明四边形是平行四边店】........................................................................................................14 【题型5 判断能否构成平行四边形】........................................................................................................19 【题型6 添一个条件成为平行四边形】.....................................................................................................21 【题型7 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】..............................................................................25 【题型8 全等三角形拼平行四边形问题】..................................................................................................29 【题型9 利用平行四边形的判定与性质求解】..........................................................................................31 【题型10 平行四边形性质和判定的应用】................................................................................................37 【题型1 数图形中平行四边形的个数】 1．如图，在中，，，，的交点在上，则图中面积相等的平行四边形有（   ）对 A．5 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定与性质可知，平行四边形的对角线将平行四边形的面积平分，可推出3对面积相等的平行四边形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，是对角线， ∴，，． ∵，， ∴，， ∴四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形， ∵是平行四边形的对角线， ∴， ∵是平行四边形的对角线， ∴． ∴， 即， ∴， 同理可得：． 即：，，． 故选：B． 【点睛】本题考查了数图形中平行四边形的个数，利用平行四边形的判定与性质求解，利用平行四边形性质和判定证明，利用平行四边形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 2．如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握利用中点条件结合平行四边形性质，有序找出所有满足判定的四边形是解题的关键． 利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合中点条件，有序找出所有满足平行四边形判定的四边形，避免遗漏． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，分别是的中点 ∴ ， ， ， ∴ 根据平行四边形的判定定理，图中的平行四边形有： 四边形：已知条件； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：且； 四边形：且； 综上，图中共有个平行四边形． 故选：D． 3．如图，已知，，，则图中的平行四边形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握根据平行条件逐一判定平行四边形的方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理，结合已知的平行线关系来确定图中的平行四边形． 【详解】解：， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是平行四边形． 综上，图中共有个平行四边形． 故选：B． 4．如图是由10个正三角形组成的网格，三角形的顶点A，B处有两枚棋子，若在格点上再放入两枚棋子，可以组成平行四边形的放法共有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】A 【分析】本题考查了正三角形的性质和平行四边形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键．根据正三角形的性质和平行四边形的定义结合题意分为当为平行四边形的对角线时，和当为平行四边形的一边时分别画图即可． 【详解】解：如图所示，当为平行四边形的对角线时，共有1种放法； 当为平行四边形的一边时，共有3 种放法．故共有4种放法， 故选：A． 5．如图，每一图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形，第2幅图中有3个平行四边形，第3幅图中有5个平行四边形，则第100幅图中有平行四边形的个数是（   ） A．200 B．201 C．199 D．198 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题中信息找出规律，得到第n幅图的通式是解题关键． 根据后一幅图比前一幅图多出2个平行四边形，求出第n幅图中的平行四边形个数的通式，再代入100即可求出答案． 【详解】解：第1幅图中有1个， 第2幅图中有3个， 第3幅图中有5个， 第4幅图中有7个， 则第n幅图中有个， ∴第100幅图中共有：， 故选：C． 6．如图所示的正方形网格中共有16个格点（组成网格的小正方形的顶点称为格点），若以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形（顶点均为格点的四边形称为格点四边形），则这样的平行四边形共有（   ） A．5个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】D 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定和网格的特点求解即可． 【详解】解：如图所示， 以为边的格点平行四边形共有5个，以为对角线的格点平行四边形共有5个， ∴以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形，这样的平行四边形共有10个． 故选：D． 【题型2 利用平行四边形的性质求解】 1．如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形对角相等的性质，结合已知求出的度数，再利用邻角互补的性质计算的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∴． 2．如图，在平行四边形中，的角平分线交于点，则的值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定；首先根据平行四边形的性质可得，，，然后证明，进而可得长，即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，，， ， 平分， ， ， ， ． 故选：D． 3．如图，在中，，对角线与相交于点．若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 的周长． 4．如图，在中，，对角线与相交于点O，，则的周长为（    ） A．8 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【分析】先利用平行四边形的性质对边相等的性质求出的长度，再利用对角线互相平分的性质求出的和，最后将三边相加得到的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴的周长． 5．如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质得出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴． 6．如图，的对角线，交于点，过点作交边于点，垂足为，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形对角线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键； 根据平行四边形的性质和垂直平分线的性质，将的周长转化为平行四边形相邻两边的和，进而求出平行四边形的周长． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，． 又， ． 的周长为， ， 的周长为． 故选：D． 7．如图，将沿AC所在直线折叠，点B恰好落在BA延长线上的点处，交AD于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，掌握翻折前和翻折后对应角相等是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，，再由，可得，再由折叠的性质和平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴． 故选：A． 【题型3 利用平行四边形的性质证明】 1．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质，得出，，，根据角平分线定义证明，根据“”证明，即可得出． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，，， ． 平分，平分， ，， ， 在和中， ， ， ． 2．如下图，的对角线，相交于点，点在上，点在上，连接，使恰好经过点． (1)求证：． (2)若，，，求的长． (3)记四边形的面积为，的面积为，用等式表示和的关系为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质推出，，得到，即可证明推出． （2）求出，由平行四边形的性质推出，由勾股定理求出即可得到． (3)利用全等，将四边形的面积转化为的面积. 进而得到和的关系. 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，． 又， ， ． （2）解：，， ，即． 四边形是平行四边形，， ，． ，， ，． （3）证明：∵四边形是平行四边形，对角线交于点， ， 在和中， ． 在和中， ， ， ， ， . 故答案为：. 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是熟练掌握知识点. 3．如图，在中，对角线与相交于点，过点作于，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． （1）根据平行四边形的性质证明即可； （2）先在中由勾股定理求解，然后由面积法求解，最后在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵在中，，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴． 4．如图，在中，E，F是对角线上两点且，连接，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，由平行四边形的性质得，，则，而，即可根据证明，则． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 5．如图，在平行四边形中，对角线交于点O，延长到点E，使，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，推出，结合，利用证明，即可得出结论； （2）易证是等边三角形，得到，由（1）知，即，，即，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）知，即， ∴，即， ∴． 【题型4 证明四边形是平行四边店】 1．已知：如图，在中，分别是边和上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的性质证明，得到，，再根据平行四边形的判定即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 2．如下图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定知识点，掌握全等三角形的判定方法和平行四边形的判定定理是解题的关键． （1）先由推出，再用证明，从而得到， （2）由推出，结合，证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：， ， 即． 在与中， ， ． （2）解：四边形是平行四边形．理由： ， ． 又， 四边形是平行四边形． 3．如图，已知是等边三角形，点，分别在边，上，且，连接并延长至点，使，连接，和． (1)求证：． (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形．理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和平行四边形的判定，熟练掌握两种图形的判定方法是解题的关键； （1）利用等边三角形的性质推导边和角的关系，再通过SAS证明三角形全等； （2）根据（1）的结论推导边平行且相等，依据平行四边形判定定理判定形状． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，． ， 是等边三角形， ，， ． ， 是等边三角形， ． ， ， ， ． 在与中， ． （2）解：四边形是平行四边形． 理由：由（1）知和都为等边三角形， ， ． ， 四边形为平行四边形． 4．如图，A、D、B、F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)连接、，求证四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形判定与性质和平行四边形判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理和平行四边形的判定定理． （1）由可证； （2）结合（1），用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可解答． 【详解】（1）证明： ∵， ， ，， ； （2）证明：如图： 由（1）知， ， ， ， 又∵， 四边形为平行四边形． 5．如图，和都是等边三角形，点D在边上，边上有一点F，且，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，利用即可证明； （2）由全等三角形的性质和等边三角形的性质，结合，可推出，，即为等边三角形，进而得到，，推出，最后由对边相等且平行即可判定四边形为平行四边形． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ，即， ； （2）证明：， ，， 又， 是等边三角形， ， ， 为等边三角形． ， 是等边三角形， ， ， ，即， ，， ， 四边形是平行四边形． 【题型5 判断能否构成平行四边形】 1．如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：A、由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定这个四边形是平行四边形； B、由两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定这个四边形是平行四边形； C、，可能是等腰梯形，不能判定这个四边形是平行四边形； D、由对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定这个四边形是平行四边形． 2．在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定方法逐项判断即可作答． 【详解】解：A、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； B、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； C、，，四边形为平行四边形，故本项符合题意； D、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； 故选：C． 3．下面给出的是四边形中，，，的度数比．其中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．4∶3∶2∶1 B．3∶2∶3∶2 C．3∶3∶2∶2 D．3∶2∶2∶1 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定，运用了两组对角分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法． 由“两组对角对边相等的四边形是平行四边形”进行判断即可． 【详解】解：∵对角相等的四边形是平行四边形， ∴能判定四边形是平行四边形的是． 故选：B． 4．能判定一个四边形是平行四边形的条件是（    ） A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边平行，一组对角相等 C．一组对边平行，一组邻角互补 D．一组对边相等，一组对角互补 【答案】B 【分析】本题重点考查平行四边形的判定定理，理解一组对边平行且一组对角相等能判定平行四边形是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理逐选项判断即可． 【详解】选项A不一定能判定平行四边形，等腰梯形有一组对边平行，另一组对边相等，但它不是平行四边形，选项A错误； 选项B，如果一组对边平行且一组对角相等，可以证明另一组对边也平行，从而判定四边形是平行四边形，选项B正确； 选项C，不一定能判定平行四边形，梯形有一组对边平行，且同旁内角互补（邻角互补），但它不是平行四边形，选项C错误； ​​选项D，不一定能判定平行四边形，存在一些四边形满足一组对边相等且对角互补，但不是平行四边形，选项D错误， 故选：B． 5．下列条件中，不能判定一个四边形为平行四边形的是（    ） A．两组对边分别相等 B．两组对角分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行，另一组对边相等 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； B、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故该选项符合题意； 故选：D 【题型6 添一个条件成为平行四边形】 1．如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出结果，熟练掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； B、由，，不可得出四边形是平行四边形，故符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； D、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； 故选：B． 2．如图，在四边形中，与相交于点，，以下条件能判断四边形是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、，，根据一组对边平行，另一组对边相等不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 、由可得，又，根据一组对边平行且相等能判断四边形是平行四边形，该选项符合题意； 、，，只能得到一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 、，，根据一组对边及一组对角相等不能判断四边形是平行四边形，该选项不符合题意； 故选：． 3．如图，四边形的对角线交于点，已知，添加下列其中一个条件，能判定四边形为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟记“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”是解题的关键．由平行四边形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：添加，能判定四边形是平行四边形的是，理由如下： ， 又， 四边形是平行四边形， 只有B选项符合题意，其他选项不能判定四边形是平行四边形， 故选：B． 4．在四边形中，，添加下列条件后，能使四边形为平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方有：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，根据平行四边形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：如下图所示， ， ， A选项：已知，添加， 一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形， 故A选项不符合题意； B选项：， ， 添加， 只有一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形， 故B选项不符合题意； C选项：已知，添加， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四形，可知四边形是平行四边形， 故C选项符合题意； D选项：， ， ， ， 只有一组对边平行，不能说明四边形是平行四边形， 故D选项不符合题意． 故选：C． 5．如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列添加的条件正确的是（    ） ∵， ∴， 又∵（      ）， ∴四边形是平行四边形．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：添加后可得，仅一组对边平行，无法证明四边形是平行四边形．故A选项不合题意； 添加后可得，，满足一组对边平行且相等，可证四边形是平行四边形．故B选项符合题意； 添加后，，四边形为等腰梯形，不是平行四边形．故C选项不合题意； 添加后，满足一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形．故D选项不合题意； 故选B． 【点睛】本题考查添加一个条件构造平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 【题型7 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 1．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： 当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： ∴符合要求的点有个， 故选：． 2．在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．分三种情况：①和为对角线时，②和为对角线时，③和为对角线时，设点的坐标为，利用平行四边形两对角线互相平分结合中点公式即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 分三种情况：①和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ②和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ③和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点C的坐标可能是或或，不可能是． 故选：D． 3．以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】先根据题意画出图形，然后分为边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的判定和平移的性质即可解答． 【详解】解：如图：当为对角线时，点的坐标为，即； 当为边时，点的坐标为，即；点的坐标为，即． 故选D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定、平移的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 4．在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标_________． 【答案】，， 【分析】需要分类讨论：以为边的平行四边形和以为对角线的平行四边形． 【详解】解：①当为边且为邻边时：如图    因为点、， 所以点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， 相应的点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， ， ； ②当为边且为邻边时：如图    因为点、， 所以点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， 相应的点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， ， ； ③当为对角线时：如图    因为点、， 所以点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， 相应的点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， ， ； 故答案为：，， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及点的平移问题，解题关键是准确作出对应图形，利用数形结合思想解决． 【题型8 全等三角形拼平行四边形问题】 1．用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．以三角尺的三边为对角线，分别拼成不同的平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：如图所示， 用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有3个． 故选：C． 2．用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 【答案】D 【分析】根据三角板不同形状分类讨论，分别以三组对应边为对角线拼成平行四边形，判断平行四边形数量． 【详解】解：三边互不相等三角板，如图，分别以三组对应边为对角线，可以拼成三个形状不同的平行四边形；    两直角边相等的三角板，如图中，平行四边形，形状一样，故分别以三组对应边为对角线，可以拼成两个不同形状的平行四边形；    故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，平行四边形的判定，注意根据三角板的不同形状分情况讨论是解题的关键． 3．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由是由六个全等的正三角形拼成的，可得出是正六边形，进而可得出，则四边形是平行四边形，同理可得出四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形． 【详解】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的， ∴是正六边形， ∴，，是正六边形的对角线， 可得， ∴四边形是平行四边形， 同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个， 故选C． 【题型9 利用平行四边形的判定与性质求解】 1．如图，在中，点，点分别是，的中点，连接，．若平分，，，则四边形的周长为_______． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质可得出，，进一步得出，证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得出，，由角平分线的定义，可得，由平行线的性质，可得，等量代换，可得，由等角对等边，可得，从而可得，根据平行四边形的周长计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点，点分别是，的中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴四边形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边． 2．如图，的对角线，相交于点O，，．如果，，那么四边形的周长是________． 【答案】5 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质．证明四边形是平行四边形可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形的周长． 故答案为：5． 3．如图，在四边形中，，，，点P从点A出发，以的速度向终点D运动；同时点Q从点C出发，以的速度向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．当_________s时，． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，一元一次方程的应用，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．先表示出，，可得四边形为平行四边形，则，继而得到关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 4．如图，在中，过对角线上一点作，，且，，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，由条件可证明四边形、为平行四边形，再利用面积的和差可证明，最后由等高四边形的条件即可得出答案． 【详解】解：∵在中，， 又，， ∴四边形、、、为平行四边形， ∴， 同理可得，， ∴， 即． ∵，， ∴ ∴； 故答案为：． 5．如图，在中，，点D 是的中点，，若， 则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，先证明四边形是平行四边形，可得．由勾股定理可求的长． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． 在中，， 由勾股定理得． ∵D是的中点， ∴． 在中，， 由勾股定理得． 故答案为：． 6．如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明 ，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，然后由三角形面积求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 的长为． 7．如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，点B的对应点恰好落在的延长线上，与边交于点E，此时恰为等边三角形． (1)求证：是等边三角形； (2)求对折后重叠部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及翻折变换，关键是掌握平行四边形的对边平行且相等，直角三角形角所对的边等于斜边的一半． （1）首先根据等边三角形的性质可得，，故可得出，由此得出，根据翻折变换的性质得出，据此可得出结论； （2）根据折叠的性质，，再利用平行四边形的性质证明，，利用直角三角形角所对的边等于斜边的一半可得长，进而可得的长，利用三角函数值计算出，然后根据三角形的中线平分三角形的面积可得，进而可得答案． 【详解】（1） 证明：为等边三角形， ，， ， ， 由翻折而成， ， 是等边三角形； （2） 解：根据折叠的性质，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ． 【题型10 平行四边形性质和判定的应用】 1．如图所示：已知在四边形中，，、都垂直于，垂足分别为点E和F，且．    (1)求证：四边形是平行四边形 (2)尺规作图：过点A作的垂线，交于点G（不写作法，保留作图痕迹） (3)在（2）的条件下，若，，求点A到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【分析】(1)证明得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可． (2)根据垂线的基本作图证明即可． (3)根据平行四边形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵     ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴     ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形． （2）正确尺规作图，保留作图痕迹 ． 则点G即为所求． （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， 解之得：     ∴点A到直线的距离为：4． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，面积计算，垂线的基本作图，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 2．如图，在四边形中，，，，，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）． （1）若四边形是平行四边形，求出满足要求的t的值； （2）若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值． 【答案】（1）当t＝6或秒时，四边形PQDC是平行四边形；（2）当t＝秒时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等40cm2； 【分析】（1）由题意已知，AD∥BC，要使四边形PQDC是平行四边形，则只需要让QD＝PC即可，分为两种情况，点P、Q分别沿AD、BC运动或点P返回时，根据速度和时间t表示出线段长，列出方程即可； （2）要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于40cm2，可以分为两种情况，点P、Q分别沿BC、AD运动或点P返回时，再利用梯形面积公式，用t可分别表示QD、BC的长，列出方程即可． 【详解】解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形， ∴DQ＝CP， 当P从B运动到C时， ∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝22﹣2t ∴16﹣t＝22﹣2t 解得t＝6 当P从C运动到B时， ∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝2t﹣22 ∴16﹣t＝2t﹣22， 解得t＝， ∴当t＝6或秒时，四边形PQDC是平行四边形； （2）若点P、Q分别沿BC、AD运动时， 即 解得t＝（秒） 若点P返回时，CP＝2t﹣22， 则 解得t＝16（秒），此时点Q与点D重合，舍去． 故当t＝秒时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等40cm2； 【点睛】本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积，解题关键是利用速度与时间表示线段长，根据题意列出方程． 3．如图，在中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向以的速度匀速运动，到点时停止运动，连接并延长交于点．设运动时间为． (1)当为何值时，四边形是平行四边形？并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】当运动的时间为时，，，因为四边形是平行四边形，所以，当时，四边形是平行四边形，可得关于的方程，解方程求出的值； 过点作于点，过点作于点，利用三角形的面积公式求出的长度，从而可求的面积，根据三角形中位线的性质可求出的长度，从而可求的面积，用的面积减去的面积即可得到四边形的面积． 【详解】（1）解：当时，四边形是平行四边形， 理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ， 在和中，， ， ． ， ． ， ，即时， 四边形是平行四边形， 解得：； （2）解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ，，， 在中，由勾股定理，得， 由三角形的面积公式，得， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、动点问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质．本题的综合性较强，解决本题的关键是根据平行四边形的判定定理确定边之间需要满足的条件，根据条件列方程． 4．如图，在中，E，F分别为，上两点，且，连接，分别与对角线交于点G，H． (1)求证：四边形为平行四边形： (2)若，，求点G到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，而，则，所以，，则四边形 为平行四边形； （2）作于点，由，得，由，得，可根据“”证明，得，因为，所以，即可得解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，分别为，上两点，且， ， ，， 四边形 为平行四边形． （2）解：作于点，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点到的距离是2． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，点到直线的距离等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平行四边形的性质与判定重难点题型汇编 【题型1 数图形中平行四边形的个数】.....................................................................................................1 【题型2 利用平行四边形的性质求解】.....................................................................................................2 【题型3 利用平行四边形的性质证明】.....................................................................................................4 【题型4 证明四边形是平行四边店】........................................................................................................5 【题型5 判断能否构成平行四边形】........................................................................................................7 【题型6 添一个条件成为平行四边形】.....................................................................................................8 【题型7 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】..............................................................................9 【题型8 全等三角形拼平行四边形问题】..................................................................................................9 【题型9 利用平行四边形的判定与性质求解】..........................................................................................10 【题型10 平行四边形性质和判定的应用】................................................................................................12 【题型1 数图形中平行四边形的个数】 1．如图，在中，，，，的交点在上，则图中面积相等的平行四边形有（   ）对 A．5 B．3 C．2 D．4 2．如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．如图，已知，，，则图中的平行四边形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．如图是由10个正三角形组成的网格，三角形的顶点A，B处有两枚棋子，若在格点上再放入两枚棋子，可以组成平行四边形的放法共有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 5．如图，每一图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形，第2幅图中有3个平行四边形，第3幅图中有5个平行四边形，则第100幅图中有平行四边形的个数是（   ） A．200 B．201 C．199 D．198 6．如图所示的正方形网格中共有16个格点（组成网格的小正方形的顶点称为格点），若以A，B两个格点为顶点作格点平行四边形（顶点均为格点的四边形称为格点四边形），则这样的平行四边形共有（   ） A．5个 B．8个 C．9个 D．10个 【题型2 利用平行四边形的性质求解】 1．如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，的角平分线交于点，则的值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．如图，在中，，对角线与相交于点．若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，对角线与相交于点O，，则的周长为（    ） A．8 B．11 C．12 D．15 5．如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．如图，的对角线，交于点，过点作交边于点，垂足为，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，将沿AC所在直线折叠，点B恰好落在BA延长线上的点处，交AD于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用平行四边形的性质证明】 1．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，求证：． 2．如下图，的对角线，相交于点，点在上，点在上，连接，使恰好经过点． (1)求证：． (2)若，，，求的长． (3)记四边形的面积为，的面积为，用等式表示和的关系为 ． 3．如图，在中，对角线与相交于点，过点作于，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 4．如图，在中，E，F是对角线上两点且，连接，． 求证：． 5．如图，在平行四边形中，对角线交于点O，延长到点E，使，连接交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型4 证明四边形是平行四边店】 1．已知：如图，在中，分别是边和上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 2．如下图，点，，，在同一条直线上，，，． (1)求证：． (2)连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 3．如图，已知是等边三角形，点，分别在边，上，且，连接并延长至点，使，连接，和． (1)求证：． (2)判断四边形的形状，并说明理由． 4．如图，A、D、B、F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)连接、，求证四边形为平行四边形． 5．如图，和都是等边三角形，点D在边上，边上有一点F，且，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【题型5 判断能否构成平行四边形】 1．如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 3．下面给出的是四边形中，，，的度数比．其中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．4∶3∶2∶1 B．3∶2∶3∶2 C．3∶3∶2∶2 D．3∶2∶2∶1 4．能判定一个四边形是平行四边形的条件是（    ） A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边平行，一组对角相等 C．一组对边平行，一组邻角互补 D．一组对边相等，一组对角互补 5．下列条件中，不能判定一个四边形为平行四边形的是（    ） A．两组对边分别相等 B．两组对角分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行，另一组对边相等 【题型6 添一个条件成为平行四边形】 1．如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，与相交于点，，以下条件能判断四边形是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，四边形的对角线交于点，已知，添加下列其中一个条件，能判定四边形为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 4．在四边形中，，添加下列条件后，能使四边形为平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 5．如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列添加的条件正确的是（    ） ∵， ∴， 又∵（      ）， ∴四边形是平行四边形．    A． B． C． D． 【题型7 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 1．在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 3．以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是，点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 4．在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标_________． 【题型8 全等三角形拼平行四边形问题】 1．用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 3．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【题型9 利用平行四边形的判定与性质求解】 1．如图，在中，点，点分别是，的中点，连接，．若平分，，，则四边形的周长为_______． 2．如图，的对角线，相交于点O，，．如果，，那么四边形的周长是________． 3．如图，在四边形中，，，，点P从点A出发，以的速度向终点D运动；同时点Q从点C出发，以的速度向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．当_________s时，． 4．如图，在中，过对角线上一点作，，且，，则________． 5．如图，在中，，点D 是的中点，，若， 则的长为______． 6．如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 7．如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，点B的对应点恰好落在的延长线上，与边交于点E，此时恰为等边三角形． (1)求证：是等边三角形； (2)求对折后重叠部分的面积． 【题型10 平行四边形性质和判定的应用】 1．如图所示：已知在四边形中，，、都垂直于，垂足分别为点E和F，且．    (1)求证：四边形是平行四边形 (2)尺规作图：过点A作的垂线，交于点G（不写作法，保留作图痕迹） (3)在（2）的条件下，若，，求点A到直线的距离． 2．如图，在四边形中，，，，，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）． （1）若四边形是平行四边形，求出满足要求的t的值； （2）若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值． 3．如图，在中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向以的速度匀速运动，到点时停止运动，连接并延长交于点．设运动时间为． (1)当为何值时，四边形是平行四边形？并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 4．如图，在中，E，F分别为，上两点，且，连接，分别与对角线交于点G，H． (1)求证：四边形为平行四边形： (2)若，，求点G到的距离． 1 学科网（北京）股份有限公司 $