精品解析：湖北新洲一中2025-2026学年高二下学期收心作业数学试题

新洲一中2027届高二（下）收心作业数学试卷 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于4的数”，事件“抽到大于3的数”，事件“抽到大于2的偶数”，则（ ） A. A和B不互斥 B. A和B互斥且对立 C. A和C不互斥 D. A和C互斥且对立 2. 以下说法中，正确的个数为（ ） ①“”是“，共线”的充分不必要条件； ②若，则存在唯一的实数λ，使得； ③若，，则； ④若为空间一个基底，则构成空间的另一个基底； ⑤． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥．如图，在鳖臑中，平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数x，y满足，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 8. 过抛物线E：的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，．若，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题：（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会不一样大 B. 射击运动员击中靶概率是0.9，说明他中靶的可能性很大 C. 某彩票中奖概率是2%，买100张一定有2张中奖 D. 某中学生对他所在的住宅小区的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占65%，于是他得出该市拥有空调的家庭的百分比为65%的结论 10. 在递增的等比数列中，是数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为的等差数列 11. 已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是（ ） A. 离心率的取值范围为 B. 当时，的最小值为 C. 不存在点，使得 D. 的最小值为1 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则乙队以获胜的概率是______． 13. 阿波罗尼斯（约公元前262-公元前190年）证明过这样的一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为4，动点P满足，当P，A，B不共线时，面积的最大值是______． 14. 如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，P是侧面内一点（包括边界），若平面AEF，则线段长度的取值范围是______． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知圆C：，P是直线l：上的一动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B． （1）当点P的横坐标为6时，求切线的方程； （2）当点P在直线l上运动时且点P的横坐标，求四边形PACB面积的取值范围． 16. 如图，在四棱锥中，，，，点E在AD上，且，． （1）若F为线段PE中点，求证：平面PCD. （2）若平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的正切值． 17. 甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． （1）设事件“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； （2）若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． 18. 在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于两点． （1）若，求抛物线的方程； （2）已知抛物线上存在关于直线对称相异两点和． ①求的取值范围； ②求的取值范围． 19 已知数列满足，，且，． （1）求，； （2）求证：数列是等比数列；并求数列的通项公式； （3）已知对于恒成立，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新洲一中2027届高二（下）收心作业数学试卷 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于4的数”，事件“抽到大于3的数”，事件“抽到大于2的偶数”，则（ ） A. A和B不互斥 B. A和B互斥且对立 C. A和C不互斥 D. A和C互斥且对立 【答案】B 【解析】 【详解】从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，样本空间为， 事件“抽到小于4的数”， ， 事件“抽到大于3的数”， ， 事件“抽到大于2的偶数”， ， ，和互斥，故选项A错误； ，和互斥且对立，故选项B正确； ，和C互斥，故选项C错误； ，和C不对立，故选项D错误. 2. 以下说法中，正确的个数为（ ） ①“”是“，共线”的充分不必要条件； ②若，则存在唯一的实数λ，使得； ③若，，则； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底； ⑤． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】对于①，若，则，反向共线，充分性成立， 但当非零向量，同向共线时，不存在，必要性不成立， 则“”是“，共线”的充分不必要条件，故①正确； 对于②，当为零向量，不为零向量时，不存在，故②错误； 对于③，由，，则，， 不能得到，故③错误； 对于④，用反证法，若不构成空间的一个基底，即共面， 设，则，方程组无解，矛盾， 即不共面，构成空间的另一个基底，故④正确； 对⑤，，故⑤错误． 3. 已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助两角和的正切公式可得该直线斜率，再利用直线方程的点斜式求解即可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 由直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线， 故直线的倾斜角为， 故直线的斜率为， 又在直线上，故直线过点， 即直线的方程为，化简得. 4. 方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆焦点所在轴联立不等式，即可求解. 【详解】由题意得，解得. 5. 设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意有，解得的取值范围. 【详解】由数列是单调递增数列可得，对于都有成立， 即，即对都成立， 所以． 6. 鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥．如图，在鳖臑中，平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量法求点到直线距离计算即可. 【详解】以为原点，以，，过点且平行于的直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，. 因为，分别是棱，的中点，所以，. 因为点是线段的中点，所以. 所以，， 所以点到直线的距离为 . 故选：D. 7. 已知实数x，y满足，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分段探讨方程表示的曲线特征并作出图形，确定目标函数的几何意义，借助平行线间距离公式数形结合求出范围. 【详解】当时，，方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆的一部分， 当时，，方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线的一部分，其渐近线为， 当时，，方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线的一部分，其渐近线为， 当时，，方程表示的曲线不存在， 作出方程表示的曲线，如图： 曲线上任意点到直线的距离， 则表示曲线上任意点到直线距离的2倍， 显然曲线的渐近线平行于直线，直线的距离， 令平行于直线且与曲线在第一象限部分相切的直线为， 由，消去得，则， 解得，即直线，直线的距离， 观察图形，得，即，解得， 所以的取值范围是. 8. 过抛物线E：的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，．若，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设出直线方程，由焦半径公式得到，从而根据求出，从而通过焦半径公式转化得到，由几何关系得到距离和最小值， 【详解】设直线的方程为，与联立可得， 设，则， 因为，则， 则， 因为，所以直线的直线方程为， 故可得， 因为，所以， 即，解得， 故抛物线方程为，故焦点为，准线方程为， 设P到准线的垂线段为，为垂足， 则，故， 表示点到准线的距离与到点的距离之和， 故当三点共线时，距离和最小， 此时点坐标，故， 即，最小值为4. 二、多项选择题：（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会不一样大 B. 射击运动员击中靶的概率是0.9，说明他中靶的可能性很大 C. 某彩票中奖的概率是2%，买100张一定有2张中奖 D. 某中学生对他所在的住宅小区的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占65%，于是他得出该市拥有空调的家庭的百分比为65%的结论 【答案】AB 【解析】 【详解】对A，掷一枚硬币正面朝上的概率是0.5，抛一枚图钉钉尖着地的概率不是0.5，钉尖朝上的概率比较大，所以A对； 对B，射击运动员击中靶的概率是0.9，所以中靶的可能性很大，所以B对； 对C，概率只是一种可能性的预测，并不是绝对的，买100张也有可能全部没有中奖，所以C错； 对D，只对一个小区抽样并不能代表整个城市，所以D错. 10. 在递增的等比数列中，是数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为的等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据题干条件判断并计算得到和的值，可得到等比数列的通项公式和前n项和公式，对选项进行逐个判断即可得到正确选项. 【详解】选项A，，①， ，②， ①②联立方程组，得到或， 是递增的等比数列， ，故选项A正确； 选项B，将代入②，解得， ，， ，， 数列是等比数列，故选项B正确； 选项C，，，故选项C错误； 选项D，，，，， ，，故选项D正确. 11. 已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是（ ） A. 离心率的取值范围为 B. 当时，的最小值为 C. 不存在点，使得 D. 的最小值为1 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据点在椭圆内部求的范围，进而可得离心率的范围判断A，根据椭圆定义，结合三角形三边的关系判断B，设，利用向量数量积的坐标表示确定轨迹方程，根据判断C，利用椭圆的定义结合基本不等式判断D. 【详解】由椭圆方程可得， 选项A：因为点在椭圆内部，所以，解得， 又因为，所以，A说法正确； 选项B：当时，由解得，所以， 因为点在椭圆上，所以， 因为，即， 所以， 当且仅当共线且在之间时等号成立， 所以当时，的最小值为，B说法正确； 选项C：设，若存在点，使得， 则，即， 因为，， 所以，圆与椭圆没有交点， 所以假设矛盾，即不存在点，使得，C说法正确； 选项D，因为点在椭圆上，所以， 所以 ， 当且仅当时等号成立，D说法错误. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则乙队以获胜的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】乙队以获胜的概率，则甲队可能在第一场到第四场中任意胜一场，再根据各场比赛结果相互独立计算出乙队获胜的概率，再相加可求出乙队以获胜的概率. 【详解】由题可知乙在甲主场取胜概率为，乙在甲客场取胜概率为， 前五场主客安排为：（甲）主主客客主 则甲胜第一场（主）：， 则甲胜第二场（主）：， 则甲胜第三场（客）：， 则甲胜第四场（客）：， 乙队以获胜的概率. 故答案为： 13. 阿波罗尼斯（约公元前262-公元前190年）证明过这样的一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为4，动点P满足，当P，A，B不共线时，面积的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意不妨设，由题意结合两点间距离公式即可求出点的轨迹是圆，当到的距离最大时，的面积最大，由此求解即可. 【详解】由题意得A，B间的距离为4，不妨设， 因为P，A，B不共线，故设， 因为，则，即， 整理得， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆除去与轴的交点， 当点到（轴）的距离最大为时，的面积最大， 此时. 14. 如图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，P是侧面内一点（包括边界），若平面AEF，则线段长度的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明平面平面，结合平面确定的位置，并根据各边长度得到的最小值和最大值，得到答案. 【详解】分别取的中点，连接， 因为E，F分别是棱BC，的中点，故，， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面，又，平面， 所以平面平面， 故当点在线段上时，平面，所以平面， 其中，由勾股定理可得， ， 故当为的中点时，最短，此时，， 当与或重合时，最大，最大值为， 所以线段长度的取值范围是. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知圆C：，P是直线l：上一动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B． （1）当点P的横坐标为6时，求切线的方程； （2）当点P在直线l上运动时且点P的横坐标，求四边形PACB面积的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出点P坐标后，借助切线定义，分斜率不存在与斜率存在进行讨论即可得； （2）由切线性质计算可得，再利用点到直线的距离公式可求出的取值范围，即可得解. 【小问1详解】 圆的圆心C为，半径为2， 因为P是直线上的一动点，则当点P的横坐标为6时，P点坐标为， 当切线的斜率不存在时，切线方程为，符合题意； 当切线的斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得， 此时切线方程为，即， 综上，所求的切线方程为或； 【小问2详解】 ， 则要使四边形PACB面积的最小值，只需的值最小， 因为点P在直线上， 所以的最小值为圆心C到直线l的距离， 所以， 此时，解得， 即此时点P符合要求； 由，则当或时，取得最大值， 若，则， 若，则， 故，即， 所以四边形PACB面积的最小值为，  最大值为， 即四边形PACB面积的取值范围为. 16. 如图，在四棱锥中，，，，点E在AD上，且，． （1）若F为线段PE中点，求证：平面PCD. （2）若平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的判定性质及线面平行的判定推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面PAB与平面PCD的法向量，再利用面面角的向量求求解. 【小问1详解】 取PD的中点为S，连接，则， 而，则，即四边形SFBC为平行四边形， 因此，而平面PCD，平面PCD， 所以平面 【小问2详解】 由，得，则，四边形AECB为平行四边形， 则，由平面PAD，得平面PAD，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面PAB的法向量为，则，取，得， 设平面PCD的法向量为，则，取，得， 设平面PAB与平面PCD的夹角为，则， ，， 所以平面PAB与平面PCD夹角的正切值为. 17. 甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． （1）设事件“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； （2）若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得样本总共有36个，符合的有12个，再利用古典概率即可求解； （2）记事件为第局甲胜，，记事件为甲恰好胜一局，有如下两种情况：①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜，再结合概率的乘法公式即可求解. 【小问1详解】 因为骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型， 样本空间：共个样本点， 事件A含有： 共12个样本点，故； 【小问2详解】 记事件为第i局甲胜，，由题意知，记事件B为甲恰好胜一局，有如下两种情况： ①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜， 因为每局比赛结果相互独立，所以事件与与也独立， 则， ， 因为，且事件与互斥， 所以， 所以甲恰好胜一局的概率为 18. 在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于两点． （1）若，求抛物线的方程； （2）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和． ①求的取值范围； ②求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用直线与抛物线相交，通过联立方程，借助弦长公式求出抛物线方程； （2）①依题意可知直线垂直平分线段，设方程为，与抛物线方程联立，利用中点在直线上以及判别式大于零求出的取值范围即可；②解法一，利用向量数量积的坐标表示结合韦达定理求解即可；解法二，设以为直径的圆为，结合韦达定理证明点在圆上即可. 【小问1详解】 设，， 联立方程消去得， 则， 所以， 解得或（舍去）， 所以抛物线的方程为 【小问2详解】 ①依题意可知直线垂直平分线段， 所以直线的斜率为，设其方程为， 代入中消去可得到：（*）， 设，，则， 因为的中点在直线上，所以， 又因为在直线上，所以， 因为方程（*）有两个相异实根，所以，解得， 故所求的取值范围是 ②设，，，， 方法一：，， 则 ， 因为，， 所以，， 则， 又因为，即， 所以 . 方法二：以为直径的圆为， 即， 由（1），因为，所以， 所以代入方程， 可化为， 即， 记以为直径的圆的圆心为， 因为线段的中点，所以， 又 ， 所以， 所以以为直径的圆过点， 所以，的值为0. 【点睛】直线与抛物线位置关系，在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑： （1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； （3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用基本不等式求出参数的取值范围； （5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围. 19. 已知数列满足，，且，． （1）求，； （2）求证：数列是等比数列；并求数列的通项公式； （3）已知对于恒成立，且，求证：． 【答案】（1）， （2）证明见解析， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过直接代入递推关系和已知项数值，依次计算出数列的后续项； （2）通过构造新数列并验证其满足等比定义，利用累加法推导出原数列的通项公式； （3）借助已知不等式放缩，将通项表达式转化为易于比较的形式，再通过裂项相消或放缩法证明不等式成立. 【小问1详解】 由得： ， ； 【小问2详解】 证明：因为， 所以， 所以， 又， 所以， 所以数列是以8为首项，4为公比的等比数列； ， 则有；；…，， 由累加法得：， 所以， 又也满足， 所以； 【小问3详解】 证明：因为对于恒成立， 所以对于恒成立， 所以对于，恒成立， 当时，，即：对于恒成立， ， 所以对于恒成立， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $