6.2.4向量的数量积课件(2)-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.4向量的数量积(2) 复习回顾 1.向量的数量积 2.数量积的性质：设是非零向量，它们的夹角是， 是与方向相同的单位向量，则 ① ② ③当同向时， ；当反向时， - ； 特别地， 或 ④ 问题探究 探究1 向量的线性运算满足结合律与交换律，数量积运算是否也满足一些运算律呢？ 类比实数乘法有关的运算律，猜测数量积可能满足的运算律： 类比：实数乘法的交换律 猜想： 实数乘法的结合律 猜想： 猜想： 实数乘法的分配律 猜想： 问题探究 探究2 求证： 向量数量积的运算结果是一个数量， 一个数量， 是一个与共线的向量， 又也是一个数量， 是一个与共线的向量， 就不一定成立了． 问题探究 探究3 求证：() 证明：与方向相同的单位向量为， 则，， ， 因为， 即， 即， 所以， 因此(. 新知讲授 数量积的运算律 对于向量和实数，有 (1)（交换律） (2) （数乘结合律） (3) （分配律） ②a,c不共线时，(a·b)·c≠a·(b·c). 注意 ①a·b＝b·c推不出a＝c； 问题探究 探究4 类比实数的“完全平方公式”或“平方差公式”，向量是否也满足(1)？ 证明：(1) ； (2) 新知应用 例1 已知向量a与b满足|a|=6，b|=4，且向量a与b的夹角为60°，求(a+2b) · (a-3b). 新知应用 例2 已知在边长为1的菱形ABCD中，点E为线段CD的中点，则 · ＝ ⁠. 《三维设计》P12训练1（2） － 　 新知应用 例3 已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a＋2b|=( ) A. B. 2 C. 4 D. 12 　|a＋2b|＝ ＝ ＝ ＝2 . B 练习已知|a|=|b|=5，向量a与b的夹角为60°. 求：(1)|a+b|；(2)|a-b|；(3)|3a+b|. 新知应用 例4 已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝ ，求a，b的夹角. 设a与b的夹角为θ，由题意得(3a－2b)2＝7， ∴9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7， 又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝ ， ∴|a||b| cos θ＝ ，即 cos θ＝ . 又θ∈[0，π]，∴a，b的夹角为 . 《三维设计》P12例3 新知应用 例5 已知，且与不共线．当为何值时，向量与互相垂直？ 解：()⊥()的充要条件是， 即． 因为所以． 解得． 故，当时， 与互相垂直． 新知应用 例6 已知|a|=2，|b|=1，向量a,b的夹角为60°，c＝a＋5b，d＝ma－2b，求实数m为何值时，c与d垂直. 《三维设计》P13例4 课堂总结 $