6.3.1平面向量基本定理课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.1平面向量基本定理 情景引入 我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力. 可以通过作平行四边形，将力F分解为多组大小、方向不同的分力. 一个力可以分解为两个不同方向的分力之和. 类比力的分解，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线的向量表示呢？ —— 平面向量基本定理 问题探究 O M N 探究1 如图，设，是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与，都不共线的向量. 能否将按，的方向分解？ A 问题探究 探究2 与共线的向量，能用 呢? 问题探究 探究3 如果给定的两向量共线，还能用来表示这一平面内的任何一个向量吗？ 与，共线， 当向量与它们不共线时，则无法表示. 问题探究 探究4 若存在λ1，λ2，μ1，μ2∈R，且＝λ1＋λ2，＝μ1＋μ2，那么λ1，μ1，λ2，μ2有何关系？ 由已知得λ1＋λ2＝μ1＋μ2， ∵与不共线， ∴λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0， ∴λ1＝μ1，λ2＝μ2． 即，，不共线时，有且只有一对实数，使 . 新知讲授 平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且仅有一对实数，使 . 定义 若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 注意：①基底不唯一，不共线的两个向量都可以作为基底； ③同一向量在选定基底后，实数是唯一的. ②零向量不能作为基底； 新知应用 例1设e1，e2是不共线的两个向量，则下列能作为平面内所有向量的一个基底的有（ 　） A. e1与e1＋e2 B. e1－2e2与e2－2e1 C. e1－2e2与4e2－2e1 D. e1＋e2与e1－e2 ABD 《三维设计》P13例1 新知应用 例2 如图， 不共线，且 (t∈R)，用 表示 . 解：因为 ， 所以 思考：观察，你有什么发现？ 若三点共线，为直线外一点存在实数，使且. 新知应用 例3 如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. C 新知应用 例3 在△ABC中， ＝c， ＝b，若点D满足 ＝2 ，以{b,c}作为基底，则 ＝（　　） A. b＋ c B. c－ b C. b－ c D. b＋ c A 新知应用 例5 如图，在平行四边形ABCD中，设 ＝a， ＝b，用a，b表示 ， . 《三维设计》P14例2 设AC，BD交于点O， 则有 ＝ ＝ ＝ a， ＝ ＝ ＝ b. 所以 ＝ ＋ ＝ － ＝ a－ b， ＝ ＋ ＝ a＋ b. 新知应用 例5 在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且 ＝ ，设 ＝a， ＝b. (1)试用基底{a,b}表示 ， ， ； (2)若G为长方形ABCD所在平面内一点，且 ＝ a－ b，求证：E，G，F三点不能 构成三角形的三个顶点. 《三维设计》P14例3 练习 如图，在三角形ABC中，D是BC边上靠近点C的三等分 点，E为AD中点.若 ＝x ＋y ，则x＝（　　） A. B. － C. － D. 新知应用 《三维设计》P15训练3(1) C 课堂总结 $