第七单元 分数乘法（综合题型）奥数思维训练-2025-2026学年苏教版数学五年级下册

第七单元 分数乘法（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1. 核心概念回顾（综合运用前提） 分数乘法的定义：分数乘法包括“分数乘整数”和“分数乘分数”，其本质是求几个相同分数相加的和的简便运算（分数乘整数），或求一个数的几分之几是多少（分数乘分数、分数乘整数的拓展）。核心关键是“理解意义、掌握法则”，既要明确分数乘法的实际含义，也要熟练掌握计算方法，同时注意约分的简便运算。 核心关联概念：① 分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数，是分数乘法的基础；② 分数乘法的意义：分数乘整数，表示几个相同分数相加的和（如×3表示3个相加）；分数乘分数，表示一个数的几分之几是多少（如×表示的是多少）；③ 核心思想：“转化思想”，将分数乘法转化为整数乘法计算，再结合分数的意义化简结果；④ 与前期知识关联：分数乘法是在整数乘法、分数的意义和性质基础上学习的，需熟练掌握分数的约分、整数与分数的互化，为后续分数除法、分数四则混合运算奠定基础。 2. 分数乘法的核心意义 本知识点是苏教版五年级下册分数运算的核心内容，核心是掌握分数乘法的计算法则和实际应用，摆脱“仅能进行整数、小数乘法”的局限，培养“转化思维”和“分数运算能力”。它广泛应用于生活中与“求一个数的几分之几是多少”相关的场景（如求一个数的几分之几是多少、量的比例计算、分数应用题等），是连接分数基础认知与分数四则混合运算的重要纽带，也是本单元的重点和基础。 3. 常见场景 ① 分数乘整数：求几个相同分数相加的和（如3个相加，可表示为×3）； ② 分数乘分数：求一个分数的几分之几是多少（如的是多少，列式为×）； ③ 分数乘小数：求一个小数的几分之几是多少，或一个分数的小数倍是多少（苏教版五年级重点拓展）； ④ 实际应用场景：结合生活实际，求一个数的几分之几是多少（如求长度、质量、数量的几分之几），以及分数乘法应用题（一步、两步基础应用题）； ⑤ 综合场景：分数乘法与约分结合、分数乘法与分数加减法结合，解决复杂的分数运算问题； ⑥ 分数连乘：三个及以上分数（或整数与分数）连续相乘，本质是多次分数乘法的叠加，核心是连续约分、简化运算，最终求积。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 1.分数的意义和性质：理解单位“1”的含义，掌握分数的基本性质（分子分母同时乘或除以相同的数，0除外，分数大小不变）； 2.约分：能熟练对分数进行约分（找出分子和分母的最大公因数，同时除以最大公因数，化为最简分数）； 3.整数乘法：熟练掌握整数乘法的计算法则，能快速进行整数乘法运算； 4.分数与整数、小数的互化：能将整数化为分母为1的分数，将小数化为分数（或反之），方便进行乘法运算； 5.分数乘法的意义：能准确区分分数乘整数、分数乘分数的意义，明确列式依据。 （二）核心应用方法（苏教版重点，4类核心场景） 1.方法一：分数乘整数（基础，苏教版核心重点） ① 核心思路：分数乘整数，本质是求几个相同分数相加的和，计算时可转化为“整数乘分数的分子，分母不变”，能约分的先约分，再计算，结果化为最简分数； ② 常用法则：分数乘整数，用分子乘整数的积作分子，分母不变，即×n=a×（a、b、n均为非0整数）；约分技巧：整数与分母能约分的，先约分再计算，简化运算过程； ③ 步骤：1. 明确算式意义（求几个相同分数相加的和）；2. 观察整数与分母是否能约分，若能，先约分（整数与分母同时除以它们的最大公因数）；3. 用约分后的分子乘约分后的整数，分母保持不变；4. 检查结果是否为最简分数，若不是，进一步约分； ④ 示例：计算×4和×2。解：×4=2×=（最简分数）；×2，先约分（6和2的最大公因数是2），得×1=1。 2.方法二：分数乘分数（基础，苏教版核心重点） ① 核心思路：分数乘分数，意义是求一个分数的几分之几是多少，计算时用“分子乘分子的积作分子，分母乘分母的积作分母”，能约分的先约分（交叉约分），再计算，结果化为最简分数； ② 常用法则：分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，即×=a××d（a、b、c、d均为非0整数）；交叉约分技巧：第一个分数的分子与第二个分数的分母、第一个分数的分母与第二个分数的分子，能约分的先约分，再计算； ③ 步骤：1. 明确算式意义（求一个数的几分之几是多少）； 2. 观察分子与分母是否能交叉约分，若能，先交叉约分（找出对应分子分母的最大公因数，同时除以最大公因数）； 3. 用约分后的分子相乘，约分后的分母相乘； 4. 检查结果是否为最简分数，若不是，进一步约分； 3.方法三：分数乘小数（进阶，苏教版常考） ① 核心思路：分数乘小数，有两种方法，方法一：将小数化为分数，再按分数乘分数的法则计算；方法二：将分数化为小数（能化为有限小数的），再按小数乘法计算；优先选择简便的方法，能约分的先约分； ② 关键：判断小数能否化为有限小数，若不能，优先将小数化为分数计算；计算时注意小数点的位置，结果需化简； ③ 步骤：方法一（小数化分数）：1. 将小数化为分数（如0.5化为）； 2. 按分数乘分数的法则，交叉约分后计算； 3. 化简结果。 方法二（分数化小数）： 1. 将分数化为小数（如=0.75）； 2. 按小数乘法法则计算； 3. 化简结果（若结果是小数，可根据题意化为分数）； 4.方法四：分数连乘（进阶，苏教版常考） ① 核心思路：求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，列式为“单位‘1’的量×对应分率=对应量”；关键是找准单位“1”的量和对应分率（分率与所求量相对应）； ② 关键：找准单位“1”（通常在“的几分之几”前面，或“比”“占”后面），区分“分率”和“具体数量”（分率不带单位，具体数量带单位）； ③ 步骤：1. 审题，找出题目中的单位“1”的量；2. 找出与所求量对应的分率；3. 列式：单位“1”的量×分率=所求量；4. 计算（能约分的先约分），化简结果，标注单位； ④ 示例：一根绳子长12米，用去它的，用去了多少米？解：单位“1”的量是绳子的总长12米，对应分率是，列式12×=4（米）。答：用去了4米。 ① 核心思路：分数连乘，本质是先计算前两个分数的积，再用积乘第三个分数，核心技巧是“连续交叉约分”，先将所有可约分的分子、分母一次性约分，再计算，简化运算过程； ② 常用法则：分数连乘，用所有分子相乘的积作分子，所有分母相乘的积作分母。 约分技巧：任意一个分子与任意一个分母能约分的，先交叉约分，再计算； ③ 步骤：1. 明确算式类型（三个及以上分数/整数连续相乘）； 2. 观察所有分子与分母，找出可约分的对应关系（任意分子与任意分母），一次性完成交叉约分； 3. 用约分后的所有分子相乘，约分后的所有分母相乘； 4. 检查结果是否为最简分数，若不是，进一步约分； （三）常见隐含条件与易错点提醒 1.约分错误：分数乘整数、分数乘分数时，未先约分或约分错误（如整数与分子约分、交叉约分漏约），导致计算繁琐或结果错误； 2.意义混淆：混淆分数乘整数与分数乘分数的意义，列式错误（如求的，误列式为+）； 3.计算错误：分子乘分子、分母乘分母时，出现乘法失误；或小数与分数互化错误，导致结果偏差； 4.单位混淆：分不清“分率”和“具体数量”，误将分率当作具体数量计算（如分率带单位）； 5.单位“1”找错：实际应用题中，找错单位“1”的量，导致列式错误（如“甲是乙的”，误将甲当作单位“1”）； 6.结果未化简：计算后结果不是最简分数，未进行约分（如46未化为23）； 7.分数乘小数时，选择方法不当：将不能化为有限小数的分数化为小数，导致计算结果不准确（如×0.2，误将化为小数0.333...，导致结果偏差）； 8.漏写单位：实际应用题中，计算结果未标注单位，或单位标注错误（如长度单位写成质量单位）； 9.分数连乘约分错误：连续约分的过程中，漏约部分分子、分母，或重复约分，导致计算结果错误； 10.分数连乘顺序错误：误以为需按顺序分步计算，未先进行连续约分，导致运算繁琐或计算失误。 三、分数乘法解题步骤（苏教版重点） 1.审题辨类型：明确算式类型（分数乘整数、分数乘分数、分数乘小数），或明确应用题中的单位“1”和对应分率，判断列式依据。 2.选择方法：根据算式类型选择合适的计算方法（分数乘整数/分数用约分后计算，分数乘小数选择小数化分数或分数化小数）。 3.计算过程：能约分的先约分（整数与分母约分、交叉约分），再按照对应法则计算（分子乘分子、分母乘分母，或小数乘法）。 4.化简结果：计算后检查结果是否为最简分数，若不是，进行约分；实际应用题需标注正确单位。 5.检验验证：检验约分是否正确、计算是否失误、列式是否符合题意（应用题需检验结果是否合理），确保答案准确。 四、常见分数乘法应用题型及解题示例 1. 场景一：分数乘整数（基础题） 例：计算下列各题，能约分的先约分。（1） （2） （3） 解：（1），先约分（4和6的最大公因数是2），得（或4.5）； （2），先约分（8和4的最大公因数是4），得（或2.5）； （3），先约分（7和7的最大公因数是7），得； 检验：约分正确，计算无误，结果均为最简分数（或最简形式）。 答：（1）（或4.5）；（2）（或2.5）；（3）2。 2. 场景二：分数乘分数（基础题） 例：计算下列各题，能约分的先约分。（1）（2） （3） 解：（1），无交叉可约分，分子相乘、分母相乘，得； （2），交叉约分（4和8约去4，3和9约去3），得； （3），交叉约分（5和10约去5，9和6约去3），得； 检验：交叉约分正确，计算无误，结果均为最简分数。 答：（1）；（2）；（3）。 3. 场景三：分数乘小数（进阶题） 例：计算下列各题，选择简便方法计算。（1） （2） （3） 解：（1）方法：小数化分数，，； （2）方法：小数化分数，，； （3）方法：小数化分数，，； 检验：方法选择合理，约分正确，计算无误，结果一致。 答：（1）0.6（或）；（2）0.25（或）；（3）0.8（或）。 4. 场景四：分数连乘（进阶题） 例：计算下列各题，能约分的先约分。（1） （2） （3） 解：（1），连续交叉约分（3和6约去3，2和4约去2，5和5约去5），得； （2），连续交叉约分（4和8约去4，3和9约去3，6和3约去3），得； （3），连续交叉约分（5和10约去5，7和7约去7，2和2约去2），得； 检验：连续约分正确，计算无误，结果均为最简分数。 答：（1）；（2）；（3）。 培优练习 一、选择题 1．两根m长的彩带，第一根用去它的，第二根用去m。两根彩带剩下的部分相比，（    ）。 A．第一根更长 B．第二根更长 C．一样长 D．无法比较 2．浩浩同学周日参加了社区举行的“电信反诈”宣传活动，帮助发放反诈宣传单。一共有200张宣传单，他上午发放了，下午发放了余下的，这时宣传单（    ）。 A．全部发放完 B．还有 C．还有 D．还有 3．在一次大型马拉松比赛中，完赛选手的成绩分布在3小时30分钟到5小时之间。此次比赛共有2000名选手完赛，其中大约有的选手成绩在4小时以内。成绩在4小时以内的选手大约有（    ）人。 A．200～300 B．300～700 C．400～600 D．500～800 4．两根同样长的绳子，第一根先截去全长的，再截去米；第二根先截去米，再截去余下的。两根绳子截去的部分相比，结果是（    ）。 A．两根截去的一样长 B．第一根截去的长 C．第二根截去的长 D．无法确定 5．甲乙两根都是0.8米长的钢管，甲用去，乙用去米，两根钢管剩下的结果是（    ）。 A．剩下的一样长 B．甲剩下的长 C．乙剩下的长 D．无法确定 6．将2026减去它的，再减去余下的，接着减去余下的…直至减去余下的，最后剩下（    ）。 A． B． C．1 D．1013 二、填空题 7．20米的是( )米，比20米多米是( )米。 8．甲数是的，乙数的是，则甲数( )乙数。（填“＞”“＜”或“＝”） 9．某种材质的皮球，它的反弹高度总是下落高度的，让这只皮球从12米高度自由下落，它第二次落地后的反弹高度是( )米。 10．一桶10L的纯净水，第一次用去它的，第二次用去L，两次一共用去( )L。 11．六年级有200名同学参加“‘精’彩风扬”眼保健操比赛，其中的同学获奖，获奖同学中又有的同学获一等奖，算式“”解决的是( )，获一等奖的同学有( )名。 12．郑州科技馆2025年暑期接待游客约24万人，为了了解不同年龄段参观者的情况，科技馆对其中部分游客进行统计分析，发现全部游客的是六年级学生，五年级学生是六年级学生的，暑期参观科技馆的五年级学生约有( )万人。 三、计算题 13．我会算一算。                           14．简便计算我能行。                   四、解答题 15．某小学开展“榜样的力量”征文比赛活动。其中，获得二等奖的有80人，获得一等奖的人数占获得二等奖的，获得一等奖的人数占获得三等奖的，获得三等奖的一共有多少人？ 16．甲、乙两个修路队共同修一段高速公路，甲队修了全长的，乙队修的是甲队的。他们一共修了全长的几分之几？ 17．一辆汽车从甲地开往乙地，第一个小时行了全程的，第二个小时比第一个小时少行12千米，这时汽车距乙地552千米。甲、乙两地相距多少千米？请试着画画线段图再解答。 18．植物园里有一棵古树高30米，一棵小树的高度是古树的，一株灌木的高度是小树的。这株灌木高多少米？ 19．张叔叔、马叔叔和李叔叔共同投资开办公司，张叔叔投了25%，马叔叔投了，其余是李叔叔投的。公司去年可分配利润是24万元，按投资额分配，三人各应获得利润多少万元？ 20．希望小学组织植树活动，六年级植树40棵，五年级植的棵数是六年级的，是四年级的，四年级植树多少棵？ 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 分数乘法（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1. 核心概念回顾（综合运用前提） 分数乘法的定义：分数乘法包括“分数乘整数”和“分数乘分数”，其本质是求几个相同分数相加的和的简便运算（分数乘整数），或求一个数的几分之几是多少（分数乘分数、分数乘整数的拓展）。核心关键是“理解意义、掌握法则”，既要明确分数乘法的实际含义，也要熟练掌握计算方法，同时注意约分的简便运算。 核心关联概念：① 分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数，是分数乘法的基础；② 分数乘法的意义：分数乘整数，表示几个相同分数相加的和（如×3表示3个相加）；分数乘分数，表示一个数的几分之几是多少（如×表示的是多少）；③ 核心思想：“转化思想”，将分数乘法转化为整数乘法计算，再结合分数的意义化简结果；④ 与前期知识关联：分数乘法是在整数乘法、分数的意义和性质基础上学习的，需熟练掌握分数的约分、整数与分数的互化，为后续分数除法、分数四则混合运算奠定基础。 2. 分数乘法的核心意义 本知识点是苏教版五年级下册分数运算的核心内容，核心是掌握分数乘法的计算法则和实际应用，摆脱“仅能进行整数、小数乘法”的局限，培养“转化思维”和“分数运算能力”。它广泛应用于生活中与“求一个数的几分之几是多少”相关的场景（如求一个数的几分之几是多少、量的比例计算、分数应用题等），是连接分数基础认知与分数四则混合运算的重要纽带，也是本单元的重点和基础。 3. 常见场景 ① 分数乘整数：求几个相同分数相加的和（如3个相加，可表示为×3）； ② 分数乘分数：求一个分数的几分之几是多少（如的是多少，列式为×）； ③ 分数乘小数：求一个小数的几分之几是多少，或一个分数的小数倍是多少（苏教版五年级重点拓展）； ④ 实际应用场景：结合生活实际，求一个数的几分之几是多少（如求长度、质量、数量的几分之几），以及分数乘法应用题（一步、两步基础应用题）； ⑤ 综合场景：分数乘法与约分结合、分数乘法与分数加减法结合，解决复杂的分数运算问题； ⑥ 分数连乘：三个及以上分数（或整数与分数）连续相乘，本质是多次分数乘法的叠加，核心是连续约分、简化运算，最终求积。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 1.分数的意义和性质：理解单位“1”的含义，掌握分数的基本性质（分子分母同时乘或除以相同的数，0除外，分数大小不变）； 2.约分：能熟练对分数进行约分（找出分子和分母的最大公因数，同时除以最大公因数，化为最简分数）； 3.整数乘法：熟练掌握整数乘法的计算法则，能快速进行整数乘法运算； 4.分数与整数、小数的互化：能将整数化为分母为1的分数，将小数化为分数（或反之），方便进行乘法运算； 5.分数乘法的意义：能准确区分分数乘整数、分数乘分数的意义，明确列式依据。 （二）核心应用方法（苏教版重点，4类核心场景） 1.方法一：分数乘整数（基础，苏教版核心重点） ① 核心思路：分数乘整数，本质是求几个相同分数相加的和，计算时可转化为“整数乘分数的分子，分母不变”，能约分的先约分，再计算，结果化为最简分数； ② 常用法则：分数乘整数，用分子乘整数的积作分子，分母不变，即×n=a×（a、b、n均为非0整数）；约分技巧：整数与分母能约分的，先约分再计算，简化运算过程； ③ 步骤：1. 明确算式意义（求几个相同分数相加的和）；2. 观察整数与分母是否能约分，若能，先约分（整数与分母同时除以它们的最大公因数）；3. 用约分后的分子乘约分后的整数，分母保持不变；4. 检查结果是否为最简分数，若不是，进一步约分； ④ 示例：计算×4和×2。解：×4=2×=（最简分数）；×2，先约分（6和2的最大公因数是2），得×1=1。 2.方法二：分数乘分数（基础，苏教版核心重点） ① 核心思路：分数乘分数，意义是求一个分数的几分之几是多少，计算时用“分子乘分子的积作分子，分母乘分母的积作分母”，能约分的先约分（交叉约分），再计算，结果化为最简分数； ② 常用法则：分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，即×=a××d（a、b、c、d均为非0整数）；交叉约分技巧：第一个分数的分子与第二个分数的分母、第一个分数的分母与第二个分数的分子，能约分的先约分，再计算； ③ 步骤：1. 明确算式意义（求一个数的几分之几是多少）； 2. 观察分子与分母是否能交叉约分，若能，先交叉约分（找出对应分子分母的最大公因数，同时除以最大公因数）； 3. 用约分后的分子相乘，约分后的分母相乘； 4. 检查结果是否为最简分数，若不是，进一步约分； 3.方法三：分数乘小数（进阶，苏教版常考） ① 核心思路：分数乘小数，有两种方法，方法一：将小数化为分数，再按分数乘分数的法则计算；方法二：将分数化为小数（能化为有限小数的），再按小数乘法计算；优先选择简便的方法，能约分的先约分； ② 关键：判断小数能否化为有限小数，若不能，优先将小数化为分数计算；计算时注意小数点的位置，结果需化简； ③ 步骤：方法一（小数化分数）：1. 将小数化为分数（如0.5化为）； 2. 按分数乘分数的法则，交叉约分后计算； 3. 化简结果。 方法二（分数化小数）： 1. 将分数化为小数（如=0.75）； 2. 按小数乘法法则计算； 3. 化简结果（若结果是小数，可根据题意化为分数）； 4.方法四：分数连乘（进阶，苏教版常考） ① 核心思路：求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，列式为“单位‘1’的量×对应分率=对应量”；关键是找准单位“1”的量和对应分率（分率与所求量相对应）； ② 关键：找准单位“1”（通常在“的几分之几”前面，或“比”“占”后面），区分“分率”和“具体数量”（分率不带单位，具体数量带单位）； ③ 步骤：1. 审题，找出题目中的单位“1”的量；2. 找出与所求量对应的分率；3. 列式：单位“1”的量×分率=所求量；4. 计算（能约分的先约分），化简结果，标注单位； ④ 示例：一根绳子长12米，用去它的，用去了多少米？解：单位“1”的量是绳子的总长12米，对应分率是，列式12×=4（米）。答：用去了4米。 ① 核心思路：分数连乘，本质是先计算前两个分数的积，再用积乘第三个分数，核心技巧是“连续交叉约分”，先将所有可约分的分子、分母一次性约分，再计算，简化运算过程； ② 常用法则：分数连乘，用所有分子相乘的积作分子，所有分母相乘的积作分母。 约分技巧：任意一个分子与任意一个分母能约分的，先交叉约分，再计算； ③ 步骤：1. 明确算式类型（三个及以上分数/整数连续相乘）； 2. 观察所有分子与分母，找出可约分的对应关系（任意分子与任意分母），一次性完成交叉约分； 3. 用约分后的所有分子相乘，约分后的所有分母相乘； 4. 检查结果是否为最简分数，若不是，进一步约分； （三）常见隐含条件与易错点提醒 1.约分错误：分数乘整数、分数乘分数时，未先约分或约分错误（如整数与分子约分、交叉约分漏约），导致计算繁琐或结果错误； 2.意义混淆：混淆分数乘整数与分数乘分数的意义，列式错误（如求的，误列式为+）； 3.计算错误：分子乘分子、分母乘分母时，出现乘法失误；或小数与分数互化错误，导致结果偏差； 4.单位混淆：分不清“分率”和“具体数量”，误将分率当作具体数量计算（如分率带单位）； 5.单位“1”找错：实际应用题中，找错单位“1”的量，导致列式错误（如“甲是乙的”，误将甲当作单位“1”）； 6.结果未化简：计算后结果不是最简分数，未进行约分（如46未化为23）； 7.分数乘小数时，选择方法不当：将不能化为有限小数的分数化为小数，导致计算结果不准确（如×0.2，误将化为小数0.333...，导致结果偏差）； 8.漏写单位：实际应用题中，计算结果未标注单位，或单位标注错误（如长度单位写成质量单位）； 9.分数连乘约分错误：连续约分的过程中，漏约部分分子、分母，或重复约分，导致计算结果错误； 10.分数连乘顺序错误：误以为需按顺序分步计算，未先进行连续约分，导致运算繁琐或计算失误。 三、分数乘法解题步骤（苏教版重点） 1.审题辨类型：明确算式类型（分数乘整数、分数乘分数、分数乘小数），或明确应用题中的单位“1”和对应分率，判断列式依据。 2.选择方法：根据算式类型选择合适的计算方法（分数乘整数/分数用约分后计算，分数乘小数选择小数化分数或分数化小数）。 3.计算过程：能约分的先约分（整数与分母约分、交叉约分），再按照对应法则计算（分子乘分子、分母乘分母，或小数乘法）。 4.化简结果：计算后检查结果是否为最简分数，若不是，进行约分；实际应用题需标注正确单位。 5.检验验证：检验约分是否正确、计算是否失误、列式是否符合题意（应用题需检验结果是否合理），确保答案准确。 四、常见分数乘法应用题型及解题示例 1. 场景一：分数乘整数（基础题） 例：计算下列各题，能约分的先约分。（1） （2） （3） 解：（1），先约分（4和6的最大公因数是2），得（或4.5）； （2），先约分（8和4的最大公因数是4），得（或2.5）； （3），先约分（7和7的最大公因数是7），得； 检验：约分正确，计算无误，结果均为最简分数（或最简形式）。 答：（1）（或4.5）；（2）（或2.5）；（3）2。 2. 场景二：分数乘分数（基础题） 例：计算下列各题，能约分的先约分。（1）（2） （3） 解：（1），无交叉可约分，分子相乘、分母相乘，得； （2），交叉约分（4和8约去4，3和9约去3），得； （3），交叉约分（5和10约去5，9和6约去3），得； 检验：交叉约分正确，计算无误，结果均为最简分数。 答：（1）；（2）；（3）。 3. 场景三：分数乘小数（进阶题） 例：计算下列各题，选择简便方法计算。（1） （2） （3） 解：（1）方法：小数化分数，，； （2）方法：小数化分数，，； （3）方法：小数化分数，，； 检验：方法选择合理，约分正确，计算无误，结果一致。 答：（1）0.6（或）；（2）0.25（或）；（3）0.8（或）。 4. 场景四：分数连乘（进阶题） 例：计算下列各题，能约分的先约分。（1） （2） （3） 解：（1），连续交叉约分（3和6约去3，2和4约去2，5和5约去5），得； （2），连续交叉约分（4和8约去4，3和9约去3，6和3约去3），得； （3），连续交叉约分（5和10约去5，7和7约去7，2和2约去2），得； 检验：连续约分正确，计算无误，结果均为最简分数。 答：（1）；（2）；（3）。 培优练习 一、选择题 1．两根m长的彩带，第一根用去它的，第二根用去m。两根彩带剩下的部分相比，（    ）。 A．第一根更长 B．第二根更长 C．一样长 D．无法比较 【答案】A 【分析】用m乘，求出第一根彩带用去的长度，再利用减法求出剩下的长度；用m减去m，求出第二根彩带剩下的长度。最后，比较两根彩带剩下的长度，找出更长的即可。 【详解】第一根：－× ＝－ ＝－ ＝（m） 第二根：－ ＝－ ＝（m） ＞ 所以两根彩带剩下的部分相比，第一根更长。 故答案为：A 2．浩浩同学周日参加了社区举行的“电信反诈”宣传活动，帮助发放反诈宣传单。一共有200张宣传单，他上午发放了，下午发放了余下的，这时宣传单（    ）。 A．全部发放完 B．还有 C．还有 D．还有 【答案】B 【分析】将宣传单总张数看作单位“1”，总张数×上午发放的对应分率＝上午发放的张数，总张数－上午发放的张数＝余下的张数；再将余下的张数看作单位“1”，余下的张数×下午发放的对应分率＝下午发放的张数，总张数－上午发放的张数－下午发放的张数＝最后剩下的张数。最后剩下的张数÷总张数＝这时宣传单是总张数的几分之几。 【详解】200×＝100（张） （200－100）× ＝100× ＝50（张） 200－100－50＝50（张） 50÷200＝＝ 这时宣传单还有。 故答案为：B 3．在一次大型马拉松比赛中，完赛选手的成绩分布在3小时30分钟到5小时之间。此次比赛共有2000名选手完赛，其中大约有的选手成绩在4小时以内。成绩在4小时以内的选手大约有（    ）人。 A．200～300 B．300～700 C．400～600 D．500～800 【答案】C 【分析】由题意知，有~的选手成绩在4小时以内，本题的单位“1”为2000名完赛的选手。根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”，列式为2000×，2000×。计算出的结果即为选手人数的范围 【详解】2000×＝400（人） 2000×＝600（人） 成绩在4小时以内的选手大约有400~600人。 故答案为：C 4．两根同样长的绳子，第一根先截去全长的，再截去米；第二根先截去米，再截去余下的。两根绳子截去的部分相比，结果是（    ）。 A．两根截去的一样长 B．第一根截去的长 C．第二根截去的长 D．无法确定 【答案】B 【分析】设绳子的长度是单位“1”，绳子长度乘再加上米，求出第一根绳子用去的长度；用绳子的长度减去米，再乘，再加上米即可第二根绳子用去的长度，再和第一根绳子用去的长度比较，在乘法中，一个因数相等时，另一个因数越大，则乘积越大，即可解答。 【详解】第一根绳子截去的长度＝绳子的长度×＋ 第二根绳子截去的长度＝（绳子的长度－）×＋＝绳子的长度×－＋＝绳子的长度×＋ 即第一根绳子截去的长度＞第二根绳子截去的长度。 即两根绳子截去的部分相比，第一根截去的长。 故答案为：B 5．甲乙两根都是0.8米长的钢管，甲用去，乙用去米，两根钢管剩下的结果是（    ）。 A．剩下的一样长 B．甲剩下的长 C．乙剩下的长 D．无法确定 【答案】B 【分析】关键在于区分“用去”和“用去米”的不同含义。甲用去的是钢管总长的，是一个分率，需要用乘法计算用去的长度；乙用去的是米，是一个具体的长度。分别计算出两根钢管剩下的长度，再进行比较即可。 【详解】0.8－0.8× ＝0.8－0.2 ＝0.6（米） 0.8－＝0.8－0.25＝0.55（米） 0.6＞0.55 所以，甲钢管剩下的长。 故答案为：B 6．将2026减去它的，再减去余下的，接着减去余下的…直至减去余下的，最后剩下（    ）。 A． B． C．1 D．1013 【答案】C 【分析】把2026看作单位“1”，减去它的，还剩下它的（1－），用2026×（1－），求出剩下的数；再把剩下的数看作单位“1”，减去它的，还剩下它的（1－），用剩下的数×（1－），求出减去它的后剩下的数；再把减去后剩下的数看作单位“1”，减去它的，还剩下它的（1－），用减去后剩下的数×（1－），求出减去后剩下的数，…，再把减去后剩下的数看作单位“1”，减去它的，还剩下（1－），用减去它的后剩下的数×（1－），求出剩下的数，即可解答。 【详解】2026×（1－）×（1－）×（1－）×…×（1－） ＝2026××××…× ＝2026× ＝1 将2026减去它的，再减去余下的，接着减去余下的…直至减去余下的，最后剩下1。 故答案为：C 二、填空题 7．20米的是( )米，比20米多米是( )米。 【答案】 15 20/20.75/ 【分析】①根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”用20乘即可； ②根据“求比一个数多几的数是多少，用加法计算”用20加上即可。 【详解】（米） （米） 20米的是15米，比20米多米是米。 8．甲数是的，乙数的是，则甲数( )乙数。（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【分析】求一个数的几分之几是多少的问题，可以用乘法解决；用乘即可求出甲数； 已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题可以用除法解决；用除以即可求出乙数，由此即可比较。 【详解】 ，即甲数＜乙数。 9．某种材质的皮球，它的反弹高度总是下落高度的，让这只皮球从12米高度自由下落，它第二次落地后的反弹高度是( )米。 【答案】6.75 【分析】皮球每次反弹高度都是下落高度的。从12米高度下落，第一次落地后反弹高度为12×；然后从第一次落地后反弹高度下落，第二次落地后反弹高度为12××。 【详解】12××＝9×＝6.75（米） 所以，它第二次落地后的反弹高度是6.75米。 10．一桶10L的纯净水，第一次用去它的，第二次用去L，两次一共用去( )L。 【答案】//4.4 【分析】求一个数的几分之几是多少的问题，可以用乘法解决；用纯净的原有的升数10L乘第一次用去的分率即可求出第一次用去的升数，再加上即可求出两次一共用去的升数。 【详解】10×＋ ＝4＋ ＝（L） 即两次一共用去L。 11．六年级有200名同学参加“‘精’彩风扬”眼保健操比赛，其中的同学获奖，获奖同学中又有的同学获一等奖，算式“”解决的是( )，获一等奖的同学有( )名。 【答案】 获一等奖的同学占总人数的几分之几 15 【分析】已知的同学获奖，这里是把参加比赛的200名同学看作单位“1”，表示获奖同学占总人数的分率。又已知获奖同学中的同学获一等奖，这里是把获奖同学看作单位“1”，表示获一等奖的同学占获奖同学的分率。根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少用乘法计算，所以表示的是获一等奖的同学占总人数的分率。 已知参加比赛的总人数是200名，由第一空可知获一等奖的同学占总人数的分率。根据“求一个数的几分之几是多少用乘法计算”，求出获一等奖的同学人数。 【详解】200×× ＝60× ＝15（名） 所以算式“”解决的是获一等奖的同学占总人数的几分之几，获一等奖的同学有15名。 12．郑州科技馆2025年暑期接待游客约24万人，为了了解不同年龄段参观者的情况，科技馆对其中部分游客进行统计分析，发现全部游客的是六年级学生，五年级学生是六年级学生的，暑期参观科技馆的五年级学生约有( )万人。 【答案】5 【分析】“全部游客的是六年级学生”是把全部游客人数看作单位“1”，已知单位“1”，求部分量用乘法，全部游客人数×＝六年级学生人数；“五年级学生是六年级学生的”，是把六年级学生人数看作单位“1”，已知单位“1”求部分量用乘法：六年级学生人数×＝五年级学生人数；所以，五年级学生人数＝全部游客人数××，代入数值求解即可。 【详解】根据分析： ＝5（万人） 暑期参观科技馆的五年级学生约有（5）万人 三、计算题 13．我会算一算。                           【答案】；；5；； ；2；； 【详解】略 14．简便计算我能行。                   【答案】；65；； 70；1.7； 【分析】用乘法交换律先算，最后再乘，计算即可； 用乘法分配律，让和分别乘24即可； 用拆分法，将34写成，让35和1分别乘即可； 用乘法结合律，让乘，先计算即可； 用乘法分配律，让和分别乘3.6即可； 让19变成，用乘法分配律，让18和1分别乘。 【详解】 四、解答题 15．某小学开展“榜样的力量”征文比赛活动。其中，获得二等奖的有80人，获得一等奖的人数占获得二等奖的，获得一等奖的人数占获得三等奖的，获得三等奖的一共有多少人？ 【答案】100人 【分析】先把二等奖人数看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用80乘可得一等奖人数，再把三等奖人数看作单位“1”，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算，用一等奖人数除以其对应的分率，可得三等奖人数。 【详解】 （人） 答：三等奖的一共有100人。 16．甲、乙两个修路队共同修一段高速公路，甲队修了全长的，乙队修的是甲队的。他们一共修了全长的几分之几？ 【答案】 【分析】把高速公路的全长看作单位“1”，甲队修了全长的；再把甲队修的部分看作单位“1”，乙队修的是甲队的，根据求一个数的几分之几，用乘法计算，用乘，即可求出乙队修了全长的几分之几；最后相加，即可求出一共修了全长的几分之几，据此解答。 【详解】乙队修了全长的几分之几： 一共修了全长的几分之几： 答：他们一共修了全长的。 17．一辆汽车从甲地开往乙地，第一个小时行了全程的，第二个小时比第一个小时少行12千米，这时汽车距乙地552千米。甲、乙两地相距多少千米？请试着画画线段图再解答。 【答案】线段图见详解；720千米 【分析】将全程看作单位“1”，画一条线段表示全程，标记出全程的，12千米和552千米，全程×第一个小时对应分率＝第一个小时行的距离，第一个小时行的距离－12千米＝第二个小时行的距离，设甲、乙两地相距x千米，根据全程－第一个小时行的距离－第二个小时行的距离＝552千米，列出方程解答即可。 【详解】 解：设甲、乙两地相距x千米。 x－x－（x－12）＝552 x－x＋12＝552 x＋12＝552 x＋12－12＝552－12 x＝540 x÷＝540÷ x＝540× x＝720 答：甲、乙两地相距720千米。 【点睛】关键是确定单位“1”，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 18．植物园里有一棵古树高30米，一棵小树的高度是古树的，一株灌木的高度是小树的。这株灌木高多少米？ 【答案】15米 【分析】将古树高度看作单位“1”，古树高度×小树对应分率＝小树高度；再将小树高度看作单位“1”，小树高度×灌木对应分率＝灌木高度，据此列式解答。 【详解】30×× ＝20× ＝15（米） 答：这株灌木高15米。 19．张叔叔、马叔叔和李叔叔共同投资开办公司，张叔叔投了25%，马叔叔投了，其余是李叔叔投的。公司去年可分配利润是24万元，按投资额分配，三人各应获得利润多少万元？ 【答案】6万元；8万元；10万元 【分析】把张叔叔、马叔叔和李叔叔共同投资总金额看作单位“1”，李叔叔投资占比＝1－25%－，利润分配按三人的投资额占比分配，用总利润分别乘三个投资额占比即可求出三人应获得的利润。 【详解】      ＝ （万元）     （万元） （万元） 答：张叔叔应获利润6万元，马叔叔应获利润8万元，李叔叔应获利润10万元。 20．希望小学组织植树活动，六年级植树40棵，五年级植的棵数是六年级的，是四年级的，四年级植树多少棵？ 【答案】24棵 【分析】已知六年级植树40棵，五年级植的棵数是六年级的，把六年级植树的棵数看作单位“1”，单位“1”已知，用六年级植树的棵数乘，求出五年级植树的棵数； 已知五年级植的棵数是四年级的，把四年级植树的棵数看作单位“1”，单位“1”未知，用五年级植树的棵数除以，求出四年级植树的棵数。 【详解】40×÷ ＝32÷ ＝32× ＝24（棵） 答：四年级植树24棵。 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $