考点02 轴对称（11大题型）（专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

考点02 轴对称 考点一：轴对称图形 定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 轴对称图形的三个要素：（1）一个整体图形；（2）一条直线为对称轴；（3）直线两旁边部分完全重合． 考点二：成轴对称 定义：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴． 成轴对称的三个条件：（1）有两个图形；（2）存在一条直线；（3一个图形沿着这条直线对折后与另一个图形重合． 成轴对称的两个特征：（1）成轴对称两个图形全等，但全等的两个图形不一定成轴对称；（2）成轴对称是图形的一种全等变换． 考点三：轴对称的性质 1．对应点、对应线段与对应角的概念：沿对称轴折叠后能够重合的点叫做对应点，重合的线段叫对应线段；重合的角叫对应角． 2．轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等． 考点四：线段的垂直平分线 经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线） 考点五：常见图形的对称轴 图形 对称轴条数 对称轴位置 角 1条 角平分线所在直线 等腰三角形 1条 底边上的高（中线/顶角平分线）所在直线 等边三角形 3条 各边上的高（中线/内角平分线）所在直线 长方形 2条 过对边中点的直线 正方形 4条 过对边中点的直线、对角线所在直线 等腰梯形 1条 过上、下底中点的直线 圆 无数条 过圆心的任意直线 考点六：画对称轴 画对称轴的依据：画对称轴的依据是两个图形成轴对称和轴对称图形的性质，即对应点所连的线段被对称轴垂直平分， 画对称轴的步骤： （1）找：找到任意一对对应点； （2）连：连接这对对应点； （3）画：过对应点所连线段的中点作垂线. 考点七：镜面对称 1、镜面对称： 有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里 所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）． 2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对 对应点的对称轴。 3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜 面反射的结果。 题型一：识别轴对称图形 （1）找对称轴，先画出来：水平、竖直、斜着都可能； （2）验重合，看两边形状、大小、方向是否镜像一样； （3）数对称轴条数． （1）普通平行四边形不是轴对称图形； （2）对称轴是直线，不是线段； （3）字母、汉字也要判断 是：A、M、T、U、V、W、Y 不是：N、S、Z； （4）只看形状，不看图案细节，颜色、花纹、方向不一样，就不是轴对称． 【典例精讲】（2024秋•鄂尔多斯期末）视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2025秋•南通期末）我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025秋•招远市期中）《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．下列四个图中，能由如图经过轴对称得到的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练3】（2025秋•两江新区期末）下列图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 题型二：找对称轴 （1）先看整体形状； （2）找关键点（顶点、端点、交点）； （3）试对折方向，先试：上下、左右，再试：斜着 45°； （4）验证：想象对折，看每一个点、每一条边是否都能对上. （1）只找横竖，漏掉斜的对称轴； （2）把线段/射线当成对称轴. 【典例精讲】（2025秋•鸡西期末）下面图形中，图（　　）的对称轴条数最少． A． B． C． D． 【变式训练1】（2025秋•龙凤区期中）下面各图的对称轴数量最多的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2024秋•端州区校级期末）下列图形中，对称轴最多的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练3】指出下列图形中的轴对称图形，并找出它们的对称轴． 题型三：成轴对称 （1）试着找对称轴； （2）想象对折； （3）只要找到一条，就成立，不用找所有，有一条就行． （1）平行四边形不是轴对称； （2）汉字/字母：细节不一样就不是； （3）图案里有小细节（箭头、缺口、阴影）． 【典例精讲】（2025秋•柯桥区期末）如图4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上（网格线之间的交点称为格点），这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形共有（　　）个．（注：与△ABC重合的不计） A．7 B．9 C．11 D．13 【变式训练1】2025春•山亭区月考）观察如图中各组图形，其中成轴对称的为　　 （只写序号1，2等）． 【变式训练2】（2025秋•仓山区期末）如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（　　） A．②，④ B．②，③ C．③，④ D．②，③，④ 【变式训练3】（2025秋•庐江县期中）如图方格纸网格线上的八条等长线段形成一个轴对称图形（图中实线部分）．其中有四条线段标上了序号，若擦去两条线段，剩下的图形就不是轴对称图形，那么擦去的两条线段是（　　） A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④ 题型四：设计轴对称图形 轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （1）对称轴找不准，把中心对称（旋转180°重合）误认为是轴对称（对折重合）； （2）细节不对称，只关注大轮廓，忽略了内部线条的位置、长度、角度。比如画人脸，左右眼睛大小或位置有细微偏差；画几何图案，左右线条长度不一致； （3）设计过于复杂． 【典例精讲】（2025春•市中区期末）如图，在4×4正方形网格中，阴影部分是由2个小正方形组成的图形，请你分别在如图方格内添涂2个小正方形，使这4个小正方形组成的图形满足：图1有且只有一条对称轴；图2有且只有两条对称轴；图3有且只有四条对称轴． 【变式训练1】（2024•焦作开学）如图是由一些完全相同的小三角形组成的，其中4个小三角形涂上了颜色，请再将4个小三角形涂上颜色，使得直线AB成为这个图形的对称轴． 【变式训练2】（2025春•济南期末）在图①中描涂2个小方块，在图②中描涂3个小方块，在图③中描涂4个小方块，在图④中描涂5个小方块，分别使图中的阴影图案成为轴对称图形． 题型五：台球桌面上的轴对称图形 （1）选一个点作对称点，把A（或B）关于桌边作轴对称，得到A′； （2）连接对称点和另一个点，连 A′B； （3）连线与桌边交点就是P，这个P就是要找的撞击点； （4）画路线：A→P→B，这就是反弹路径． （1）底数含负号时，先判断幂的符号：奇次幂为负，偶次幂为正，正数一定大于负数； （2）化同指数时，优先找指数的最大公因数，简化计算． 【典例精讲】（2025春•厦门校级期中）一个台球桌面如图所示，一个球在桌面上的点A滚向桌边的PQ，碰着PQ上的点B后便反弹而滚向桌边RS，碰着RS上的点C便反弹而滚向桌边PQ上的点D，如此运动，球经过D点反弹到RQ上的点E，经过E点反弹到RS上的点F．如果PQ∥RS，RQ⊥PQ，SP⊥QP，AB、BC、CD、DE、EF都是线段，且∠ABC的平分线BN⊥PQ，∠BCD的平分线CM⊥RS，∠CDE的平分线DG⊥PQ，∠DEF的平分线EH⊥QR，且∠ABP＝65°，那么∠REF的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【变式训练1】（2025秋•玉山县期末）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式训练2】（2025春•福州期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从图示方向击出，经过多次反弹最终落入2号袋．在反弹过程中，球滚动的路线和击出方向平行的次数是　　 次． 题型六：轴对称的性质 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等． （1）混淆“对应边”和“随便边”，只有关于对称轴对称的边才相等，不是图里所有边都乱相等； （2）对称轴垂直平分对应点连线，做题只记得边相等、角相等，漏掉垂直、平分，导致少条件、做不出来； （3）折叠题容易看错对应点，折叠后，重合的点才是对应点，不能随便找两个点就用． 【典例精讲】（2025秋•夏津县期末）如图，P是∠BAC内部一点，P关于AB、CD的对称点分别是点P1、点P2，连接P1P2分别与AB，AC交于点M，点N，连接PM，PN，则下列结论： ①若∠BAC＝30°，则△P1P2A是等边三角形； ②△PMN的周长等于线段P1P2的长； ③PA平分∠MPN； ④． 正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式训练1】（2025秋•南昌期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列结论不一定正确的是（　　） A．AC＝A′C′ B．△ABC≌△A′B′C′ C．AA′⊥MN D．AB∥B′C′ 【变式训练2】（2025秋•科尔沁区期末）如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB内部的一点，点P关于OA的对称点是M，点P关于OB的对称点是N，连接MN．若OP＝8cm，则△MON的周长是（　　） A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm 【变式训练3】（2025秋•宣化区期末）如图，△ABC中，点D在BC边上，将点D分别以AB、AC所在直线为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF．如果∠B+∠C＝110°，则∠EAF的度数为（　　） A．110° B．150° C．70° D．140° 题型七：作垂线（尺规作图/无刻度直尺作图） 过直线上（外）一点作已知直线的垂线． （1）以已知点为圆心，适当长为半径画弧，交直线于两个点（把已知点夹在中间）； （2）分别以这两个交点为圆心，大于两点间一半的长度为半径画弧； （3）两弧在直线两侧各交于一点（或一侧一点）； （4）连接已知点和弧的交点； （5）这条连线就是垂线． （1）混淆“对应边”和“随便边”，只有关于对称轴对称的边才相等，不是图里所有边都乱相等； （2）对称轴垂直平分对应点连线，做题只记得边相等、角相等，漏掉垂直、平分，导致少条件、做不出来； （3）折叠题容易看错对应点，折叠后，重合的点才是对应点，不能随便找两个点就用． 【典例精讲】（2025秋•东城区期末）如图，已知直线EF和△ABC，点A，B在直线EF上． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①过点C作直线EF的垂线，垂足为点G； ②作点C关于直线EF的对称点C1； （2）若点C到直线EF的距离为1，∠CBF＝30°，求线段BC的长； （3）在（2）的条件下，若AB＝2BC，求△ABC1的面积． 【变式训练1】（2025秋•宁波期末）如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上．用无刻度直尺按照下列要求作图． （1）在图1中作出△ABC关于直线BC对称的△DBC． （2）在图2中作出△ABC的高线BE． 【变式训练2】（2025秋•船营区校级期末）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，△ABC 的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的同格中按要求画图，所作图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． （1）在图①中，作一个△ACD，使△ACD是轴对称图形； （2）在图②中，作一个△BCE，使△BCE与△ABC成轴对称； （3）在图③中，作△ABC中AC边上的高BH． 题型八：垂直平分线的性质 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． （1）以为“垂直平分线=中线=高”； （2）画垂直平分线，必须分别以线段两端为圆心、大于线段一半长度为半径画弧，半径太短画不出交点； （3）把“垂直平分线上任意一点”当成“中点”，垂直平分线上所有点都满足到两端相等，不只是中点一个点； （4）看到距离相等就直接用； （5）忽略“垂直”和“平分”两个条件，只垂直不平分，或只平分不垂直，都不是垂直平分线． 【典例精讲】（2025秋•厦门期末）如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，下列所连线段中，能被直线l垂直平分的是（　　） A．CE B．BF C．BD D．AD 【变式训练1】（2025秋•广州校级月考）已知∠ABC、线段PQ、线段MN，小明利用尺规画出它们的对称轴，如图所示（②中O为PQ外任一点），则不一定正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．①和② 【变式训练2】（2025秋•凉州区校级期中）已知△ABC与△A′B′C′分别在直线l的两侧且关于直线l对称，点A与点A′、点B与点B′，点C与点C′都是关于直线l的对称点，下列线段被直线l垂直平分的是（　　） A．AB′ B．BB′ C．BC′ D．AC′ 【变式训练3】（2024秋•湛江期末）如图，作△ABC中边AB的垂直平分线DE，AB＝8cm，△ACD的周长为12cm，则△ABC的周长是（　　）cm A．20 B．16 C．15 D．21 题型九：镜面对称 镜子里的像 = 现实物体关于镜面成轴对称，镜面就是对称轴． （1）找对称轴（镜面那条线）； （2）作对称点：每个点向对称轴作垂线，延长相等长度，找到像点； （3）连点成像：把像点依次连起来，就是镜子里的图形． 数字/汉字镜像，左右翻转：左变右，右变左，上下不变； 时钟镜像，镜像时间 + 实际时间 = 12时． （1）把镜面对称当成旋转，镜面对称是左右翻转，不是旋转180°，旋转和对称完全不一样； （2）只记左右反，忘记上下不反，镜像只左右颠倒，上下不变； （3）画对称图形少作点，必须每个关键点都作对称点，只画大概形状会被扣分； （4）汉字、字母也是左右反着写，不能按正常写法写． 【典例精讲】（2025秋•呈贡区期末）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻应是（　　） A．01：12 B．10：12 C．10：21 D．10：51 【分析】在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻12：01与10：51成轴对称， 所以此时实际时刻为10：51， 故选：D． 【变式训练1】（2025秋•城关区校级期中）一个车牌号在平面镜中的图象是，则实际车牌号为（　　） A．JM﹣G9329 B．JM﹣G6356 C．JM﹣C6326 D．JM﹣G6326 【变式训练2】（2025秋•江津区期中）小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近3：00的是（　　） A． B． C． D． 题型十：剪纸问题 （1）先看折了几次，一次对折，1条对称轴；两次对折，2条对称轴； （2）找对称轴：折痕就是对称轴； （3）看剪在哪里：看剪掉的位置靠近折痕还是边缘； （4）还原展开：把剪掉的部分沿所有对称轴依次对称复制，就是答案． 判断技巧： （1）对折一次：展开后左右（或上下）一模一样； （2）对折两次：展开后四个部分完全一样； （3）靠近折痕剪：展开后中间空/缺口在中间； （4）靠近边缘剪：展开后缺口在外围． （1）只看形状，不看位置，缺口靠近折痕还是边缘，直接决定答案； （2）对折次数数错，折一次和折两次，答案完全不同； （3）把“折叠”当成“旋转”，剪纸是轴对称，不是旋转，不能转着看； （4）只对称一半，多次对折要依次对称所有折痕，少一次就错． 【典例精讲】（2024秋•安远县期末）剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2025秋•潜江月考）按下列步骤折纸，再将③裁剪成④的形状，最后将④中的纸片打开铺平，则所得图案大致是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025秋•闵行区期末）“一把剪刀蕴神技，一方红纸酿年味”，剪纸是中国传统的民间艺术，是中国的非物质文化遗产，随着社会的发展形成了一定特征的数学文化．如图，小明在剪纸活动中，将一张长方形纸片对折三次后，沿着虚线剪去一个角，再打开后的形状是（　　） A． B． C． D． 题型十一：翻折变换 （1）找折痕（就是对称轴）； （2）标对应点、对应边、对应角，把折叠前后相等的边、角全部标出来． （1）找不到对应边、对应角，做题第一步必须标全，否则必错； （2）以为折叠后边长不变，却用错线段，只看被折叠的部分，不是整条边都相等； （3） 把折痕当角平分线乱套，折痕是对称轴，不是随便平分； （4）漏看“垂直平分”，对应点连线一定垂直于折痕． 【典例精讲】（2025春•原阳县期末）如图①，已知四边形纸片ABCD．按图②、图③的折纸方法依次折叠后再展开，得到两条折痕，如图④第二条折痕与边CD交于点E，连结AE、BE．若∠ABC＝80°，BE平分∠ABC，则∠AEB的度数是（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 【变式训练1】（2024秋•乐平市期末）在△ABC中，将∠B，∠C按如图所示方式折叠，点B，C均落在边BC上点H处，线段DE，FG为折痕．若∠A＝60°，则∠DHF的度数为（　　） A．90° B．80° C．75° D．60° 【变式训练2】（2024秋•张家界期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（　　） A．18° B．19° C．20° D．21° 【变式训练3】（2025春•荥阳市期末）在学习“生活中的轴对称”之后，小颖对图形的变换进行操作实践．P为长方形纸片ABCD的边AB上一点，点E，M分别为AD，CD上的动点，如图，先把纸片ABCD沿PE对折，A与F重合：再把纸片沿PM对折，B与H重合．当点E，M运动时，若∠FPH＝32°，则∠APE+∠BPM＝　　 ． 1．（2025秋•新兴县期末）第十五届全运会于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同举办．体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神．下列关于体育运动的图标中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025秋•淄川区期末）下列图形中，对称轴条数最多的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025秋•营山县期末）已知，△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点O，则下列结论中不一定成立的是（　　） A．AC＝A′C′ B．AB∥B′C′ C．BB′⊥MN D．BO＝B′O 4．（2025秋•雷州市期末）如图，水平地面AB上放置一平面镜，从激光笔所处的P点发出的光线照射到平面镜的O处，反射光线为OQ（两束光线关于过点O且垂直于AB的直线对称），且点Q恰好落在与地面垂直的墙面AC上．若∠AQO＝46°，则∠BOP的度数为（　　） A．34° B．40° C．46° D．44° 5．（2025•高碑店市三模）剪纸是我国传统民间艺术之一．嘉嘉将一张圆形纸片按如图的流程进行操作，即先沿虚线对折两次，再沿虚线剪开，则展开后的剪纸形状是（　　） A． B． C． D． 6．（2025秋•潮州期末）如图，在△ABC，已知点D在BC上，且AD＝DC，则点D在（　　） A．AC的垂直平分线上 B．∠BAC的平分线上 C．BC的中线上 D．AB的垂直平分线上 7．（2025秋•兴县期末）如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E．△ABD的周长为18，AE＝3，则△ABC的周长为（　　） A．21 B．22 C．23 D．24 8．（2025秋•丹阳市期末）如图，在△ABC中，BC＝24，AB边的垂直平分线和AC边的垂直平分线与BC边分别相交于点E、F，连接AE、AF，则△AEF的周长为（　　） A．12 B．18 C．24 D．不能确定 9．（2025秋•荔湾区期末）小荔用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OF⊥OE，下列推断错误的是（　　） A．OB⊥OD B．OE＝OF C．∠BOC＝∠AOB D．∠BOC+∠AOD＝180° 10．（2024秋•富县期末）如图，△ABC和△AB′C′关于直线l对称，直线l与CC′相交于点O，若AB＝5，B′C′＝2，CO＝1，则五边形ABCC′B′的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 11．（2024秋•阳谷县期末）如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 12．（2024春•济南期末）有一个英语单词，其四个字母都关于直线l对称，如图是该单词各字母的一部分，请写出补全后的单词所指的物品 　 　 ． 13．（2025秋•博兴县期末）下列图形：线段、角、正方形、圆，其中轴对称图形个数的为　 　． 14．（2025秋•久治县期末）如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，若∠A＝65°，∠B＝80°，则∠F＝　　 　 ． 15．（2025秋•浦东新区期末）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是　　 　． 16．（2025秋•厦门期末）如图，我们将每个“尖角”为36°，且十条边都相等的五角星称为“正五角星”，图1中的虚线将周角十等分．通过图2的折纸步骤制作一个五角星，折叠后沿着∠α剪开，若要使得剪下来的纸片展开后是正五角星，则∠α的大小为　 　 ． 17．（2025秋•永兴县期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC，AC于D，E．若AE＝5，△ABC的周长为28，则△ABD的周长等于　 　 ． 18．（2025秋•邻水县期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE分别与边AB，AC交于D，E两点，边BC的垂直平分线FG分别与边BC，AC交于F，G两点，连接BE，BG．若△BEG的周长为32，AC＝22，则GE的长为　 　 ． 19．（2025秋•广汉市校级期末）如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼所看到的是蜡烛A在平面镜里的虚像B，点A与点B的连线与平面镜垂直，到平面镜的距离也相等，故人眼感觉看到了真实的蜡烛．若∠DCA＝40°，则∠B的大小为　 　． 20．（2025秋•紫阳县校级期末）如图，在长方形纸片ABCD中，∠ABC＝90°，将∠ABD和∠CBD对折，使边AB，CB均落在BD上，得到折痕BE，BF，则∠EBF的度数为　 　． 21．（2025秋•浦东新区期末）如图是3×3的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．在该网格中存在　 　个格点三角形与三角形ABC成轴对称． 22．（2025秋•延边州期末）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为 　 　 ． 23．（2025秋•焦作期末）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若AC＝AD，∠A＝40°，则∠ACB的度数为　 　 ． 24．（2025秋•青川县期中）如图，已知△ABC和△A′B′C′关于直线m对称． （1）结合图形指出对称点； （2）若连接AA'，直线m与线段AA'有什么关系？ （3）若延长AC与A'C'，它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律． 25．（2025春•济南期末）在图①中描涂2个小方块，在图②中描涂3个小方块，在图③中描涂4个小方块，在图④中描涂5个小方块，分别使图中的阴影图案成为轴对称图形． 26．（2024•林州市校级开学）下面每个图形都是由4个同样大的正方形组成的，请在每个图形上添加一个同样大的正方形，使其成为轴对称图形． 27．（2025春•拱墅区校级月考）如图，台球运动中母球P击中桌边上的点A，经桌边反弹后击中相邻桌边上的点B，再次反弹后击中球C．（提示：∠1＝∠2，∠3＝∠4） （1）若∠1＝32°，求∠PAB的度数； （2）已知∠2+∠3＝90°，母球P经过的路线BC与PA一定平行吗？请说明理由． 28．（2025秋•南昌期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，求△BDC的周长． 29．（2025秋•蛟河市期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，作出四边形ABCD的对称轴l； （2）如图2，BE⊥AD，过点D作AB的垂线DF． 30．（2025秋•武威期中）如图是某城区的三所小学A、B、C的分布示意图，现准备修建一个儿童游乐中心P．若要使三所学校到儿童游乐中心的距离相等，则儿童游乐中心应修在何处？ 31．（2025秋•正定县期末）如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD⊥BC，D为CE的中点． （1）求证：BE＝AC； （2）若∠B＝40°，求∠BAC的度数． 32．（2025秋•五华县期末）阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． （1）如图1，若∠AOB＝56°，则∠BOC＝　 　°； （2）折叠长方形纸片，BC，BD均为折痕，折叠后，点A落在点A'，点E落在点E'． ①如图2，当点E'在BA'上时，求∠CBD的度数； ②如图3，若∠A'BE'＝42°，求∠CBD的度数； ③如图4，若∠A'CB＝30°，∠A'BE'＝n°，则∠DBE'的度数为　 　°（用含n的式子表示）． 33．（2025秋•普陀区期末）美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸ABCD（AB＜AD）沿折痕BD折叠，点C落在了点C′处，BC′交AD于点N． （1）如果∠CBD＝20°，那么∠ABC′＝　 　 °； （2）点E为线段AN上一点，将三角形ABE沿BE折叠，点A恰好落在BD上的点A1处，如果∠CBD＝α，请用α的代数式表示∠CBE； （3）将三角形ABN沿BN折叠，点A落在点A2处，当∠DBA2＝9°时，求出∠CBD的度数． 34．（2025秋•红谷滩区校级期中）如图，将长方形纸片ABCD沿MN和PQ折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角∠AMN＝∠DPQ，点A，D的对应点分别为点G，H，折叠后点B，C的对应点恰好都在点E． （1）若折痕角∠AMN＝110°，求帽子顶角∠NEQ的度数． （2）设∠GMD＝x度，∠NEQ＝y度． ①请用含x的代数式表示y，则y＝　 　． ②当∠MNE＝2∠GMD时，帽子比较美观，求此时y的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点02 轴对称 考点一：轴对称图形 定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 轴对称图形的三个要素：（1）一个整体图形；（2）一条直线为对称轴；（3）直线两旁边部分完全重合． 考点二：成轴对称 定义：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴． 成轴对称的三个条件：（1）有两个图形；（2）存在一条直线；（3一个图形沿着这条直线对折后与另一个图形重合． 成轴对称的两个特征：（1）成轴对称两个图形全等，但全等的两个图形不一定成轴对称；（2）成轴对称是图形的一种全等变换． 考点三：轴对称的性质 1．对应点、对应线段与对应角的概念：沿对称轴折叠后能够重合的点叫做对应点，重合的线段叫对应线段；重合的角叫对应角． 2．轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等． 考点四：线段的垂直平分线 经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线） 考点五：常见图形的对称轴 图形 对称轴条数 对称轴位置 角 1条 角平分线所在直线 等腰三角形 1条 底边上的高（中线/顶角平分线）所在直线 等边三角形 3条 各边上的高（中线/内角平分线）所在直线 长方形 2条 过对边中点的直线 正方形 4条 过对边中点的直线、对角线所在直线 等腰梯形 1条 过上、下底中点的直线 圆 无数条 过圆心的任意直线 考点六：画对称轴 画对称轴的依据：画对称轴的依据是两个图形成轴对称和轴对称图形的性质，即对应点所连的线段被对称轴垂直平分， 画对称轴的步骤： （1）找：找到任意一对对应点； （2）连：连接这对对应点； （3）画：过对应点所连线段的中点作垂线. 考点七：镜面对称 1、镜面对称： 有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里 所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）． 2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对 对应点的对称轴。 3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜 面反射的结果。 题型一：识别轴对称图形 （1）找对称轴，先画出来：水平、竖直、斜着都可能； （2）验重合，看两边形状、大小、方向是否镜像一样； （3）数对称轴条数． （1）普通平行四边形不是轴对称图形； （2）对称轴是直线，不是线段； （3）字母、汉字也要判断 是：A、M、T、U、V、W、Y 不是：N、S、Z； （4）只看形状，不看图案细节，颜色、花纹、方向不一样，就不是轴对称． 【典例精讲】（2024秋•鄂尔多斯期末）视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴． 【解答】解：A，B，D选项中，两个字母“E”关于某条直线成轴对称，而C选项中，两个字母“E”不能沿着直线翻折互相重合． 故选：C． 【变式训练1】（2025秋•南通期末）我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义“在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形”进行判断即可． 【解答】解：A、该图是轴对称图形，不符合题意； B、该图是轴对称图形，不符合题意； C、该图不是轴对称图形，符合题意； D、该图是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 【变式训练2】（2025秋•招远市期中）《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．下列四个图中，能由如图经过轴对称得到的是（　　） A． B． C． D． 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此即可求解． 【解答】解：能由原图经过轴对称得到的是第二个图形， 故选：B． 【变式训练3】（2025秋•两江新区期末）下列图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可． 【解答】解：B，C，D不是轴对称图形，A是轴对称图形． 故选：A． 题型二：找对称轴 （1）先看整体形状； （2）找关键点（顶点、端点、交点）； （3）试对折方向，先试：上下、左右，再试：斜着 45°； （4）验证：想象对折，看每一个点、每一条边是否都能对上. （1）只找横竖，漏掉斜的对称轴； （2）把线段/射线当成对称轴. 【典例精讲】（2025秋•鸡西期末）下面图形中，图（　　）的对称轴条数最少． A． B． C． D． 【分析】逐一判断各图形的对称轴条数，找出对称轴条数最少的即可． 【解答】解：A、正方形有4条对称轴； B、等边三角形有3条对称轴； C、矩形有2条对称轴； D、正六边形有6条对称轴， 故选：C． 【变式训练1】（2025秋•龙凤区期中）下面各图的对称轴数量最多的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念分别确定出各选项图形的对称轴的条数，然后选择即可． 【解答】解：选项A有四条对称轴，选项B有四对称轴，选项C有三条对称轴，选项D有无数条对称轴， ∴对称轴数量最多的是选项D． 故选：D． 【变式训练2】（2024秋•端州区校级期末）下列图形中，对称轴最多的是（　　） A． B． C． D． 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可． 【解答】解：A中图形有无数条对称轴， B中图形只有一条对称轴， C中图形有两条对称轴， D中图形有三条对称轴， 则对称轴最多的是是A中图形， 故选：A． 【变式训练3】指出下列图形中的轴对称图形，并找出它们的对称轴． 【分析】根据轴对称图形的定义，把图形沿一条直线对折，直线两侧的部分能够互相重合，这样的直线就是图形的对称轴，据此即可作出． 【解答】解： 题型三：成轴对称 （1）试着找对称轴； （2）想象对折； （3）只要找到一条，就成立，不用找所有，有一条就行． （1）平行四边形不是轴对称； （2）汉字/字母：细节不一样就不是； （3）图案里有小细节（箭头、缺口、阴影）． 【典例精讲】（2025秋•柯桥区期末）如图4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上（网格线之间的交点称为格点），这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形共有（　　）个．（注：与△ABC重合的不计） A．7 B．9 C．11 D．13 【分析】根据轴对称图形的定义，找出满足要求的对称图形即可． 【解答】解：如图所示， 以图中直线为对称轴，所得△ABC的对称三角形都是格点三角形， 所以满足要求的格点三角形共有11个． 故选：C． 【变式训练1】（2025春•山亭区月考）观察如图中各组图形，其中成轴对称的为　　 （只写序号1，2等）． 【分析】认真观察所给的图形，按照直线两旁的部分是否能够互相重合来判断是否符合要求． 【解答】解：3中的伞把不对称，故填①②④ 故填①②④ 【变式训练2】（2025秋•仓山区期末）如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有（　　） A．②，④ B．②，③ C．③，④ D．②，③，④ 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 【解答】解：如图，图中编号为②，③，④的三角形能与编号为①的三角形成轴对称图形的有②，④． 故选：A． 【变式训练3】（2025秋•庐江县期中）如图方格纸网格线上的八条等长线段形成一个轴对称图形（图中实线部分）．其中有四条线段标上了序号，若擦去两条线段，剩下的图形就不是轴对称图形，那么擦去的两条线段是（　　） A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④ 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，进行分析即可． 【解答】解：擦去①和②，①和③，②和④，剩下的图形是轴对称图形； 擦去②和③，剩下的图形不是线对称图形． 故选：C． 题型四：设计轴对称图形 轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （1）对称轴找不准，把中心对称（旋转180°重合）误认为是轴对称（对折重合）； （2）细节不对称，只关注大轮廓，忽略了内部线条的位置、长度、角度。比如画人脸，左右眼睛大小或位置有细微偏差；画几何图案，左右线条长度不一致； （3）设计过于复杂． 【典例精讲】（2025春•市中区期末）如图，在4×4正方形网格中，阴影部分是由2个小正方形组成的图形，请你分别在如图方格内添涂2个小正方形，使这4个小正方形组成的图形满足：图1有且只有一条对称轴；图2有且只有两条对称轴；图3有且只有四条对称轴． 【分析】根据轴对称的性质画出图形即可． 【解答】解：如图所示： 【变式训练1】（2024•焦作开学）如图是由一些完全相同的小三角形组成的，其中4个小三角形涂上了颜色，请再将4个小三角形涂上颜色，使得直线AB成为这个图形的对称轴． 【分析】根据轴对称图形的定义画出图形即可． 【解答】解：如图所示： 【变式训练2】（2025春•济南期末）在图①中描涂2个小方块，在图②中描涂3个小方块，在图③中描涂4个小方块，在图④中描涂5个小方块，分别使图中的阴影图案成为轴对称图形． 【分析】根据轴对称的性质作图即可． 【解答】解：如图所示： ． 题型五：台球桌面上的轴对称图形 （1）选一个点作对称点，把A（或B）关于桌边作轴对称，得到A′； （2）连接对称点和另一个点，连 A′B； （3）连线与桌边交点就是P，这个P就是要找的撞击点； （4）画路线：A→P→B，这就是反弹路径． （1）底数含负号时，先判断幂的符号：奇次幂为负，偶次幂为正，正数一定大于负数； （2）化同指数时，优先找指数的最大公因数，简化计算． 【典例精讲】（2025春•厦门校级期中）一个台球桌面如图所示，一个球在桌面上的点A滚向桌边的PQ，碰着PQ上的点B后便反弹而滚向桌边RS，碰着RS上的点C便反弹而滚向桌边PQ上的点D，如此运动，球经过D点反弹到RQ上的点E，经过E点反弹到RS上的点F．如果PQ∥RS，RQ⊥PQ，SP⊥QP，AB、BC、CD、DE、EF都是线段，且∠ABC的平分线BN⊥PQ，∠BCD的平分线CM⊥RS，∠CDE的平分线DG⊥PQ，∠DEF的平分线EH⊥QR，且∠ABP＝65°，那么∠REF的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【分析】根据已知条件得到RQ∥SP，∠DQE＝90°，根据角平分线的定义得到∠ABN＝∠CBN，根据角的和差得到∠CBD＝∠ABP＝65°，同理∠BCS＝∠DCR＝∠CDP＝∠QDE＝65°，于是得到结论． 【解答】解：∵RQ⊥PQ，SP⊥QP， ∴RQ∥SP，∠DQE＝90°， ∵BN⊥PQ，CM⊥RS，DG⊥PQ， ∴BN∥CM∥DG， ∵BN平分∠ABC， ∴∠ABN＝∠CBN， ∵∠PBN＝∠QBN＝90°， ∴∠CBD＝∠ABP＝65°， 同理∠BCS＝∠DCR＝∠CDP＝∠QDE＝65°， ∴∠QED＝90°﹣65°＝25°， ∵∠DEF的平分线EH⊥QR， ∴∠QEH＝∠REH＝90°，∠DEH＝∠FEH＝65°， ∴∠REF＝25°， 故选：B． 【变式训练1】（2025秋•玉山县期末）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【分析】要击中点N，则需要满足点M反弹后经过的直线过N点，画出反射路线即可得出答案． 【解答】解： 可以瞄准点D击球． 故选：D． 【变式训练2】（2025春•福州期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从图示方向击出，经过多次反弹最终落入2号袋．在反弹过程中，球滚动的路线和击出方向平行的次数是　　 次． 【分析】利用轴对称画出图形即可求解． 【解答】解：利用轴对称画出图形可知球的运动路线如图： ∴经过多次反弹最终落入2号袋．在反弹过程中，球滚动的路线和击出方向平行的次数是3次； 故答案为：3． 题型六：轴对称的性质 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等． （1）混淆“对应边”和“随便边”，只有关于对称轴对称的边才相等，不是图里所有边都乱相等； （2）对称轴垂直平分对应点连线，做题只记得边相等、角相等，漏掉垂直、平分，导致少条件、做不出来； （3）折叠题容易看错对应点，折叠后，重合的点才是对应点，不能随便找两个点就用． 【典例精讲】（2025秋•夏津县期末）如图，P是∠BAC内部一点，P关于AB、CD的对称点分别是点P1、点P2，连接P1P2分别与AB，AC交于点M，点N，连接PM，PN，则下列结论： ①若∠BAC＝30°，则△P1P2A是等边三角形； ②△PMN的周长等于线段P1P2的长； ③PA平分∠MPN； ④． 正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【分析】根据所给条件，结合轴对称的性质度所给结论依次进行判断即可． 【解答】解：由题知， ∵P关于AB、CD的对称点分别是点P1、点P2， ∴AP＝AP1＝AP2，∠PAM＝∠P1AM，∠PAN＝∠P2AN， ∴∠P1AP2＝2∠BAC． ∵∠BAC＝30°， ∴∠P1AP2＝60°， ∴△P1P2A是等边三角形． 故①正确； ∵P关于AB、CD的对称点分别是点P1、点P2， ∴MP＝MP1，NP＝NP2， ∴PM+MN+PN＝MP1+MN+NP2＝P1P2， 即△PMN的周长为线段P1P2的长． 故②正确； ∵P关于AB、CD的对称点分别是点P1、点P2， ∴∠MPA＝∠MP1A，∠NPA＝∠NP2A，AP1＝AP2＝AP， ∴∠MP1A＝∠NP2A， ∴∠MPA＝∠NPA， ∴PA平分∠MPN． 故③正确； 由上述过程可知， ∠MPN＝∠MP1A+∠NP2A＝180°﹣∠P1AP2． 又∵∠P1AP2＝2∠BAC， ∴∠MPA+2∠BAC＝180°， 则． 故④正确． 故选：D． 【变式训练1】（2025秋•南昌期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列结论不一定正确的是（　　） A．AC＝A′C′ B．△ABC≌△A′B′C′ C．AA′⊥MN D．AB∥B′C′ 【分析】根据轴对称的性质逐项判断即可得解． 【解答】解：由题意可得：AC＝A′C′，△ABC≌△A′B′C′，AA′⊥MN，故ABC正确，不符合题意． 故选：D． 【变式训练2】（2025秋•科尔沁区期末）如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB内部的一点，点P关于OA的对称点是M，点P关于OB的对称点是N，连接MN．若OP＝8cm，则△MON的周长是（　　） A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm 【分析】根据轴对称的性质进行计算即可． 【解答】解：连接OP， ∵点P关于OA的对称点是M，点P关于OB的对称点是N， ∴OM＝OP，ON＝OP，∠AOM＝∠AOP，∠BON＝∠BOP， ∴∠MON＝2∠AOB． ∵∠AOB＝30°， ∴∠MON＝60°， ∴△MON是等边三角形． 又∵OP＝8cm， ∴△MON的周长是3×8＝24cm． 故选：D． 【变式训练3】（2025秋•宣化区期末）如图，△ABC中，点D在BC边上，将点D分别以AB、AC所在直线为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF．如果∠B+∠C＝110°，则∠EAF的度数为（　　） A．110° B．150° C．70° D．140° 【分析】根据轴对称的性质进行计算即可． 【解答】解：连接BE，CF，AD， ∵点D关于AB、AC所在直线的对称点为点E和点F， ∴∠ABE＝∠ABC，∠ACF＝∠ACB，∠E＝∠ADB，∠F＝∠ADC． ∵∠ABC+∠ACB＝110°，∠ADB+∠ADC＝180°， ∴∠EBC+∠FCB＝2（∠ABC+∠ACB）＝220°，∠E+∠F＝180°， ∴∠EAF＝540°﹣180°﹣220°＝140°． 故选：D． 题型七：作垂线（尺规作图/无刻度直尺作图） 过直线上（外）一点作已知直线的垂线． （1）以已知点为圆心，适当长为半径画弧，交直线于两个点（把已知点夹在中间）； （2）分别以这两个交点为圆心，大于两点间一半的长度为半径画弧； （3）两弧在直线两侧各交于一点（或一侧一点）； （4）连接已知点和弧的交点； （5）这条连线就是垂线． （1）混淆“对应边”和“随便边”，只有关于对称轴对称的边才相等，不是图里所有边都乱相等； （2）对称轴垂直平分对应点连线，做题只记得边相等、角相等，漏掉垂直、平分，导致少条件、做不出来； （3）折叠题容易看错对应点，折叠后，重合的点才是对应点，不能随便找两个点就用． 【典例精讲】（2025秋•东城区期末）如图，已知直线EF和△ABC，点A，B在直线EF上． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①过点C作直线EF的垂线，垂足为点G； ②作点C关于直线EF的对称点C1； （2）若点C到直线EF的距离为1，∠CBF＝30°，求线段BC的长； （3）在（2）的条件下，若AB＝2BC，求△ABC1的面积． 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）利用直角三角形30度角的性质求出BC； （3）利用轴对称变换的性质解决问题即可． 【解答】解：（1）图形如图所示： （2）根据（1）中作图，可知CC1⊥EF于点G，CG＝1， 在Rt△BGC中，∠CGB＝90°， ∵∠CBG＝30°，CG＝1， ∴BC＝2； （3）∵BC＝2． ∴AB＝2BC＝4， 根据作图，可知△ABC1≌△ABC， ∴． 【变式训练1】（2025秋•宁波期末）如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上．用无刻度直尺按照下列要求作图． （1）在图1中作出△ABC关于直线BC对称的△DBC． （2）在图2中作出△ABC的高线BE． 【分析】（1）先找出A关于直线BC的对称点D，再依次连接即可解答； （2）取格点M，连接AM，交AC于点E，线段AE即为所求． 【解答】解：（1）如图所示，△DBC即为所求． （2）如图所示，BE即为所求． ． 【变式训练2】（2025秋•船营区校级期末）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，△ABC 的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的同格中按要求画图，所作图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． （1）在图①中，作一个△ACD，使△ACD是轴对称图形； （2）在图②中，作一个△BCE，使△BCE与△ABC成轴对称； （3）在图③中，作△ABC中AC边上的高BH． 【分析】（1）根据轴对称的性质和网格特点作图即可； （2）根据轴对称的性质和网格特点作图即可； （3）根据网格特点，取格点D，连接BD并延长，交AC于H，点H即为所作． 【解答】解：（1）轴对称图形△ACD，如图①即为所求（答案不唯一）； ； （2）如图②，△BCE即为所作， ； （3）AC边上的高BH，如图③即为所求． ． 题型八：垂直平分线的性质 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． （1）以为“垂直平分线=中线=高”； （2）画垂直平分线，必须分别以线段两端为圆心、大于线段一半长度为半径画弧，半径太短画不出交点； （3）把“垂直平分线上任意一点”当成“中点”，垂直平分线上所有点都满足到两端相等，不只是中点一个点； （4）看到距离相等就直接用； （5）忽略“垂直”和“平分”两个条件，只垂直不平分，或只平分不垂直，都不是垂直平分线。． 【典例精讲】（2025秋•厦门期末）如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，下列所连线段中，能被直线l垂直平分的是（　　） A．CE B．BF C．BD D．AD 【分析】根据轴对称的性质即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为成轴对称的图形上的对称点的连线段被对称轴垂直平分，且点A和点D对称，点B和点E对称，点C和点F对称， 所以只有D选项符合题意． 故选：D． 【变式训练1】（2025秋•广州校级月考）已知∠ABC、线段PQ、线段MN，小明利用尺规画出它们的对称轴，如图所示（②中O为PQ外任一点），则不一定正确的是（　　） A．① B．② C．③ D．①和② 【分析】根据五个基本作图（作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，过一点作已知直线的垂线，作角的角平分线，作线段的垂直平分线），据此分析即可作出判断． 【解答】解：根据尺规作图基本要求逐项分析判断如下： ①如图是作∠ABC的角平分线，则该射线所在的直线为∠ABC的对称轴，故该作图不符合题意； ②如图是过一点作线段PQ所在直线的垂线，则该垂线不一定平分线段PQ，即该垂线不一定是线段PQ的垂直平分线，则该垂线不一定是线段PQ的对称轴，故该作图符合题意； ③如图是作线段MN的垂直平分线，则该垂线所在的直线为MN的对称轴，故该作图不符合题意； 故选：B． 【变式训练2】（2025秋•凉州区校级期中）已知△ABC与△A′B′C′分别在直线l的两侧且关于直线l对称，点A与点A′、点B与点B′，点C与点C′都是关于直线l的对称点，下列线段被直线l垂直平分的是（　　） A．AB′ B．BB′ C．BC′ D．AC′ 【分析】根据轴对称的性质即可得线段AA′、BB′、CC′都被直线l垂直平分，进而可得答案． 【解答】解：∵点A与点A′、点B与点B′，点C与点C′都是关于直线l的对称点， ∴线段AA′、BB′、CC′都被直线l垂直平分． 故选：B． 【变式训练3】（2024秋•湛江期末）如图，作△ABC中边AB的垂直平分线DE，AB＝8cm，△ACD的周长为12cm，则△ABC的周长是（　　）cm A．20 B．16 C．15 D．21 【分析】根据垂直平分线的性质可得AD＝BD，AE＝BE，再根据已知条件即可求出△ABC的周长． 【解答】解：∵DE垂直平分线段AB，AB＝8cm， ∴AE＝BEAB＝4cm，AD＝BD， ∵△ADC的周长为12cm， ∴AD+CD+AC＝BC+AC＝12cm， ∴AB+BC+AC＝8+12＝20（cm）， 即△ABC的周长是20cm． 故选：A． 题型九：镜面对称 镜子里的像 = 现实物体关于镜面成轴对称，镜面就是对称轴． （1）找对称轴（镜面那条线）； （2）作对称点：每个点向对称轴作垂线，延长相等长度，找到像点； （3）连点成像：把像点依次连起来，就是镜子里的图形． 数字/汉字镜像，左右翻转：左变右，右变左，上下不变； 时钟镜像，镜像时间 + 实际时间 = 12时． （1）把镜面对称当成旋转，镜面对称是左右翻转，不是旋转180°，旋转和对称完全不一样； （2）只记左右反，忘记上下不反，镜像只左右颠倒，上下不变； （3）画对称图形少作点，必须每个关键点都作对称点，只画大概形状会被扣分； （4）汉字、字母也是左右反着写，不能按正常写法写． 【典例精讲】（2025秋•呈贡区期末）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻应是（　　） A．01：12 B．10：12 C．10：21 D．10：51 【分析】在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻12：01与10：51成轴对称， 所以此时实际时刻为10：51， 故选：D． 【变式训练1】（2025秋•城关区校级期中）一个车牌号在平面镜中的图象是，则实际车牌号为（　　） A．JM﹣G9329 B．JM﹣G6356 C．JM﹣C6326 D．JM﹣G6326 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【解答】解：由图分析可得题中所给的图象与JM﹣G6326成轴对称． 故选：D． 【变式训练2】（2025秋•江津区期中）小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近3：00的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右顺序颠倒，且关于镜面对称．把镜中的表针的时刻再还原到实际即可选择． 【解答】解：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右顺序颠倒，且关于镜面对称． 接近3：00的有A、C，A是2：50，C是3：05，最接近的是C． 故选：C． 题型十：剪纸问题 （1）先看折了几次，一次对折，1条对称轴；两次对折，2条对称轴； （2）找对称轴：折痕就是对称轴； （3）看剪在哪里：看剪掉的位置靠近折痕还是边缘； （4）还原展开：把剪掉的部分沿所有对称轴依次对称复制，就是答案． 判断技巧： （1）对折一次：展开后左右（或上下）一模一样； （2）对折两次：展开后四个部分完全一样； （3）靠近折痕剪：展开后中间空/缺口在中间； （4）靠近边缘剪：展开后缺口在外围． （1）只看形状，不看位置，缺口靠近折痕还是边缘，直接决定答案； （2）对折次数数错，折一次和折两次，答案完全不同； （3）把“折叠”当成“旋转”，剪纸是轴对称，不是旋转，不能转着看； （4）只对称一半，多次对折要依次对称所有折痕，少一次就错． 【典例精讲】（2024秋•安远县期末）剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（　　） A． B． C． D． 【分析】对于此类问题，只要依据翻折变换，将图（4）中的纸片按顺序打开铺平，即可得到一个图案． 【解答】解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个直角梯形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个六边形，可得： ． 故选：B． 【变式训练1】（2025秋•潜江月考）按下列步骤折纸，再将③裁剪成④的形状，最后将④中的纸片打开铺平，则所得图案大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现． 【解答】解：严格按照图中的顺序向右对折，向上对折，从正方形的上面那个边剪去一个长方形，左下角剪去一个正方形，展开后实际是从大的正方形的中心处剪去一个较小的正方形，从相对的两条边上各剪去两个小正方形得到结论． 可得图形：， 故选：B． 【变式训练2】（2025秋•闵行区期末）“一把剪刀蕴神技，一方红纸酿年味”，剪纸是中国传统的民间艺术，是中国的非物质文化遗产，随着社会的发展形成了一定特征的数学文化．如图，小明在剪纸活动中，将一张长方形纸片对折三次后，沿着虚线剪去一个角，再打开后的形状是（　　） A． B． C． D． 【分析】动手操作判断即可． 【解答】解：将一张长方形纸片对折三次后，沿着虚线剪去一个角，再打开后的形状是：． 故选：B． 题型十一：翻折变换 （1）找折痕（就是对称轴）； （2）标对应点、对应边、对应角，把折叠前后相等的边、角全部标出来． （1）找不到对应边、对应角，做题第一步必须标全，否则必错； （2）以为折叠后边长不变，却用错线段，只看被折叠的部分，不是整条边都相等； （3） 把折痕当角平分线乱套，折痕是对称轴，不是随便平分； （4）漏看“垂直平分”，对应点连线一定垂直于折痕． 【典例精讲】（2025春•原阳县期末）如图①，已知四边形纸片ABCD．按图②、图③的折纸方法依次折叠后再展开，得到两条折痕，如图④第二条折痕与边CD交于点E，连结AE、BE．若∠ABC＝80°，BE平分∠ABC，则∠AEB的度数是（　　） A．40° B．50° C．80° D．100° 【分析】根据折叠的性质可得，DF⊥BC，DF⊥AE，可得AE∥BC，所以∠AEB＝∠CBE，根据角平分线的定义即可求出答案． 【解答】解：如图④， 根据折叠的性质可得，DF⊥BC，DF⊥AE， ∴AE∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵∠ABC＝80°，BE平分∠ABC， ∴∠BCE∠ABC＝40°， ∴∠AEB＝40°． 故选：A． 【变式训练1】（2024秋•乐平市期末）在△ABC中，将∠B，∠C按如图所示方式折叠，点B，C均落在边BC上点H处，线段DE，FG为折痕．若∠A＝60°，则∠DHF的度数为（　　） A．90° B．80° C．75° D．60° 【分析】由折叠的性质可知：∠B＝∠DHB，∠C＝∠FHC，根据三角形的内角和为180°，可求出∠B+∠C的度数，进而得到∠DHB+∠FHC的度数，问题得解． 【解答】解：∵线段DE、FG为折痕， ∴∠B＝∠DHB，∠C＝∠FHC， ∵∠A＝60°， ∴∠B+∠C＝180°﹣60°＝120°， ∴∠DHB+∠FHC＝∠B+∠C＝120°， ∴∠DHF＝180°﹣120°＝60°， 故选：D． 【变式训练2】（2024秋•张家界期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（　　） A．18° B．19° C．20° D．21° 【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB＝100°，再根据折叠的性质得，∠ACN＝∠A＝30°，∠FCE＝∠B＝50°，进而得∠NCF＝20°． 【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝50°， ∴∠ACB＝100°， ∵将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合， ∴∠ACN＝∠A＝30°，∠FCE＝∠B＝50°， ∴∠NCF＝100°﹣30°﹣50°＝20°， 故选：C． 【变式训练3】（2025春•荥阳市期末）在学习“生活中的轴对称”之后，小颖对图形的变换进行操作实践．P为长方形纸片ABCD的边AB上一点，点E，M分别为AD，CD上的动点，如图，先把纸片ABCD沿PE对折，A与F重合：再把纸片沿PM对折，B与H重合．当点E，M运动时，若∠FPH＝32°，则∠APE+∠BPM＝　　 ． 【分析】分两种情况，PF在PH左边或右边，在左边时，根据折叠的性质得到∠APE＝∠FPE，∠BPM＝∠HPM，由平角的定义求出∠APE+∠FPE+∠BPM+∠HPM＝148°，则∠APE+∠BPM＝74°，同理PF在PH右边，则∠APE+∠BPM＝106°， 【解答】解：PF在PH左边时，由折叠的性质可得∠APE＝∠FPE，∠BPM＝∠HPM， ∵∠APE+∠FPE+∠BPM+∠HPM+∠FPH＝180°， ∴∠APE+∠FPE+∠BPM+∠HPM＝148°， ∴∠APE+∠BPM＝74°， 同理，PF在PH右边， 则∠APE+∠BPM＝106°， 故答案为：74°或106°． 1．（2025秋•新兴县期末）第十五届全运会于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同举办．体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神．下列关于体育运动的图标中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【解答】解：A、B、D中的图形不是轴对称图形，C中的图形是轴对称图形，故C符合题意． 故选：C． 2．（2025秋•淄川区期末）下列图形中，对称轴条数最多的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、有4条对称轴； B、有3条对称轴； C、有4条对称轴； D、有6条对称轴； 所以，上列图形中，对称轴条数最多的是D， 故选：D． 3．（2025秋•营山县期末）已知，△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点O，则下列结论中不一定成立的是（　　） A．AC＝A′C′ B．AB∥B′C′ C．BB′⊥MN D．BO＝B′O 【分析】由轴对称的性质可以得到对应线段、对应点的连线与对称轴的位置关系，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，不能得出非对应线段的关系． 【解答】解：根据题意分析，由轴对称的性质可以得到：对应线段相等，即A选项成立；对应点的连线与对称轴的位置关系是垂直，即C选项成立；对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，即D选项成立；AB与B'C'为非对应线段，无法得到AB与B'C'的关系， 故选：B． 4．（2025秋•雷州市期末）如图，水平地面AB上放置一平面镜，从激光笔所处的P点发出的光线照射到平面镜的O处，反射光线为OQ（两束光线关于过点O且垂直于AB的直线对称），且点Q恰好落在与地面垂直的墙面AC上．若∠AQO＝46°，则∠BOP的度数为（　　） A．34° B．40° C．46° D．44° 【分析】由题意得∠A＝90°，∠AOQ＝∠BOP，然后通过三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：∵∠A＝90°，∠AQO＝46°，∠A+∠AQO+∠AOQ＝180°， ∴∠AOQ＝44°， ∴∠BOP＝44°， 故选：D． 5．（2025•高碑店市三模）剪纸是我国传统民间艺术之一．嘉嘉将一张圆形纸片按如图的流程进行操作，即先沿虚线对折两次，再沿虚线剪开，则展开后的剪纸形状是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称的性质，观察选项中右下角的图是否符合图3最右边的图即可得出答案． 【解答】解：根据轴对称的性质，观察选项中右下角的图是否符合图3最右边的图判断如下： A、右下角的图符合图3最右边的图，符合题意； B、右下角的图不符合图3最右边的图，不符合题意； C、下角的图不符合图3最右边的图，不符合题意； D、下角的图不符合图3最右边的图，不符合题意． 故选：A． 6．（2025秋•潮州期末）如图，在△ABC，已知点D在BC上，且AD＝DC，则点D在（　　） A．AC的垂直平分线上 B．∠BAC的平分线上 C．BC的中线上 D．AB的垂直平分线上 【分析】根据线段垂直平分线的性质判断即可． 【解答】解：∵AD＝DC， ∴根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可知，点D在AC的垂直平分线上， 故选：A． 7．（2025秋•兴县期末）如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E．△ABD的周长为18，AE＝3，则△ABC的周长为（　　） A．21 B．22 C．23 D．24 【分析】根据题意得：DE是AC的垂直平分线，得到AE＝EC，AD＝DC，根据已知条件，得到△ABC的周长为：AB+BC+AC＝24，由此得到答案． 【解答】解：根据题意得：DE是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，AD＝DC， ∵AE＝3， ∴AC＝6， 又∵△ABD的周长为18，AD＝DC， ∴AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝18， ∴△ABC的周长为：AB+BC+AC＝24， 故选：D． 8．（2025秋•丹阳市期末）如图，在△ABC中，BC＝24，AB边的垂直平分线和AC边的垂直平分线与BC边分别相交于点E、F，连接AE、AF，则△AEF的周长为（　　） A．12 B．18 C．24 D．不能确定 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，FA＝FC，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵AB边的垂直平分线和AC边的垂直平分线与BC边分别相交于点E，F， ∴EA＝EB，FA＝FC（线段垂直平分线的性质）， ∵BC＝24， ∴AE+EF+AF＝BE+EF+FC＝BC＝24，即△AEF的周长为24， 故选：C． 9．（2025秋•荔湾区期末）小荔用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OF⊥OE，下列推断错误的是（　　） A．OB⊥OD B．OE＝OF C．∠BOC＝∠AOB D．∠BOC+∠AOD＝180° 【分析】A．由对称的性质得∠AOB＝∠DOC，由等腰三角形的性质得，，即可判断； B．由对称的性质得△OAB≌△ODC，由全等三角形的性质即可判断； C．∠BOC不一定等于∠AOB，即可判断； D．过O作GM⊥OH，可得∠GOD＝∠BOH，由对称性质得∠BOH＝∠COH同理可证∠AOM＝∠AOH，即可判断． 【解答】解：A．∵OE⊥OF， ∴∠BOE+∠BOF＝90°， 由对称得∠AOB＝∠DOC， ∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，△OAB与△ODC都是等腰三角形， ∴，， ∴∠BOF+∠DOF＝90°， ∴OB⊥OD，结论正确，故不符合题意； B由对称得△OAB≌△ODC， ∴OE＝OF，结论正确，故不符合题意； C．∠BOC不一定等于∠AOB，结论错误，故符合题意； D． 过O作GM⊥OH， ∴∠GOD+∠DOH＝90°， ∵∠BOH+∠DOH＝90°， ∴∠GOD＝∠BOH，由对称得∠BOH＝∠COH， ∴∠GOD＝∠COH， 同理可证∠AOM＝∠BOH， ∴∠AOD+∠BOC＝∠AOD+∠AOM+∠DOG＝180°，结论正确，故不符合题意； 故选：C． 10．（2024秋•富县期末）如图，△ABC和△AB′C′关于直线l对称，直线l与CC′相交于点O，若AB＝5，B′C′＝2，CO＝1，则五边形ABCC′B′的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 【分析】直接利用轴对称的性质得出AB＝AB′，BC＝B′C′，OC＝OC′，再用周长公式计算即可得出答案． 【解答】解：根据轴对称的性质可知AB＝AB′，BC＝B′C′，OC＝OC′， ∵AB＝5，B′C′＝2，CO＝1， ∴AB′＝5，BC＝2，OC′＝1， ∴五边形ABCC′B′的周长为：5+2+1+1+2+5＝16， 故选：B． 11．（2024秋•阳谷县期末）如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】解答此题首先找到△ABC的对称轴，EH、GC、AD，BF等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可． 【解答】解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个， 故选：C． 12．（2024春•济南期末）有一个英语单词，其四个字母都关于直线l对称，如图是该单词各字母的一部分，请写出补全后的单词所指的物品 　书　 ． 【分析】结合题意可知，题中的四个字母均是轴对称图形，所以直线l是四个字母的对称轴；将残缺的字母关于直线对称，即可得到完整字母，通过字母组成的单词即可知道所指物品了． 【解答】解：补全字母，如图所示： 故这个单词所指的物品是书． 故答案为：书． 13．（2025秋•博兴县期末）下列图形：线段、角、正方形、圆，其中轴对称图形个数的为　线段、角、正方形、圆　 ． 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：线段、角、正方形、圆，其中是轴对称图形的有：线段、角、正方形、圆． 故答案为：线段、角、正方形、圆． 14．（2025秋•久治县期末）如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，若∠A＝65°，∠B＝80°，则∠F＝　35°　 ． 【分析】直接利用轴对称的性质得出∠C＝∠F，再利用三角形内角和定理得出答案． 【解答】解：∵∠A＝65°，∠B＝80°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣65°﹣80°＝35°， ∵△ABC与△DEF关于直线l对称， ∴∠C＝∠F＝35°， 故答案为：35°． 15．（2025秋•浦东新区期末）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是　3265　 ． 【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的号码与3265成轴对称，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒， ∴该号码表示的实际号码应该是3265， 故答案为：3265． 16．（2025秋•厦门期末）如图，我们将每个“尖角”为36°，且十条边都相等的五角星称为“正五角星”，图1中的虚线将周角十等分．通过图2的折纸步骤制作一个五角星，折叠后沿着∠α剪开，若要使得剪下来的纸片展开后是正五角星，则∠α的大小为　90°　 ．（参考定理：三角形内角和等于180°） 【分析】解：根据折叠的性质及平角的定义分析如下： 【解答】解：根据折叠的性质及平角的定义分析如下： ∴∠ABC＝∠ABD， ∵∠ABC+∠ABD＝180°， ∴∠ABC＝90°，即α＝90°． 故答案为：90°． 17．（2025秋•永兴县期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交BC，AC于D，E．若AE＝5，△ABC的周长为28，则△ABD的周长等于　18　 ． 【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可． 【解答】解：∵AC的垂直平分线分别交BC，AC于D，E，AE＝5，△ABC的周长为28， ∴AC＝2AE＝10，DA＝DC， ∵△ABC的周长为AB+AC+BC， ∴AB+AC+BC＝28， ∴AB+BC＝28﹣AC＝18， ∵△ABD的周长为AB+AD+BD， ∴AB+AD+BD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝18， ∴△ABD的周长为18， 故答案为：18． 18．（2025秋•邻水县期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE分别与边AB，AC交于D，E两点，边BC的垂直平分线FG分别与边BC，AC交于F，G两点，连接BE，BG．若△BEG的周长为32，AC＝22，则GE的长为　5　 ． 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，GB＝GC，然后根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵边AB的垂直平分线DE分别与边AB，AC交于D，E两点，边BC的垂直平分线FG分别与边BC， ∴EA＝EB，GB＝GC， ∵△BEG的周长为32， ∴GB+EB+GE＝32， ∴EA+GC+GE＝32，即AG+GE+GC+GE＝AC+2GE＝32， ∵AC＝22， ∴GE＝（32﹣22）÷2＝5． 故答案为：5． 19．（2025秋•广汉市校级期末）如图是蜡烛在平面镜中成像的光路图，人眼所看到的是蜡烛A在平面镜里的虚像B，点A与点B的连线与平面镜垂直，到平面镜的距离也相等，故人眼感觉看到了真实的蜡烛．若∠DCA＝40°，则∠B的大小为　20°　 ． 【分析】由题意可得AC＝BC，推出∠CAB＝∠B，再根据三角形的外角性质即可求解． 【解答】解：∵点A与点B的连线与平面镜垂直，到平面镜的距离也相等， ∴AC＝BC， ∴∠CAB＝∠B（等边对等角）， ∵∠DCA＝40°，∠DCA＝∠CAB+∠B ∴∠B∠DCA40°＝20°， 故答案为：20°． 20．（2025秋•紫阳县校级期末）如图，在长方形纸片ABCD中，∠ABC＝90°，将∠ABD和∠CBD对折，使边AB，CB均落在BD上，得到折痕BE，BF，则∠EBF的度数为　45°　 ． 【分析】根据折叠的性质，可得∠ABE＝∠DBE，∠FBD＝∠FBC，再根据∠ABD+∠DBC＝90°，可得． 【解答】解：∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD+∠DBC＝90°， ∵将∠ABD和∠CBD对折，使边AB，CB均落在BD上，得到折痕BE，BF， ∴∠ABE＝∠DBE，∠FBD＝∠FBC， ∵∠ABE+∠DBE＝∠ABD，∠FBD+∠FBC＝∠CBD， ∴∠ABD+∠DBC＝2（∠EBD+∠FBD）＝90°， ∴∠EBF＝∠EBD+∠FBD∠ABC90°＝45°， 则∠EBF的度数为45°． 故答案为：45°． 21．（2025秋•浦东新区期末）如图是3×3的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．在该网格中存在　5　 个格点三角形与三角形ABC成轴对称． 【分析】根据轴对称的性质，结合网格结构，分横向、纵向、上斜及下斜四种情况确定出不同的对称轴的位置，然后作出与三角形ABC成轴对称的格点三角形，从而得解． 【解答】解：根据轴对称的性质，结合网格结构，分横向、纵向、上斜及下斜四种情况确定出不同的对称轴的位置，然后作出与三角形ABC成轴对称的格点三角形，如图，存在5个格点三角形与三角形ABC成轴对称． 故答案为：5． 22．（2025秋•延边州期末）如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为 　16　 ． 【分析】由作图可得AD＝AC＝7，MN垂直平分BD，则根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，然后利用等量代换即可得到△ADE的周长． 【解答】解：由作图可得AD＝AC＝7，MN垂直平分BD， ∴EB＝ED， ∴△ADE的周长为AE+DE+AD＝AE+BE+AD＝AB+AD＝16， 故答案为：16． 23．（2025秋•焦作期末）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若AC＝AD，∠A＝40°，则∠ACB的度数为　105°　 ． 【分析】由作图可知MN垂直平分CB，即BD＝CD，根据等边对等角及三角形内角和定理求出∠ACD＝∠ADC＝70°，同理可得∠DCB＝∠DBC＝35°，即可求出∠ACB的度数． 【解答】解：由作图可知MN垂直平分CB， ∴BD＝CD（线段垂直平分线的性质）， ∵AC＝AD，∠A＝40°， ∴（等边对等角）， ∴∠BDC＝110°， 同理可得∠DCB＝∠DBC＝35°， ∴∠ACB＝70°+35°＝105°． 故答案为：105°． 24．（2025秋•青川县期中）如图，已知△ABC和△A′B′C′关于直线m对称． （1）结合图形指出对称点； （2）若连接AA'，直线m与线段AA'有什么关系？ （3）若延长AC与A'C'，它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律． 【分析】（1）根据所给对称关系，写出对称点即可； （2）根据轴对称的性质即可解决问题； （3）根据题意进行画图，发现规律即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， 点A的对称点是A′，点B的对称点是B′，点C的对称点是C′； （2）连接AA′， 则直线m垂直平分线段AA'； （3）若延长AC与A'C'， 它们的交点在直线m上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上， 规律：对应线段（或其延长线）的交点在对称轴上． 25．（2025春•济南期末）在图①中描涂2个小方块，在图②中描涂3个小方块，在图③中描涂4个小方块，在图④中描涂5个小方块，分别使图中的阴影图案成为轴对称图形． 【分析】根据轴对称的性质作图即可． 【解答】解：如图所示： ． 26．（2024•林州市校级开学）下面每个图形都是由4个同样大的正方形组成的，请在每个图形上添加一个同样大的正方形，使其成为轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的定义作图即可． 【解答】解：如图所示： 27．（2025春•拱墅区校级月考）如图，台球运动中母球P击中桌边上的点A，经桌边反弹后击中相邻桌边上的点B，再次反弹后击中球C．（提示：∠1＝∠2，∠3＝∠4） （1）若∠1＝32°，求∠PAB的度数； （2）已知∠2+∠3＝90°，母球P经过的路线BC与PA一定平行吗？请说明理由． 【分析】（1）根据平角的定义进行计算即可； （2）根据平角的定义，平行线的判定方法进行解答即可． 【解答】解：（1）∵∠1＝∠2＝32°，∠1+∠PAB+∠2＝180°， ∴∠PAB＝180°﹣32°×2＝116°； （2）PA∥BC，理由： ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2+∠3＝90°，而∠1+∠2+∠PAB＝180°＝∠3+∠4+∠ABC， ∴∠1+∠2+∠PAB+∠3+∠4+∠ABC＝180°×2＝360°， ∴∠PAB+∠ABC＝360°﹣90°×2＝180°， ∴PA∥BC． 28．（2025秋•南昌期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，求△BDC的周长． 【分析】由线段垂直平分线的性质推出BD＝AD，得到△BDC的周长＝BC+AC＝13． 【解答】解：∵DE垂直平分线段AB， ∴BD＝AD， ∴△BDC的周长＝BC+DB+CD＝BC+AD+CD＝BC+AC＝8+5＝13． 29．（2025秋•蛟河市期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，作出四边形ABCD的对称轴l； （2）如图2，BE⊥AD，过点D作AB的垂线DF． 【分析】（1）作直线AC，即为所求的直线l． （2）连接AC交BE于点M，作直线DM，交AB于点F，则直线DF即为所求． 【解答】解：（1）如图1，作直线AC， 则直线AC即为所求的直线l． （2）如图2，连接AC交BE于点M，作直线DM，交AB于点F， 则直线DF即为所求． 30．（2025秋•武威期中）如图是某城区的三所小学A、B、C的分布示意图，现准备修建一个儿童游乐中心P．若要使三所学校到儿童游乐中心的距离相等，则儿童游乐中心应修在何处？ 【分析】根据线段垂直平分线的性质即可解答． 【解答】解：如图所示，分别作线段AB，BC的垂直平分线交于点P，则点P即为所求． 31．（2025秋•正定县期末）如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD⊥BC，D为CE的中点． （1）求证：BE＝AC； （2）若∠B＝40°，求∠BAC的度数． 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得BE＝AE，由题意可判定AD是EC的垂直平分线，则AE＝AC，即可证明结论； （2）根据BE＝AE，得出∠B＝∠EAB＝40°，求出∠AEC＝∠B+∠BAE＝80°，再根据AC＝AE，得出∠ACE＝∠AEC＝80°，根据三角形内角和定理求出∠EAC，即可求解． 【解答】（1）证明：连接AE， ∵EF是AB的垂直平分线， ∴BE＝AE（线段垂直平分线的性质）， ∵AD⊥BC，D为CE的中点， ∴AD是EC的垂直平分线， ∴AE＝AC， ∴BE＝AC（等量代换）； （2）解：∵BE＝AE，∠B＝40°， ∴∠B＝∠EAB＝40°（等边对等角）， ∵∠AEC是△ABE外角， ∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝40°+40°＝80°， ∵AC＝AE， ∴∠ACE＝∠AEC＝80°（等边对等角）， ∴∠EAC＝180°﹣80°﹣80°＝20°， ∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝60°． 32．（2025秋•五华县期末）阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． （1）如图1，若∠AOB＝56°，则∠BOC＝　28　 °； （2）折叠长方形纸片，BC，BD均为折痕，折叠后，点A落在点A'，点E落在点E'． ①如图2，当点E'在BA'上时，求∠CBD的度数； ②如图3，若∠A'BE'＝42°，求∠CBD的度数； ③如图4，若∠A'CB＝30°，∠A'BE'＝n°，则∠DBE'的度数为　（n+30）　 °（用含n的式子表示）． 【分析】（1）由折叠得出∠AOC＝∠BOC，即可得出结论； （2）①由折叠得出∠ABC＝∠A′BC∠ABA′，∠EBD＝∠E′BD∠EBE′，再由点E′在BA′上，进而求解即可； ②首先求出∠ABA′+∠EBE′＝138°，然后由折叠得到∠ABC＝∠A′BC∠ABA′，∠EBD＝∠E′BD∠EBE′，然后求出∠A′BC+进而求解即可； ③首先由折叠得，∠ACB＝∠A′CB＝30°，求出∠ABC＝90°﹣∠ACB＝60°，∠ABA′＝2∠ABC＝120°，然后根据∠ABA′+EBE′＝180°+∠A′BE′，得到EBE′＝n°+60°，最后由折叠的性质求解即可． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝56°， 由折叠知，∠AOC＝∠BOC∠AOB＝28°； 故答案为：28； （2）①由折叠知，∠ABC＝∠A′BC∠ABA′，∠EBD＝∠E′BD∠EBE′， ∴当点E′在BA′上时， ∠CBD＝∠CBE′+∠DBE′（∠ABA′+∠EBE′）＝90°； ②由条件可知∠ABA′+∠EBE′＝180°﹣∠A′BE′＝138°， 由折叠知，∠ABC＝∠A′BC∠ABA′，∠EBD＝∠E′BD∠EBE′， ∴∠A′BC+∠E′BD（∠ABA′+∠EBE′）＝59°， ∴∠CBD＝∠CBA′+DBE′+∠A′BE′＝59°+42°＝111°； ③∵∠A′CB＝30°， ∴由折叠得，∠ACB＝∠A′CB＝30°， ∴∠ABC＝90°﹣∠ACB＝60°， ∴由折叠得，∠ABA′＝2∠ABC＝120°， ∴EBE′＝180°+∠A′BE′﹣∠ABA′＝180°+n°﹣120°＝n°+60°， ∴由折叠得，∠DBE′∠EBE'＝（n+30）°， 故答案为：（n+30）． 33．（2025秋•普陀区期末）美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸ABCD（AB＜AD）沿折痕BD折叠，点C落在了点C′处，BC′交AD于点N． （1）如果∠CBD＝20°，那么∠ABC′＝　50　 °； （2）点E为线段AN上一点，将三角形ABE沿BE折叠，点A恰好落在BD上的点A1处，如果∠CBD＝α，请用α的代数式表示∠CBE； （3）将三角形ABN沿BN折叠，点A落在点A2处，当∠DBA2＝9°时，求出∠CBD的度数． 【分析】（1）根据所给折叠方式，先求出∠C′BD的度数，进一步求出∠ABC′的度数即可； （2）根据题意，画出示意图，再结合所给折叠方式进行计算即可； （3）对点A2在BD左上方和右下方的情况，分别画出示意图，再据此进行计算即可． 【解答】解：（1）由折叠可知， ∠C′BD＝∠CBD＝20°． 因为四边形ABCD是长方形， 所以∠ABC＝90°， 所以∠ABC′＝90°﹣20°﹣20°＝50°． 故答案为：50； （2）如图所示， 因为∠CBD＝α， 所以∠ABE， 所以∠CBE＝90°﹣∠ABE＝90°； （3）当点A2在BD的左上方时，如图所示， 设∠C′BD＝∠CBD＝x， 则∠ABN＝∠A2BN＝90°﹣2x， x＝90°﹣2x+9°， x＝33°， 所以∠CBD＝33°． 当点A2在BD的右下方时，如图所示， 设∠C′BD＝∠CBD＝x°， 则∠ABN＝∠A2BN＝90°﹣2x， x＝90°﹣2x﹣9°， x＝27°， 所以∠CBD＝27°， 综上所述，∠CBD的度数为33°或27°． 34．（2025秋•红谷滩区校级期中）如图，将长方形纸片ABCD沿MN和PQ折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角∠AMN＝∠DPQ，点A，D的对应点分别为点G，H，折叠后点B，C的对应点恰好都在点E． （1）若折痕角∠AMN＝110°，求帽子顶角∠NEQ的度数． （2）设∠GMD＝x度，∠NEQ＝y度． ①请用含x的代数式表示y，则y＝　180°﹣2x ． ②当∠MNE＝2∠GMD时，帽子比较美观，求此时y的值． 【分析】（1）由AD∥BC可求得∠MNB＝70°，再由折叠的性质得∠MNB＝∠MNE＝70°，在△NEQ中，即可求得答案； （2）①由题意可知AD∥BC，MG∥NE，因此∠DMN+∠MNE+∠ENQ＝180°，∠GMD+∠DMN+∠MNE＝180°，进而可得∠GMD＝∠ENQ，在△NEQ中，即可用含x的代数式表示y； ②由①知，∠GMD＝∠ENQ，根据∠MNB+∠MNE+∠ENQ＝180°，可求得∠GMD＝36°，代入y＝180°﹣2x即可求出y的值． 【解答】解：（1）由题意可知AD∥BC， ∴∠AMN+∠MNB＝180°， 又∵∠AMN＝110°， ∴∠MNB＝70°， 由折叠的性质得：∠MNB＝∠MNE＝70°， ∴∠ENQ＝180°﹣70°﹣70°＝40°， 由折痕角∠AMN＝∠DPQ可知：EN＝EQ， 在△NEQ中，∠NEQ＝180°﹣40°﹣40°＝100°； （2）①由题意可知AD∥BC，MG∥NE， ∴∠DMN+∠MNE+∠ENQ＝180°，∠GMD+∠DMN+∠MNE＝180°， ∴∠GMD＝∠ENQ， 设∠GMD＝x度，∠NEQ＝y度，则∠ENQ＝x度， 在△NEQ中，2x+y＝180°， ∴y＝180°﹣2x， 故答案为：y＝180°﹣2x； ②由①知，∠GMD＝∠ENQ， ∵∠MNE＝2∠GMD，∠MNE＝∠MNB， 由∠MNB+∠MNE+∠ENQ＝180°， ∴2∠GMD+2∠GMD+∠GMD＝180°， ∴∠GMD＝36°， 即x＝36°， 由①知，y＝180°﹣2x ∴y＝180°﹣2×36°＝108°． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $