第三单元圆柱与圆锥·单元复习篇（单元复习讲义）【四大篇章】-2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春」（原卷版+解析版）人教版

篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2026年1月26日晚 2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春」 第三单元圆柱与圆锥·单元复习篇【四大篇章】 【知识点一】圆柱的认识、组成、各部分名称及特征 1. 圆柱的认识。 像下面这些物体的形状都是圆柱体，这些圆柱都是直圆柱，即直直的、上下一样粗，上下两个面都是圆形，圆柱是生活中一种常见的立体图形。 2. 圆柱的组成。 圆柱是由两个底面和一个侧面围成的立体图形。 3. 圆柱的各部分名称。 （1）圆柱的底面和侧面。 （2）圆柱的高。 4. 圆柱的特征。 （1）圆柱底面的特征：圆柱的上、下底面是两个大小相同的圆。 （2）圆柱侧面的特征：曲面 （3）圆柱高的特征：圆柱有无数条高，这些高长度都相等。 【知识点二】圆柱的侧面展开图 1. 当沿高展开时，展开图是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，其中当底面周长和高相等时，沿高展开图是正方形； 2. 当不沿高展开时（斜向切开），展开图是平行四边形，平行四边形的底等于圆柱的底面周长，平行四边形的高等于圆柱的高。 3. 圆柱的侧面展开方式不同，得到的侧面展开图也不同，圆柱的侧面展开图可能是长方形、正方形、平行四边形或不规则图形。 【知识点三】圆柱的侧面积和表面积 1. 圆柱的侧面积。 当圆柱沿高展开时，侧面展开图是一个长方形，其中长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，因此： 圆柱的侧面积=长方形的面积=长×宽=圆柱底面的周长×高，即S侧=Ch=2πrh。 2. 圆柱侧面积的计算公式。 圆柱的侧面积=底面周长×高，用字母表示是S侧=Ch。 已知圆柱的底面半径和高，求侧面积：S侧=2πrh； 已知圆柱的底面直径和高，求侧面积：S侧=πdh。 3. 圆柱的表面积。 圆柱的表面积=圆柱的侧面积+两个底面的面积，用字母表示是S表=S侧+2S底=Ch+2πr2。 4. 圆柱的表面积与生活实际应用。 在解决有关圆柱表面积计算的实际应用问题时，要具体问题具体分析： (1)只计算侧面积的圆柱形物体有烟囱、水管、通风管等。 (2)计算侧面积加一个底面积的圆柱形物体有笔筒、玻璃杯、无盖木桶、水池、帽子等。 (3)计算侧面积加两个底面积的圆柱形物体有茶叶筒、油桶等。 【知识点四】圆柱的切拼问题 1. 圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 2. 圆柱中横切引起的表面积变化。 横切引起的表面积变化，即沿着底面或平行于底面的方向将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，如果将圆柱截成几个小圆柱，增加的表面积为2（n－1）个底面的面积（n为截成的小圆柱的个数），与之相反，多个底面相同的小圆柱拼成一个大圆柱，减少的表面积为2（n－1）个底面的面积（n为小圆柱的个数）。 3. 圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切引起的表面积变化，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4. 圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时拼成的长方体会比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。 【知识点五】圆柱的旋转构成法 圆柱的旋转构成法，即长方形在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转所得到的圆柱是不一样的，因此，我们可以得到以下四种不同的旋转方法构成的圆柱体。 旋转方法①：如图所示，以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。 旋转方法②：如图所示，以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。 旋转方法③：如图所示，以两条长中点的连线为轴（对称轴）进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半径。 旋转方法④：如图所示，以两条宽中点的连线为轴（对称轴）进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半径。 【知识点六】圆柱的体积 1. 圆柱的体积和容积。 （1）一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体的体积，叫做这个圆柱的容积。 （2）圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容器的内部量。 2. 圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份（偶数等份），并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形，这个长方体的底面积和高与圆柱的底面积和高分别相等，由长方体体积公式，我们可以推导得出圆柱体积公式。 如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh=πr2h。 3. 将圆柱切拼成近似的长方体后，要注意“三不变三变”。 (1)三不变：底面积、高、体积不变。 (2)三变：形状、表面积、底面周长变了。即形状由圆柱变成长方体；表面积比圆柱表面积增加了长方体左右面的面积，即2rh；底面周长比圆柱底面周长增加了2r。 4. 根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为V=Sh，可将体积公式变形反求底面积或高，即： ①S底=V柱÷h ②h=V柱÷S底 【知识点七】圆柱体积中的两种关系 其一：比例关系。 1. 当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。 2. 当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。 3. 已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 其二：倍数关系。 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。 【知识点八】长方体中的最大圆柱·圆柱中的最大长方体·正方体中的最大圆柱 1. 长方体中的最大圆柱。 在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是多少立方厘米，要以长方体底面的宽作为圆柱底面圆的直径，长方体的高作为圆柱的高，再来计算圆柱的体积。 2. 圆柱中的最大长方体。 圆柱中的最大的长方体，高和圆柱的高相等，长方体的底面是一个正方形，这个正方形的对角线恰好是圆柱的底面直径，因此，底面正方形的面积=对角线×对角线÷2，再根据“长方体体积=底面积×高”求出这个长方体的体积。 3. 正方体中的最大圆柱。 把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱＝πr2h求圆柱的体积。 【知识点九】排水法求不规则物体的体积 1. 转化法求不规则物体的体积。 在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转化为规则物体的体积来计算， 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤如下： （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 【知识点十】等积变形问题 解决等积变形问题的关键是抓住“体积不变”，先求出物体的体积，然后根据问题对应图形的体积公式进行解答；也可以根据“变形前的体积=变形后的体积”列方程解答。 【知识点十一】圆锥的认识、组成、各部分名称及特征 1. 圆锥的认识。 像下面这些物体就是圆锥，圆锥是我们生活中常见的一种立体图形，它的下面是圆形，并且从下往上逐渐变小到一点。 2. 圆锥的各部分名称及特征。 【知识点十二】圆锥高的测量方法 1. 放：把圆锥的底面水平地放在平板（底面放平）上，在圆锥上方和右方按如图所示的方式各放置一把三角尺，并使右方三角尺的0刻度线与平板的上边缘对齐。 2. 量：圆锥顶点挨着的直角边与平板之间的距离就是圆锥的高。 【知识点十三】圆锥的旋转构成法 以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一周得到一个圆锥，旋转轴所在的直角边就是圆锥的高（h），而另一条直角边就是圆锥的底面半径（r），斜边就是顶点到底面圆周上任意一点的连线。如图所示： 【知识点十四】圆锥的切面积问题（圆锥的切拼问题） 如图所示，将圆锥沿着高垂直切成两个完全相同的半圆锥，截面是等腰三角形，且等腰三角形的底是圆锥的底面直径，高是圆锥的高，所以增加的两个截面的面积=圆锥的底面直径×圆锥的高。 【知识点十五】圆锥的体积 1. 圆锥的体积。 圆锥所占空间的大小叫作圆锥的体积。 2. 圆锥体积计算公式的推导。 （1）圆柱和圆锥的底面都是圆，如果将圆柱上底面的圆心和下底面圆周上的每一点连起来，就能得到一个和圆柱等底、等高的圆锥（如图）。 （2）利用等底等高的两个圆柱和圆锥做“倒水实验”、“倒沙实验”，得出结论：等底、等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥的体积是圆柱体积的 （3）圆锥的体积计算公式。 如果用V表示圆锥的体积，用S表示圆锥的底面积，用h表示圆锥的高，用r表示圆锥的底面半径，则圆锥的体积计算公式用字母表示为V=sh或V=πr2h。 3. 根据圆锥的体积公式变形，可以反求高或底面积。 V=sh或V=πr2h，反求高或底面积，即h=V×3÷S，S=V×3÷h。 【知识点十六】圆锥体积中的两种关系 其一：倍数关系 圆锥的体积随着底面积和高的扩大与缩小而变化，其规律与积的变化规律相似，即： 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。 其二：比例关系 1. 圆锥的底面积相等时，高的比就是体积的比。 2. 圆锥的高相等时，底面积的比就是体积的比。 3. 已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 【知识点十七】圆柱与圆锥的关系问题 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的，圆锥与圆柱的体积之比是1∶3。 2. 圆柱和圆锥的体积相等时，如果底面积相等，那么圆锥的高是圆柱高的3倍，圆柱的高是圆锥高的。 3. 圆柱和圆锥的体积相等时，如果高相等，那么圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍，圆柱的底面积是圆锥底面积的。 【知识点十八】求含圆柱圆锥的不规则或组合立体图形的表面积和体积 1. 求不规则圆柱体的表面积，注意分析图形是由哪几个面组合而成的，然后分别计算这几个面的面积，最后将所计算的面相加。 2. 不规则或组合立体图形的体积是图形计算和实际应用中的常考题型，其中组合立体图形的体积等于各部分规则立体图形的体积之和。 【预测考点01】圆柱的认识和特征 【典型例题】 上面图形中是圆柱的是( )。圆柱的底面都是( )，并且大小一样。 【对应练习】 通过预习，我知道了一个圆柱由两个( )面和一个( )面组成， 两个( )面积相等。沿高剪开，圆柱的( )面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱底面的( )，宽等于圆柱的( )。 【预测考点02】圆柱的侧面展开图 【典型例题】 1．将一个圆柱的侧面剪开，不可能得到图形( )。 A．B． C． D． 2．将一个圆柱的侧面沿高剪开，展开后得到一个正方形，正方形的边长是15.7cm。这个圆柱的表面积是( )cm2。 A．31.4 B．39.25 C．246.49 D．285.74 【对应练习】 1．乐乐和园园分别在纸上画了几个笔筒沿高剪开的侧面展开示意图，其中正确的是( )。（填序号） 2．四足机器人的一个圆柱形零件的侧面展开图是一个长方形，长方形的长等于圆柱底面的( )，长方形的宽等于圆柱的( )。 【预测考点03】圆锥的认识和特征 【典型例题】 在圆锥的下面画“√”，在圆柱的下面画“×”。 【对应练习】 通过预习，我知道了圆锥有一个( )，一个( )，一个( )。( )是一个圆，( )展开后是一个扇形。圆锥只有( )条高。 【预测考点04】圆锥的切面积问题 【典型例题】 把一个底面周长是9.42厘米，高是8厘米的圆锥，从顶点沿高把它切成相等的两部分，表面积增加了( )平方厘米。 【对应练习】 1．一个圆锥的底面直径是6厘米，高是9厘米，沿高将它切成两个完全相等的部分，表面积增加了( )。 2．将一个底面直径是26厘米、高是6厘米的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了( )平方厘米。 【预测考点01】圆柱的表面积与生活实际应用 【典型例题】 一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽2米，直径3米。前轮转动一周，压路的面积是多少平方米？ 【对应练习】 1．圆柱形无盖铁皮水桶高2.5分米，底面直径4分米，做这样一个水桶要用铁皮多少平方分米？ 2．某村计划修建一个无盖的圆柱形蓄水池，已知底面半径5米，深4米，在水池的底面和侧面抹上水泥，如果每平方米的费用是8元，那么抹水泥共需要多少钱？ 【预测考点02】圆柱的体积与生活实际应用 【典型例题】 王叔叔在自家苹果园里挖了一个底面直径是4米、深1.5米的圆柱形蓄水池。 （1）现在要给这个蓄水池的底面和侧面抹水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ （2）这个蓄水池能装多少吨水？（每立方米水重1吨） 【对应练习】 把一瓶2升的可乐倒入杯中，杯子从里面量得底面周长是18.84厘米，高10厘米的圆柱形玻璃杯中，最多能倒满多少杯？ 【预测考点03】圆锥的体积与生活实际应用 【典型例题】 一堆煤呈圆锥形，高3米，底面周长为12.56米，已知每立方米的煤约重1.5吨，这堆煤大约重多少吨？ 【对应练习】 小芳家收获的稻谷堆成了圆锥形，高约为1.5米，底面直径约为4米。她通过“百度一下”查得每立方米稻谷大约重650千克，她家这堆稻谷大约重多少千克？ 【预测考点01】切拼问题“综合” 【典型例题】 一根圆柱形木料的底面半径是0.5米，长是2米。如图所示，将它截成4段，这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了多少平方米？ 【对应练习】 1．一根圆柱形钢材长2.5米，把两根这样的钢材焊接成一根圆柱形钢材，表面积减少了0.6平方分米。如果每立方分米的钢材质量为7.8千克，焊接成的这根钢材质量是多少千克？ 2．如图，一个圆柱体木材被截去5厘米后，圆柱的表面积减少了47.1平方厘米，求原来圆柱体的体积是多少立方厘米？    【预测考点02】圆柱的旋转构成法 【典型例题】 如图，以长方形对称轴l旋转一周可以得到一个（     ），已知AB＝7厘米，BC＝4厘米，求它的体积是多少立方厘米？ 【对应练习】 面上有一个2cm×4cm的长方形。 小思说：“我在数学课上学习过圆柱是可以通过长方形旋转形成。我可以用这个长方形的长和宽分别为轴，旋转形成两个圆柱。” 小丽说：“我觉得这两个圆柱的体积是相同的，因为是用同一个长方形旋转形成的。” （1）圆柱A的底面半径为____________cm，高为____________cm；圆柱B的底面半径为____________cm，高为____________cm。 （2）小丽的说法是（□正确□错误）的。（在正确答案前的□内画“√”）在下面的方框内用画图、文字、公式等方式说明理由。 【预测考点03】圆锥的旋转构成法 【典型例题】 如下图，一个直角三角形，以的直角边为轴旋转一周、形成一个( )（填立体图形名称）。这个立体图形的底面半径是( )cm、高是( )cm，体积是( )。与它等底等高的圆柱的体积是( )。 【对应练习】 如图，直角三角形ABC如果绕AB旋转一周后得到圆锥甲，如果绕BC旋转一周后得到圆锥乙。已知，那么两个圆锥的体积( )。 【预测考点04】圆柱与圆锥的关系问题 【典型例题】 一个圆柱体杯中盛满15升水，把一个与它等底等高的铁圆锥倒放入水中，杯中还有( )毫升的水。 【对应练习】 1．一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积分别相等，已知圆柱的高是6分米，圆锥的高是( )分米；一个圆柱与一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆锥的底面积是28.26平方厘米，则圆柱的底面积是( )平方厘米。 2．小悦用一块体积为216立方厘米的橡皮泥，捏塑成等底等高的一个圆柱和一个圆锥，圆锥的体积是( )立方厘米。 3．一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知圆柱体积比圆锥体积多32立方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米。 【预测考点05】等积变形问题“综合” 【典型例题】 1．李叔叔把一块长方体钢坯铸成一根底面半径为2分米的圆柱形钢材，求钢材的长度。 2．把一个底面半径是2厘米，高是5厘米的圆柱形铁块，熔铸成一个高是10厘米的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的底面积是多少平方厘米？ 【对应练习】 1．如下图所示，甲圆柱体容器是空的，乙长方体容器中水深6.28厘米，现将乙容器中的水全部倒入甲容器中，甲容器中水深多少厘米？ 2．把一个长6.28分米，宽和高都为4分米的长方体钢坯熔铸成一个底面直径为8分米的圆锥形铅锤。这个铅锤的高是多少分米？ 【预测考点06】排水法求不规则物体的体积“综合” 【典型例题】 1．爸爸买回来一个圆柱形鱼缸，鱼缸底面直径40厘米，高35厘米。在鱼缸中放一条鱼，此时水面高度是30厘米。当把鱼从鱼缸中取出后水面下降了2厘米。（鱼缸厚度忽略不计） （1）取出鱼后，鱼缸中水的体积是多少立方厘米？ （2）鱼缸的容积是多少立方厘米？ 2．一个底面直径为40厘米的圆柱体容器里装有一部分水，水中浸没着一个底面直径20厘米，高9厘米的圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，容器中水面高度下降了多少厘米？ 【对应练习】 1．在一个底面直径是6厘米，高是12厘米的圆柱形容器中有5厘米深的水，放入一个小石头，完全浸没在水中，水面上升到7厘米。这个小石头的体积是多少立方厘米？ 2．一个长方体玻璃缸，从里面量长50厘米、宽30厘米，缸中水的高度是12厘米。当把一个底面积是900平方厘米的圆锥形零件完全浸没在水中时，水的高度是15厘米，这个零件的高度是多少厘米？ 3．一个底面半径是6厘米的圆柱形容器里装有一些水，将一个高9厘米的圆锥形铅锤完全浸没于水中，水溢出10立方厘米。当将铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米，这个圆锥的底面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【预测考点07】求含圆柱圆锥的不规则或组合立体图形的表面积和体积 【典型例题】 计算如图形的表面积。（单位：厘米） 【对应练习】 计算下面物体的体积。 一、填空题。 1．（2022·内蒙古赤峰·期末）列举两个生活中圆柱形的物体( )，它们的共同特征是( )（至少写出三条）。 2．（2025·新疆巴州·期末）如图，将圆柱的侧面沿高剪开后得到一个长方形，这个长方形的长是( )cm，宽是( )cm。 3．（2025·河北邢台·期末）如图所示，把底面直径5厘米、高8厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 4．（2025·重庆南川·期末）把两个完全一样且底面半径是3分米的圆柱拼成一个圆柱，表面积减少( )平方分米。（π取3.14） 5．（2025·广西玉林·期末）解决数学问题，常用到转化思想。如下图，一个饮料瓶的饮料高度为6厘米，将这个饮料瓶盖拧紧倒置放平，空余部分的高度是10厘米。这一操作过程，就是把不规则的瓶子转化成高是( )厘米的( )体来计算瓶子的容积。 6．（2025·重庆忠县·期末）圆柱和圆锥体积相等，它们的底面积的比是3∶5，则圆柱高与圆锥高的比为( )。 7．（2025·广东东莞·期末）一个直角三角形（如图），直角边AB长3cm，BC长2cm，三角形ABC的面积是( )cm2，如果以其中一条直角边所在的直线为轴旋转一周，那么形成的图形体积是( )cm3。 二、选择题。 8．（2025·重庆黔江·期末）一个半径是3厘米、高是12厘米的圆柱形物品，想一想它最有可能是( )。 A．水杯 B．铅笔 C．固体胶棒 D．水桶 9．（2025·新疆阿勒泰·期末）下面图( )是圆柱的展开图。 A． B． C． D． 10．（2025·甘肃临夏·期末）一个圆柱的底面半径是3厘米，高是5厘米，它的侧面积是( )平方厘米。 A．20π B．30π C．45π D．9π 11．（2025·广东东莞·期末）一个圆柱底面半径扩大到原来的2倍，高不变，体积扩大到原来的( )倍。 A．2 B．4 C．6 D．8 12．（2025·黑龙江哈尔滨·期末）我们曾经用如图所示方法解决了求三角形面积的问题，有这样的经验，你能算出图2的几何体体积是( )cm3。（π取3.14） A．6280 B．6500 C．6820 D．6028 13．（2025·河南信阳·期末）如图，下面关于四个图形的体积说法错误的是( )。 A．①和④的体积相等 B．②的体积是①的3倍 C．②的体积是④的3倍 D．①和③的体积相等 三、计算题。 14．（2025·山东济南·期末）求组合图形的表面积。（单位：厘米） 15．（2025·重庆黔江·期末）求如图陀螺的体积。 四、解答题。 16．（2025·安徽宿州·期末）用彩带扎一个圆柱形礼盒（如图），打结处刚好在底面圆心上，打结共用去彩带长15厘米。 （1）在它整个侧面贴上商标说明书，这部分的面积是多少平方厘米？ （2）扎这个礼盒共用去彩带多少厘米？ 17．（2025·河南周口·期末）一根圆柱形钢材长2米，横截面的直径是4厘米。如果每立方厘米钢材重7.8克，这根钢材重多少千克？ 18．（2025·重庆巴南·期末）在一个棱长为10cm的正方体容器中装一定量的水，水面高度为6cm。将一个高9cm的圆柱体铁块竖着放入水中（铁块底面与容器底面平行）。铁块放入容器5cm时，水就满了。这个铁块的体积是多少？ 19．（2025·安徽宿州·期末）孙爷爷的小麦大丰收。麦堆的高1.5米，底面直径6米，每立方米粮食800千克，这堆小麦多少吨？ 20．（2025·重庆忠县·期末）把底面半径为5厘米的圆锥形金属铸件完全浸没在棱长10厘米的正方体容器中，水面上升1.57厘米（水未溢出），这个金属铸件的高是多少？（π取3.14） 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇 1.典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2.三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3.单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4.素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 10】数学创作社 2026年1月26日晚 第1页共25页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春」 第三单元圆柱与圆锥•单元复习篇【四大篇章】 思维 导 篇 2 圆柱是由两个底面和一个侧面围成的 (1)认识 ◆圆柱的两个底面都是圆，井且大小一样 A特征 →圆柱的侧面是曲面 今一个图柱有无数条高 →圆柱的侧面沿高线剪开得到一个长方形 B侧面展开图 →哥柱的侧面沿斜直线剪开得到一个平行四边形 ★长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高 A含义：圆柱的表面积是指圆柱的侧面积个两个底面积之和 圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面积x2 1.圆柱 B公式 S表=5侧+2S底=2Tr+2Tr (2)表面积 S侧=C底面xh=2Trh ①已知圆柱的底面半径和高，求圆柱的表面积 C应用 ②已知圆柱的底面直径和高，求圆柱的表面积 目已知图柱的底面周长和高，求圆柱的表面积 A含义：圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积 (3)体积 子生题 B公式推导： 圆柱的体积=底面积x高 V=Sh ①圆锥是由两部分组成的，一个底面，一个侧面 (1)认识 ②圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面 ③圆锥只有一条高 六下第三单元 圆柱和圆锥 ★圆锥的体积=底面积x高x vsh 圆柱的体积比圆锥的体积多2倍 等底等高的圆柱和圆锥 圆锥的体积比圆柱的体积少2/3 2.圆锥 (2)体积 圆维的高是圆柱的高的3倍=圆锥的高比圈柱的高多2倍 →等底等体积的圆柱和圆锥 圆柱的高是圆锥的高的1/3=圆柱的高比圆锥的高矮2/3 圆锥底面积是圆柱底面积的3倍=圆锥底面积比圆柱底面积多2倍 ◆等高等体积的圆柱和圆锥〈圆柱底面积是圆锥底面积的1/3=圆性底面积比圆锥底面积少2/3 ①已知圆锥的底面积和高，求圆锥的体积 (3)解决问题 ②已知圆锥的底面半径和高。求圆锥的体积 ③已知圆维的底面直径和高，求圆锥的体积 (1)画图法 利用示意图表示数量关系 3.解决问题 (2)等积变形法 几何物体的形状发生变化，变化后的物体和原物体相比，体积不变 第2页共25页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 知 识清单篇 【知识点一】圆柱的认识、组成、各部分名称及特征 1.圆柱的认识。 像下面这些物体的形状都是圆柱体，这些圆柱都是直圆柱，即直直的、上下一样粗，上下两个 面都是圆形，圆柱是生活中一种常见的立体图形。 2.圆柱的组成。 圆柱是由两个底面和一个侧面围成的立体图形。 3.圆柱的各部分名称。 (1)圆柱的底面和侧面。 圆柱的上、下两个 底面 面叫作底面。圆柱 圆柱周围的面（上、下 侧面 的底面是圆形。 底面除外)叫作侧面。 底面 (2)圆柱的高。 发现圆柱的高矮和国柱 两个底面之间的距⊙圆柱的两个底面之间 离有关。 的距离叫作高。 指的是两个底面之间的垂直距离，而 不是两个底面上任意两，点间的距离。 4.圆柱的特征。 (1)圆柱底面的特征：圆柱的上、下底面是两个大小相同的圆。 (2)圆柱侧面的特征：曲面 (3)圆柱高的特征：圆柱有无数条高，这些高长度都相等。 【知识点二】圆柱的侧面展开图 1.当沿高展开时，展开图是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，其 第3页共25页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 中当底面周长和高相等时，沿高展开图是正方形： 侧面展开 长方形 2.当不沿高展开时（斜向切开），展开图是平行四边形，平行四边形的底等于圆柱的底面周 长，平行四边形的高等于圆柱的高。 3.圆柱的侧面展开方式不同，得到的侧面展开图也不同，圆柱的侧面展开图可能是长方形、 正方形、平行四边形或不规则图形。 【知识点三】圆柱的侧面积和表面积 1.圆柱的侧面积。 当圆柱沿高展开时，侧面展开图是一个长方形，其中长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于 圆柱的高，因此： 圆柱的侧面积=长方形的面积=长×宽=圆柱底面的周长×高，即S=Ch=2πh。 侧面 侧面 侧：面 面的周 底面的周长 高 2.圆柱侧面积的计算公式。 圆柱的侧面积=底面周长×高，用字母表示是SC。 已知圆柱的底面半径和高，求侧面积：S侧2πh; 已知圆柱的底面直径和高，求侧面积：S侧πdh。 3.圆柱的表面积。 圆柱的表面积=圆柱的侧面积+两个底面的面积，用字母表示是S表S+2S=Ch+2π2。 底面的周长 底面 底面 底面的周长 圆柱 侧面 的高 底面 4.圆柱的表面积与生活实际应用。 在解决有关圆柱表面积计算的实际应用问题时，要具体问题具体分析： 第4页共25页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (1)只计算侧面积的圆柱形物体有烟囱、水管、通风管等。 (2)计算侧面积加一个底面积的圆柱形物体有笔筒、玻璃杯、无盖木桶、水池、帽子等。 (3)计算侧面积加两个底面积的圆柱形物体有茶叶筒、油桶等。 【知识点四】圆柱的切拼问题 1.圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧 面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高 度。 2.圆柱中横切引起的表面积变化。 横切引起的表面积变化，即沿着底面或平行于底面的方向将圆柱切一刀，此时表面积会多 出两个面的面积，这两个面是底面，如果将圆柱截成几个小圆柱，增加的表面积为2（一1） 个底面的面积（为截成的小圆柱的个数），与之相反，多个底面相同的小圆柱拼成一个大圆 柱，减少的表面积为2(n一1)个底面的面积(n为小圆柱的个数)。 3.圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切引起的表面积变化，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是 以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4.圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体， 此时拼成的长方体会比圆柱多2个面积大小为h的长方形。 【知识点五】圆柱的旋转构成法 圆柱的旋转构成法。即长方形在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转所得到的圆柱是不 一样的，因此，我们可以得到以下四种不同的旋转方法构成的圆柱体。 旋转方法①：如图所示，以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。 第5页共25页 品学科网 www.zX×k.Com 让教与学更高效 旋转方法②：如图所示，以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。 旋转方法③：如图所示，以两条长中点的连线为轴（对称轴）进行旋转，宽就是圆柱的高，长 的一半就是底面圆的半径。 旋转方法④：如图所示，以两条宽中点的连线为轴（对称轴）进行旋转，长就是圆柱的高，宽 的一半就是底面圆的半径。 → 【知识点六】圆柱的体积 1.圆柱的体积和容积。 (1)一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体的体积，叫做 这个圆柱的容积。 (2)圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容器的内部量。 2.圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为，高为h的圆柱沿着高切成若干等份（偶数等份），并将其拼成一个近似 的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小 为r的长方形，这个长方体的底面积和高与圆柱的底面积和高分别相等，由长方体体积公式， 我们可以推导得出圆柱体积公式。 第6页共25页 多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面 积×高，用字母表示为VSh=urh。 3.将圆柱切拼成近似的长方体后，要注意“三不变三变”。 (1)三不变：底面积、高、体积不变 (2)三变：形状、表面积、底面周长变了。即形状由圆柱变成长方体；表面积比圆柱表面积增 加了长方体左右面的面积，即2h:底面周长比圆柱底面周长增加了2红。 4.根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为V=S,可将体积公式变形反求底面积或高， 即 ①S底=V柱h ②h=V柱S底 【知识点七】圆柱体积中的两种关系 其一：比例关系。 1.当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。 2.当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。 3.已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再 求体积之比。 其二：倍数关系。 1.当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为 原来的几分之一)： 2.当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为 原来的几分之一)。 【知识点八】长方体中的最大圆柱圆柱中的最大长方体正方体中的最大圆柱 1.长方体中的最大圆柱。 在长厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是 多少立方厘米，要以长方体底面的宽作为圆柱底面圆的直径，长方体的高作为圆柱的高，再来 计算圆柱的体积。 2.圆柱中的最大长方体。 圆柱中的最大的长方体，高和圆柱的高相等，长方体的底面是一个正方形，这个正方形的对角 线恰好是圆柱的底面直径，因此，底面正方形的面积=对角线×对角线÷2，再根据“长方体体 第7页共25页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 积=底面积×高”求出这个长方体的体积。 3.正方体中的最大圆柱。 把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体 的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱=π2h求圆柱的体积。 【知识点九】排水法求不规则物体的体积 1.转化法求不规则物体的体积。 在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转化为规则物体 的体积来计算， 2.排水法求不规则物体的体积的步骤如下： (1)在容器中注入适量的水，记下水位。 (2)将不规则物体放入水中，再次记下水位。 (3)用尺子测量容器里现在水面的高度。 (4)用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3.排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在一V原来； ②V物体S×(h现在~h原来)： ③V物体S×h升高 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 【知识点十】等积变形问题 解决等积变形问题的关键是抓住“体积不变”，先求出物体的体积，然后根据问题对应图形的 体积公式进行解答：也可以根据“变形前的体积=变形后的体积”列方程解答。 【知识点十一】圆锥的认识、组成、各部分名称及特征 1.圆锥的认识。 像下面这些物体就是圆锥，圆锥是我们生活中常见的一种立体图形，它的下面是圆形，并且从 下往上逐渐变小到一点。 第8页共25页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2.圆锥的各部分名称及特征。 名称 意义 特征 图示 圆锥中圆形的面叫作圆 圆锥只有一个底面， 底面 顶点 锥的底面。 且底面是个圆。 圆锥周围的面（底面除 圆锥的侧面是一个 侧面 侧面 高 外)叫作圆锥的侧面。 曲面。 从圆锥的顶点到底面圆 高 圆锥只有一条高。 底面 心的距离是圆锥的高。 d 【知识点十二】圆锥高的测量方法 1.放：把圆锥的底面水平地放在平板（底面放平）上，在圆锥上方和右方按如图所示的方式 各放置一把三角尺，并使右方三角尺的0刻度线与平板的上边缘对齐。 2.量：圆锥顶点挨着的直角边与平板之间的距离就是圆锥的高。 ①摆放时，两条直角边要紧挨着： ②读数时，只看圆锥顶点上方直 角边所对应的刻度即可。 【知识点十三】圆锥的旋转构成法 以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一周得到一个圆锥，旋转轴所在的直角边就是 圆锥的高(h),而另一条直角边就是圆锥的底面半径(x)，斜边就是顶点到底面圆周上任意 一点的连线。如图所示： 斜边 半径 以较长（短）的直角边所在的直线为轴旋 转而成的圆锥的底面积较小（大）。 【知识点十四】圆锥的切面积问题（圆锥的切拼问题） 如图所示，将圆锥沿着高垂直切成两个完全相同的半圆锥，截面是等腰三角形，且等腰三角形 的底是圆锥的底面直径，高是圆锥的高，所以增加的两个截面的面积=圆锥的底面直径×圆锥 第9页共25页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 的高。 【知识点十五】圆锥的体积 1.圆维的体积。 圆锥所占空间的大小叫作圆锥的体积。 2.圆锥体积计算公式的推导。 (1)圆柱和圆锥的底面都是圆，如果将圆柱上底面的圆心和下底面圆周上的每一点连起来， 就能得到一个和圆柱等底、等高的圆锥（如图)。 (2)利用等底等高的两个圆柱和圆锥做“倒水实验”、“倒沙实验”，得出结论：等底、等 高的圆柱和圆维，圆柱的体积是圆锥体积的3信，圆锥的体积是圆柱体积的 (3)圆锥的体积计算公式。 如果用V表示圆锥的体积，用S表示圆锥的底面积，用h表示圆锥的高，用r表示圆锥的底 面半径，则圆锥的体积计算公式用字母表示为V=上sh或V=mh。 3 3 3.根据圆维的体积公式变形，可以反求高或底面积。 V=h或V=}mh,反求高或底面积，即h=V×3S,S=V×3h。 【知识点十六】圆锥体积中的两种关系 其一：倍数关系 圆锥的体积随着底面积和高的扩大与缩小而变化，其规律与积的变化规律相似，即： 1.当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为 原来的几分之一)： 2.当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为 原来的几分之一)。 其二：比例关系 第10页共25页 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇。 1. 典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点丰富，变式多样。 2. 三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3. 单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效，实用性强。 4. 素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2026年1月26日晚 2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春」 第三单元圆柱与圆锥·单元复习篇【四大篇章】 【知识点一】圆柱的认识、组成、各部分名称及特征 1. 圆柱的认识。 像下面这些物体的形状都是圆柱体，这些圆柱都是直圆柱，即直直的、上下一样粗，上下两个面都是圆形，圆柱是生活中一种常见的立体图形。 2. 圆柱的组成。 圆柱是由两个底面和一个侧面围成的立体图形。 3. 圆柱的各部分名称。 （1）圆柱的底面和侧面。 （2）圆柱的高。 4. 圆柱的特征。 （1）圆柱底面的特征：圆柱的上、下底面是两个大小相同的圆。 （2）圆柱侧面的特征：曲面 （3）圆柱高的特征：圆柱有无数条高，这些高长度都相等。 【知识点二】圆柱的侧面展开图 1. 当沿高展开时，展开图是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，其中当底面周长和高相等时，沿高展开图是正方形； 2. 当不沿高展开时（斜向切开），展开图是平行四边形，平行四边形的底等于圆柱的底面周长，平行四边形的高等于圆柱的高。 3. 圆柱的侧面展开方式不同，得到的侧面展开图也不同，圆柱的侧面展开图可能是长方形、正方形、平行四边形或不规则图形。 【知识点三】圆柱的侧面积和表面积 1. 圆柱的侧面积。 当圆柱沿高展开时，侧面展开图是一个长方形，其中长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，因此： 圆柱的侧面积=长方形的面积=长×宽=圆柱底面的周长×高，即S侧=Ch=2πrh。 2. 圆柱侧面积的计算公式。 圆柱的侧面积=底面周长×高，用字母表示是S侧=Ch。 已知圆柱的底面半径和高，求侧面积：S侧=2πrh； 已知圆柱的底面直径和高，求侧面积：S侧=πdh。 3. 圆柱的表面积。 圆柱的表面积=圆柱的侧面积+两个底面的面积，用字母表示是S表=S侧+2S底=Ch+2πr2。 4. 圆柱的表面积与生活实际应用。 在解决有关圆柱表面积计算的实际应用问题时，要具体问题具体分析： (1)只计算侧面积的圆柱形物体有烟囱、水管、通风管等。 (2)计算侧面积加一个底面积的圆柱形物体有笔筒、玻璃杯、无盖木桶、水池、帽子等。 (3)计算侧面积加两个底面积的圆柱形物体有茶叶筒、油桶等。 【知识点四】圆柱的切拼问题 1. 圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 2. 圆柱中横切引起的表面积变化。 横切引起的表面积变化，即沿着底面或平行于底面的方向将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，如果将圆柱截成几个小圆柱，增加的表面积为2（n－1）个底面的面积（n为截成的小圆柱的个数），与之相反，多个底面相同的小圆柱拼成一个大圆柱，减少的表面积为2（n－1）个底面的面积（n为小圆柱的个数）。 3. 圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切引起的表面积变化，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4. 圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时拼成的长方体会比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。 【知识点五】圆柱的旋转构成法 圆柱的旋转构成法，即长方形在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转所得到的圆柱是不一样的，因此，我们可以得到以下四种不同的旋转方法构成的圆柱体。 旋转方法①：如图所示，以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。 旋转方法②：如图所示，以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。 旋转方法③：如图所示，以两条长中点的连线为轴（对称轴）进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半径。 旋转方法④：如图所示，以两条宽中点的连线为轴（对称轴）进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半径。 【知识点六】圆柱的体积 1. 圆柱的体积和容积。 （1）一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体的体积，叫做这个圆柱的容积。 （2）圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容器的内部量。 2. 圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份（偶数等份），并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形，这个长方体的底面积和高与圆柱的底面积和高分别相等，由长方体体积公式，我们可以推导得出圆柱体积公式。 如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh=πr2h。 3. 将圆柱切拼成近似的长方体后，要注意“三不变三变”。 (1)三不变：底面积、高、体积不变。 (2)三变：形状、表面积、底面周长变了。即形状由圆柱变成长方体；表面积比圆柱表面积增加了长方体左右面的面积，即2rh；底面周长比圆柱底面周长增加了2r。 4. 根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为V=Sh，可将体积公式变形反求底面积或高，即： ①S底=V柱÷h ②h=V柱÷S底 【知识点七】圆柱体积中的两种关系 其一：比例关系。 1. 当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。 2. 当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。 3. 已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 其二：倍数关系。 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。 【知识点八】长方体中的最大圆柱·圆柱中的最大长方体·正方体中的最大圆柱 1. 长方体中的最大圆柱。 在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是多少立方厘米，要以长方体底面的宽作为圆柱底面圆的直径，长方体的高作为圆柱的高，再来计算圆柱的体积。 2. 圆柱中的最大长方体。 圆柱中的最大的长方体，高和圆柱的高相等，长方体的底面是一个正方形，这个正方形的对角线恰好是圆柱的底面直径，因此，底面正方形的面积=对角线×对角线÷2，再根据“长方体体积=底面积×高”求出这个长方体的体积。 3. 正方体中的最大圆柱。 把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱＝πr2h求圆柱的体积。 【知识点九】排水法求不规则物体的体积 1. 转化法求不规则物体的体积。 在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转化为规则物体的体积来计算， 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤如下： （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 【知识点十】等积变形问题 解决等积变形问题的关键是抓住“体积不变”，先求出物体的体积，然后根据问题对应图形的体积公式进行解答；也可以根据“变形前的体积=变形后的体积”列方程解答。 【知识点十一】圆锥的认识、组成、各部分名称及特征 1. 圆锥的认识。 像下面这些物体就是圆锥，圆锥是我们生活中常见的一种立体图形，它的下面是圆形，并且从下往上逐渐变小到一点。 2. 圆锥的各部分名称及特征。 【知识点十二】圆锥高的测量方法 1. 放：把圆锥的底面水平地放在平板（底面放平）上，在圆锥上方和右方按如图所示的方式各放置一把三角尺，并使右方三角尺的0刻度线与平板的上边缘对齐。 2. 量：圆锥顶点挨着的直角边与平板之间的距离就是圆锥的高。 【知识点十三】圆锥的旋转构成法 以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一周得到一个圆锥，旋转轴所在的直角边就是圆锥的高（h），而另一条直角边就是圆锥的底面半径（r），斜边就是顶点到底面圆周上任意一点的连线。如图所示： 【知识点十四】圆锥的切面积问题（圆锥的切拼问题） 如图所示，将圆锥沿着高垂直切成两个完全相同的半圆锥，截面是等腰三角形，且等腰三角形的底是圆锥的底面直径，高是圆锥的高，所以增加的两个截面的面积=圆锥的底面直径×圆锥的高。 【知识点十五】圆锥的体积 1. 圆锥的体积。 圆锥所占空间的大小叫作圆锥的体积。 2. 圆锥体积计算公式的推导。 （1）圆柱和圆锥的底面都是圆，如果将圆柱上底面的圆心和下底面圆周上的每一点连起来，就能得到一个和圆柱等底、等高的圆锥（如图）。 （2）利用等底等高的两个圆柱和圆锥做“倒水实验”、“倒沙实验”，得出结论：等底、等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥的体积是圆柱体积的 （3）圆锥的体积计算公式。 如果用V表示圆锥的体积，用S表示圆锥的底面积，用h表示圆锥的高，用r表示圆锥的底面半径，则圆锥的体积计算公式用字母表示为V=sh或V=πr2h。 3. 根据圆锥的体积公式变形，可以反求高或底面积。 V=sh或V=πr2h，反求高或底面积，即h=V×3÷S，S=V×3÷h。 【知识点十六】圆锥体积中的两种关系 其一：倍数关系 圆锥的体积随着底面积和高的扩大与缩小而变化，其规律与积的变化规律相似，即： 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。 其二：比例关系 1. 圆锥的底面积相等时，高的比就是体积的比。 2. 圆锥的高相等时，底面积的比就是体积的比。 3. 已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 【知识点十七】圆柱与圆锥的关系问题 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的，圆锥与圆柱的体积之比是1∶3。 2. 圆柱和圆锥的体积相等时，如果底面积相等，那么圆锥的高是圆柱高的3倍，圆柱的高是圆锥高的。 3. 圆柱和圆锥的体积相等时，如果高相等，那么圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍，圆柱的底面积是圆锥底面积的。 【知识点十八】求含圆柱圆锥的不规则或组合立体图形的表面积和体积 1. 求不规则圆柱体的表面积，注意分析图形是由哪几个面组合而成的，然后分别计算这几个面的面积，最后将所计算的面相加。 2. 不规则或组合立体图形的体积是图形计算和实际应用中的常考题型，其中组合立体图形的体积等于各部分规则立体图形的体积之和。 【预测考点01】圆柱的认识和特征 【典型例题】 上面图形中是圆柱的是( )。圆柱的底面都是( )，并且大小一样。 【答案】 ②⑤ 圆 【分析】圆柱的两个底面都是圆，并且大小一样；圆柱上下粗细一样。根据圆柱的特征解答即可。 【详解】、、上下粗细不一样，不是圆柱；、符合圆柱的特征，是圆柱；两个底面不一样，不是圆柱。所以上面图形中是圆柱的是②⑤，圆柱的底面都是圆，并且大小一样。 【点睛】此题考查了圆柱的特征，注意圆柱的底面是圆，不是椭圆。 【对应练习】 通过预习，我知道了一个圆柱由两个( )面和一个( )面组成， 两个( )面积相等。沿高剪开，圆柱的( )面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱底面的( )，宽等于圆柱的( )。 【答案】 底 侧 底面 侧 周长 高 【分析】如下图，圆柱是由两个底面和一个侧面围成的。圆柱的两个底面是大小相同的两个圆，即两个底面面积相等。圆柱的侧面沿高剪开，侧面展开后是一个长方形（或正方形），长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高。    【详解】一个圆柱由两个底面和一个侧面组成，两个底面面积相等，沿高剪开，圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。 【点睛】圆柱的侧面如果不是沿高剪开，那么它的侧面展开图就不是长方形（或正方形），而是平行四边形或其他一些不规则图形。如下图：    【预测考点02】圆柱的侧面展开图 【典型例题】 1．将一个圆柱的侧面剪开，不可能得到图形( )。 A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知：圆柱的侧面是一个曲面，如果沿着高剪开，可以得到长方形或正方形；如果沿着一条斜线剪开，可以得到平行四边形或者左右边是曲线的四边形，因为圆柱上下底面完全相同，沿着侧面剪开但是唯独不能得到梯形；据此解答。 【详解】根据分析可得：圆柱的侧面展开图不可能是梯形； 故答案选：B 2．将一个圆柱的侧面沿高剪开，展开后得到一个正方形，正方形的边长是15.7cm。这个圆柱的表面积是( )cm2。 A．31.4 B．39.25 C．246.49 D．285.74 【答案】D 【分析】根据题意，这个圆柱体沿高剪开后是一个正方形，则说明这个圆柱体的底面周长等于高等于正方形的边长15.7cm，据此可以求出底面圆的半径，底面圆的半径＝底面圆的周长÷2÷，再根据公式圆的面积＝求出底面圆的面积乘2（有上下两个底面），再加侧面面积，侧面面积＝底面周长×高，据此即可求解。 【详解】 （厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 故答案为：D 【点睛】圆柱体沿高展开后是一个正方形，那么就意味着这个圆柱体的底面周长与高相等，以此算出底面半径即可解答此类题。 【对应练习】 1．乐乐和园园分别在纸上画了几个笔筒沿高剪开的侧面展开示意图，其中正确的是( )。（填序号） 【答案】②⑥ 【分析】圆柱体沿高剪开，侧面展开一定是长方形或者正方形，据此解答。 【详解】根据分析，正确的是②⑥ 2．四足机器人的一个圆柱形零件的侧面展开图是一个长方形，长方形的长等于圆柱底面的( )，长方形的宽等于圆柱的( )。 【答案】 周长 高 【分析】根据圆柱的特征，它的上、下底面是完全相同的两个圆，侧面是一个曲面，侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。 【详解】四足机器人的一个圆柱形零件的侧面展开图是一个长方形，长方形的长等于圆柱底面的周长，长方形的宽等于圆柱的高。 【预测考点03】圆锥的认识和特征 【典型例题】 在圆锥的下面画“√”，在圆柱的下面画“×”。 【答案】（×）（    ）（    ）（×）（√） 【分析】根据圆柱和圆锥的特征判断即可。 【详解】圆柱上下两个底面是相等的两个圆，围成圆柱的侧面是曲面，展开为长方形。 圆锥的底面是圆形，侧面为曲面，展开为扇形。 所以第一个图形和第四个图形为圆柱，第五个图形为圆锥。 【点睛】此题考查了学生对圆锥、圆柱的认识。 【对应练习】 通过预习，我知道了圆锥有一个( )，一个( )，一个( )。( )是一个圆，( )展开后是一个扇形。圆锥只有( )条高。 【答案】 顶点 底面 侧面 底面 侧面 一 【分析】根据圆锥各部分的名称和特征解答。 【详解】 如图所示，圆锥有一个（顶点），一个（底面），一个（侧面）。（底面）是一个圆，（侧面）展开后是一个扇形。圆锥只有（一）条高。 【点睛】考查对圆锥各部分的认识。 【预测考点04】圆锥的切面积问题 【典型例题】 把一个底面周长是9.42厘米，高是8厘米的圆锥，从顶点沿高把它切成相等的两部分，表面积增加了( )平方厘米。 【答案】24 【分析】根据题意，把一个圆锥从它的顶点沿高切成两半后，表面积比原来圆锥的表面积增加了2个切面的面积，切面是一个以圆锥的底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形； 已知圆锥的底面周长是9.42厘米，先根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆锥的底面半径；再根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个切面的面积，再乘2，即是增加的表面积。 【详解】圆锥的底面直径：（厘米） 表面积增加了：（平方厘米） 表面积增加了24平方厘米。 【对应练习】 1．一个圆锥的底面直径是6厘米，高是9厘米，沿高将它切成两个完全相等的部分，表面积增加了( )。 【答案】54平方厘米/54cm2 【分析】沿高把圆锥切成两个完全相等的部分，切面是一个等腰三角形，三角形的底等于圆锥的底面直径，三角形的高等于圆锥的高，切开之后表面积比原来增加两个切面的面积，利用“三角形的面积＝底×高÷2”求出增加的表面积，据此解答。 【详解】6×9÷2×2 ＝54÷2×2 ＝54（平方厘米） 所以，表面积增加了54平方厘米。 【点睛】本题主要考查立体图形的切拼，明确切面是一个等腰三角形，并掌握三角形的面积计算公式是解答题目的关键。 2．将一个底面直径是26厘米、高是6厘米的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了( )平方厘米。 【答案】156 【分析】要把圆锥形木块分成形状、大小完全相同的两个木块，应沿着圆锥的高切开，得到两个切面，切面是两个相同的等腰三角形。切开后，表面积比原来增加的部分为两个等腰三角形的面积。等腰三角形的高是圆锥的高，等腰三角形的底是圆锥的底面直径。根据“三角形的面积＝底×高÷2”可求出两个等腰三角形的面积，也就是表面积比原来增加的部分。 【详解】26×6÷2×2 ＝156÷2×2 ＝78×2 ＝156（平方厘米） 所以，表面积比原来增加了156平方厘米。 【点睛】本题考查圆锥的认识和立体图形的切拼，理解把圆锥分成完全相同的两部分后，表面积增加了两个等腰三角形的面积是解题的关键。 【预测考点01】圆柱的表面积与生活实际应用 【典型例题】 一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽2米，直径3米。前轮转动一周，压路的面积是多少平方米？ 【答案】18.84平方米 【分析】根据题意，结合圆柱的侧面积公式：，d是直径，h为轮宽，代入数据，即可得出答案。 【详解】3.14×3×2 ＝9.42×2 ＝18.84（平方米） 答：压路的面积是18.84平方米。 【对应练习】 1．圆柱形无盖铁皮水桶高2.5分米，底面直径4分米，做这样一个水桶要用铁皮多少平方分米？ 【答案】43.96平方分米 【分析】无盖铁皮水桶只有一个底面，水桶要用的铁皮面积＝底面积＋侧面积，底面积＝圆周率×底面半径的平方，侧面积＝底面周长×高，据此列式解答。 【详解】3.14×（4÷2）2＋3.14×4×2.5 ＝3.14×22＋31.4 ＝3.14×4＋31.4 ＝12.56＋31.4 ＝43.96（平方分米） 答：做这样一个水桶要用铁皮43.96平方分米。 2．某村计划修建一个无盖的圆柱形蓄水池，已知底面半径5米，深4米，在水池的底面和侧面抹上水泥，如果每平方米的费用是8元，那么抹水泥共需要多少钱？ 【答案】1632.8元 【分析】已知这个水池无盖，所以抹水泥的部分是这个圆柱的一个底面和侧面；根据圆的面积公式：面积＝π×半径2；圆柱侧面积公式：侧面积＝2π×半径×圆柱的高，代入数据，求出抹水泥的面积，再乘每平方米的费用即可解答。 【详解】3.14×52＋2×3.14×5×4 ＝3.14×25＋6.28×5×4 ＝78.5＋31.4×4 ＝78.5＋125.6 ＝204.1（平方米） 204.1×8＝1632.8（元） 答：抹水泥共需要1632.8元。 【点睛】熟练掌握和灵活运用圆柱体表面积公式是解答本题的关键。 【预测考点02】圆柱的体积与生活实际应用 【典型例题】 王叔叔在自家苹果园里挖了一个底面直径是4米、深1.5米的圆柱形蓄水池。 （1）现在要给这个蓄水池的底面和侧面抹水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ （2）这个蓄水池能装多少吨水？（每立方米水重1吨） 【答案】（1）31.4 平方米 （2）18.84 吨 【分析】（1）求抹水泥的面积也就是求圆柱的一个底面积和一个侧面积的和，底面积＝，侧面积＝，根据公式代入数据计算即可。 （2）求这个蓄水池能装多少水，也就是求这个圆柱的容积，根据圆柱的体积＝计算即可。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ 答：现在要给这个蓄水池的底面和侧面抹水泥，抹水泥的面积是31.4平方米。 （2） ＝ ＝（吨） 答：这个蓄水池能装18.84吨水。 【对应练习】 把一瓶2升的可乐倒入杯中，杯子从里面量得底面周长是18.84厘米，高10厘米的圆柱形玻璃杯中，最多能倒满多少杯？ 【答案】7杯 【分析】根据圆的周长公式：C＝2πr，据此求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的容积公式：V＝πr2h，据此求出玻璃杯的容积；再用可乐的体积除以玻璃杯的容积，其结果根据实际情况运用“去尾法”保留整数即可。 【详解】18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（厘米） 3.14×32×10 ＝3.14×9×10 ＝28.26×10 ＝282.6（立方厘米） 2升＝2000立方厘米 2000÷282.6≈7.1≈7（杯） 答：最多能倒满7杯。 【预测考点03】圆锥的体积与生活实际应用 【典型例题】 一堆煤呈圆锥形，高3米，底面周长为12.56米，已知每立方米的煤约重1.5吨，这堆煤大约重多少吨？ 【答案】18.84吨 【分析】此题需要先利用圆的周长公式求出这堆煤的底面半径，再利用圆锥的体积V＝Sh，求出这堆煤的体积，进而用这堆煤的体积乘每立方米的煤的重量，就是这堆煤的总重量。 【详解】12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（米） 3.14×22×3××1.5 ＝3.14×4×3××1.5 ＝12.56×3××1.5 ＝37.68××1.5 ＝12.56×1.5 ＝18.84（吨） 答：这堆煤大约重18.84吨。 【对应练习】 小芳家收获的稻谷堆成了圆锥形，高约为1.5米，底面直径约为4米。她通过“百度一下”查得每立方米稻谷大约重650千克，她家这堆稻谷大约重多少千克？ 【答案】4082千克 【分析】圆锥的体积＝底面积×高×＝πr2h，据此求出圆锥形稻谷堆的体积，再乘每立方米稻谷的质量，即可求出她家这堆稻谷大约重多少千克。 【详解】   ＝3.14×4×0.5×650                 ＝6.28×650                                ＝4082（千克） 答：她家这堆稻谷大约重4082千克。 【预测考点01】切拼问题“综合” 【典型例题】 一根圆柱形木料的底面半径是0.5米，长是2米。如图所示，将它截成4段，这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了多少平方米？ 【答案】4.71平方米 【分析】看图，截成4段，增加了6个底面积。底面积＝πr2，据此先求出一个面的面积，再乘6，即可解题。 【详解】3.14×0.52×6 ＝3.14×0.25×6 ＝0.785×6 ＝4.71（平方米） 答：这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了4.71平方米。 【对应练习】 1．一根圆柱形钢材长2.5米，把两根这样的钢材焊接成一根圆柱形钢材，表面积减少了0.6平方分米。如果每立方分米的钢材质量为7.8千克，焊接成的这根钢材质量是多少千克？ 【答案】117千克 【分析】根据题意可知：把两个圆柱形钢材拼成一根圆柱形钢材，表面积减少了0.6平方分米，表面积减少的是两个底面的面积，由此可以求出圆柱的底面积；圆柱的体积，再把数据代入公式求出这根圆柱形钢材的体积；然后用钢材的体积乘每立方分米钢材的质量即可。 【详解】2.5米＝25分米 0.6÷2×（25×2）×7.8 ＝0.3×50×7.8 ＝15×7.8 ＝117（千克） 答：焊接成的这根钢材质量是117千克。 【点睛】解决此题的关键是根据减少的表面积求出圆柱的底面积。 2．如图，一个圆柱体木材被截去5厘米后，圆柱的表面积减少了47.1平方厘米，求原来圆柱体的体积是多少立方厘米？    【答案】141.3立方厘米 【分析】通过观察图形可知，把这个圆柱体木材截去5厘米，圆柱的表面积减少了47.1平方厘米，表面积减少的是高5厘米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：S＝，据此可以求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的表面积公式：V＝，把数据代入公式解答。 【详解】47.1÷2÷3.14÷5 ＝23.55÷3.14÷5 ＝1.5（厘米） 3.14×1.52×20 ＝3.14×1.5×1.5×20 ＝7.065×20 ＝141.3（立方厘米） 答：原来圆柱体的体积是141.3立方厘米。 【点睛】此题主要考查圆柱侧面积和体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 【预测考点02】圆柱的旋转构成法 【典型例题】 如图，以长方形对称轴l旋转一周可以得到一个（     ），已知AB＝7厘米，BC＝4厘米，求它的体积是多少立方厘米？ 【答案】圆柱体；87.92立方厘米。 【分析】由图知：以长方形对称轴l旋转一周可以得到一个圆柱，圆柱的底面半径是4÷2＝2厘米，高是7厘米，根据圆柱的体积＝底面积×高，将数据代入计算即可。 【详解】以长方形对称轴l旋转一周可以得到一个（圆柱体）。 ＝ ＝12.56×7 ＝87.92（立方厘米） 答：它的体积是87.92立方厘米。 【对应练习】 面上有一个2cm×4cm的长方形。 小思说：“我在数学课上学习过圆柱是可以通过长方形旋转形成。我可以用这个长方形的长和宽分别为轴，旋转形成两个圆柱。” 小丽说：“我觉得这两个圆柱的体积是相同的，因为是用同一个长方形旋转形成的。” （1）圆柱A的底面半径为____________cm，高为____________cm；圆柱B的底面半径为____________cm，高为____________cm。 （2）小丽的说法是（□正确□错误）的。（在正确答案前的□内画“√”）在下面的方框内用画图、文字、公式等方式说明理由。 【答案】（1）2；4；4；2；（2）错误；理由见详解 【分析】（1）以长为轴旋转一周，宽为圆柱的底面半径，长为高；以宽为轴旋转一周，长是圆柱的底面半径，宽是高；据此解答； （2）根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据解答。 【详解】（1）圆柱A的底面半径为2cm，高为4cm；圆柱B的底面半径为4cm，高为2cm。 （2）小丽的说法是（□正确☑错误）的。 3.14×22×4 ＝3.14×4×4 ＝50.25（cm3） 3.14×42×2 ＝3.14×16×2 ＝100.48（cm3） 两个圆柱体积不相等。 【预测考点03】圆锥的旋转构成法 【典型例题】 如下图，一个直角三角形，以的直角边为轴旋转一周、形成一个( )（填立体图形名称）。这个立体图形的底面半径是( )cm、高是( )cm，体积是( )。与它等底等高的圆柱的体积是( )。 【答案】 圆锥 2 3 12.56 37.68 【分析】由图可知，以3cm的直角边为轴旋转一周，得到的立体图形是圆锥，其底面半径是2cm，高为3cm，再根据圆锥的体积＝，把数据代入公式中求得圆锥的体积，再根据在等底等高的情况下，圆柱的体积是圆锥体积的3倍求得圆柱的体积，据此解答即可。 【详解】 ＝ ＝12.56（） 12.56×3＝37.68（） 所以，一个直角三角形，以的直角边为轴旋转一周、形成一个圆锥。这个立体图形的底面半径是2cm、高是3cm，体积是12.56，与它等底等高的圆柱的体积是37.68。 【对应练习】 如图，直角三角形ABC如果绕AB旋转一周后得到圆锥甲，如果绕BC旋转一周后得到圆锥乙。已知，那么两个圆锥的体积( )。 【答案】4∶3 【分析】绕AB旋转一周后得到圆锥甲，底面半径是BC，高是AB，绕BC旋转一周后得到圆锥乙，底面半径是AB，高是BC，已知，将AB看成3，BC看成4，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，分别计算两个圆锥的体积，两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，写出两个圆锥的体积比，化简即可。 【详解】将AB看成3，BC看成4。 （3.14×42×3÷3）∶（3.14×32×4÷3） ＝（42×3）∶（32×4） ＝（16×3）∶（9×4） ＝48∶36 ＝（48÷12）∶（36÷12） ＝4∶3 两个圆锥的体积4∶3。 【预测考点04】圆柱与圆锥的关系问题 【典型例题】 一个圆柱体杯中盛满15升水，把一个与它等底等高的铁圆锥倒放入水中，杯中还有( )毫升的水。 【答案】10000 【分析】等底等高的圆锥的体积是圆柱的，用圆柱的体积×，求出圆锥的体积，把铁圆锥倒入水中后，铁圆锥会排除与它等体积的水，所以再用圆柱的体积－铁圆锥的体积，即可求出圆柱体杯中的水的体积，注意单位名数的换算。 【详解】15－15× ＝15－5 ＝10（升） 10升＝10000毫升 一个圆柱体杯中盛满15升水，把一个与它等底等高的铁圆锥倒放入水中，杯中还有10000毫升的水。 【对应练习】 1．一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积分别相等，已知圆柱的高是6分米，圆锥的高是( )分米；一个圆柱与一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆锥的底面积是28.26平方厘米，则圆柱的底面积是( )平方厘米。 【答案】 18 9.42 【分析】当底面积和体积相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍；当体积和高相等时，圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍，即圆柱的底面积是圆锥底面积的，据此解答。 【详解】6×3＝18（分米） 即一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积分别相等，已知圆柱的高是6分米，圆锥的高是6分米。 28.26×＝9.42（平方厘米） 即一个圆柱与一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆锥的底面积是28.26平方厘米，则圆柱的底面积是9.42平方厘米。 2．小悦用一块体积为216立方厘米的橡皮泥，捏塑成等底等高的一个圆柱和一个圆锥，圆锥的体积是( )立方厘米。 【答案】54 【分析】根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，则圆柱的体积是3份，一共是（3＋1）份； 已知把体积为216立方厘米的橡皮泥捏塑成等底等高的一个圆柱和一个圆锥，即圆柱和圆锥的体积之和是216立方厘米，用体积之和除以（3＋1）份，求出一份数，也就是圆锥的体积，据此解答。 【详解】216÷（3＋1） ＝216÷4 ＝54（立方厘米） 圆锥的体积是54立方厘米。 3．一个圆柱和一个圆锥等底等高，已知圆柱体积比圆锥体积多32立方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米。 【答案】48 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1倍数，则圆柱的体积是3倍数，圆柱的体积比圆锥的体积多（3－1）倍数，对应的是32立方厘米，用32除以（3－1）求出1倍数，也就是圆锥的体积，再用圆锥的体积乘3即可求出圆柱的体积。 【详解】32÷（3－1）×3 ＝32÷2×3 ＝16×3 ＝48（立方厘米） 所以圆柱的体积是48立方厘米。 【预测考点05】等积变形问题“综合” 【典型例题】 1．李叔叔把一块长方体钢坯铸成一根底面半径为2分米的圆柱形钢材，求钢材的长度。 【答案】20分米 【分析】熔铸前后体积不变，即圆柱体的体积等于长方体的体积。根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，即可求出长方体的体积即圆柱体的体积，再根据圆柱的高＝圆柱体的体积÷圆柱的底面积，代入数据计算，即可求出钢材的长度。据此解答。 【详解】12.56×5×4÷（3.14×22） ＝12.56×5×4÷（3.14×4） ＝251.2÷12.56 ＝20（分米） 答：钢材的长度是20分米。 2．把一个底面半径是2厘米，高是5厘米的圆柱形铁块，熔铸成一个高是10厘米的圆锥形铁块，这个圆锥形铁块的底面积是多少平方厘米？ 【答案】18.84平方厘米 【分析】圆柱的体积等于圆锥的体积，圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高÷3，则圆锥的底面积＝圆锥的体积×3÷高；圆柱的底面积＝πr2，先求出圆柱的体积，再代入数据求出圆锥的底面积即可。 【详解】圆柱的体积： 3.14×22×5 ＝3.14×4×5 ＝12.56×5 ＝62.8（立方厘米） 圆锥的底面积： 62.8×3÷10 ＝188.4÷10 ＝18.84（平方厘米） 答：这个圆锥形铁块的底面积是18.84平方厘米。 【对应练习】 1．如下图所示，甲圆柱体容器是空的，乙长方体容器中水深6.28厘米，现将乙容器中的水全部倒入甲容器中，甲容器中水深多少厘米？ 【答案】32厘米 【分析】利用“长方体的体积＝长×宽×高”求出乙容器中水的体积，再根据“”求出甲容器中水的深度，据此解答。 【详解】10×10×6.28÷[3.14×（5÷2）2] ＝10×10×6.28÷[3.14×6.25] ＝10×10×6.28÷19.625 ＝628÷19.625 ＝32（厘米） 答：甲容器中水深32厘米。 【点睛】灵活运用长方体和圆柱体的体积计算公式是解答题目的关键。 2．把一个长6.28分米，宽和高都为4分米的长方体钢坯熔铸成一个底面直径为8分米的圆锥形铅锤。这个铅锤的高是多少分米？ 【答案】6分米 【分析】根据题意，把一个长方体钢坯熔铸成一个圆锥形铅锤，则钢坯的体积不变；先根据长方体的体积公式V＝abh，求出钢坯的体积；然后根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的高h＝3V÷S，其中S＝πr2，代入数据计算即可求解。 【详解】长方体的体积（圆锥的体积）： 6.28×4×4 ＝25.12×4 ＝100.48（立方分米） 圆锥的底面积： 3.14×（8÷2）2 ＝3.14×16 ＝50.24（平方分米） 圆锥的高： 100.48×3÷50.24 ＝301.44÷50.24 ＝6（分米） 答：这个铅锤的高是6分米。 【点睛】本题考查长方体的体积、圆锥的体积计算公式的灵活运用，抓住立体图形等积变形中的“体积不变”是解题的关键。 【预测考点06】排水法求不规则物体的体积“综合” 【典型例题】 1．爸爸买回来一个圆柱形鱼缸，鱼缸底面直径40厘米，高35厘米。在鱼缸中放一条鱼，此时水面高度是30厘米。当把鱼从鱼缸中取出后水面下降了2厘米。（鱼缸厚度忽略不计） （1）取出鱼后，鱼缸中水的体积是多少立方厘米？ （2）鱼缸的容积是多少立方厘米？ 【答案】（1）35168立方厘米 （2）43960立方厘米 【分析】（1）当把鱼从鱼缸中取出后水面下降了2厘米，这时鱼缸的水面是30厘米下降了2厘米，则此时的水面的高度是28厘米。鱼缸中水的体积就是一个高度为28厘米的圆柱的体积：。 （2）鱼缸的容积就是求这个圆柱形的体积，利用圆柱体积的公式解答即可。 【详解】（1）30－2＝28（厘米） 3.14×（40÷2）2×28 ＝3.14×202×28 ＝3.14×400×28 ＝35168（立方厘米） 答：鱼缸中水的体积是35168立方厘米。 （2）3.14×（40÷2）2×35 ＝3.14×202×35 ＝3.14×400×35 ＝43960（立方厘米） 答：鱼缸的容积是43960立方厘米。 2．一个底面直径为40厘米的圆柱体容器里装有一部分水，水中浸没着一个底面直径20厘米，高9厘米的圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，容器中水面高度下降了多少厘米？ 【答案】0.75厘米 【分析】根据题意，在一个装有水的圆柱体容器里浸没一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，水面会下降，那么水面下降部分的体积等于这个圆锥体铅锤的体积。 已知圆锥体铅锤的底面直径和高，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出这个铅锤的体积，也是水面下降部分的体积； 已知圆柱体容器的底面直径为40厘米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出容器的底面积； 再根据圆柱的体积公式V＝Sh可知，圆柱的高h＝V÷S，据此求出容器中水面下降的高度。 【详解】圆锥的体积（水面下降的体积）： ×3.14×（20÷2）2×9 ＝×3.14×102×9 ＝×3.14×100×9 ＝942（立方厘米） 圆柱体容器的底面积： 3.14×（40÷2）2 ＝3.14×202 ＝3.14×400 ＝1256（平方厘米） 水面下降： 942÷1256＝0.75（厘米） 答：容器中水面高度下降了0.75厘米。 【对应练习】 1．在一个底面直径是6厘米，高是12厘米的圆柱形容器中有5厘米深的水，放入一个小石头，完全浸没在水中，水面上升到7厘米。这个小石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】56.52立方厘米 【分析】水面升高的体积就是小石头的体积，圆柱形容器底面积×水面升高的高度＝小石头的体积，据此列式解答。 【详解】 （立方厘米） 答：这个小石头的体积是56.52立方厘米。 2．一个长方体玻璃缸，从里面量长50厘米、宽30厘米，缸中水的高度是12厘米。当把一个底面积是900平方厘米的圆锥形零件完全浸没在水中时，水的高度是15厘米，这个零件的高度是多少厘米？ 【答案】15厘米 【分析】首先求出水面上升的体积，这个体积就是圆锥形零件的体积。然后根据圆锥的体积公式＝×圆锥的底面积×高，反推出圆锥的高度。 【详解】玻璃缸底面积为：50×30＝1500（平方厘米） 水面上升的高度为：15－12＝3（厘米） 所以圆锥形零件的体积为：1500×3＝4500（立方厘米） 圆锥的高：h＝3V÷S＝3×4500÷900＝15（厘米） 答：这个零件的高度是15厘米。 3．一个底面半径是6厘米的圆柱形容器里装有一些水，将一个高9厘米的圆锥形铅锤完全浸没于水中，水溢出10立方厘米。当将铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米，这个圆锥的底面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【答案】18.84平方厘米 【分析】水面下降0.5厘米的水的体积就是圆锥形铅锤的体积，水的体积＝圆柱的底面积×高＝πr2h；圆锥的体积＝底面积×高÷3，则圆锥的底面积＝圆锥的体积×3÷高，代入数据计算即可。 【详解】圆锥的体积： 3.14×62×0.5 ＝3.14×36×0.5 ＝113.04×0.5 ＝56.52（立方厘米） 圆锥的底面积： 56.52×3÷9 ＝169.56÷9 ＝18.84（平方厘米） 答：这个圆锥的底面积是18.84平方厘米。 【预测考点07】求含圆柱圆锥的不规则或组合立体图形的表面积和体积 【典型例题】 计算如图形的表面积。（单位：厘米） 【答案】415.4平方厘米 【分析】通过观察图形可得：这个组合图形的表面积等于一个正方体的表面积加上一个圆柱的侧面积，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6、圆柱的侧面积＝底面周长×高，代入数据计算，即可解答。 【详解】表面积： 8×8×6＋2×3.14×5 ＝384＋31.4 ＝415.4（平方厘米） 【对应练习】 计算下面物体的体积。 【答案】565.2dm3；791.28cm3 【分析】（1）根据圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆锥的体积； （2）观察图形是一个空心的圆柱，底面是圆环，那么它的体积V＝S环h＝π（R2－r2）h，代入数据计算，求出空心圆柱的体积。 【详解】（1）×3.14×（12÷2）2×15 ＝×3.14×62×15 ＝×3.14×36×15 ＝565.2（dm3） 圆锥的体积是565.2dm3。 （2）3.14×[（10÷2）2－（4÷2）2 ]×12 ＝3.14×[52－22 ]×12 ＝3.14×[25－4]×12 ＝3.14×21×12 ＝791.28（cm3） 圆柱的体积是791.28cm3。 一、填空题。 1．（2022·内蒙古赤峰·期末）列举两个生活中圆柱形的物体( )，它们的共同特征是( )（至少写出三条）。 【答案】 电线杆、铅笔 见详解； 【分析】通过对圆柱的认识，其实生活中有许多圆柱形的物体，比如电线杆、铅笔、茶杯等等；它们的共同特征可以根据圆柱的特征来解答。 【详解】生活中圆柱形的物体有电线杆、铅笔（答案不唯一）；它们的共同特征是：1、上下两个面形状和大小完全相同，把圆柱形物体放倒，可以滚动；2、圆柱是由以矩形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体；3、有2个大小相同、相互平行的圆形底面和1个曲面侧面，其侧面展开是矩形。 【点睛】此题的解题关键是理解掌握圆柱的特征。 2．（2025·新疆巴州·期末）如图，将圆柱的侧面沿高剪开后得到一个长方形，这个长方形的长是( )cm，宽是( )cm。 【答案】 31.4 12 【分析】根据题意，将圆柱的侧面沿高剪开后得到一个长方形，那么这个长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高；根据圆的周长公式C＝πd，代入数据计算求解。 【详解】3.14×10＝31.4（cm） 这个长方形的长是（31.4）cm，宽是（12）cm。 3．（2025·河北邢台·期末）如图所示，把底面直径5厘米、高8厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 204.85 157 【分析】①这个长方体的宽为圆柱体的半径，长方体的长是圆柱底面圆的周长的一半，长方体的高就是圆柱的高，根据长方体的表面积公式即可求解，； ②长方体的体积就是长乘宽乘高即可求解。 【详解】① （厘米） （平方厘米） 这个长方体的表面积是204.85平方厘米； ② （立方厘米） 这个长方体的体积是157立方厘米。 4．（2025·重庆南川·期末）把两个完全一样且底面半径是3分米的圆柱拼成一个圆柱，表面积减少( )平方分米。（π取3.14） 【答案】56.52 【分析】两个完全一样的圆柱拼成一个圆柱时，表面积减少的部分是两个圆柱的底面积。需运用圆的面积公式S＝πr2计算出一个底面积，再乘2得到减少的表面积，据此解答。 【详解】计算一个圆柱的底面积：根据圆的面积公式S＝πr2。 S＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方分米） 计算表面积减少的量：28.26×2＝56.52（平方分米） 表面积减少56.52平方分米。 5．（2025·广西玉林·期末）解决数学问题，常用到转化思想。如下图，一个饮料瓶的饮料高度为6厘米，将这个饮料瓶盖拧紧倒置放平，空余部分的高度是10厘米。这一操作过程，就是把不规则的瓶子转化成高是( )厘米的( )体来计算瓶子的容积。 【答案】 16 圆柱 【分析】分析题目，饮料的体积等于一个底面积和瓶子的底面积相等，高等于6厘米的圆柱的体积，空白部分的体积等于一个底面积和瓶子的底面积相等，高等于10厘米的圆柱的体积，据此可以利用转化法把瓶子看作一个底面积和原来瓶子的底面积相等，高等于（10＋6）厘米的圆柱的体积，据此解答。 【详解】10＋6＝16（厘米） 解决数学问题，常用到转化思想。如下图，一个饮料瓶的饮料高度为6厘米，将这个饮料瓶盖拧紧倒置放平，空余部分的高度是10厘米。这一操作过程，就是把不规则的瓶子转化成高是16厘米的圆柱体来计算瓶子的容积。 6．（2025·重庆忠县·期末）圆柱和圆锥体积相等，它们的底面积的比是3∶5，则圆柱高与圆锥高的比为( )。 【答案】5∶9 【分析】由于圆柱和圆锥的底面积之比为，可以设圆柱的底面积为，圆锥的底面积为； 再利用圆柱的体积公式，圆锥的体积公式，假定圆柱和圆锥均为，用和分别表示圆柱的高与圆锥的高，则即可求圆柱高和圆锥高的比。 【详解】设圆柱的底面积为，圆锥的底面积为。 则； ，； 即； 则圆柱高与圆锥高的比为。 7．（2025·广东东莞·期末）一个直角三角形（如图），直角边AB长3cm，BC长2cm，三角形ABC的面积是( )cm2，如果以其中一条直角边所在的直线为轴旋转一周，那么形成的图形体积是( )cm3。 【答案】 3 12.56或18.84 【分析】①利用三角形的面积公式求面积即可； ②其中一条直角边所在的直线为轴旋转一周得到圆锥，若以AB为轴旋转一周，圆锥的底面半径是为BC即2厘米，高为AB即3厘米；若以BC为轴旋转一周，圆锥的底面半径是为AB即3厘米，高为BC即2厘米，利用圆锥的体积公式计算即可。 【详解】①3×2÷2＝3（平方厘米），即三角形ABC的面积为3平方厘米； ②以AB为轴旋转一周： （立方厘米）； 以BC为轴旋转一周： （立方厘米）； 那么形成的图形体积是12.56或18.84立方厘米。 二、选择题。 8．（2025·重庆黔江·期末）一个半径是3厘米、高是12厘米的圆柱形物品，想一想它最有可能是( )。 A．水杯 B．铅笔 C．固体胶棒 D．水桶 【答案】A 【分析】联系生活实际，按一般情况判断各选项物体的半径与高的尺寸，得出结论。 【详解】A．水杯的半径约是3厘米，高约是12厘米，符合题意； B．铅笔的半径＜3厘米，高＞12厘米，不符合题意； C．胶棒的半径＜3厘米，高＜12厘米，不符合题意； D．水桶的半径＞3厘米，高＞12厘米，不符合题意。 所以一个半径是3厘米、高是12厘米的圆柱形物品，它最有可能是水杯。 故答案为：A 9．（2025·新疆阿勒泰·期末）下面图( )是圆柱的展开图。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆柱的展开图由两个圆形底面和一个长方形侧面组成。其中，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。根据圆的周长公式：C＝πd（π取3.14，d为直径）或C＝2πr（r为半径），据此分析计算各选项，进而确定正确答案。 【详解】A．图形中只有一个圆形底面，不符合圆柱的展开图“两个圆形底面”。 B．底面圆的直径为4，3.14×4＝12.56，与长方形的长4不相等，不符合。 C．底面圆的直径为3，3.14×3＝9.42，长方形的长是9.42，两者相等，符合圆柱的展开图。 D．底面圆的半径为3，2×3.14×3＝18.84，与长方形的长9.42不相等，不符合。 故答案为：C 10．（2025·甘肃临夏·期末）一个圆柱的底面半径是3厘米，高是5厘米，它的侧面积是( )平方厘米。 A．20π B．30π C．45π D．9π 【答案】B 【分析】圆柱的侧面积公式为：S＝2πrh（r为底面半径，h为高）。已知底面半径r＝3厘米，高h＝5厘米，把数据代入计算即可。 【详解】2×π×3×5＝30π（平方厘米） 所以它的侧面积是30π平方厘米。 故答案为：B 11．（2025·广东东莞·期末）一个圆柱底面半径扩大到原来的2倍，高不变，体积扩大到原来的( )倍。 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据圆柱的体积公式V＝πr2h以及积的变化规律，可知一个圆柱底面半径扩大到原来的2倍，高不变，则圆柱的体积扩大到原来的22倍。 【详解】2×2＝4 一个圆柱底面半径扩大到原来的2倍，高不变，体积扩大到原来的4倍。 故答案为：B 12．（2025·黑龙江哈尔滨·期末）我们曾经用如图所示方法解决了求三角形面积的问题，有这样的经验，你能算出图2的几何体体积是( )cm3。（π取3.14） A．6280 B．6500 C．6820 D．6028 【答案】A 【分析】将两个相同的几何体拼成一个圆柱，拼成的圆柱底面直径是20cm，高是15＋25＝40cm；然后根据圆柱的体积公式计算出圆柱的体积，再除以2计算出一个几何体的体积。据此解答。 【详解】20÷2＝10（cm） 15＋25＝40（cm） 3.14×102×40 ＝3.14×100×40 ＝314×40 ＝12560（cm3） 12560÷2＝6280（cm3） 所以图中几何体的体积是6280cm3。 故答案为：A 13．（2025·河南信阳·期末）如图，下面关于四个图形的体积说法错误的是( )。 A．①和④的体积相等 B．②的体积是①的3倍 C．②的体积是④的3倍 D．①和③的体积相等 【答案】D 【分析】圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，据此求出4个图形的体积，并逐项分析即可。 【详解】图①：π×（4÷2）2×9 ＝π×22×9 ＝π×4×9 ＝12π 图②：π×（4÷2）2×9 ＝π×22×9 ＝π×4×9 ＝36π 图③：π×（2÷2）2×9 ＝π×12×9 ＝π×1×9 ＝9π 图④：π×（4÷2）2×3 ＝π×22×3 ＝π×4×3 ＝12π A．①和④的体积均为12π，则①和④的体积相等，正确； B．②的体积为36π，①的体积为12π，36π÷12π＝3，则②的体积是①的3倍，正确； C．36π÷12π＝3，则②的体积是④的3倍，正确； D．③的体积为9π，①的体积为12π，则①和③的体积不相等，错误； 故答案为：D 三、计算题。 14．（2025·山东济南·期末）求组合图形的表面积。（单位：厘米） 【答案】245.6平方厘米 【分析】通过观察图形可知，由于圆柱与长方体粘合在一起，所以圆柱只求它的侧面积，长方体求出表面积，然后合并起来就是这个组合图形的表面积。已知圆柱的底面直径为4厘米，高为10厘米；长方体的长和宽都是6厘米，高为2厘米。根据圆柱侧面积公式：S＝πdh（π取3.14，d为直径，h为高），长方体表面积公式：S＝2×（ab＋ah＋bh）（a为长，b为宽，h为高），把数据分别代入公式计算后再相加即可解答。 【详解】3.14×4×10＝125.6（平方厘米） 2×（6×6＋6×2＋6×2） ＝2×（36＋12＋12） ＝2×60 ＝120（平方厘米） 125.6＋120＝245.6（平方厘米） 这个组合图形的表面积是245.6平方厘米。 15．（2025·重庆黔江·期末）求如图陀螺的体积。 【答案】552.64立方厘米 【分析】观察陀螺是由圆柱和圆锥两部分组成的，先根据陀螺底面直径求出陀螺底面半径；再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式分别求出圆柱和圆锥的体积；最后相加求和即可。 【详解】3.14×（8÷2）2×10＋×3.14×（8÷2）2×（13－10） ＝3.14×16×10＋×3.14×16×3 ＝502.4＋50.24 ＝552.64（立方厘米） 所以这个陀螺的体积是552.64立方厘米。 四、解答题。 16．（2025·安徽宿州·期末）用彩带扎一个圆柱形礼盒（如图），打结处刚好在底面圆心上，打结共用去彩带长15厘米。 （1）在它整个侧面贴上商标说明书，这部分的面积是多少平方厘米？ （2）扎这个礼盒共用去彩带多少厘米？ 【答案】（1）942平方厘米 （2）175厘米 【分析】（1）利用侧面积公式S＝πdh求出侧面积即可求出商标说明书的面积。 （2）彩带的长度是由4条高和4条底面直径和打结处的15厘米组成，据此解答。 【详解】（1）3.14×30×10 ＝94.2×10 ＝942（平方厘米） 答：商标说明书这部分的面积是942平方厘米。 （2）30×4＋10×4＋15 ＝120＋40＋15 ＝175（厘米） 答：扎这个礼盒共用去彩带175厘米。 17．（2025·河南周口·期末）一根圆柱形钢材长2米，横截面的直径是4厘米。如果每立方厘米钢材重7.8克，这根钢材重多少千克？ 【答案】19.5936千克 【分析】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据，求出圆柱的体积，再用圆柱的体积×每立方厘米的重量，即可解答，注意单位名数的统一以及换算。 【详解】2米＝200厘米 3.14×（4÷2）2×200×7.8 ＝3.14×22×200×7.8 ＝3.14×4×200×7.8 ＝12.56×200×7.8 ＝2512×7.8 ＝19593.6（克） 19593.6克＝19.5936千克 答：这根钢材重19.5936千克。 18．（2025·重庆巴南·期末）在一个棱长为10cm的正方体容器中装一定量的水，水面高度为6cm。将一个高9cm的圆柱体铁块竖着放入水中（铁块底面与容器底面平行）。铁块放入容器5cm时，水就满了。这个铁块的体积是多少？ 【答案】720立方厘米 【分析】根据题意，放入水中的圆柱体铁块体积与水的体积之和为正方体体积，水的体积可由长方体体积公式求得；设圆柱底面积为平方厘米，再由圆柱体积＝底面积×高可列方程求得圆柱底面积，进而求得圆柱铁块体积。 【详解】解：设圆柱底面积为平方厘米。 （平方厘米） 铁块体积：80×9＝720（立方厘米） 答：这个铁块的体积是720立方厘米。 19．（2025·安徽宿州·期末）孙爷爷的小麦大丰收。麦堆的高1.5米，底面直径6米，每立方米粮食800千克，这堆小麦多少吨？ 【答案】11.304吨 【分析】根据圆锥体积＝Sh，计算出圆锥形小麦堆的体积，用每立方米小麦的质量乘小麦的体积即可求出小麦的质量，单位换算成吨即可。 【详解】800千克＝0.8吨 ×3.14×（6÷2）2×1.5×0.8 ＝×3.14×9×1.5×0.8 ＝11.304（吨） 答：这堆小麦重11.304吨。 20．（2025·重庆忠县·期末）把底面半径为5厘米的圆锥形金属铸件完全浸没在棱长10厘米的正方体容器中，水面上升1.57厘米（水未溢出），这个金属铸件的高是多少？（π取3.14） 【答案】6厘米 【分析】根据题意，把圆锥形金属铸件完全浸没在有水的正方体容器中，水面上升1.57厘米，那么上升部分水的体积等于圆锥的体积，水上升部分是一个底面边长为10厘米、高为1.57厘米的长方体，根据长方体的体积公式V＝abh，求出圆锥的体积； 已知圆锥形金属铸件的底面半径为5厘米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥的底面积； 根据圆锥的体积公式V＝Sh，可知圆锥的高h＝3V÷S，代入数据计算求出圆锥的高。 【详解】圆锥的体积： 10×10×1.57＝157（立方厘米） 圆锥的底面积： 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 圆锥的高： 157×3÷78.5 ＝471÷78.5 ＝6（厘米） 答：这个金属铸件的高是6厘米。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 篇首寄语 我们每一位老师都希望为学生提供最优质的教学资料，在日常教学中，能够迅速找到一份 高质量、高效率、高标准的资料显得尤为关键。过去，编者常常在各学习网站间奔波，寻找所 需的资料，但它们总是存在各种问题，难以令人满意，每次搜寻都要耗费大量时间和精力，才 能找到心仪的资料，这种费时费力的过程实在令人苦恼。因此，在每次的寻找过程中，编者不 禁思考：如果由我自己来创作一份资料，情况会如何呢？这份资料首先应满足我自身的教学需 求，达到我设定的高标准，然后再为他人提供参考。基于这一理念，结合自身教学需求和学生 实际情况，最终精心打造出了一个既适合课堂教学，又适应课后作业，还便于阶段复习的大综 合系列。 《2025-2026学年典型例题系列》，是基于教材知识和历年真题精心总结与编辑而成的。 该系列主要包括四个篇章：典型例题篇、三阶练习篇、单元复习篇和素养测评篇 1.典型例题篇：按照单元顺序编排，涵盖计算和应用两大板块。其优点在于例题典型、考点 丰富，变式多样。 2.三阶练习篇：从高频考题和期末真题中精选练习题，分为课时练、专项练和综合练三部分。 其优点在于选题经典、题型多样，题量适中。 3.单元复习篇：汇集系列精华，高效辅助单元复习。其优势在于内容综合全面、精练高效， 实用性强。 4.素养测评篇：依据试题难度和综合水平，分为A卷·基础达标卷和B卷·综合素养卷。其 优点在于考点覆盖广泛、层次分明，适应性强。 时光荏苒，《典型例题系列》正在更新至第5版，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻 完善；展望未来，它将承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢 迎您的使用，感谢您的支持！ 10】数学创作社 2026年1月26日晚 第1页共47页 品学科网 www.zX×k.com 让教与学更高效 2025-2026学年六年级数学下册典型例题系列「2026春」 第三单元圆柱与圆锥•单元复习篇【四大篇章】 思维 导 篇 2 圆柱是由两个底面和一个侧面围成的 (1)认识 ◆圆柱的两个底面都是圆，井且大小一样 A特征 →圆柱的侧面是曲面 今一个图柱有无数条高 →圆柱的侧面沿高线剪开得到一个长方形 B侧面展开图 →哥柱的侧面沿斜直线剪开得到一个平行四边形 ★长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高 A含义：圆柱的表面积是指圆柱的侧面积个两个底面积之和 圆柱的表面积=圆柱的侧面积+底面积x2 1.圆柱 B公式 S表=5侧+2S底=2Tr+2Tr (2)表面积 S侧=C底面xh=2Trh ①已知圆柱的底面半径和高，求圆柱的表面积 C应用 ②已知圆柱的底面直径和高，求圆柱的表面积 目已知图柱的底面周长和高，求圆柱的表面积 A含义：圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积 (3)体积 子生题 B.公式推导： 圆柱的体积=底面积x高 V=Sh ①圆锥是由两部分组成的，一个底面，一个侧面 (1)认识 ②圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面 ③圆锥只有一条高 六下第三单元 圆柱和圆锥 ★圆锥的体积=底面积x高x vsh 圆柱的体积比圆锥的体积多2倍 等底等高的圆柱和圆锥 圆锥的体积比圆柱的体积少2/3 2.圆锥 (2)体积 圆维的高是圆柱的高的3倍=圆锥的高比圈柱的高多2倍 →等底等体积的圆柱和圆锥 圆柱的高是圆锥的高的1/3=圆柱的高比圆锥的高矮2/3 圆锥底面积是圆柱底面积的3倍=圆锥底面积比圆柱底面积多2倍 ◆等高等体积的圆柱和圆锥〈圆柱底面积是圆锥底面积的1/3=圆性底面积比圆锥底面积少2/3 ①已知圆锥的底面积和高，求圆锥的体积 (3)解决问题 ②已知圆锥的底面半径和高。求圆锥的体积 ③已知圆维的底面直径和高，求圆锥的体积 (1)画图法 利用示意图表示数量关系 3.解决问题 (2)等积变形法 几何物体的形状发生变化，变化后的物体和原物体相比，体积不变 第2页共47页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 知 识清单篇 【知识点一】圆柱的认识、组成、各部分名称及特征 1.圆柱的认识。 像下面这些物体的形状都是圆柱体，这些圆柱都是直圆柱，即直直的、上下一样粗，上下两个 面都是圆形，圆柱是生活中一种常见的立体图形。 2.圆柱的组成。 圆柱是由两个底面和一个侧面围成的立体图形。 3.圆柱的各部分名称。 (1)圆柱的底面和侧面。 圆柱的上、下两个 底面 面叫作底面。圆柱 圆柱周围的面（上、下 侧面 的底面是圆形。 底面除外)叫作侧面。 底面 (2)圆柱的高。 发现圆柱的高矮和国柱 两个底面之间的距⊙圆柱的两个底面之间 离有关。 的距离叫作高。 指的是两个底面之间的垂直距离，而 不是两个底面上任意两，点间的距离。 4.圆柱的特征。 (1)圆柱底面的特征：圆柱的上、下底面是两个大小相同的圆。 (2)圆柱侧面的特征：曲面 (3)圆柱高的特征：圆柱有无数条高，这些高长度都相等。 【知识点二】圆柱的侧面展开图 1.当沿高展开时，展开图是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，其 第3页共47页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 中当底面周长和高相等时，沿高展开图是正方形： 侧面展开 长方形 2.当不沿高展开时（斜向切开），展开图是平行四边形，平行四边形的底等于圆柱的底面周 长，平行四边形的高等于圆柱的高。 3.圆柱的侧面展开方式不同，得到的侧面展开图也不同，圆柱的侧面展开图可能是长方形、 正方形、平行四边形或不规则图形。 【知识点三】圆柱的侧面积和表面积 1.圆柱的侧面积。 当圆柱沿高展开时，侧面展开图是一个长方形，其中长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于 圆柱的高，因此： 圆柱的侧面积=长方形的面积=长×宽=圆柱底面的周长×高，即S=Ch=2πh。 侧面 侧面 侧：面 面的周 底面的周长 高 2.圆柱侧面积的计算公式。 圆柱的侧面积=底面周长×高，用字母表示是SC。 已知圆柱的底面半径和高，求侧面积：S侧2πh; 已知圆柱的底面直径和高，求侧面积：S侧πdh。 3.圆柱的表面积。 圆柱的表面积=圆柱的侧面积+两个底面的面积，用字母表示是S表S+2S=Ch+2π2。 底面的周长 底面 底面 底面的周长 圆柱 侧面 的高 底面 4.圆柱的表面积与生活实际应用。 在解决有关圆柱表面积计算的实际应用问题时，要具体问题具体分析： 第4页共47页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (1)只计算侧面积的圆柱形物体有烟囱、水管、通风管等。 (2)计算侧面积加一个底面积的圆柱形物体有笔筒、玻璃杯、无盖木桶、水池、帽子等。 (3)计算侧面积加两个底面积的圆柱形物体有茶叶筒、油桶等。 【知识点四】圆柱的切拼问题 1.圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧 面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高 度。 2.圆柱中横切引起的表面积变化。 横切引起的表面积变化，即沿着底面或平行于底面的方向将圆柱切一刀，此时表面积会多 出两个面的面积，这两个面是底面，如果将圆柱截成几个小圆柱，增加的表面积为2（一1） 个底面的面积（为截成的小圆柱的个数），与之相反，多个底面相同的小圆柱拼成一个大圆 柱，减少的表面积为2(n一1)个底面的面积(n为小圆柱的个数)。 3.圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切引起的表面积变化，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是 以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4.圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体， 此时拼成的长方体会比圆柱多2个面积大小为h的长方形。 【知识点五】圆柱的旋转构成法 圆柱的旋转构成法。即长方形在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转所得到的圆柱是不 一样的，因此，我们可以得到以下四种不同的旋转方法构成的圆柱体。 旋转方法①：如图所示，以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。 第5页共47页 品学科网 www.zX×k.Com 让教与学更高效 旋转方法②：如图所示，以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。 旋转方法③：如图所示，以两条长中点的连线为轴（对称轴）进行旋转，宽就是圆柱的高，长 的一半就是底面圆的半径。 旋转方法④：如图所示，以两条宽中点的连线为轴（对称轴）进行旋转，长就是圆柱的高，宽 的一半就是底面圆的半径。 → 【知识点六】圆柱的体积 1.圆柱的体积和容积。 (1)一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体的体积，叫做 这个圆柱的容积。 (2)圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容器的内部量。 2.圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为，高为h的圆柱沿着高切成若干等份（偶数等份），并将其拼成一个近似 的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小 为r的长方形，这个长方体的底面积和高与圆柱的底面积和高分别相等，由长方体体积公式， 我们可以推导得出圆柱体积公式。 第6页共47页 多学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面 积×高，用字母表示为VSh=urh。 3.将圆柱切拼成近似的长方体后，要注意“三不变三变”。 (1)三不变：底面积、高、体积不变 (2)三变：形状、表面积、底面周长变了。即形状由圆柱变成长方体；表面积比圆柱表面积增 加了长方体左右面的面积，即2h:底面周长比圆柱底面周长增加了2红。 4.根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为V=S,可将体积公式变形反求底面积或高， 即 ①S底=V柱h ②h=V柱S底 【知识点七】圆柱体积中的两种关系 其一：比例关系。 1.当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。 2.当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。 3.已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再 求体积之比。 其二：倍数关系。 1.当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为 原来的几分之一)： 2.当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为 原来的几分之一)。 【知识点八】长方体中的最大圆柱圆柱中的最大长方体正方体中的最大圆柱 1.长方体中的最大圆柱。 在长厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是 多少立方厘米，要以长方体底面的宽作为圆柱底面圆的直径，长方体的高作为圆柱的高，再来 计算圆柱的体积。 2.圆柱中的最大长方体。 圆柱中的最大的长方体，高和圆柱的高相等，长方体的底面是一个正方形，这个正方形的对角 线恰好是圆柱的底面直径，因此，底面正方形的面积=对角线×对角线÷2，再根据“长方体体 第7页共47页 画学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 积=底面积×高”求出这个长方体的体积。 3.正方体中的最大圆柱。 把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体 的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱=π2h求圆柱的体积。 【知识点九】排水法求不规则物体的体积 1.转化法求不规则物体的体积。 在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转化为规则物体 的体积来计算， 2.排水法求不规则物体的体积的步骤如下： (1)在容器中注入适量的水，记下水位。 (2)将不规则物体放入水中，再次记下水位。 (3)用尺子测量容器里现在水面的高度。 (4)用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3.排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在一V原来； ②V物体S×(h现在~h原来)： ③V物体S×h升高 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 【知识点十】等积变形问题 解决等积变形问题的关键是抓住“体积不变”，先求出物体的体积，然后根据问题对应图形的 体积公式进行解答：也可以根据“变形前的体积=变形后的体积”列方程解答。 【知识点十一】圆锥的认识、组成、各部分名称及特征 1.圆锥的认识。 像下面这些物体就是圆锥，圆锥是我们生活中常见的一种立体图形，它的下面是圆形，并且从 下往上逐渐变小到一点。 第8页共47页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2.圆锥的各部分名称及特征。 名称 意义 特征 图示 圆锥中圆形的面叫作圆 圆锥只有一个底面， 底面 顶点 锥的底面。 且底面是个圆。 圆锥周围的面（底面除 圆锥的侧面是一个 侧面 侧面 高 外)叫作圆锥的侧面。 曲面。 从圆锥的顶点到底面圆 高 圆锥只有一条高。 底面 心的距离是圆锥的高。 d 【知识点十二】圆锥高的测量方法 1.放：把圆锥的底面水平地放在平板（底面放平）上，在圆锥上方和右方按如图所示的方式 各放置一把三角尺，并使右方三角尺的0刻度线与平板的上边缘对齐。 2.量：圆锥顶点挨着的直角边与平板之间的距离就是圆锥的高。 ①摆放时，两条直角边要紧挨着： ②读数时，只看圆锥顶点上方直 角边所对应的刻度即可。 【知识点十三】圆锥的旋转构成法 以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一周得到一个圆锥，旋转轴所在的直角边就是 圆锥的高(h),而另一条直角边就是圆锥的底面半径(x)，斜边就是顶点到底面圆周上任意 一点的连线。如图所示： 斜边 半径 以较长（短）的直角边所在的直线为轴旋 转而成的圆锥的底面积较小（大）。 【知识点十四】圆锥的切面积问题（圆锥的切拼问题） 如图所示，将圆锥沿着高垂直切成两个完全相同的半圆锥，截面是等腰三角形，且等腰三角形 的底是圆锥的底面直径，高是圆锥的高，所以增加的两个截面的面积=圆锥的底面直径×圆锥 第9页共47页 可学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 的高。 【知识点十五】圆锥的体积 1.圆维的体积。 圆锥所占空间的大小叫作圆锥的体积。 2.圆锥体积计算公式的推导。 (1)圆柱和圆锥的底面都是圆，如果将圆柱上底面的圆心和下底面圆周上的每一点连起来， 就能得到一个和圆柱等底、等高的圆锥（如图)。 (2)利用等底等高的两个圆柱和圆锥做“倒水实验”、“倒沙实验”，得出结论：等底、等 高的圆柱和圆维，圆柱的体积是圆锥体积的3信，圆锥的体积是圆柱体积的 (3)圆锥的体积计算公式。 如果用V表示圆锥的体积，用S表示圆锥的底面积，用h表示圆锥的高，用r表示圆锥的底 面半径，则圆锥的体积计算公式用字母表示为V=上sh或V=mh。 3 3 3.根据圆维的体积公式变形，可以反求高或底面积。 V=h或V=}mh,反求高或底面积，即h=V×3S,S=V×3h。 【知识点十六】圆锥体积中的两种关系 其一：倍数关系 圆锥的体积随着底面积和高的扩大与缩小而变化，其规律与积的变化规律相似，即： 1.当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为 原来的几分之一)： 2.当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为 原来的几分之一)。 其二：比例关系 第10页共47页