第二单元 圆柱和圆锥解决问题（综合题型）奥数思维训练-2025-2026学年苏教版数学六年级下册

第二单元 圆柱和圆锥解决问题（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义 1.圆柱：由两个大小相等、互相平行的圆形底面和一个曲面侧面围成的几何体。两个底面之间的距离叫做圆柱的高，侧面展开后一般是长方形（或正方形），长方形的长等于底面周长，宽等于圆柱的高。 2.圆锥：由一个圆形底面和一个曲面侧面围成的几何体，侧面展开后是一个扇形。圆锥只有一个顶点，顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高。 二、核心公式 （一）圆柱相关公式 （ r 为底面半径， h 为高）。 若已知底面直径( d )，则。 表面积：( )（需根据实际情况判断是否计算底面积，如无盖圆柱仅算，通风管仅算。 底面积，故。 体积：。 （二）圆锥相关公式 体积：（ r 为底面半径， h 为高）。 （三）圆柱与圆锥的关系 等底等高：圆柱体积是圆锥体积的3倍，即；圆锥体积是圆柱体积的，体积差为圆锥体积的2倍。 体积相等、底面积相等：圆锥的高是圆柱高的3倍；体积相等、高相等时，圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍。 三、解题步骤 审题：明确已知条件（如半径、直径、高、体积等）和所求问题（表面积、体积、高度等），标注单位（注意单位统一，如厘米与米需换算）。 选公式：根据问题类型选择对应公式，例如求体积用体积公式，求无盖水桶表面积用“侧面积+1个底面积”。 代入计算：将数据代入公式，π通常取3.14（题目特殊说明除外），分步计算避免出错（如先算底面积、再算体积）。 检验：检查单位是否正确（体积单位带立方，面积单位带平方），计算结果是否合理（如圆锥体积是否漏乘。 四、常见题型 1.基本计算型 例：一个圆柱底面半径5cm，高8cm，求表面积和体积。 解： 2.等积变形型 例：将底面半径6cm、高10cm的圆柱钢材熔铸成底面半径3cm的圆锥，求圆锥的高。 解：圆柱体积，圆锥体积，则。 3.生活应用型 例：一个无盖圆柱形水桶，底面直径4dm，高5dm，做这个水桶至少需多少铁皮？能装多少升水？（铁皮厚度忽略不计） 解：表面积（铁皮面积）；容积（体积）。 4.比较关系型 例：等底等高的圆柱和圆锥，体积差是24cm³，求圆柱和圆锥体积。 解：设圆锥体积为( V )，则圆柱体积为( 3V )，( 3V - V = 24 )，解得，圆柱体积。 培优练习 一、解答题 1．下图所示的是一个封闭的容器，容器中有一些水。若把这个容器倒过来，容器里的水深多少厘米？ 【答案】11cm 【分析】因为圆锥和圆柱等底等高，根据圆柱和圆锥的体积公式，等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，已知圆锥内水的高度是18厘米，那么将其倒入等底的圆柱中，水的高度为6厘米，原来圆柱部分水的高度为5厘米，倒过来后，水深为圆锥倒入圆柱的水的高度加上圆柱部分原有的水的高度，即11厘米。 【详解】（厘米） （厘米） （厘米） 答：容器里的水深11厘米。 【点睛】先明确圆锥与圆柱底面积相同，利用等底等高圆锥体积是圆柱体积的，求出圆锥内水倒入圆柱后的高度，再加上圆柱部分剩余的水深，得到倒过来后的水深。 2．如下图，把冰激凌的上半部分近似地看作圆锥，那么这个冰激凌的体积是多少立方厘米？（单位：cm） 【答案】150.72cm³ 【分析】分析题目，这个冰激凌的体积等于一个底面直径是6厘米，高是10厘米的圆锥的体积加上一个底面直径是6厘米，高是6厘米的圆锥的体积，因为两个圆锥的底面积相同，所以可以合并成底面直径为6厘米，高为（）厘米的圆锥，圆锥的体积＝，据此列式计算即可。 【详解】 （立方厘米） 答：这个冰激凌的体积是150.72立方厘米。 3．南昌市“雨污分流改造”工程中，需要用到多种空心水泥管。如图所示的是其中一种浇筑空心水泥管的模具的示意图。现将水泥注入模具中，如果每立方厘米水泥重3g，那么浇筑成的空心水泥管重多少千克？（得数保留整数） 【答案】707千克 【分析】题中的空心水泥管的底面是环形，可以用圆环的面积公式求得空心水泥管的底面积；再用底面积乘高得到空心水泥管的体积，最后用每立方厘米水泥质量乘空心水泥管的体积就可得空心水泥管质量。 【详解】（厘米）（厘米） （平方厘米） （立方厘米） （克）（千克）（千克） 答：浇筑成的空心水泥管约重707千克。 4．广场上有一个圆柱形喷水池，池内底面直径是8m，最多能装水。喷水池深多少米？ 【答案】0.5米 【分析】要计算喷水池的深度，需先根据底面直径求出底面半径，再通过圆的面积公式算出底面积，最后利用圆柱体积公式的变形，高＝体积÷底面积，用最多装水的体积除以底面积，得到喷水池的深度。 【详解】半径：（m） 底面积：（m2） 深度：（m） 答：喷水池深0.5米。 5．如下图，三角形ABC是等腰三角形，AD所在的直线是它的对称轴。已知AD长5cm，BC长8cm，以它的对称轴为轴旋转180°可以得到一个立体图形。 （1）这个立体图形是（    ）。 （2）这个立体图形的底面积是多少？高是多少？ 【答案】（1）圆锥 （2）50.24平方厘米；5厘米 【分析】立体图形的形成：等腰三角形以对称轴AD为轴旋转180∘，三角形的腰AB、AC会绕AD旋转形成圆锥的侧面，底边的一半BD会旋转成圆锥的底面半径，因此形成的立体图形是圆锥。底面积与高的确定，旋转轴AD的长度直接作为圆锥的高；AD是对称轴，故BD＝​BC，以此为半径计算底面积（圆的面积）。 【详解】由分析可知： （1）这个立体图形是圆锥。 （2）底面半径：（厘米） 底面积：（平方厘米） 高：等于AD的长度，即5厘米。 这个立体图形的底面积是50.24平方厘米，高是5厘米。 6．如下图所示，某路口有一个三层圆柱形交警指挥台，每层的高度都是20cm，直径分别是120cm，100cm和80cm。为创建卫生城市，需要对该指挥台进行粉刷，粉刷的面积有多大？ 【答案】30144cm2 【分析】要粉刷的面积就是露在外面的面积，可以从指挥台的上面和侧面来进行计算，据此列式解答。 【详解】上面的面积等于底层圆柱的上底面面积： （平方厘米） 侧面的面积等于三个圆柱的侧面积之和： （平方厘米） 需要粉刷的面积：（平方厘米） 答：需要粉刷的面积是30144平方厘米。 7．一个无水的圆柱形鱼缸（不计厚度），量得底面直径是4分米。如果以每分钟9立方分米的流量向鱼缸内注水，注水6分钟，此时鱼缸里水的深度与鱼缸高度的比是9∶10。这个鱼缸的容积是多少？（取3） 【答案】60立方分米 【分析】由题意可知，先求出鱼缸的底面积和注入水的体积，再根据“”求出鱼缸内水的深度，鱼缸里水的深度与鱼缸高度的比是9∶10，根据鱼缸内水的深度求出比中每份的量，再乘鱼缸高度占的份数求出这个鱼缸的高度，最后根据“”求出这个鱼缸的容积，据此解答。 【详解】鱼缸的底面积：3×（4÷2）2 ＝3×22 ＝3×4 ＝12（平方分米） 水的体积：9×6＝54（立方分米） 鱼缸内水的深度：54÷12＝4.5（分米） 鱼缸的高度：4.5÷9×10 ＝0.5×10 ＝5（分米） 鱼缸的容积：12×5＝60（立方分米） 答：这个鱼缸的容积是60立方分米。 8．在一只底面半径是30厘米，高50厘米的圆柱形水桶里，水桶里面装有水和一个半径为10厘米的圆锥形钢材（钢材完全浸没在水中），拿出圆锥形钢材后，水面降低了1厘米，这个圆锥形钢材的高是多少厘米？ 【答案】27厘米 【分析】根据题意得出圆锥形钢材的体积等于下降的水的体积，下降的水的体积等于高为1厘米，底面半径为30厘米的圆柱的体积，圆柱体积＝；已知圆锥形钢材底面半径为10厘米，圆锥的体积V＝，则高h＝，可求出圆锥的高，据此解答即可。 【详解】3.14×302×1×3÷（3.14×102） ＝3.14×900×1×3÷3.14÷100 ＝27（厘米） 答：这个圆锥形钢材的高是27厘米。 9．小东测量瓶子的容积（如下图），测得瓶子的底面直径是10厘米，然后给瓶子内盛入一些水，正放时水高15厘米，倒放时水高25厘米，瓶子深30厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？（π取3.14）（单位：厘米） 【答案】1570毫升 【分析】瓶子的容积等于瓶子正放时的水的体积加上瓶子倒放时上面空的部分的体积，这两部分都是圆柱，根据圆柱的体积公式V＝πr2h解决。1立方厘米＝1毫升。 【详解】10÷2＝5（厘米） 3.14×52×15＋3.14×52×（30－25） ＝3.14×25×15＋3.14×25×（30－25） ＝3.14×25×15＋3.14×25×5 ＝1177.5＋392.5 ＝1570（立方厘米） 1570立方厘米＝1570毫升 答：这个瓶子的容积是1570毫升。 【点睛】瓶子的容积等于水的体积加上空的部分的体积，把瓶子倒放时，空的部分正好是圆柱，根据圆柱体积公式。算出水的体积和空的部分的体积之和就是瓶子的容积。 10．如图，把扇形的两条半径无缝拼接（不重叠），可以卷成一个空心圆锥。如果再配一个底面，圆锥的高就是8厘米，圆锥的容积是多少？（厚度不计） 【答案】301.44立方厘米 【分析】根据题意可知，扇形的弧长12π厘米就是圆锥的底面周长，根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆锥的底面半径；再根据圆锥的体积（容积）公式V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），圆锥的高是8厘米，把求出的半径和高代入即可求出圆锥的容积。 【详解】圆锥的底面半径：12π÷π÷2＝6（厘米） ×3.14×62×8 ＝×3.14×36×8 ＝12×3.14×8 ＝37.68×8 ＝301.44（立方厘米） 答：圆锥的容积是301.44立方厘米。 11．小东测量瓶子的容积（如下图），测得瓶子的底面直径是10厘米，然后给瓶子内盛入一些水，正放时水高15厘米，倒放时水高25厘米，瓶子深30厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？（π取3.14）（单位：厘米） 【答案】1570毫升 【分析】瓶子的容积等于瓶子正放时的水的体积加上瓶子倒放时上面空的部分的体积，这两部分都是圆柱，根据圆柱的体积公式V＝πr2h解决。1立方厘米＝1毫升。 【详解】10÷2＝5（厘米） 3.14×52×15＋3.14×52×（30－25） ＝3.14×25×15＋3.14×25×（30－25） ＝3.14×25×15＋3.14×25×5 ＝1177.5＋392.5 ＝1570（立方厘米） 1570立方厘米＝1570毫升 答：这个瓶子的容积是1570毫升。 【点睛】瓶子的容积等于水的体积加上空的部分的体积，把瓶子倒放时，空的部分正好是圆柱，根据圆柱体积公式。算出水的体积和空的部分的体积之和就是瓶子的容积。 12．把底面半径为5厘米的圆锥形金属铸件完全浸没在棱长10厘米的正方体容器中，水面上升1.57厘米（水未溢出），这个金属铸件的高是多少？（π取3.14） 【答案】6厘米 【分析】根据题意，把圆锥形金属铸件完全浸没在有水的正方体容器中，水面上升1.57厘米，那么上升部分水的体积等于圆锥的体积，水上升部分是一个底面边长为10厘米、高为1.57厘米的长方体，根据长方体的体积公式V＝abh，求出圆锥的体积； 已知圆锥形金属铸件的底面半径为5厘米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥的底面积； 根据圆锥的体积公式V＝Sh，可知圆锥的高h＝3V÷S，代入数据计算求出圆锥的高。 【详解】圆锥的体积： 10×10×1.57＝157（立方厘米） 圆锥的底面积： 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 圆锥的高： 157×3÷78.5 ＝471÷78.5 ＝6（厘米） 答：这个金属铸件的高是6厘米。 13．一个圆锥形铅锤底面半径为3厘米，高为5厘米，把它放入一个半径为5厘米的装有水的圆柱形容器中，铅锤全部浸没在水中（水未溢出）。圆柱形容器的水面上升了多少厘米？ 【答案】0.6厘米 【分析】先根据“”求出铅锤的体积，上升部分水的体积就等于这个铅锤的体积，由“”可知“”，水面上升的高度＝上升部分水的体积÷容器的底面积，据此解答。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝0.6（厘米） 答：圆柱形容器的水面上升了0.6厘米。 14．长10厘米，直径2厘米的三根圆柱捆成一捆（如图），用一张纸将这捆圆柱侧面包起来（纸要绷紧），总共要用多少纸？ 【答案】122.8平方厘米 【分析】如图所示，下图为捆成捆后的截面图，由图可知，需要的纸张是个长方形。其长为三段等弧长再加3个圆的直径，宽为圆柱的长。每段弧所对应的圆心角是360°－（60°＋2×90°）＝360°－（60°＋180°）＝360°－240°＝120°，那么这段弧的长度是圆的周长的，因为，所以三段弧长就是一个圆的周长，据此先求出长方形的长，再求出纸张的面积即可解答。 【详解】（2×3＋3.14×2）×10 ＝（6＋6.28）×10 ＝12.28×10 ＝122.8（平方厘米） 答：总共要用122.8平方厘米的纸。 15．一个圆柱形容器，底面直径是40厘米，高是45厘米，里面装有水，水深30厘米，放入一块圆锥形铁块，完全浸没在水中（水未溢出），这时水深与原来水深的比是6∶5，这块铁块的体积是多少？ 【答案】7536立方厘米 【分析】已知圆柱形容器原有水深30厘米，放入一块圆锥形铁块后水深与原来水深的比是6∶5，即此时水深占原来水深的，把原来水深看作单位“1”，单位“1”已知，用原来水深乘，求出放入铁块后的水深，再减去原来的水深，即是水上升的高度；水上升部分的体积就是这块铁块的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出这块铁块的体积。 【详解】30×＝36（厘米） 3.14×（40÷2）2×（36－30） ＝3.14×202×6 ＝3.14×400×6 ＝7536（立方厘米） 答：这块铁块的体积是7536立方厘米。 16．在一个底面直径是20厘米的圆柱形容器中装有水，水面高12厘米，正好能完全浸没一个底面直径是12厘米，高是8厘米的圆锥形铁块，（如图所示），现将铁块从容器中取出后，水面会下降多少厘米？ 【答案】0.96厘米 【分析】从题意可知：下降水的体积＝圆锥的体积。圆锥的体积： V＝πr2h，代入数据计算，求出圆锥的体积。根据圆的面积：S＝πr2，代入数据计算，求出圆柱形容器底面积。下降水的体积＝圆柱形容器底面积×下降的高度，用下降水的体积（圆锥的体积）÷圆柱形容器底面积即可求出下降的高度。 【详解】12÷2＝6（厘米） ×62×3.14×8 ＝×36×3.14×8 ＝301.44（立方厘米） 20÷2＝10（厘米） 301.44÷（102×3.14） ＝301.44÷（100×3.14） ＝301.44÷314 ＝0.96（厘米） 答：水面会下降0.96厘米。 17．我国古代的计时工具最早以圭表和日晷为主，但这些工具在阴天或夜间无法使用，于是人们发明了漏刻（水钟）和沙漏。由于北方冬季寒冷，水易结冰，古人改用流沙驱动计时，形成了沙漏。如图的沙漏上、下是两个完全相同的高为8厘米的圆锥形容器，上面的容器装满细沙，漏口每秒漏出0.1立方厘米的细沙，漏完全部细沙用时12分钟，圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？ 【答案】27平方厘米 【分析】已知漏完全部细沙用时12分钟，因为1分钟＝60秒，所以总时间为12×60＝720秒。漏口每秒漏出0.1立方厘米的细沙，总时间为720秒，根据“总体积＝每秒漏出体积×时间”，可得细沙的总体积为0.1×720＝72立方厘米。圆锥的体积公式为V＝Sh（S为底面积，h为高），则S＝V÷÷h，圆锥形容器的高为8厘米，体积为72立方厘米，将其代入公式计算即可。 【详解】1分钟＝60秒 12×60＝720（秒） 0.1×720＝72（立方厘米） 72÷÷8 ＝72×3÷8 ＝216÷8 ＝27（平方厘米） 答：圆锥形容器的底面积是27平方厘米。 18．盾构机主要用于城市地铁、公路和铁路等圆柱形隧道的挖掘。我国迄今研制的最大直径盾构机，挖掘直径达16米，每天可挖掘18米。 （1）这台盾构机一天能挖掘土石多少立方米？ （2）盾构机在挖掘的同时还能铺设支撑隧道的管片。按照挖掘进度，每天最多能铺设多少平方米管片？ 【答案】（1）3617.28立方米 （2）904.32平方米 【分析】根据题意，（1）求一天挖掘土石方的体积，可看作求底面直径为16米、高为18米的圆柱的体积，运用圆柱体积公式V＝πr2h（r是半径，h是高）计算； （2）求每天铺设管片的面积，可看作求底面直径为16米、高为18米的圆柱的侧面积，运用圆柱侧面积公式S＝πdh（d是直径，h是高）计算，据此解答。 【详解】（1）16÷2＝8（米） 3.14×82×18 ＝200.96×18 ＝3617.28（立方米） 答：这台盾构机一天能挖掘土石3617.28立方米。 （2）3.14×16×18 ＝50.24×18 ＝904.32（平方米） 答：每天最多能铺设904.32平方米管片。 19．有一个圆柱形的建筑，它的底面半径为5米，高为8米，如果要给这个圆柱的侧面全部涂上一种特殊的颜料，那么涂颜料的面积是多少平方米？ 【答案】251.2平方米 【分析】将数据代入圆柱的侧面积公式：S＝2πrh计算即可求出涂颜料的面积是多少平方米。 【详解】2×3.14×5×8 ＝6.28×5×8 ＝31.4×8 ＝251.2（平方米） 答：涂颜料的面积是251.2平方米。 20．学习完圆柱和圆锥的知识后，李老师给同学们布置了一项实践活动：在我们生活的周围，寻找与圆柱和圆锥有关的数学问题。小优发现家里有一个无盖的圆柱形铁皮水桶如图所示。 （1）做这样的一个水桶，至少需要多少平方分米的铁皮？ （2）现在桶里装了一些水，小优将一个圆锥形铅锤丢进桶里（完全浸没，水未溢出）。这个铅锤的底面直径是2分米，高是1.2分米。当取出铅锤后，桶里的水面将下降多少分米？ 【答案】（1）69.08平方分米 （2）0.1分米 【分析】（1）无盖铁皮水桶有1个底面和侧面，底面面积根据计算，侧面积根据计算，据此解答； （2）丢进铅锤，水面升高，升高部分水的体积是圆锥形铅锤的体积，依据计算，取出铅锤，水面下降的高度等于水面上升的高度，用升高部分水的体积除以水桶底面积计算解答。 【详解】（1）3.14×（4÷2）2＋2×3.14×（4÷2）×4.5 ＝3.14×22＋2×3.14×2×4.5 ＝3.14×4＋12.56×4.5 ＝12.56＋56.52 ＝69.08（平方分米） 答：做这样的一个水桶，至少需要69.08平方分米的铁皮。 （2） （分米） 答：桶里的水面将下降0.1分米。 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 圆柱和圆锥解决问题（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义 1.圆柱：由两个大小相等、互相平行的圆形底面和一个曲面侧面围成的几何体。两个底面之间的距离叫做圆柱的高，侧面展开后一般是长方形（或正方形），长方形的长等于底面周长，宽等于圆柱的高。 2.圆锥：由一个圆形底面和一个曲面侧面围成的几何体，侧面展开后是一个扇形。圆锥只有一个顶点，顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高。 二、核心公式 （一）圆柱相关公式 （ r 为底面半径， h 为高）。 若已知底面直径( d )，则。 表面积：( )（需根据实际情况判断是否计算底面积，如无盖圆柱仅算，通风管仅算。 底面积，故。 体积：。 （二）圆锥相关公式 体积：（ r 为底面半径， h 为高）。 （三）圆柱与圆锥的关系 等底等高：圆柱体积是圆锥体积的3倍，即；圆锥体积是圆柱体积的，体积差为圆锥体积的2倍。 体积相等、底面积相等：圆锥的高是圆柱高的3倍；体积相等、高相等时，圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍。 三、解题步骤 审题：明确已知条件（如半径、直径、高、体积等）和所求问题（表面积、体积、高度等），标注单位（注意单位统一，如厘米与米需换算）。 选公式：根据问题类型选择对应公式，例如求体积用体积公式，求无盖水桶表面积用“侧面积+1个底面积”。 代入计算：将数据代入公式，π通常取3.14（题目特殊说明除外），分步计算避免出错（如先算底面积、再算体积）。 检验：检查单位是否正确（体积单位带立方，面积单位带平方），计算结果是否合理（如圆锥体积是否漏乘。 四、常见题型 1.基本计算型 例：一个圆柱底面半径5cm，高8cm，求表面积和体积。 解： 2.等积变形型 例：将底面半径6cm、高10cm的圆柱钢材熔铸成底面半径3cm的圆锥，求圆锥的高。 解：圆柱体积，圆锥体积，则。 3.生活应用型 例：一个无盖圆柱形水桶，底面直径4dm，高5dm，做这个水桶至少需多少铁皮？能装多少升水？（铁皮厚度忽略不计） 解：表面积（铁皮面积）；容积（体积）。 4.比较关系型 例：等底等高的圆柱和圆锥，体积差是24cm³，求圆柱和圆锥体积。 解：设圆锥体积为( V )，则圆柱体积为( 3V )，( 3V - V = 24 )，解得，圆柱体积。 培优练习 一、解答题 1．下图所示的是一个封闭的容器，容器中有一些水。若把这个容器倒过来，容器里的水深多少厘米？ 2．如下图，把冰激凌的上半部分近似地看作圆锥，那么这个冰激凌的体积是多少立方厘米？（单位：cm） 3．南昌市“雨污分流改造”工程中，需要用到多种空心水泥管。如图所示的是其中一种浇筑空心水泥管的模具的示意图。现将水泥注入模具中，如果每立方厘米水泥重3g，那么浇筑成的空心水泥管重多少千克？（得数保留整数） 4．广场上有一个圆柱形喷水池，池内底面直径是8m，最多能装水。喷水池深多少米？ 5．如下图，三角形ABC是等腰三角形，AD所在的直线是它的对称轴。已知AD长5cm，BC长8cm，以它的对称轴为轴旋转180°可以得到一个立体图形。 （1）这个立体图形是（    ）。 （2）这个立体图形的底面积是多少？高是多少？ 6．如下图所示，某路口有一个三层圆柱形交警指挥台，每层的高度都是20cm，直径分别是120cm，100cm和80cm。为创建卫生城市，需要对该指挥台进行粉刷，粉刷的面积有多大？ 7．一个无水的圆柱形鱼缸（不计厚度），量得底面直径是4分米。如果以每分钟9立方分米的流量向鱼缸内注水，注水6分钟，此时鱼缸里水的深度与鱼缸高度的比是9∶10。这个鱼缸的容积是多少？（取3） 8．在一只底面半径是30厘米，高50厘米的圆柱形水桶里，水桶里面装有水和一个半径为10厘米的圆锥形钢材（钢材完全浸没在水中），拿出圆锥形钢材后，水面降低了1厘米，这个圆锥形钢材的高是多少厘米？ 9．小东测量瓶子的容积（如下图），测得瓶子的底面直径是10厘米，然后给瓶子内盛入一些水，正放时水高15厘米，倒放时水高25厘米，瓶子深30厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？（π取3.14）（单位：厘米） 10．如图，把扇形的两条半径无缝拼接（不重叠），可以卷成一个空心圆锥。如果再配一个底面，圆锥的高就是8厘米，圆锥的容积是多少？（厚度不计） 11．小东测量瓶子的容积（如下图），测得瓶子的底面直径是10厘米，然后给瓶子内盛入一些水，正放时水高15厘米，倒放时水高25厘米，瓶子深30厘米。这个瓶子的容积是多少毫升？（π取3.14）（单位：厘米） 12．把底面半径为5厘米的圆锥形金属铸件完全浸没在棱长10厘米的正方体容器中，水面上升1.57厘米（水未溢出），这个金属铸件的高是多少？（π取3.14） 13．一个圆锥形铅锤底面半径为3厘米，高为5厘米，把它放入一个半径为5厘米的装有水的圆柱形容器中，铅锤全部浸没在水中（水未溢出）。圆柱形容器的水面上升了多少厘米？ 14．长10厘米，直径2厘米的三根圆柱捆成一捆（如图），用一张纸将这捆圆柱侧面包起来（纸要绷紧），总共要用多少纸？ 15．一个圆柱形容器，底面直径是40厘米，高是45厘米，里面装有水，水深30厘米，放入一块圆锥形铁块，完全浸没在水中（水未溢出），这时水深与原来水深的比是6∶5，这块铁块的体积是多少？ 16．在一个底面直径是20厘米的圆柱形容器中装有水，水面高12厘米，正好能完全浸没一个底面直径是12厘米，高是8厘米的圆锥形铁块，（如图所示），现将铁块从容器中取出后，水面会下降多少厘米？ 17．我国古代的计时工具最早以圭表和日晷为主，但这些工具在阴天或夜间无法使用，于是人们发明了漏刻（水钟）和沙漏。由于北方冬季寒冷，水易结冰，古人改用流沙驱动计时，形成了沙漏。如图的沙漏上、下是两个完全相同的高为8厘米的圆锥形容器，上面的容器装满细沙，漏口每秒漏出0.1立方厘米的细沙，漏完全部细沙用时12分钟，圆锥形容器的底面积是多少平方厘米？ 18．盾构机主要用于城市地铁、公路和铁路等圆柱形隧道的挖掘。我国迄今研制的最大直径盾构机，挖掘直径达16米，每天可挖掘18米。 （1）这台盾构机一天能挖掘土石多少立方米？ （2）盾构机在挖掘的同时还能铺设支撑隧道的管片。按照挖掘进度，每天最多能铺设多少平方米管片？ 19．有一个圆柱形的建筑，它的底面半径为5米，高为8米，如果要给这个圆柱的侧面全部涂上一种特殊的颜料，那么涂颜料的面积是多少平方米？ 20．学习完圆柱和圆锥的知识后，李老师给同学们布置了一项实践活动：在我们生活的周围，寻找与圆柱和圆锥有关的数学问题。小优发现家里有一个无盖的圆柱形铁皮水桶如图所示。 （1）做这样的一个水桶，至少需要多少平方分米的铁皮？ （2）现在桶里装了一些水，小优将一个圆锥形铅锤丢进桶里（完全浸没，水未溢出）。这个铅锤的底面直径是2分米，高是1.2分米。当取出铅锤后，桶里的水面将下降多少分米？ 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $