第一章 数列（单元自测·基础卷）高二数学北师大版选择性必修第二册

2025-2026学年高二数学《数列》单元检测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A．6 B．7 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质及求和公式求解即可. 【详解】由题意得，，所以. . 故选：B. 2．已知正项等比数列的前n项和为，且，则数列的公比（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由等比数列求和公式代入计算，即可得到结果. 【详解】当时，， 则由题意知且，则， 解得． 故选：C． 3．数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的通项公式为（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用观察归纳法求出通项公式. 【详解】依题意，， ，…， 所以所求通项公式为. 故选：C 4．已知正项等比数列的前项和为，若，则的公比为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式及前项和求解即可. 【详解】设的公比为. 由，得，化简得， 又，所以． 故选：C． 5．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用累加法求得，利用裂项求和法求得正确答案. 【详解】依题意，， 令，得， ， 所以 ， 当时上式也符合，所以，则， 所以. 6．已知等差数列的前项和为.若，，则当取得最大值时，（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】由题设，结合等差数列的求和公式及性质可得，，进而得到等差数列为递减数列，且时，，时，，进而求解即可. 【详解】由，即， 由，即， 所以在等差数列中，公差，为递减数列， 且时，，时，， 则取得最大值时，. 故选：C 7．记为数列的前项积，若，则（    ） A．是公差为负数的等差数列 B．是公差为正数的等差数列 C．是公差为负数的等差数列 D．是公差为正数的等差数列 【答案】C 【分析】本题可先根据已知条件得出与的关系，再通过变形得到与的关系，最后根据等差数列的定义判断数列的类型. 【详解】由题意，，当时，， 代入可得：，即，则， 当时，，又，所以， 将代入可得，等式两边同时除以， （若，代入得，又不成立，所以）， 得，移项可得，且， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，公差为负数. 故选：C 8．已知数列满足，，设，对，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知及等差数列的判定与证明，可知是公差为的等差数列，根据数列的递推关系，数列的函数特征的计算，得结合对勾函数的单调性，计算求出实数的取值范围. 【详解】由，得. ，即， 是公差为的等差数列， ， ， 即，. . ，， 即， 即. 则，对于在上单调递减，上单调递增， 的最小值只能在或处取得， 当时，，当时，， ，所以 ，即实数的取值范围是. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）已知数列，下列选项不正确的是（   ） A．若，则为等比数列 B．若，则为等比数列 C．若，则为等比数列 D．若，则为等比数列 【答案】ABD 【分析】ABD选项举反例即可；C选项利用等比数列的定义求证. 【详解】由知，当时数列不是等比数列，故A错误； 若数列中存在零项，且满足、， 此时数列不是等比数列，故B，D错误； 由知，，两式相除得， 故数列是等比数列，故C正确． 故选：ABD． 10．设数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列是等比数列 B． C．的前项和为 D． 【答案】AC 【分析】先利用求出的通项公式，可以判断A，B选项，再根据求出的通项公式，利用分组求和法求出的前项和，可判断选项C，写出数列的通项公式，利用公式法求出前项和，可判断选项D. 【详解】，当时，，得. 当时，，即. 是以为首项，公比为2的等比数列，，A选项正确，B选项错误. ， 记，数列的前项和 ，C选项正确. 因为，是以1为首项，公比为4的等比数列， ，D选项错误. 故选：AC 11．设数列的前项和为，，，当时，，则下列说法正确的是（） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C．数列的最大项为 D．设，且数列的前项和为，则 【答案】ABD 【分析】借助与的关系及已知递推关系，变形推导出​的通项公式，再以此为基础利用等比数列的定义、等差数列的定义及裂项求和，逐一验证四个选项. 【详解】当时，， ， 即. 因为，， 所以：，则. 因此是首项为，公比为的等比数列，所以A正确， 由，得， 所以，则， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，B正确. 因为，所以. 设，则， 令，解得；令，解得. 所以，最大项为，C错误. 因为， 所以 于是， 因为，所以； 又单调递增，，故，D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．等差数列与的前项和分别是和，已知，则________． 【答案】 【分析】利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质计算即可得解. 【详解】因为、均为等差数列，且其前项和分别是和，， 所以. 故答案为：. 13．已知等比数列的各项均为正数，且，，则数列的公比________；设，则________. 【答案】 / 【分析】根据等比数列的通项公式求出，进而得到，然后对进行化简，利用裂项相消法求出结果即可. 【详解】设等比数列的首项为，公比为， 由 得 ，即 . 因 ，故 ，所以 ，解得 . 将 代入 得 ，解得 . 故 . 所以， 所以 . 故答案为：①；②. 14．已知数列满足，，则的整数部分为______． 【答案】2 【分析】根据题目所给递推公式进行变形，裂项相消求和即可. 【详解】由得， 则 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 以上式子累加可得： ， 故 ， 其整数部分为， 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【解析】（1）由， 当时，，解得； 当时，， 则，即， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 则.（5分） （2）由（1）知，，则， 即，所以， 则.（13分） 16．（15分）已知数列满足． (1)记，证明：数列为等比数列，并求的通项公式； (2)求数列的前2n项和； 【解析】（1）由题意得： ， 又，所以， 所以数列是以为公比，首项为的等比数列， 所以；（5分） （2）由（1）有，所以， 所以， 又，所以 所以 ， 所以 .（15分） 17．（15）已知数列的前项和为，且边长为的正方形的面积为． (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)若数列的前项和为，证明：． 【解析】（1）由题意得． 当时，． 当时，，满足. 故对任意的，．（3分） （2）由（1）得， 则， ， 两式相减得 ， 所以．（8分） （3）当时，， 所以， 当时，， 故对任意的，.（15分） 18．（17分）已知等差数列和等比数列满足：，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)已知数列的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）设等差数列的公差为d，已知， ，则． 则， 解得，所以 设等比数列的公比为q，，，又，所以． 因为， 解得（舍去，因为），所以．（4分） （2）由（1）知，， 则． ．（9分） （3）由（1）知，，则． ①， ②， ①-②得：，所以，则． 因为对任意正整数n，不等式恒成立， 即恒成立，等价于恒成立． 设，则． 当时，，即； 当时，，即， 所以的最大值为． 所以，即实数的取值范围是．（17分） 19．（17分）已知数列，满足是公差为2的等差数列，是首项为4的等比数列，且． (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)是否存在两个不同的正整数，，使得可以按某种顺序构成一个新的等差数列？如果存在，求出所有的，；如果不存在，请说明理由． 【解析】（1）设，. 由题意，是公差为2的等差数列，因此； 是首项为4的等比数列，设公比为，因此. 由数列和差关系，可得： 代入已知条件、列方程： ，，代入，得； ，，代入，得. 联立方程解得，，因此： ，， 于是，.（5分） （2）已知，，因此： . 设数列的前项和为，则： (1)-(2)错位相减： ， 令： ， 两式相减： ， 故，因此： ， 于是，， 即.（10分） （3）对：，因此是单调递增的正项数列， 即对任意正整数成立； 对：，因此是单调递减数列， 且，时，即. 若四个数按某种顺序成等差数列，因此必有： ，即， ， 为正整数，且，因此是2的正整数次幂， 仅当时，，此时，解得. 验证该解：四个数为，，，， 按从小到大排列为，相邻项的差不相等，无法构成等差数列. 其余正整数均无法使方程成立，因此不存在符合条件的正整数.（17分） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学《数列》单元检测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A．6 B．7 C．12 D．16 2．已知正项等比数列的前n项和为，且，则数列的公比（   ） A．2 B．4 C． D． 3．数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的通项公式为（   ）. A． B． C． D． 4．已知正项等比数列的前项和为，若，则的公比为（   ） A． B． C．2 D．4 5．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知等差数列的前项和为.若，，则当取得最大值时，（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 7．记为数列的前项积，若，则（    ） A．是公差为负数的等差数列 B．是公差为正数的等差数列 C．是公差为负数的等差数列 D．是公差为正数的等差数列 8．已知数列满足，，设，对，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）已知数列，下列选项不正确的是（   ） A．若，则为等比数列 B．若，则为等比数列 C．若，则为等比数列 D．若，则为等比数列 10．设数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列是等比数列 B． C．的前项和为 D． 11．设数列的前项和为，，，当时，，则下列说法正确的是（） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C．数列的最大项为 D．设，且数列的前项和为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．等差数列与的前项和分别是和，已知，则________． 13．已知等比数列的各项均为正数，且，，则数列的公比________；设，则________. 14．已知数列满足，，则的整数部分为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 16．（15分）已知数列满足． (1)记，证明：数列为等比数列，并求的通项公式； (2)求数列的前2n项和； 17．（15）已知数列的前项和为，且边长为的正方形的面积为． (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)若数列的前项和为，证明：． 18．（17分）已知等差数列和等比数列满足：，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)已知数列的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19．（17分）已知数列，满足是公差为2的等差数列，是首项为4的等比数列，且． (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)是否存在两个不同的正整数，，使得可以按某种顺序构成一个新的等差数列？如果存在，求出所有的，；如果不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学《数列》单元检测卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C C C D C C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD AC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． / 14．2 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）【解析】（1）由， 当时，，解得； 当时，， 则，即， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 则.（5分） （2）由（1）知，，则， 即，所以， 则.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）由题意得： ， 又，所以， 所以数列是以为公比，首项为的等比数列， 所以；（5分） （2）由（1）有，所以， 所以， 又，所以 所以 ， 所以 .（15分） 17．（15分） 【解析】（1）由题意得． 当时，． 当时，，满足. 故对任意的，．（3分） （2）由（1）得， 则， ， 两式相减得 ， 所以．（8分） （3）当时，， 所以， 当时，， 故对任意的，.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）设等差数列的公差为d，已知， ，则． 则， 解得，所以 设等比数列的公比为q，，，又，所以． 因为， 解得（舍去，因为），所以．（4分） （2）由（1）知，， 则． ．（9分） （3）由（1）知，，则． ①， ②， ①-②得：，所以，则． 因为对任意正整数n，不等式恒成立， 即恒成立，等价于恒成立． 设，则． 当时，，即； 当时，，即， 所以的最大值为． 所以，即实数的取值范围是．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）设，. 由题意，是公差为2的等差数列，因此； 是首项为4的等比数列，设公比为，因此. 由数列和差关系，可得： 代入已知条件、列方程： ，，代入，得； ，，代入，得. 联立方程解得，，因此： ，， 于是，.（5分） （2）已知，，因此： . 设数列的前项和为，则： (1)-(2)错位相减： ， 令： ， 两式相减： ， 故，因此： ， 于是，， 即.（10分） （3）对：，因此是单调递增的正项数列， 即对任意正整数成立； 对：，因此是单调递减数列， 且，时，即. 若四个数按某种顺序成等差数列，因此必有： ，即， ， 为正整数，且，因此是2的正整数次幂， 仅当时，，此时，解得. 验证该解：四个数为，，，， 按从小到大排列为，相邻项的差不相等，无法构成等差数列. 其余正整数均无法使方程成立，因此不存在符合条件的正整数.（17分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学《数列》单元检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A．6 B．7 C．12 D．16 2．已知正项等比数列的前n项和为，且，则数列的公比（   ） A．2 B．4 C． D． 3．数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的通项公式为（   ）. A． B． C． D． 4．已知正项等比数列的前项和为，若，则的公比为（   ） A． B． C．2 D．4 5．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知等差数列的前项和为.若，，则当取得最大值时，（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 7．记为数列的前项积，若，则（    ） A．是公差为负数的等差数列 B．是公差为正数的等差数列 C．是公差为负数的等差数列 D．是公差为正数的等差数列 8．已知数列满足，，设，对，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选）已知数列，下列选项不正确的是（   ） A．若，则为等比数列 B．若，则为等比数列 C．若，则为等比数列 D．若，则为等比数列 10．设数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列是等比数列 B． C．的前项和为 D． 11．设数列的前项和为，，，当时，，则下列说法正确的是（） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C．数列的最大项为 D．设，且数列的前项和为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．等差数列与的前项和分别是和，已知，则________． 13．已知等比数列的各项均为正数，且，，则数列的公比________；设，则________. 14．已知数列满足，，则的整数部分为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 16．（15分）已知数列满足． (1)记，证明：数列为等比数列，并求的通项公式； (2)求数列的前2n项和； 17．（15）已知数列的前项和为，且边长为的正方形的面积为． (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)若数列的前项和为，证明：． 18．（17分）已知等差数列和等比数列满足：，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)已知数列的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19．（17分）已知数列，满足是公差为2的等差数列，是首项为4的等比数列，且． (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和； (3)是否存在两个不同的正整数，，使得可以按某种顺序构成一个新的等差数列？如果存在，求出所有的，；如果不存在，请说明理由． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $