第七单元 与倒数有关的计算（综合题型）奥数思维训练-2025-2026学年苏教版数学五年级下册

第七单元 与倒数有关的计算（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1. 核心概念回顾（综合运用前提） 倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，也就是说，如果两个数的积是1，那么这两个数互为倒数（如，则和互为倒数）。核心关键是“理解互为倒数的意义、掌握求倒数的方法”，同时明确倒数与分数乘法的关联，为后续分数除法学习奠定基础。 核心关联概念：① 分数乘法：倒数的定义基于乘积是1的两个数，需熟练掌握分数乘法计算，才能判断两个数是否互为倒数；② 核心性质：互为倒数的两个数，乘积一定是1，且倒数是相互的（不能单独说某个数是倒数，只能说两个数互为倒数）；③ 与前期知识关联：倒数是在分数乘法基础上学习的，是分数除法的核心前提（分数除法的计算法则是“除以一个数（0除外），等于乘这个数的倒数”）；④ 特殊数的倒数：1的倒数是1，0没有倒数（因为0乘任何数都得0，无法得到1）。 2. 倒数有关计算的核心意义 本知识点是苏教版五年级下册分数运算的重要组成部分，核心是掌握倒数的定义、求法，以及与倒数相关的简单计算，培养“逆向思维”和“分数运算能力”。它不仅是分数除法计算的基础，还能帮助学生深化对分数乘法的理解，解决与“互为倒数”相关的判断、计算及应用问题，是连接分数乘法与分数除法的关键纽带，也是本单元的重点基础内容。 3. 常见场景 ① 求一个数的倒数：包括求分数、整数、带分数、小数的倒数（苏教版核心重点）； ② 倒数的判断：判断两个数是否互为倒数（通过计算它们的乘积是否为1）； ③ 与倒数有关的计算：含倒数的分数乘法计算、利用倒数解决简单的求值问题； ④ 综合场景：倒数与分数乘法、分数连乘结合，以及倒数在分数除法预习中的简单应用； ⑤ 易错场景：判断0和1的倒数、求带分数/小数的倒数（易忽略转化步骤）。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 分数乘法计算：熟练掌握分数乘分数、分数乘整数的计算法则，能快速计算两个数的乘积； 分数的意义和性质：掌握分数的基本性质、约分、假分数与带分数的互化，为求倒数提供基础； 小数与分数的互化：能将小数化为分数（或反之），方便求小数的倒数； 倒数的核心定义：牢记“乘积是1的两个数互为倒数”，明确倒数的相互性和特殊数的倒数特点。 （二）核心应用方法（苏教版重点，4类核心场景） 1.方法一：求分数的倒数（基础，苏教版核心重点） ① 核心思路：分数的倒数，本质是将分数的分子和分母交换位置（即分子变分母、分母变分子），交换后得到的新分数与原分数的乘积是1；若原分数是最简分数，直接交换分子分母即可；若不是最简分数，可先约分再交换，也可直接交换后再约分（结果一致）； ② 常用法则：对于分数（a、b均为非0整数），其倒数是，且； ③ 步骤：1. 明确原分数（确保分子、分母均不为0）；2. 若原分数不是最简分数，可先约分（也可直接交换）；3. 交换原分数的分子和分母，得到新分数；4. 检验：计算原分数与新分数的乘积，确认是否为1（确保结果正确）； ④ 示例：求和的倒数。解：是最简分数，交换分子分母得倒数（检验：）；先约分得，再交换得倒数（或直接交换得，约分后仍为）。 2.方法二：求整数、带分数的倒数（基础，苏教版核心重点） ① 核心思路：求整数的倒数，先将整数化为分母是1的分数，再交换分子和分母；求带分数的倒数，先将带分数化为假分数，再交换假分数的分子和分母，最终结果需化为最简分数； ② 常用法则：整数n（n≠0）的倒数是；带分数（a、b、c均为非0整数），先化为假分数，其倒数是； ③ 步骤：（1）求整数的倒数：1. 将整数化为分母是1的分数；2. 交换分子和分母；3. 检验乘积是否为1。（2）求带分数的倒数：1. 将带分数化为假分数（整数部分×分母+分子作分子，分母不变）；2. 交换假分数的分子和分母；3. 约分（若需要）；4. 检验乘积是否为1； ④ 示例：求5和的倒数。解：5化为，交换分子分母得倒数（检验：）；化为假分数，交换分子分母得倒数（检验：）。 3.方法三：求小数的倒数（进阶，苏教版常考） ① 核心思路：求小数的倒数，有两种方法，方法一：将小数化为分数，再按分数求倒数的方法计算；方法二：先将小数化为整数（分子分母同时乘10、100...），再交换分子分母，最终化简；优先选择简便的方法，确保结果为最简分数； ② 关键：将小数准确化为分数（注意约分），避免因小数化分数错误导致倒数计算失误； ③ 步骤：方法一（小数化分数）：1. 将小数化为分数（如0.6化为）；2. 交换分数的分子和分母，得到倒数；3. 检验乘积是否为1。方法二（小数化整数）：1. 将小数乘10、100...化为整数，同时分母补对应个数的0（如0.25=25/100）；2. 约分后交换分子分母；3. 检验结果； ④ 示例：求0.5和0.75的倒数。解：方法一：0.5化为，倒数是（检验：）；0.75化为，倒数是（检验：）。 4.方法四：与倒数有关的计算（进阶，苏教版常考） ① 核心思路：与倒数有关的计算，核心是利用“互为倒数的两个数乘积是1”的性质，简化计算，常见类型包括：含倒数的分数乘法、求一个数的倒数再与其他数相乘、利用倒数求值； ② 关键：先判断或求出倒数，再按分数乘法、连乘的法则计算，能约分的先约分，简化运算过程； ③ 步骤：1. 明确题目要求（求倒数、判断倒数、含倒数的计算）；2. 若需要求倒数，按对应方法求出倒数；3. 代入计算（含倒数的乘法、连乘），先约分再计算；4. 检验：确认倒数求法正确、计算无误，结果化为最简分数； ④ 示例：计算（1） （2）的倒数乘。解：（1）和互为倒数，乘积是1，所以原式=1×；（2）的倒数是4，4×。 （三）常见隐含条件与易错点提醒 1.倒数概念混淆：误将“互为倒数”理解为“两个数相加得1”，或单独说某个数是倒数（如“是倒数”，正确表述是“和互为倒数”）； 2.特殊数的倒数错误：误认为0有倒数，或1的倒数是其他数（如1的倒数是0），牢记“1的倒数是1，0没有倒数”； 3.求带分数倒数错误：未将带分数化为假分数，直接交换整数部分和分数部分（如求的倒数，误写为）； 4.求小数倒数错误：小数化分数时约分错误，或未将小数化为分数直接求倒数（如求0.6的倒数，误写为0.4）； 含倒数的计算错误：忽略“互为倒数的两个数乘积是1”的性质，未简化计算，导致运算繁琐或失误； 5.结果未化简：求倒数后或含倒数的计算后，结果不是最简分数，未进行约分（如未化为）； 6.判断倒数错误：仅看形式，未计算两个数的乘积是否为1，就判断互为倒数（如误认为和互为倒数）； 7.求整数倒数错误：将整数的倒数写为整数本身（如求5的倒数，误写为5），忘记将整数化为分母是1的分数再交换分子分母。 三、倒数有关计算的解题步骤（苏教版重点） 1.审题辨类型：明确题目类型（求倒数、判断倒数、含倒数的计算），确定解题思路。 选择方法：根据题目类型选择合适的方法（求分数/整数/带分数/小数的倒数，对应不同方法；含倒数的计算，利用倒数性质简化）。 2.计算过程：求倒数时，按对应步骤转化（带分数化假分数、小数化分数）、交换分子分母、约分；含倒数的计算时，先利用倒数性质简化，再按分数乘法法则计算。 3.化简结果：求倒数或计算后，检查结果是否为最简分数，若不是，进行约分；判断倒数时，确保乘积为1。 4.检验验证：检验倒数求法是否正确（乘积为1）、计算是否失误、判断是否符合倒数定义，确保答案准确。 四、常见倒数有关计算的题型及解题示例 1. 场景一：求分数的倒数（基础题） 例：求下列各分数的倒数，能约分的先约分。（1） （2） （3） 解：（1）是最简分数，交换分子分母得倒数（检验：）； （2）先约分得，交换分子分母得倒数（检验：）； （3）是最简分数，交换分子分母得倒数（检验：）； 检验：所有倒数与原分数乘积均为1，结果均为最简分数。 答：（1）；（2）；（3）。 2. 场景二：求整数、带分数的倒数（基础题） 例：求下列各数的倒数。（1）8 （2） （3）1 （4）0 解：（1）8化为，交换分子分母得倒数（检验：）； （2）化为假分数，交换分子分母得倒数（检验：）； （3）1的倒数是1（检验：）； （4）0没有倒数（因为0乘任何数都得0，无法得到1）； 检验：符合倒数定义，特殊数的倒数判断正确。 答：（1）；（2）；（3）1；（4）0没有倒数。 3. 场景三：求小数的倒数（进阶题） 例：求下列各小数的倒数，选择简便方法计算。（1）0.8 （2）0.3 （3）1.25 解：（1）方法：小数化分数，0.8化为，交换分子分母得倒数（检验：）； （2）方法：小数化分数，0.3化为，交换分子分母得倒数（检验：）； （3）方法：小数化分数，1.25化为，交换分子分母得倒数（检验：）； 检验：小数化分数正确，倒数求法无误，乘积均为1。 答：（1）1.25（或）；（2）；（3）0.8（或）。 4. 场景四：与倒数有关的计算（进阶题） 例：计算下列各题，能简便计算的用简便方法。（1） （2）的倒数乘 （3） 解：（1）和互为倒数，乘积是1，原式=1×； （2）的倒数是，原式=； （3）0.6化为，和互为倒数，乘积是1，原式=1×； 检验：利用倒数性质简化计算正确，约分无误，结果均为最简分数。 答：（1）；（2）；（3）。 5. 场景五：判断互为倒数（基础题） 例：判断下列各组数是否互为倒数，说明理由。（1）和 （2）和 （3）0.4和2.5 （4）6和 解：（1）互为倒数；理由：，乘积是1，所以互为倒数； （2）不互为倒数；理由：，乘积不是1，所以不互为倒数； （3）互为倒数；理由：0.4=，2.5=，，乘积是1，所以互为倒数； （4）互为倒数；理由：，乘积是1，所以互为倒数； 检验：判断依据正确，乘积计算无误，符合倒数定义。 答：（1）是；（2）否；（3）是；（4）是。 培优练习 一、选择题 1．如果m和n互为倒数，那么（    ）。 A． B． C．1 D．4 2．如果和互为倒数，那么（    ）。 A． B． C． D．28 3．已知a、b、c、d四个数在直线上的位置如下图，互为倒数的是（    ）。 A．a和b B．a和c C．b和c D．b和d 4．甲数的等于乙数的（甲、乙两数都大于0），甲、乙两数相比，（    ）。 A．甲数＞乙数 B．甲数＝乙数 C．甲数＜乙数 D．无法比较 5．如图是一个正方体展开图，每个面上都有一个数，且满足相对的两个面上的数互为倒数，那么a和b的乘积是（    ）。 A． B． C． D． 6．三个质数的倒数和为，那么这三个质数的和为（    ）。 A．30 B．31 C．32 D．33 二、填空题 7．( )( )( )。 8．的倒数是( )，12.5的倒数是( )。 9．若与互为倒数，则的计算结果是( )。 10．“星星之火，可以燎原”标语共8个字，其字数的的倒数是( )。 11．m与互为倒数，m的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位，再添上 ( )个这样的分数单位就变成最小的质数。 12．( )＝( )( )( )( )。 三、解答题 13．“a是一个整数，它的倒数一定是。”这句话对吗？请说明理由。 14．m和n互为倒数，且m＞n，m＋n＝4.25，m和n分别是多少？ 15．若与互为倒数，则的结果是多少？ 16．学习了分数除法后，小东说应该这样做：“因为甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数，所以”。你能用自己喜欢的方式说明其中的道理吗？ 17．下图所示的是一个正方体的平面展开图，已知两个相对面上的数互为倒数，①②③的值分别是多少？ 18．一块长方形广告牌，长m，宽和长互为倒数，现在要给广告牌的四周镶上铝合金边框，一共需要多少米的铝合金？ 19．如果 = =1，那么5x-2y等于多少？ 20．有四个不同的偶数，它们的倒数的和是1，知道其中两个数是2和4，其余两个数分别是几？ 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 与倒数有关的计算（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1. 核心概念回顾（综合运用前提） 倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，也就是说，如果两个数的积是1，那么这两个数互为倒数（如，则和互为倒数）。核心关键是“理解互为倒数的意义、掌握求倒数的方法”，同时明确倒数与分数乘法的关联，为后续分数除法学习奠定基础。 核心关联概念：① 分数乘法：倒数的定义基于乘积是1的两个数，需熟练掌握分数乘法计算，才能判断两个数是否互为倒数；② 核心性质：互为倒数的两个数，乘积一定是1，且倒数是相互的（不能单独说某个数是倒数，只能说两个数互为倒数）；③ 与前期知识关联：倒数是在分数乘法基础上学习的，是分数除法的核心前提（分数除法的计算法则是“除以一个数（0除外），等于乘这个数的倒数”）；④ 特殊数的倒数：1的倒数是1，0没有倒数（因为0乘任何数都得0，无法得到1）。 2. 倒数有关计算的核心意义 本知识点是苏教版五年级下册分数运算的重要组成部分，核心是掌握倒数的定义、求法，以及与倒数相关的简单计算，培养“逆向思维”和“分数运算能力”。它不仅是分数除法计算的基础，还能帮助学生深化对分数乘法的理解，解决与“互为倒数”相关的判断、计算及应用问题，是连接分数乘法与分数除法的关键纽带，也是本单元的重点基础内容。 3. 常见场景 ① 求一个数的倒数：包括求分数、整数、带分数、小数的倒数（苏教版核心重点）； ② 倒数的判断：判断两个数是否互为倒数（通过计算它们的乘积是否为1）； ③ 与倒数有关的计算：含倒数的分数乘法计算、利用倒数解决简单的求值问题； ④ 综合场景：倒数与分数乘法、分数连乘结合，以及倒数在分数除法预习中的简单应用； ⑤ 易错场景：判断0和1的倒数、求带分数/小数的倒数（易忽略转化步骤）。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 分数乘法计算：熟练掌握分数乘分数、分数乘整数的计算法则，能快速计算两个数的乘积； 分数的意义和性质：掌握分数的基本性质、约分、假分数与带分数的互化，为求倒数提供基础； 小数与分数的互化：能将小数化为分数（或反之），方便求小数的倒数； 倒数的核心定义：牢记“乘积是1的两个数互为倒数”，明确倒数的相互性和特殊数的倒数特点。 （二）核心应用方法（苏教版重点，4类核心场景） 1.方法一：求分数的倒数（基础，苏教版核心重点） ① 核心思路：分数的倒数，本质是将分数的分子和分母交换位置（即分子变分母、分母变分子），交换后得到的新分数与原分数的乘积是1；若原分数是最简分数，直接交换分子分母即可；若不是最简分数，可先约分再交换，也可直接交换后再约分（结果一致）； ② 常用法则：对于分数（a、b均为非0整数），其倒数是，且； ③ 步骤：1. 明确原分数（确保分子、分母均不为0）；2. 若原分数不是最简分数，可先约分（也可直接交换）；3. 交换原分数的分子和分母，得到新分数；4. 检验：计算原分数与新分数的乘积，确认是否为1（确保结果正确）； ④ 示例：求和的倒数。解：是最简分数，交换分子分母得倒数（检验：）；先约分得，再交换得倒数（或直接交换得，约分后仍为）。 2.方法二：求整数、带分数的倒数（基础，苏教版核心重点） ① 核心思路：求整数的倒数，先将整数化为分母是1的分数，再交换分子和分母；求带分数的倒数，先将带分数化为假分数，再交换假分数的分子和分母，最终结果需化为最简分数； ② 常用法则：整数n（n≠0）的倒数是；带分数（a、b、c均为非0整数），先化为假分数，其倒数是； ③ 步骤：（1）求整数的倒数：1. 将整数化为分母是1的分数；2. 交换分子和分母；3. 检验乘积是否为1。（2）求带分数的倒数：1. 将带分数化为假分数（整数部分×分母+分子作分子，分母不变）；2. 交换假分数的分子和分母；3. 约分（若需要）；4. 检验乘积是否为1； ④ 示例：求5和的倒数。解：5化为，交换分子分母得倒数（检验：）；化为假分数，交换分子分母得倒数（检验：）。 3.方法三：求小数的倒数（进阶，苏教版常考） ① 核心思路：求小数的倒数，有两种方法，方法一：将小数化为分数，再按分数求倒数的方法计算；方法二：先将小数化为整数（分子分母同时乘10、100...），再交换分子分母，最终化简；优先选择简便的方法，确保结果为最简分数； ② 关键：将小数准确化为分数（注意约分），避免因小数化分数错误导致倒数计算失误； ③ 步骤：方法一（小数化分数）：1. 将小数化为分数（如0.6化为）；2. 交换分数的分子和分母，得到倒数；3. 检验乘积是否为1。方法二（小数化整数）：1. 将小数乘10、100...化为整数，同时分母补对应个数的0（如0.25=25/100）；2. 约分后交换分子分母；3. 检验结果； ④ 示例：求0.5和0.75的倒数。解：方法一：0.5化为，倒数是（检验：）；0.75化为，倒数是（检验：）。 4.方法四：与倒数有关的计算（进阶，苏教版常考） ① 核心思路：与倒数有关的计算，核心是利用“互为倒数的两个数乘积是1”的性质，简化计算，常见类型包括：含倒数的分数乘法、求一个数的倒数再与其他数相乘、利用倒数求值； ② 关键：先判断或求出倒数，再按分数乘法、连乘的法则计算，能约分的先约分，简化运算过程； ③ 步骤：1. 明确题目要求（求倒数、判断倒数、含倒数的计算）；2. 若需要求倒数，按对应方法求出倒数；3. 代入计算（含倒数的乘法、连乘），先约分再计算；4. 检验：确认倒数求法正确、计算无误，结果化为最简分数； ④ 示例：计算（1） （2）的倒数乘。解：（1）和互为倒数，乘积是1，所以原式=1×；（2）的倒数是4，4×。 （三）常见隐含条件与易错点提醒 1.倒数概念混淆：误将“互为倒数”理解为“两个数相加得1”，或单独说某个数是倒数（如“是倒数”，正确表述是“和互为倒数”）； 2.特殊数的倒数错误：误认为0有倒数，或1的倒数是其他数（如1的倒数是0），牢记“1的倒数是1，0没有倒数”； 3.求带分数倒数错误：未将带分数化为假分数，直接交换整数部分和分数部分（如求的倒数，误写为）； 4.求小数倒数错误：小数化分数时约分错误，或未将小数化为分数直接求倒数（如求0.6的倒数，误写为0.4）； 含倒数的计算错误：忽略“互为倒数的两个数乘积是1”的性质，未简化计算，导致运算繁琐或失误； 5.结果未化简：求倒数后或含倒数的计算后，结果不是最简分数，未进行约分（如未化为）； 6.判断倒数错误：仅看形式，未计算两个数的乘积是否为1，就判断互为倒数（如误认为和互为倒数）； 7.求整数倒数错误：将整数的倒数写为整数本身（如求5的倒数，误写为5），忘记将整数化为分母是1的分数再交换分子分母。 三、倒数有关计算的解题步骤（苏教版重点） 1.审题辨类型：明确题目类型（求倒数、判断倒数、含倒数的计算），确定解题思路。 选择方法：根据题目类型选择合适的方法（求分数/整数/带分数/小数的倒数，对应不同方法；含倒数的计算，利用倒数性质简化）。 2.计算过程：求倒数时，按对应步骤转化（带分数化假分数、小数化分数）、交换分子分母、约分；含倒数的计算时，先利用倒数性质简化，再按分数乘法法则计算。 3.化简结果：求倒数或计算后，检查结果是否为最简分数，若不是，进行约分；判断倒数时，确保乘积为1。 4.检验验证：检验倒数求法是否正确（乘积为1）、计算是否失误、判断是否符合倒数定义，确保答案准确。 四、常见倒数有关计算的题型及解题示例 1. 场景一：求分数的倒数（基础题） 例：求下列各分数的倒数，能约分的先约分。（1） （2） （3） 解：（1）是最简分数，交换分子分母得倒数（检验：）； （2）先约分得，交换分子分母得倒数（检验：）； （3）是最简分数，交换分子分母得倒数（检验：）； 检验：所有倒数与原分数乘积均为1，结果均为最简分数。 答：（1）；（2）；（3）。 2. 场景二：求整数、带分数的倒数（基础题） 例：求下列各数的倒数。（1）8 （2） （3）1 （4）0 解：（1）8化为，交换分子分母得倒数（检验：）； （2）化为假分数，交换分子分母得倒数（检验：）； （3）1的倒数是1（检验：）； （4）0没有倒数（因为0乘任何数都得0，无法得到1）； 检验：符合倒数定义，特殊数的倒数判断正确。 答：（1）；（2）；（3）1；（4）0没有倒数。 3. 场景三：求小数的倒数（进阶题） 例：求下列各小数的倒数，选择简便方法计算。（1）0.8 （2）0.3 （3）1.25 解：（1）方法：小数化分数，0.8化为，交换分子分母得倒数（检验：）； （2）方法：小数化分数，0.3化为，交换分子分母得倒数（检验：）； （3）方法：小数化分数，1.25化为，交换分子分母得倒数（检验：）； 检验：小数化分数正确，倒数求法无误，乘积均为1。 答：（1）1.25（或）；（2）；（3）0.8（或）。 4. 场景四：与倒数有关的计算（进阶题） 例：计算下列各题，能简便计算的用简便方法。（1） （2）的倒数乘 （3） 解：（1）和互为倒数，乘积是1，原式=1×； （2）的倒数是，原式=； （3）0.6化为，和互为倒数，乘积是1，原式=1×； 检验：利用倒数性质简化计算正确，约分无误，结果均为最简分数。 答：（1）；（2）；（3）。 5. 场景五：判断互为倒数（基础题） 例：判断下列各组数是否互为倒数，说明理由。（1）和 （2）和 （3）0.4和2.5 （4）6和 解：（1）互为倒数；理由：，乘积是1，所以互为倒数； （2）不互为倒数；理由：，乘积不是1，所以不互为倒数； （3）互为倒数；理由：0.4=，2.5=，，乘积是1，所以互为倒数； （4）互为倒数；理由：，乘积是1，所以互为倒数； 检验：判断依据正确，乘积计算无误，符合倒数定义。 答：（1）是；（2）否；（3）是；（4）是。 培优练习 一、选择题 1．如果m和n互为倒数，那么（    ）。 A． B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】乘积是1的两个数互为倒数。所以m与n的积是1。根据分数乘分数的方法，分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。 【详解】 所以，4 故答案为：D 2．如果和互为倒数，那么（    ）。 A． B． C． D．28 【答案】C 【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数互为倒数；根据分数除法的计算方法，除以一个数相当于乘这个数的倒数，即＝＝，根据ab＝1，即可解答。 【详解】因为a和b互为倒数，所以ab＝1。 ＝ ＝ ＝ 所以如果和互为倒数，那么。 故答案为：C 3．已知a、b、c、d四个数在直线上的位置如下图，互为倒数的是（    ）。 A．a和b B．a和c C．b和c D．b和d 【答案】D 【分析】乘积是1的两个数互为倒数。由图可知，直线上的0～1被平均分成6份，则a、b表示的数分别为、，从图中直接读出c、d表示的数，利用倒数的定义进行判断即可。 【详解】a＝，b＝，c＝2，d＝3 3×＝1，b和d互为倒数 故答案为：D 4．甲数的等于乙数的（甲、乙两数都大于0），甲、乙两数相比，（    ）。 A．甲数＞乙数 B．甲数＝乙数 C．甲数＜乙数 D．无法比较 【答案】A 【分析】根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”可知甲数×＝乙数×。设甲数×＝乙数×＝1，根据“乘积是1的两个数互为倒数”可知，甲数是的倒数，乙数是的倒数，据此求出甲数和乙数；再比较大小即可。 【详解】设甲数×＝乙数×＝1。 因为的倒数是，的倒数是，所以甲数是，乙数是； 因为，，＞，所以＞即甲数＞乙数。 甲数的等于乙数的（甲、乙两数都大于0），甲、乙两数相比，甲数＞乙数。 故答案为：A 5．如图是一个正方体展开图，每个面上都有一个数，且满足相对的两个面上的数互为倒数，那么a和b的乘积是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体展开图11种特征，此图属于正方体展开图的“1－4－1”型，折叠成正方体，a面对应2面，面对应4面，3面对应b面；根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数，据此求出a、b的值，进而求出ab的值。 【详解】根据分析可知，a面对应2面，面对应4面，3面对应b面。 2的倒数是，所以a＝ 。 3的倒数是，所以b＝ 。 ab ＝ × ＝ 一个正方体展开图，每个面上都有一个数，且满足相对的两个面上的数互为倒数，那么a和b的乘积是。 故答案为：B 6．三个质数的倒数和为，那么这三个质数的和为（    ）。 A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】B 【分析】解答这道题需明确：只有1和它本身两个因数的自然数，且质数的倒数是分子为1的分数。三个质数的倒数相加，通分后的分母是这三个质数的乘积。将分母1001分解为三个质数的乘积，是解题的关键。对分母1001分解质因数，得到三个质数；再验证这三个质数的倒数和是否等于；最后计算这三个质数的和。 【详解】将1001分解质因数： 所以。 验证：写出7、11、13三个质数的倒数，并求和。 与题目中的倒数和一致，所以三个质数为7、11、13。 所以这三个质数的和为31。 故答案为：B 【点睛】已知三个质数的倒数和，分母即为三个质数的乘积，优先对分母分解质因数可快速确定质数。 二、填空题 7．( )( )( )。 【答案】 / //1.75 / 【分析】这道题的关键是理解乘积是1的两个数互为倒数，互为倒数的两个数乘积是1。题目中已知三道乘法算式的结果均为1，所以括号中填的因数是另一个因数的倒数。 【详解】的倒数是，所以 的倒数是，所以 的倒数是，所以 综上，。 8．的倒数是( )，12.5的倒数是( )。 【答案】 【分析】根据题意，依据倒数的定义，乘积是1的两个数互为倒数。对于分数，用1÷，即可求出其倒数；对于小数12.5，先将其化成分数，再用1÷，求出其倒数，据此解答。 【详解】的倒数：1÷​＝1×​＝ 12.5化成分数：12.5＝ 12.5的倒数：1÷​＝1×＝ ​的倒数是，12.5的倒数是。 9．若与互为倒数，则的计算结果是( )。 【答案】0.6/ 【分析】根据互为倒数的两个数乘积为1可知；再根据“除以一个非零数等于乘这个数的倒数”计算即可。 【详解】因为与互为倒数，所以。 ＝ ＝ ＝ ＝0.6 10．“星星之火，可以燎原”标语共8个字，其字数的的倒数是( )。 【答案】 【分析】标语总共有8个字。先求出8个字的是多少，用乘法计算。再根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数。 【详解】8×＝6（个） 6×＝1，6的倒数是，即其字数的的倒数是。 11．m与互为倒数，m的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位，再添上 ( )个这样的分数单位就变成最小的质数。 【答案】 7 5 【分析】根据倒数的意义，乘积是1的两个数互为倒数。用1除以算出m的结果，一个分数的分母是几，分数单位就是几分之一，它的分子是几，就有几个这样的分数单位。最后根据最小的质数为2求出需要添加分数单位的个数，据此解答。 【详解】1÷＝ 的分数单位是，它有7个这样的分数单位。 2＝＝＝ 12－7＝5（个） m与互为倒数，m的分数单位是，它有7个这样的分数单位，再添上5个这样的分数单位就变成最小的质数。 12．( )＝( )( )( )( )。 【答案】 6 10 【分析】每个算式乘积等于1，所以每个括号中的数都是算式中另一个因数的倒数，据此解答。 【详解】，第一个空格是的倒数，所以第一个空格是； ，第二个空格是的倒数，所以第二个空格是6； ，第三个空格是的倒数，所以第三个空格是； ，第四个空格是的倒数，所以第四个空格是10； ，第五个空格是的倒数，所以第五个空格是； 所以。 三、解答题 13．“a是一个整数，它的倒数一定是。”这句话对吗？请说明理由。 【答案】不对；理由见详解 【详解】根据倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数。整数包括0，当a＝0时，因为任何数乘0都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数。 答：“a是一个整数，它的倒数一定是。”这句话是不对的，因为整数包括0，当a＝0时，任何数乘0都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数。 14．m和n互为倒数，且m＞n，m＋n＝4.25，m和n分别是多少？ 【答案】4； 【分析】首先将m和n的和4.25转换为带分数，得到，又已知m和n互为倒数，所以mn等于1，将其拆分为4＋，再根据m＞n，即可得到m＝4，n＝。 【详解】4.25＝＝ 因为m＋n＝4.25，m和n互为倒数，mn＝1，且m＞n。 所以m＝4，n＝。 15．若与互为倒数，则的结果是多少？ 【答案】 【分析】根据倒数的定义可知，代入计算即可。 【详解】因为与互为倒数，所以 答：的结果是。 16．学习了分数除法后，小东说应该这样做：“因为甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数，所以”。你能用自己喜欢的方式说明其中的道理吗？ 【答案】见详解 【分析】除法的本质就是把计数单位的数量平均分。把的计数单位的数量平均分，求出每份是多少个计数单位。 【详解】是4个，把4个平均分成4份，每份是1个，所以。 17．下图所示的是一个正方体的平面展开图，已知两个相对面上的数互为倒数，①②③的值分别是多少？ 【答案】；； 【分析】根据正方体展开图的类型，图中的正方体属于2-3-1型，①代表的数字与0.75相对应，②代表的数字与5相对应，③代表的数字与相对应，已知相对的面上的数互为倒数，互为倒数的两个数乘积为1，分别用1除以0.75、 5、，即可求出①、②、③所代表的数字。 【详解】①代表的数值： ②代表的数值： ③代表的数值： 18．一块长方形广告牌，长m，宽和长互为倒数，现在要给广告牌的四周镶上铝合金边框，一共需要多少米的铝合金？ 【答案】m 【分析】根据求分数的倒数方法，将分数的分子和分母上下颠倒，原分母做分子，原分子做分母即可求出宽，然后根据长方形的周长公式：（长＋宽）×2进行解答即可。 【详解】根据分析可知，长m，宽和长互为倒数，宽为：m； （＋）×2 ＝（＋）×2 ＝×2 ＝（m） 答：一共需要米的铝合金。 【点睛】本题主要考查学生求取倒数的方法和长方形的周长公式运用，牢记长方形周长公式是解题的关键。 19．如果 = =1，那么5x-2y等于多少？ 【答案】 【分析】两个数相乘的积是1，这两个数互为倒数；求一个分数的倒数，就是把这个分数的分子和分母交换一下位置．的倒数是，的倒数是，然后代入求值． 【详解】x与互为倒数，x=；y与互为倒数，y=；将x和y的值代入式子 5x-2y=5×-2×=14-= 20．有四个不同的偶数，它们的倒数的和是1，知道其中两个数是2和4，其余两个数分别是几？ 【答案】其余两个偶数是6和12 【分析】由题意可知，其中两数是2和4，这两个数的倒数之和是：＋＝，用1减去它们的倒数之和是1﹣＝，根据分数的基本性质，把分子、分母扩大到原来的3倍是，再把看作与的和，也就是与的和，由此得另外两个数是6和12。 【详解】＋＝， 1﹣＝， ＝， ＝＋＝＋， 因此，其余两个偶数是6和12。 【点睛】本题考查的知识点有：奇数与偶数的意义、倒数的意义、简单的分数加减等。 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $