6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示同步作业-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 【基础巩固】 1．已知向量，则（ ） A． B． C． D． 2．向量 ，， 在正方形网格中的位置如图所示，若 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 3．已知向量，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知非零向量，，若A，B，C三点共线，则（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．无解 5．（多选）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，点在直线上，且，则点的坐标可能为（ ） A． B． C． D． 6．已知，，若与平行，则实数________． 7．平面直角坐标系内点，，，若O、A、B三点共线，则线段AB上靠近点A的三等分点的坐标为_________. 8．如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点. (1)若，则的值 (2)若交于点，求线段的长 【能力拓展】 9．三角板是一种用于几何绘图和测量的工具.如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中，，，，若，则（ ） A． B． C． D． 10．对于数集，定义向量集.若存在至少一对不等向量满足（即两向量平行），则称具有性质.若数集具有性质，则所有可能的值个数为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 11．如图所示，在梯形中，与交于点，若，则________ . 【素养提升】 12．已知在平面直角坐标系中，点，点，为坐标原点. (1)如图1，设为线段 的中点， 求的值； (2)如图2，设点 是线段的等分点， 其中，，，当时，求 的值； (3)若，求的最小值. 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 【基础巩固】 1．已知向量，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由向量，得. 故选：A 2．向量 ，， 在正方形网格中的位置如图所示，若 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图，以O为坐标原点建立坐标系，则 所以，则，则，则. 故选：C. 3．已知向量，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若，则，此时，所以； 若，则由向量共线定理可得，解得或. 因此，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4．已知非零向量，，若A，B，C三点共线，则（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．无解 【答案】A 【解析】根据A，B，C三点共线可知存在实数满足， 可知且，解得，此时，满足题意. 故选：A 5．（多选）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，点在直线上，且，则点的坐标可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】设，由题意得，且点在直线上，故可得以下两种情况： ①，此时有，可得，解得. ②，此时有，可得，解得. 综上所述，点的坐标为或. 故选：AB 6．已知，，若与平行，则实数________． 【答案】 【解析】由题意得，， 由于与平行，故，解得：，故答案为： 7．平面直角坐标系内点，，，若O、A、B三点共线，则线段AB上靠近点A的三等分点的坐标为_________. 【答案】 【解析】，，，. ∵O、A、B三点共线， ，解得或（舍去）. ，，. 设线段AB上靠近点A的三等分点为C， 则，. 故答案为：. 8．如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点. (1)若，则的值 (2)若交于点，求线段的长 【答案】见解析 【解析】(1)以点为坐标原点，分别以，方向为轴正方向建立平面直角坐标系， 则，，，，， 则，，， 由可得：， 所以，解得，因此； (2)设，因为三点共线，所以 则存在唯一实数，使得， 则，可得，， 即，又三点共线，且，，则， 所以，解得，则，所以， 所以，所以线段的长. 【能力拓展】 9．三角板是一种用于几何绘图和测量的工具.如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中，，，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以B为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系.作，交的延长线于点F， 由题中数据可得，，，， 则，，. 因为，所以，则， 解得，故. 故选：B 10．对于数集，定义向量集.若存在至少一对不等向量满足（即两向量平行），则称具有性质.若数集具有性质，则所有可能的值个数为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【解析】若数集，则对应的向量集为， 若平行，则，但这不可能，所以不平行， 若平行，则， 若平行，则，解得， 若平行，则， 若平行，则，解得， 若平行，则，解得， 若平行，则， 若平行，则，解得， 若平行，则， 若平行，则，解得， 若平行，则，解得， 若平行，则，解得， 若平行，则，解得， 若平行，则，解得， 若平行，则，解得， 由集合中元素的互异性可知，， 综上所述，所有可能的值为：，共7个. 故选：D. 11．如图所示，在梯形中，与交于点，若，则__________ ． 【答案】 【解析】以为坐标原点，以所在的直线为轴，以过点垂直轴的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，则， 可得，设，则，，根据，有，解得，即， 所以， 因为，所以，解得，所以． 故答案为：. 【素养提升】 12．已知在平面直角坐标系中，点，点，为坐标原点. (1)如图1，设为线段 的中点， 求的值； (2)如图2，设点 是线段的等分点， 其中，，，当时，求 的值； (3)若，求的最小值. 【答案】见解析 【解析】(1)因为 ， 而 为线段 的中点，所以 得 (2)由题意得 ， ，所以 ， 事实上，对任意正整数，且，有 ， 所以 ， 所以 . (3)线段AB 上存在一点M，使得 且存在点 则 所以 即线段上存在一点，其到点和点的距离之和最小， 作点关于线段 的对称点 如图所示， 则最小值为 第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $