第三单元 因数和倍数（综合题型）奥数思维训练-2025-2026学年苏教版数学五年级下册

第三单元 因数和倍数（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1. 核心概念回顾（综合运用前提） 因数和倍数：在非0自然数范围内，若a×b=c（a、b、c均为非0自然数），则a和b是c的因数，c是a和b的倍数（因数和倍数相互依存，不能单独存在）。 核心关联概念：① 质数：只有1和它本身两个因数的非0自然数（如2、3、5）；② 合数：除了1和它本身，还有其他因数的非0自然数（如4、6、8）；③ 1：既不是质数，也不是合数；④ 公因数与最大公因数：几个数共有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数；⑤ 公倍数与最小公倍数：几个数共有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数。 2. 综合运用的核心意义 因数和倍数的综合运用是本单元的重点难点，核心是灵活运用因数、倍数、质数、合数、最大公因数、最小公倍数的概念及性质，解决实际问题（如分组、分物、 scheduling 等），培养“数感”和“逻辑推理能力”，同时为后续学习分数的约分、通分奠定核心基础，是连接整数与分数的重要桥梁。 3. 综合运用常见场景 ① 因数的运用：求一个数的所有因数、判断一个数是质数还是合数、分解质因数； ② 倍数的运用：求一个数的倍数、判断一个数是不是另一个数的倍数、解决倍数相关的实际问题； ③ 最大公因数的运用：平均分物（无剩余）、分组（每组人数相同）、裁剪正方形（无剩余）等； ④ 最小公倍数的运用：安排同时发生的事件、周期性问题、分物（正好分完且每组数量相同）等； ⑤ 综合辨析：同时运用因数、倍数、质数、合数的概念，判断数的特征、解决复杂实际问题。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 1. 因数的特征：一个数的因数个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身； 2. 倍数的特征：一个数的倍数个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数； 3. 质数与合数的判断：大于1的自然数，除了1和它本身，没有其他因数是质数，有其他因数是合数； 4. 最大公因数与最小公倍数的求法：列举法、短除法（苏教版重点掌握）、分解质因数法。 （二）核心运用方法（苏教版重点） 1. 方法一：因数与质数、合数的综合运用 ① 求一个数的所有因数：用列举法（从1开始，成对列举，直到重复），或分解质因数法（将数分解为质数相乘的形式，再组合因数）； ② 判断质数与合数：先看是否大于1，再看是否有除了1和它本身以外的因数（可通过试除2、3、5等质数判断）； ③ 分解质因数：把一个合数用质数相乘的形式表示出来（如12=2×2×3），常用短除法，分解后的因数必须是质数。 2. 方法二：最大公因数的综合运用（重点） ① 适用场景：把一个数（或多个数）平均分，要求没有剩余、每份数量相同，或裁剪图形（如长方形裁正方形），要求无剩余且正方形边长最大； ② 核心思路：所求的“每份数量”“正方形边长”等，就是已知数的最大公因数； ③ 关键步骤：先求出已知数的最大公因数，再根据题意计算份数、长度等。 3. 方法三：最小公倍数的综合运用（重点） ① 适用场景：两个或多个物体（或事件）周期性出现，求再次同时出现的时间；或分物时，要求每份数量相同、正好分完，求最少的总数量； ② 核心思路：所求的“同时出现的时间”“最少总数量”等，就是已知数的最小公倍数； ③ 关键步骤：先求出已知数的最小公倍数，再结合题意解答，注意区分“最小”“至少”等关键词。 4. 方法四：因数与倍数的综合辨析 ① 核心思路：结合因数、倍数、质数、合数的概念，逐一分析数的特征，排除不符合条件的选项； ② 常见题型：判断一个数的因数/倍数特征、根据特征找数、辨析质数与合数的易错点。 （三）常见隐含条件与易错点提醒 1. 范围限制：因数和倍数的研究范围是“非0自然数”，0和负数没有因数、倍数关系； 2. 概念混淆：① 因数和倍数相互依存，不能单独说“某数是因数”“某数是倍数”；② 1既不是质数，也不是合数，最小的质数是2（唯一的偶质数），最小的合数是4； 3. 求法易错：① 求最大公因数时，注意区分“共有的因数”和“最大的一个”；② 求最小公倍数时，注意区分“共有的倍数”和“最小的一个”，避免与最大公因数混淆； 4. 场景判断：分不清何时用最大公因数、何时用最小公倍数（关键看“平均分无剩余”用最大公因数，“周期性、最少总量”用最小公倍数）； 5. 分解质因数：分解后的因数必须是质数，不能包含合数（如12=4×3是错误的，正确为12=2×2×3）。 三、因数和倍数综合运用解题步骤（苏教版重点） 1. 审题辨场景：明确题目是运用因数、倍数、质数、合数，还是最大公因数、最小公倍数，判断具体应用场景（如平均分→最大公因数，周期性→最小公倍数）。 2. 找已知条件：提取题目中的关键数据，明确所求问题（如求“每份多少个”“最少多少时间”“这个数是多少”）。 3. 选对应方法：根据场景选择合适的方法（如分解质因数、短除法求最大公因数/最小公倍数、列举法判断质数）。 4. 计算求解：按照对应方法逐步计算，确保步骤规范（如短除法的格式、分解质因数的正确性），得出结果。 5. 检验验证：将结果代入原题，检验是否符合题意（如平均分是否无剩余、周期性是否正确），确认结果无误后，规范作答。 四、常见因数和倍数综合运用题型及解题示例 1. 场景一：因数与质数、合数的综合运用（基础题） 例：分解质因数18，并判断18是质数还是合数；写出18的所有因数，说明其中哪些是质数、哪些是合数。 解：① 分解质因数（短除法）：18÷2=9，9÷3=3，所以18=2×3×3； ② 判断质数/合数：18除了1和它本身，还有2、3、6、9等因数，所以18是合数； ③ 18的所有因数：1、2、3、6、9、18； ④ 质数：2、3（只有1和本身两个因数）；合数：6、9、18（除了1和本身还有其他因数）；1既不是质数也不是合数。 答：18分解质因数是18=2×3×3，18是合数；18的因数有1、2、3、6、9、18，其中质数是2、3，合数是6、9、18。 2. 场景二：最大公因数的实际运用（基础题） 例：有一块长方形布料，长48厘米，宽36厘米，要把它裁成若干个大小相同的正方形，且没有剩余，正方形的边长最大是多少厘米？一共能裁多少个这样的正方形？ 解：① 场景判断：裁正方形无剩余、边长最大，用最大公因数解决； ② 求48和36的最大公因数（短除法）：48和36的公因数有1、2、3、4、6、12，最大公因数是12； ③ 计算个数：长方形长能裁48÷12=4（个），宽能裁36÷12=3（个），一共能裁4×3=12（个）。 答：正方形的边长最大是12厘米，一共能裁12个这样的正方形。 3. 场景三：最小公倍数的实际运用（基础题） 例：小明每3天去一次图书馆，小红每4天去一次图书馆，两人3月1日同时去了图书馆，下次同时去图书馆是几月几日？ 解：① 场景判断：两人周期性去图书馆，求下次同时去的时间，用最小公倍数解决； ② 求3和4的最小公倍数：3和4是互质数（公因数只有1），最小公倍数是3×4=12； ③ 计算日期：3月1日加上12天，是3月13日。 答：下次同时去图书馆是3月13日。 4. 场景四：因数和倍数的综合辨析（进阶题） 例：一个三位数，既是2的倍数，又是3的倍数，还是5的倍数，这个三位数最小是多少？最大是多少？ 解：① 分析特征：既是2的倍数，又是5的倍数，个位必须是0；是3的倍数，各位数字之和是3的倍数； ② 求最小三位数：个位是0，百位最小是1，十位最小是2（1+2+0=3，是3的倍数），所以最小是120； ③ 求最大三位数：个位是0，百位最大是9，十位最大是9（9+9+0=18，是3的倍数），所以最大是990。 答：这个三位数最小是120，最大是990。 5. 场景五：最大公因数与最小公倍数的综合运用（进阶题） 例：把一批糖果分给小朋友，若每人分6颗，正好分完；若每人分8颗，也正好分完。这批糖果至少有多少颗？如果糖果数量在100-150之间，这批糖果有多少颗？ 解：① 场景判断：每人分6颗、8颗都正好分完，求最少颗数（最小公倍数），求100-150之间的颗数（最小公倍数的倍数）； ② 求6和8的最小公倍数（短除法）：6=2×3，8=2×2×2，最小公倍数是2×2×2×3=24； ③ 求100-150之间的倍数：24×5=120，24×6=144，均在100-150之间； ④ 结论：至少有24颗，100-150之间有120颗或144颗。 答：这批糖果至少有24颗；如果在100-150之间，糖果有120颗或144颗。 培优练习 一、选择题 1．a÷b＝13（a、b都是非零自然数），那么b是a的（    ）。 A．倍数 B．因数 C．质数 D．合数 【答案】B 【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的。质数：大于1的自然数，除了1和它本身，没有其他因数。合数：大于1的自然数，除了1和它本身，还有其他因数。据此解答。 【详解】因为a÷b＝13（a、b都是非零自然数），所以b是a的因数。 故答案为：B 2．一个车牌号是吉A•XX△〇□（△、□、〇分别代表一位数）根据如图的信息，确定这个车牌号是吉A•XX（    ）。 A．3、2、1 B．1、3、1 C．9、2、1 D．9、4、1 【答案】C 【分析】9的最大因数是9，偶数中唯一的质数是2，1既不是质数也不是合数，所以△、〇、□分别是9，2，1。 【详解】由分析可知：△、□、〇分别代表一位数，△、〇、□分别是9，2，1。 确定这个车牌号是吉A•XX921。 故答案为：C 3．用0、7、5组成的既是2的倍数，又是5的倍数的最大的三位数是（    ）。 A．705 B．750 C．570 D．507 【答案】B 【分析】2的倍数的特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 5的倍数的特征：个位是0或5的数是5的倍数。 【详解】既是2的倍数，又是5的倍数，个位一定是0； 750＞570，则既是2的倍数，又是5的倍数的最大的三位数是750。 故答案为：B 4．根据“6×7＝42”，下列说法正确的是（    ）。 A．42是倍数 B．42是6和7的因数 C．7是42和6的倍数 D．6是42的因数 【答案】D 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。因数与倍数是相互依存的，必须说，谁是谁的因数，谁是谁的倍数。 【详解】A．根据“6×7＝42”可知，42是6和7的倍数，原说法错误； B．根据“6×7＝42”可知，42是6和7的倍数，原说法错误； C．根据“6×7＝42”可知，7是42的因数，原说法错误； D．根据“6×7＝42”可知，6是42的因数，原说法正确。 故答案为：D 5．淘气和妈妈在小区运动，淘气骑滑板车一圈需要4分钟，妈妈快走一圈需要10分钟，两人同时从起点同向出发，他们（    ）分钟后可以在起点第一次相遇。 A．4 B．10 C．20 D．40 【答案】C 【分析】两人在起点相遇的条件是所用时间同时是淘气骑一圈和妈妈快走一圈所用时间的倍数，要知道“几分钟后可以在起点第一次相遇”，需要求这两个时间的最小的相同倍数。 【详解】淘气骑一圈要4分钟，所以他回到起点的时间是：4分钟、8分钟、12分钟、16分钟、20分钟、24分钟……； 妈妈快走一圈要10分钟，所以她回到起点的时间是：10分钟、20分钟、30分钟、40分钟……； 对比两个时间，第一个共同出现的时间是20分钟，这说明20分钟时，淘气刚好骑完5圈（4×5＝20分钟），妈妈刚好走完2圈（10×2＝20分钟），两人同时回到起点。 即他们在20分钟后可以在起点第一次相遇。 故答案为：C 6．用2、4、6、8、0这五张数字卡片任意组成一个五位数，这个五位数一定是（    ）。 A．5的倍数 B．3的倍数 C．2的倍数 D．无法确定 【答案】C 【分析】5的倍数特征：一个数的个位是0或5的数，这个数就是5的倍数； 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数； 2的倍数特征： 一个数的个位是0、2、4、6、8的数，这个数就是2的倍数。 【详解】A．如组成20648，个位是8，所以组成的五位数不一定是5的倍数； B．2＋4＋6＋8＋0＝20，20不是3的倍数，所以组成的五位数不一定是3的倍数； C．这五个数字都是偶数，所以组成的五位数一定是2的倍数。 D．由前面分析可知这个五位数一定是2的倍数。 故答案为：C 二、填空题 7．8和10的最大公因数是( )。 【答案】2 【分析】8和10共有的质因数相乘的积就是这两个数的最大公因数。 【详解】8＝2×2×2，10＝2×5； 即8和10的最大公因数是2。 8．187至少减去( )就是2的倍数，至少减去( )就是5的倍数，至少加上( )就是3的倍数，至少加上( )就是2和5的共同倍数。 【答案】 1 2 2 3 【分析】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数。 5的倍数特征：个位是0或5的数是5的倍数。 3的倍数特征：各位数字之和是3的倍数的数是3的倍数。 2和5的共同倍数特征：个位是0的数是2和5的共同倍数。 【详解】187的个位是7，要变成2的倍数，需要减去1，使个位变为6，即187－1＝186，186是2的倍数。 187的个位是7，要变成5的倍数，需要减去2，使个位变为5，即187－2＝185，185是5的倍数。 187各位数字之和为1＋8＋7＝16，比16大且最接近的3的倍数是18，所以需要加上18－16＝2，即187＋2＝189，189是3的倍数。 187的个位是7，要变成个位为0的数，需要加上3，即187＋3＝190，190是2和5的共同倍数。 所以187至少减去1就是2的倍数，至少减去2就是5的倍数，至少加上2就是3的倍数，至少加上3就是2和5的共同倍数。 9．一个两位数是5的倍数，且个位和十位的数字之和是9，这个两位数最大是( )，最小是( )。 【答案】 90 45 【分析】个位与十位上的数字之和是9并且这个两位数是5的倍数，则个位为“0”或“5”，由此即可填空。 【详解】当个位为0时，十位为9－0＝9； 当个位为5时，十位为9－5＝4； 即一个两位数是5的倍数，且个位和十位的数字之和是9，这个两位数最大是90，最小是45。 10．学校购置了36条跳绳和24个足球，要平均分给一些班级，且都没有剩余。若这些班级个数在10到15之间。那么，这些班级有( )个，每班分得( )根跳绳，每班分得( )个足球。 【答案】 12 3 2 【分析】利用短除法求出跳绳的条数36和足球的个数24的公因数，在10到15之间的公因数即为班级的个数，平均每个班级分跳绳的根数等于跳绳的总根数除以分的班级个数；平均每个班级分足球的个数等于足球的总个数除以分的班级个数。 短除法运算方法是先用一个除数除以能被它除尽的一个质数，以此类推，除到商是质数为止。 把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止。然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。 【详解】 36和24的最大公因数是2×2×3＝12，这些班级有12个； 36÷12＝3（根） 24÷12＝2（个）。 这些班级有12个，每班分得3根跳绳，每班分得2个足球。 11．有一批鲜花订单，它需要把24枝百合花和32枝月季花，扎成若干束完全相同的花束，且两种花都没有剩余。最多可以扎成( )束，每束里有( )枝月季花。 【答案】 8 4 【分析】将花扎成若干束完全相同的花束，且两种花都没有剩余，则最多扎成的数量即为百合花的枝数和月季花枝数的最大公因数，用月季花的总枝数32枝除以最多扎成束数即可求出每束里有几枝月季花。 【详解】24＝2×2×2×3 32＝2×2×2×2×2 则24与32的最大公因数为2×2×2＝8； 32÷8＝4（枝） 即最多可以扎成8束，每束里有4枝月季花。 12．五（1）班的学生超过40人，接近50人，数学老师在课堂上让学生分组合作交流时，发现按照3人一组或者4人一组都刚好分完。这个班有学生( )人。 【答案】48 【分析】“按3人一组或4人一组都刚好分完”，说明总人数是3和4的公倍数。互质的两个数，它们的最小公倍数就是这两个数的乘积，即3×4＝12。因此，班级人数必然是12的倍数。根据“超过40人，接近50人”的条件，我们从12的倍数（12、24、36、48、60…）中筛选，只有48符合这个范围，所以班级人数是48人。 【详解】3×4＝12 12×1＝12 12×2＝24 12×3＝36 12×4＝48 40＜48＜50 所以这个班有学生48人。 三、解答题 13．五年级和四年级要完成植树任务。五年级来了40人，四年级来了56人。如果把两个年级的学生分别分成若干小组，要使两个年级每个小组的人数相同，那么每个小组最多有多少人？分别可以分成几个小组？ 【答案】8人；五年级可以分成5个小组，四年级可以分成7个小组 【分析】由题意可知，每个小组的人数既是五年级人数的因数，又是四年级人数的因数，求每小组的最多人数就是求40和56的最大公因数，据此求出40和56的最大公因数，即是每组的人数，最后用分别用四五年级的总人数除以每组的人数即可求出四五年级分得的组数。 【详解】因为40和56的最大公因数是8，所以每个小组最多有8人。 （组） （组） 答：每个小组最多有8人，五年级可以分成5个小组，四年级可以分成7个小组。 14．适量补钙可以预防骨质疏松，有益骨骼健康。某制药厂新研制了一款补钙软胶囊并首批投入生产。用纸箱包装时，如果10盒装一箱、12盒装一箱或是15盒装一箱，都正好包装完。这个制药厂首批生产的补钙软胶囊至少有多少盒？ 【答案】60盒 【分析】根据题意，因为10盒、12盒或15盒装一箱都能正好包装完，说明总盒数是10、12和15的公倍数。求至少有多少盒，就是求10、12、15的最小公倍数，先列举出10、12、15的倍数，其中第一个相同的数就是它们的最小公倍数；据此解答。 【详解】10的倍数：10，20，30，40，50，60，70⋯⋯ 12的倍数：12，24，36，48，60，72⋯⋯ 15的倍数：15，30，45，60，75⋯⋯ 所以10、12、15的最小公倍数是60； 答：这个制药厂首批生产的补钙软胶囊至少有60盒。 15．淘气和笑笑沿同一方向绕体育场的环形跑道进行跑步训练。淘气跑一圈用4分，笑笑跑一圈用6分，他们同时从起点出发，多少分后可以在起点第一次相遇？ 【答案】12分 【分析】根据题意，淘气和笑笑从起点同时出发，沿同一方向跑步，所以在起点相遇时，淘气必须跑完整数圈，笑笑也必须跑完整数圈。淘气跑一圈用4分，所以淘气回到起点的时间是4的倍数；笑笑跑一圈用6分，所以笑笑回到起点的时间是6的倍数。第一次相遇说明两人回到起点的时间是4和6的最小公倍数。据此解答。 【详解】4的倍数有4、8、12、16⋯⋯ 6的倍数有6、12、18⋯⋯ 4和6的最小公倍数是12。 答：12分后淘气和笑笑在起点第一次相遇。 16．王老师给手机设置了一个锁屏密码“27□□”，他记得自己设置的这个四位数密码既是5的倍数，又是3的倍数。他最多需要输入几次密码才能解锁手机？为什么？ 【答案】他最多需要输入7次密码才能解锁手机；因为密码可能是2700，2730，2760，2790，2715，2745，2775。 【分析】因为密码是5的倍数，所以这个数的最后一位是0或5，即可能是27☐0或27☐5；如果是27☐0，那么要使这个数是3的倍数，那么四个数字相加的和是3的倍数，所以十位上的数可能是0，3，6，9，即组成的密码是2700，2730，2760，2790，有4个； 如果是27☐5，那么要使这个数是3的倍数，那么四个数字相加的和是3的倍数，所以十位上的数可能是1，4，7，即组成的密码是2715，2745，2775，有3个。 【详解】由分析可知：（次） 答：他最多需要输入7次密码才能解锁手机；因为密码可能是2700，2730，2760，2790，2715，2745，2775。 17．有一筐苹果不超过50个，4个4个数或6个6个地数，都正好数完，这筐苹果最多有多少个？ 【答案】48个 【分析】分析题目，苹果的个数既是4的倍数又是6的倍数，且不大于50，据此找出50以内既是4的倍数又是6的倍数的最大数即可。 【详解】50以内4的倍数：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48； 50以内6的倍数：6，12，18，24，30，36，42，48； 50以内既是4的倍数又是6的倍数的最大数是：48。 答：这筐苹果最多有48个。 18．已知A、B、C、D为四个从小到大的连续自然数，且两位数为质数，两位数为合数，两位数为质数，那么其中的合数是多少？ 【答案】78 【分析】由题意可知，A、B、C、D为四个从小到大的连续自然数，且均为一位数。根据条件，和为质数，而10以上的质数个位只能是1，3，7，9，所以B和D只能是7和9。即A、B、C、D依次为6、7、8、9。这样和为67和89是质数，为78是合数，符合题意。据此解答。 【详解】因为10以上的质数个位只能是1，3，7，9 所以A、B、C、D依次为6、7、8、9 ＝78 答：其中的合数是78。 【点睛】本题考查质数与合数的应用。解题关键在于10以上的质数个位只能是1，3，7，9，从而求出A、B、C、D分别为多少。 19．从1980年东风系列导弹首次全程试射成功，到2025年“DF－5C”洲际战略核导弹亮相阅兵仪式，其中包含了我国无数科学家的智慧和汗水。这两个年份数都是3的倍数吗？你是怎么判断的？ 【答案】这两个年份数都是3的倍数，理由见详解 【分析】3的倍数：所有数位上的数字之和能被3整除的数；据此把两个年份各个数位上的数字相加，如果和能被3整除，则是3的倍数，如果不能被3整除，则不是3的倍数。 【详解】1＋9＋8＋0＝18 因为18÷3＝6，所以1980是3的倍数； 2＋0＋2＋5＝9 因为9÷3＝3，所以2025是3的倍数。 答：这两个年份数都是3的倍数，因为它们的所有数位之和都能被3整除。 20．一年一度的秋季运动会要开始啦，五年级同学准备一个入场式表演。为了使队形显得整齐，只能排成方形。编排老师要求，所参加的人数无论排成3行、4行或5行，都还需有一名同学在队伍正前方举牌。请问：至少选多少人参加入场式表演？ 【答案】122人 【分析】由题意可知：要排成方形队形，即人数为完全平方数；总人数减1是3、4、5的公倍数。先求3、4、5的最小公倍数，进而求出它们的公倍数，再结合题意求出符合条件的人数，最后再加1即可求解。 【详解】3×4×5＝60（人） 60×2＋1 ＝120＋1 ＝121（人） 因为，是完全平方数。 121＋1＝122（人） 答：至少选122人参加入场式表演。 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 因数和倍数（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1. 核心概念回顾（综合运用前提） 因数和倍数：在非0自然数范围内，若a×b=c（a、b、c均为非0自然数），则a和b是c的因数，c是a和b的倍数（因数和倍数相互依存，不能单独存在）。 核心关联概念：① 质数：只有1和它本身两个因数的非0自然数（如2、3、5）；② 合数：除了1和它本身，还有其他因数的非0自然数（如4、6、8）；③ 1：既不是质数，也不是合数；④ 公因数与最大公因数：几个数共有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数；⑤ 公倍数与最小公倍数：几个数共有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数。 2. 综合运用的核心意义 因数和倍数的综合运用是本单元的重点难点，核心是灵活运用因数、倍数、质数、合数、最大公因数、最小公倍数的概念及性质，解决实际问题（如分组、分物、 scheduling 等），培养“数感”和“逻辑推理能力”，同时为后续学习分数的约分、通分奠定核心基础，是连接整数与分数的重要桥梁。 3. 综合运用常见场景 ① 因数的运用：求一个数的所有因数、判断一个数是质数还是合数、分解质因数； ② 倍数的运用：求一个数的倍数、判断一个数是不是另一个数的倍数、解决倍数相关的实际问题； ③ 最大公因数的运用：平均分物（无剩余）、分组（每组人数相同）、裁剪正方形（无剩余）等； ④ 最小公倍数的运用：安排同时发生的事件、周期性问题、分物（正好分完且每组数量相同）等； ⑤ 综合辨析：同时运用因数、倍数、质数、合数的概念，判断数的特征、解决复杂实际问题。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 1. 因数的特征：一个数的因数个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身； 2. 倍数的特征：一个数的倍数个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数； 3. 质数与合数的判断：大于1的自然数，除了1和它本身，没有其他因数是质数，有其他因数是合数； 4. 最大公因数与最小公倍数的求法：列举法、短除法（苏教版重点掌握）、分解质因数法。 （二）核心运用方法（苏教版重点） 1. 方法一：因数与质数、合数的综合运用 ① 求一个数的所有因数：用列举法（从1开始，成对列举，直到重复），或分解质因数法（将数分解为质数相乘的形式，再组合因数）； ② 判断质数与合数：先看是否大于1，再看是否有除了1和它本身以外的因数（可通过试除2、3、5等质数判断）； ③ 分解质因数：把一个合数用质数相乘的形式表示出来（如12=2×2×3），常用短除法，分解后的因数必须是质数。 2. 方法二：最大公因数的综合运用（重点） ① 适用场景：把一个数（或多个数）平均分，要求没有剩余、每份数量相同，或裁剪图形（如长方形裁正方形），要求无剩余且正方形边长最大； ② 核心思路：所求的“每份数量”“正方形边长”等，就是已知数的最大公因数； ③ 关键步骤：先求出已知数的最大公因数，再根据题意计算份数、长度等。 3. 方法三：最小公倍数的综合运用（重点） ① 适用场景：两个或多个物体（或事件）周期性出现，求再次同时出现的时间；或分物时，要求每份数量相同、正好分完，求最少的总数量； ② 核心思路：所求的“同时出现的时间”“最少总数量”等，就是已知数的最小公倍数； ③ 关键步骤：先求出已知数的最小公倍数，再结合题意解答，注意区分“最小”“至少”等关键词。 4. 方法四：因数与倍数的综合辨析 ① 核心思路：结合因数、倍数、质数、合数的概念，逐一分析数的特征，排除不符合条件的选项； ② 常见题型：判断一个数的因数/倍数特征、根据特征找数、辨析质数与合数的易错点。 （三）常见隐含条件与易错点提醒 1. 范围限制：因数和倍数的研究范围是“非0自然数”，0和负数没有因数、倍数关系； 2. 概念混淆：① 因数和倍数相互依存，不能单独说“某数是因数”“某数是倍数”；② 1既不是质数，也不是合数，最小的质数是2（唯一的偶质数），最小的合数是4； 3. 求法易错：① 求最大公因数时，注意区分“共有的因数”和“最大的一个”；② 求最小公倍数时，注意区分“共有的倍数”和“最小的一个”，避免与最大公因数混淆； 4. 场景判断：分不清何时用最大公因数、何时用最小公倍数（关键看“平均分无剩余”用最大公因数，“周期性、最少总量”用最小公倍数）； 5. 分解质因数：分解后的因数必须是质数，不能包含合数（如12=4×3是错误的，正确为12=2×2×3）。 三、因数和倍数综合运用解题步骤（苏教版重点） 1. 审题辨场景：明确题目是运用因数、倍数、质数、合数，还是最大公因数、最小公倍数，判断具体应用场景（如平均分→最大公因数，周期性→最小公倍数）。 2. 找已知条件：提取题目中的关键数据，明确所求问题（如求“每份多少个”“最少多少时间”“这个数是多少”）。 3. 选对应方法：根据场景选择合适的方法（如分解质因数、短除法求最大公因数/最小公倍数、列举法判断质数）。 4. 计算求解：按照对应方法逐步计算，确保步骤规范（如短除法的格式、分解质因数的正确性），得出结果。 5. 检验验证：将结果代入原题，检验是否符合题意（如平均分是否无剩余、周期性是否正确），确认结果无误后，规范作答。 四、常见因数和倍数综合运用题型及解题示例 1. 场景一：因数与质数、合数的综合运用（基础题） 例：分解质因数18，并判断18是质数还是合数；写出18的所有因数，说明其中哪些是质数、哪些是合数。 解：① 分解质因数（短除法）：18÷2=9，9÷3=3，所以18=2×3×3； ② 判断质数/合数：18除了1和它本身，还有2、3、6、9等因数，所以18是合数； ③ 18的所有因数：1、2、3、6、9、18； ④ 质数：2、3（只有1和本身两个因数）；合数：6、9、18（除了1和本身还有其他因数）；1既不是质数也不是合数。 答：18分解质因数是18=2×3×3，18是合数；18的因数有1、2、3、6、9、18，其中质数是2、3，合数是6、9、18。 2. 场景二：最大公因数的实际运用（基础题） 例：有一块长方形布料，长48厘米，宽36厘米，要把它裁成若干个大小相同的正方形，且没有剩余，正方形的边长最大是多少厘米？一共能裁多少个这样的正方形？ 解：① 场景判断：裁正方形无剩余、边长最大，用最大公因数解决； ② 求48和36的最大公因数（短除法）：48和36的公因数有1、2、3、4、6、12，最大公因数是12； ③ 计算个数：长方形长能裁48÷12=4（个），宽能裁36÷12=3（个），一共能裁4×3=12（个）。 答：正方形的边长最大是12厘米，一共能裁12个这样的正方形。 3. 场景三：最小公倍数的实际运用（基础题） 例：小明每3天去一次图书馆，小红每4天去一次图书馆，两人3月1日同时去了图书馆，下次同时去图书馆是几月几日？ 解：① 场景判断：两人周期性去图书馆，求下次同时去的时间，用最小公倍数解决； ② 求3和4的最小公倍数：3和4是互质数（公因数只有1），最小公倍数是3×4=12； ③ 计算日期：3月1日加上12天，是3月13日。 答：下次同时去图书馆是3月13日。 4. 场景四：因数和倍数的综合辨析（进阶题） 例：一个三位数，既是2的倍数，又是3的倍数，还是5的倍数，这个三位数最小是多少？最大是多少？ 解：① 分析特征：既是2的倍数，又是5的倍数，个位必须是0；是3的倍数，各位数字之和是3的倍数； ② 求最小三位数：个位是0，百位最小是1，十位最小是2（1+2+0=3，是3的倍数），所以最小是120； ③ 求最大三位数：个位是0，百位最大是9，十位最大是9（9+9+0=18，是3的倍数），所以最大是990。 答：这个三位数最小是120，最大是990。 5. 场景五：最大公因数与最小公倍数的综合运用（进阶题） 例：把一批糖果分给小朋友，若每人分6颗，正好分完；若每人分8颗，也正好分完。这批糖果至少有多少颗？如果糖果数量在100-150之间，这批糖果有多少颗？ 解：① 场景判断：每人分6颗、8颗都正好分完，求最少颗数（最小公倍数），求100-150之间的颗数（最小公倍数的倍数）； ② 求6和8的最小公倍数（短除法）：6=2×3，8=2×2×2，最小公倍数是2×2×2×3=24； ③ 求100-150之间的倍数：24×5=120，24×6=144，均在100-150之间； ④ 结论：至少有24颗，100-150之间有120颗或144颗。 答：这批糖果至少有24颗；如果在100-150之间，糖果有120颗或144颗。 培优练习 一、选择题 1．a÷b＝13（a、b都是非零自然数），那么b是a的（    ）。 A．倍数 B．因数 C．质数 D．合数 2．一个车牌号是吉A•XX△〇□（△、□、〇分别代表一位数）根据如图的信息，确定这个车牌号是吉A•XX（    ）。 A．3、2、1 B．1、3、1 C．9、2、1 D．9、4、1 3．用0、7、5组成的既是2的倍数，又是5的倍数的最大的三位数是（    ）。 A．705 B．750 C．570 D．507 4．根据“6×7＝42”，下列说法正确的是（    ）。 A．42是倍数 B．42是6和7的因数 C．7是42和6的倍数 D．6是42的因数 5．淘气和妈妈在小区运动，淘气骑滑板车一圈需要4分钟，妈妈快走一圈需要10分钟，两人同时从起点同向出发，他们（    ）分钟后可以在起点第一次相遇。 A．4 B．10 C．20 D．40 6．用2、4、6、8、0这五张数字卡片任意组成一个五位数，这个五位数一定是（    ）。 A．5的倍数 B．3的倍数 C．2的倍数 D．无法确定 二、填空题 7．8和10的最大公因数是( )。 8．187至少减去( )就是2的倍数，至少减去( )就是5的倍数，至少加上( )就是3的倍数，至少加上( )就是2和5的共同倍数。 9．一个两位数是5的倍数，且个位和十位的数字之和是9，这个两位数最大是( )，最小是( )。 10．学校购置了36条跳绳和24个足球，要平均分给一些班级，且都没有剩余。若这些班级个数在10到15之间。那么，这些班级有( )个，每班分得( )根跳绳，每班分得( )个足球。 11．有一批鲜花订单，它需要把24枝百合花和32枝月季花，扎成若干束完全相同的花束，且两种花都没有剩余。最多可以扎成( )束，每束里有( )枝月季花。 12．五（1）班的学生超过40人，接近50人，数学老师在课堂上让学生分组合作交流时，发现按照3人一组或者4人一组都刚好分完。这个班有学生( )人。 三、解答题 13．五年级和四年级要完成植树任务。五年级来了40人，四年级来了56人。如果把两个年级的学生分别分成若干小组，要使两个年级每个小组的人数相同，那么每个小组最多有多少人？分别可以分成几个小组？ 14．适量补钙可以预防骨质疏松，有益骨骼健康。某制药厂新研制了一款补钙软胶囊并首批投入生产。用纸箱包装时，如果10盒装一箱、12盒装一箱或是15盒装一箱，都正好包装完。这个制药厂首批生产的补钙软胶囊至少有多少盒？ 15．淘气和笑笑沿同一方向绕体育场的环形跑道进行跑步训练。淘气跑一圈用4分，笑笑跑一圈用6分，他们同时从起点出发，多少分后可以在起点第一次相遇？ 16．王老师给手机设置了一个锁屏密码“27□□”，他记得自己设置的这个四位数密码既是5的倍数，又是3的倍数。他最多需要输入几次密码才能解锁手机？为什么？ 17．有一筐苹果不超过50个，4个4个数或6个6个地数，都正好数完，这筐苹果最多有多少个？ 18．已知A、B、C、D为四个从小到大的连续自然数，且两位数为质数，两位数为合数，两位数为质数，那么其中的合数是多少？ 19．从1980年东风系列导弹首次全程试射成功，到2025年“DF－5C”洲际战略核导弹亮相阅兵仪式，其中包含了我国无数科学家的智慧和汗水。这两个年份数都是3的倍数吗？你是怎么判断的？ 20．一年一度的秋季运动会要开始啦，五年级同学准备一个入场式表演。为了使队形显得整齐，只能排成方形。编排老师要求，所参加的人数无论排成3行、4行或5行，都还需有一名同学在队伍正前方举牌。请问：至少选多少人参加入场式表演？ 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $